Моделирование процесса диффузионного извлечения сахарозы с применением термической обработки свекловичной стружки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 664.1.035.1

шт

www. nt-prom. ru

Моделирование процесса диффузионного извлечения сахарозы с применением термической обработки свекловичной стружки

Н.Г. КУЛЬНЕВА, д-р техн. наук (e-mail: ngkulneva@yandex.ru)

ФГБОУВО «Воронежский государственный университет инженерных технологий»

А.А. ЖУРАВЛЁВ, канд. техн. наук (e-mail: zhuraa1@rambler.ru)

ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» М.В. ЖУРАВЛЁВ, канд. техн. наук (e-mail: zyrav2014@yandex.ru) АО «Земетчинский сахарный завод»

Введение

Процесс диффузионного извлечения сахарозы из свекловичной ткани является фундаментальным массообменным процессом в технологическом потоке свеклосахарного производства. От того, насколько грамотно и технологически обоснованно осуществляется работа диффузионного отделения завода, зависит эффективность работы всех последующих станций, а также качество и выход готовой продукции [1, 2]. Разработку энергоэффективной технологии термохимической обработки свекловичной стружки перед экстрагированием сахарозы можно обосновать с помощью методов математического моделирования [3].

Методика проведения исследований

Рассмотрим математическую модель процесса диффузионного извлечения сахарозы из свекловичной стружки. Объектом моделирования выбрана свекловичная стружка, представленная в виде трёхмерной прямоугольной пластины с геометрическими размерами: длина I, высота Ь и толщина 2h (рис. 1).

Процесс диффузионного извлечения сахарозы протекает в условиях противоточного взаимодействия свекловичной стружки и экстрагента (система «твёрдое тело — жидкость»). Движущей силой диффузионного процесса является разность концентраций сахарозы в стружке и экстрагенте. Под действием этой силы возникает массообменный процесс — диффузия, в результате которой концентрация сахарозы в стружке с течением времени уменьшается, а концентрация сахарозы в экстрагенте увеличивается.

Процесс нестационарной диффузии в декартовых координатах описывается дифференциальным уравнением в частных производных [4]:

ЭС dx :

D

Ъ2С э2С э2С dx2 + ду2 + dz2

±а,

(1)

Vi 2 X

0

2 h

Рис. 1. Трёхмерное изображение объекта моделирования

где C — концентрация сахарозы в свекловичной стружке; т — время; х, у, г — декартовы координаты; D — коэффициент диффузии; Qw — мощность внутренних источников массовыделения (или массопо-глощения).

В уравнении (1) концентрация С и мощность внутренних источников Qw являются функциями координат х, у, х и времени т, т. е. С =С (х, у, г, т ) и ^= ^ г, т ).

При рассмотрении распространения концентрации сахарозы в свекловичной стружке примем следующие допущения:

1) внутренние источники массовыделения (массо-поглощения) отсутствуют (Qw= 0);

2) процесс диффузии протекает при постоянной температуре стружки и экстрагента, теплофизиче-ские и диффузионные характеристики стружки и экс-трагента не зависят от температуры и времени;

3) поскольку геометрические размеры стружки l>>2h и b>>2h, то поле концентраций сахарозы в стружке полагаем одномерным, т. е. концентрация С

СОВРЕМЕННЫЙ ИНЖИНИРИНГ _

В ПРОИЗВОДСТВЕ САХАРА

ммм. М-ргот. ги

не зависит от координат у и г. Поэтому слагаемые в уравнении (1) равны

Э2С Э2С

ау2 ъе

= 0;

4) перемещение сахарозы из центра стружки к её поверхности осуществляется за счёт молекулярной диффузии, а отвод сахарозы от поверхности стружки в экстрагент — за счёт конвективной диффузии;

5) в силу симметрии поперечного сечения относительно оси у к рассмотрению принимаем только одну (правую) половину сечения стружки толщиной к.

С учётом принятых допущений запишем одномерное уравнение нестационарной диффузии сахарозы из свекловичной стружки в декартовых координатах

Поскольку мы рассматриваем половину поперечного сечения стружки, то граничное условие (4) необходимо дополнить условием адиабатичности поверхности:

т > <5>

Таким образом, задача нестационарного одномерного процесса диффузионного извлечения сахарозы из свекловичной стружки имеет вид третьей начально-краевой задачи:

ЭС=В#С йх Эх2

(2)

в котором концентрация является функцией координаты х и времени т, т. е. С = С(х, т).

Уравнение нестационарной диффузии (2) должно быть дополнено с соответствующими начальными и граничными условиями.

Начальное условие задаёт распределение концентрации сахарозы в поперечном сечении стружки в начальный момент времени (в момент времени т = 0 концентрация сахарозы имеет постоянное значение С0):

С | = С, 0 < х < к.

'т=0 0' — —

(3)

-Д.

Эх

х=Л

= р(Сл-С/), т > 0,

ЭС = ДЭ2С й% Эх2'

-д

эс

'ЪС4

дх

дх = 0,

0<х<й 0<х<к = Р(СА-С/), т>0

т>0.

(6)

Граничным условием третьего рода принимаем конвективный массообмен, протекающий в правой части поверхности стружки (х = к, см. рис. 1) происходит конвективный массообмен с экстрагентом, который опишем соответственно:

'ЪС\ _ „ .

.......(4)

Для решения начально-краевой задачи (6) необходимо располагать значениями параметров, характеризующих протекание массообменных процессов: коэффициентов диффузии, массоотдачи и массопро-водности.

Коэффициент диффузии Б, входящий в задачу (6), может быть определён экспериментально по традиционной, известной методике [5].

Экспериментальное определение коэффициента массопроводности Бт представляет известные сложности. На основании этого примем условие Б = Бт, обладающее приемлемой для практических вычислений точностью.

Коэффициент массоотдачи р может быть определён [6] из диффузионного критерия Нуссельта:

Ш-

М

Б

(7)

где р — коэффициент массоотдачи; Бт — коэффициент массопроводности; Ск — концентрация сахарозы на поверхности стружки (которая является функцией времени); С — концентрация сахарозы в экстра-генте.

В левой части уравнения (4) представлено значение плотности диффузионного потока, движущегося изнутри стружки к её поверхности посредством явления массопроводности. В правой части уравнения (4) фигурирует значение плотности диффузионного потока, отводимого от поверхности свекловичной стружки к экстрагенту посредством конвективной диффузии.

Диффузионный критерий Нуссельта Ши связан эмпирическим соотношением с диффузионными критериями Рейнольдса Яе и Прандтля РГ:

Ши = 3,8 ■ 10 -4 Яе !-38 Р °-33.

Диффузионный критерий Рейнольдса: 4Ар

Ее'-

/Ц

(8)

(9)

где $ — скорость движения экстрагента (воды), м/с; р — плотность экстрагента, кг/м3; ^ — динамическая вязкость экстрагента, Па*с; / — удельная поверхность стружки, м2/м3 (определяется как отношение площади поверхности стружки к её объёму).

Диффузионный критерий Прандтля [7]:

Рг'-

рД

(10)

С = С (х, т, С,, С, Б, Бт, в, к)

(11)

Задача нестационарной одномерной диффузии сахарозы из свекловичной стружки в постановке (6) представлена в размерном виде и содержит восемь физических переменных, что крайне усложняет её решение и анализ. В связи с этим с целью сокращения количества переменных и упрощения граничных условий проведём операцию нормирования переменных, позволяющую привести их к безразмерному виду [8].

С учётом введённых безразмерных переменных третья начально-краевая задача нестационарной одномерной диффузии (6) принимает вид

Э0 Э20

Э^о

_Э0 ЭХ Э0

ЭХ2 =1

(12)

I

\Х=1

ЭХ

= 0.

х=о

шт

www.nt-prom.ru

Таким образом, задача нестационарного одномерного процесса диффузионного извлечения сахарозы из свекловичной стружки включает в себя начально-краевую задачу (6), дополненную критериальными соотношениями (7—10).

Конечным решением данной задачи должен явиться закон изменения концентрации сахарозы по толщине стружки с течением времени вида

Для нахождения общего решения уравнения воспользуемся методом Фурье (метод разделения переменных) [9]. В соответствии с этим методом решение линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных будем искать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной независимой переменной:

(14)

В результате преобразований получаем краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка:

Ч"'(Х)-ОР(Х) = Ч"(0) = 0 -Ч"(1) = 2Й-Ч'(1).

0

(15)

Записанная краевая задача (15) представляет собой задачу Штурма-Лиувилля [10], которая заключается в поиске таких значений константы С (собственные значения), при которых дифференциальное уравнение второго порядка из (15) имеет нетривиальные решения ^(Х^О.

Проведённые преобразования и расчёты позволяют получить закон, характеризующий изменение средней (по толщине стружки) концентрации сахарозы при её диффундировании в безразмерном виде:

С -С о У/

Из системы уравнений (12) следует, что относительная избыточная концентрация 0 является функцией от безразмерных переменных: координаты X, времени FO и диффузионного критерия Вп

в = в(Х,Р0,В1) 1>0>О

•0<Х<1 (13)

0<Д/<оо.

Таким образом, приведение исходной задачи (6) к безразмерному виду позволяет существенно сократить количество параметров, входящих в математическое описание нестационарного одномерного диффузионного процесса извлечения сахарозы из свекловичной стружки. При этом упрощается вид граничных условий и самого дифференциального уравнения.

в размерном виде:

С(т) = С/+(С0-С/)-ХД>ехр

/1=1

где коэффициент Вп определяется как Д, 5Ц1Ц„ _ 2В?

гВ

в.

К ц2(2й2+1?/ + ц2)'

(16)

(17)

(18)

Результаты исследований и их обсуждение

Выполним моделирование нестационарной одномерной диффузии сахарозы из свекловичной стружки по следующим исходным данным: размеры стружки: длина I = 0,05 м, ширина Ь = 0,005 м, толщина 2к = 0,003 м; плотность экстрагента (воды) р = 1001,1 кг/м3; динамическая вязкость экстрагента ^ = 0,91 х10-3 Па*с; скорость движения экстрагента $ = 0,05 м/с; коэффициент диффузии Б=2,2* 10- 9 м2/с; начальная концентрация сахарозы в стружке С0 = 13,5 %.

Предварительно определим необходимые значения параметров, характеризующих протекание массооб-менных процессов.

(19)

СОВРЕМЕННЫЙ ИНЖИНИРИНГ _

В ПРОИЗВОДСТВЕ САХАРА

ммм. М-ргот. ги

Удельная поверхность стружким2/м3: с

г _ сгр

у '

стр

где Sстр — площадь поверхности стружки, м2 (м2); V — объём стружки, м3 ( Vстр = 7,5 • 10 -7 м3).

Выполняя расчёт по формуле (19), получаем / = 1106'66 м2/м3.

Значение диффузионного критерия Рейнольдса по формуле (9) равно

4-0,05.1001,1 1106,66-0,91-10"3 '

Значение диффузионного критерия Прандтля по формуле (10) составляет

0,91-10"3

Рг'-

= 413,18.

1001,1-2,2-10"9

Диффузионный критерий Нуссельта, связывающий критерии Рейнольдса и Прандтля по формуле (8)' равен

Ш = 3,8-10^ ■ 198,815й8 ■ 413Д80'33 = 4,12.

Из формулы (7) по найденному значению Ши = 4,12 определяем значение коэффициента массоотдачи:

ШБ 4,12-2,2-10"9

На рис. 2—4 представлены результаты расчёта поля концентраций сахарозы в стружке по аналитическим решениям при Bi =4,12.

На рис. 2 и 3 отображено распределение концентрации сахарозы по толщине стружки для различной продолжительности диффундирования в безразмерных и размерных физических переменных.

Графические зависимости (рис. 4, 5) отражают изменение концентрации сахарозы во времени в различных слоях (по толщине) свекловичной стружки (соответственно в безразмерных и размерных физических переменных).

Аналитическое исследование зависимостей (см. рис. 4, 5) свидетельствует о том, что для максимального обессахаривания свекловичной стружки, при котором концентрация сахарозы будет выравнена по всему её сечению, требуется промежуток времени около 60 мин.

С (h, т), % 15 13,5 _

CL1J-----

CL5,

10

CL10,

CL15,

Р = :

= 6,04-10 м/с.

п 1,5-10"3

Расчётное значение диффузионного критерия Био составляет Bi =4,12.

Найденное численное значение критерия Био определяет набор собственных чисел которые являются корнями трансцендентного уравнения.

( 0 (X, Ъ 1 * и . '

j 5

CL20j_____

т =0 мин

т =10 мин

__ т =20 мин

т =50 мин * * »

О 5*10'" ь, т ШО'3 1,5*10~3

Рис. 3. Распределение концентрации сахарозы по толщине стружки для различной продолжительности диффузионного процесса (вразмерных переменных)

0,8

0,6

------0,4

0,2

--- F0= 0,1

^ * X

—_. F0= 0,5^' \ >\

v. 'V V \\ •

--- ___ _ _

F0= ,0

ло, j

2, j

0 (X F0) 1,2

U4, j - -

u ----

6, j

U ----

0,8

8, j

U10,J----

uaj - -0'6

14, j

-0,4

"16, j Uisj U20,j 0,2

\\\\ч 1 \ \ V X=0

»»\

\ Ч «ч *»■

X=1 — —

0,2

0,4

X

0,6

0,8

0,2

0,4

0,6

0,8

Рис. 2. Распределение концентрации сахарозы по толщине стружки для различной продолжительности диффузионного процесса (в безразмерных переменных)

Рис. 4. Изменение концентрации сахарозы во времени в различных слоях свекловичной стружки (в безразмерных переменных)

Ui, 4--

U

0

U

i, 20

о

СС20,

Рис. 5. Изменение концентрации сахарозы во времени в различных слоях свекловичной стружки (вразмерных переменных)

С (т), %

Csr (t)

C1e.

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

I

> \\

w IV

!\ \ \

\ 1 \ i

\

Д

л

4

чЧ

\J k

h

ь__i

mm

www.nt-prom.ru

На начальной стадии процесса диффузии массооб-менные процессы затрагивают незначительную приповерхностную зону (пограничный слой) свекловичной стружки, а в центральной её части концентрация сахарозы остаётся практически неизменной. Далее с течением времени толщина пограничного слоя постепенно увеличивается, и в массообменных процессах начинают участвовать слои, расположенные ближе к центру свекловичной стружки.

Скорость экстрагирования сахарозы с течением времени уменьшается, что объясняется снижением перепада концентраций, под действием которого сахароза переходит из стружки в экстрагент.

Динамика изменения средней (по толщине стружки) концентрации сахарозы при её извлечении из свекловичной стружки, рассчитанная по уравнению (16), изображена на рис. 6. Для сравнения представлены результаты физического эксперимента (в виде цветных маркеров) проведения диффузионного извлечения сахарозы из свекловичной стружки, выполненного в лабораторных условиях.

С (1>, т), % 15 I

О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 т, мин

Рис. 6. Изменение средней (по толщине) концентрации сахарозы во времени при её извлечении из свекловичной стружки

Заключение

Аналитически установлено, что на момент окончания диффузионного процесса остаточная концентрация сахарозы в свекловичной стружке (потери) составляет 0,242 %, что является допустимым для технологического регламента.

По итогам математического моделирования рассчитана величина средней относительной ошибки, которая составляет 12,12 %, а максимальная относительная погрешность — не более 24,67 %. Данные значения являются вполне приемлемыми для инженерных вычислений.

Список литературы

1. Kulneva, N.G. Improving the efficiency of the extraction of sucrose from beet chips / N.G. Kulneva, M.V. Zhyravlev // Materialy IX mezinarodni vedecko - prakticka konference «Vedecky prtmysl evropskeho kontinentu zemedelstvi» // Dil Publishing House «Education and Science» Zverolekarstvi. — Praha, 2013. — S. 31-34.

2. Wong, D.S. Sucrose Extraction From Beet By Methanolic Calcium Chloride / D.S. Wong, J.M. Randall, R.H. Edwards // Journal USDA-Agricultural Research Service. — 2009. — № 8. — P. 1358—1366.

3. Кульнева, Н.Г. Влияние термохимической обработки свекловичной стружки на характеристики свекловичной ткани / Н.Г. Кульнева, М.В. Журавлёв // Сахар. — 2017. — № 10. — С. 28—33.

4. Бекман, И.Н. Математика диффузии: учеб. пособие / И.Н. Бекман. — М. : ОнтоПринт, 2016. — 400 с.

5. Гулый, И.С. Физико-химические процессы сахарного производства / И.С. Гулый, В.М. Лысянский, Л.П. Рева. — М. : Агропромиздат, 1987. — 264 с.

6. Стабников В.Н. Процессы и аппараты пищевых производств / В.Н. Стабников, В.М. Лысянский. — М. : Агропромиздат, 1985. — 503 с.

7. Пушанко, Н.Н. Скоростная тепловая обработка свекловичной стружки / Н.Н. Пушанко, Б.Д. Коваленко // Сахарная промышленность. — 1992. — № 1. — С. 7—10.

8. Чупров, И.Ф. Уравнения параболического типа и некоторые методы их решения: учеб. пособие / И.Ф. Чупров, Е.А. Ка-нева : УГТУ. — Ухта, 2012. — 103 с.

9. Треногин, В.А. Уравнения в частных производных: учеб. пособие / В.А. Треногин, И.С. Недосекина. — М. : Физматлит, 2013. — 227 с.

10. Самарский, А.А. Вычислительная теплопередача / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 784 с.

Аннотация. Разработана математическая модель процесса диффузионного извлечения сахарозы с применением термической обработки свекловичной стружки, позволяющая обосновать минимизацию потерь сахарозы в жоме при сокращении продолжительности процесса диффузии. Адекватность математической модели подтверждена результатами эмпирических исследований. Ключевые слова: экстрагирование сахарозы, термическая обработка, свекловичная стружка, математическая модель. Summary. A mathematical model of the process for the diffusion extraction of sucrose, based on the heat treatment of beet chips has been developed.

It allows to substantiate minimizing sucrose loss in the beet pulp while reducing the duration of the diffusion process. The approximation of the mathematical model is confirmed by the empirical research results.

Keywords:sucrose extraction, heat treatment, beet chips, mathematical model.