Моделирование процесса деформирования упруговязкопластичной среды динамической периодической силой произвольного характера Текст научной статьи по специальности «Физика»

15. Бутиков Е. И. Необычное поведение маятника при синусоидальном внешнем воздействии // Компьютерные инструменты в образовании. 2008. № 2. С. 24-36.

16. Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики. Т. 1. Кинематика, статика, динамика точки. М.: Наука, 1972. 456 с.

УДК 519.876.5, 624.138

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ СРЕДЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИЛОЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ХАРАКТЕРА

В. В. Михеев1, С. В. Савельев2

'Омский государственный технически университет, г. Омск, Россия 2Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет, г. Омск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-4-136-143

Аннотация - Задачи описания напряженно-деформированного состояния различных сред под внешним силовым воздействием играют особую роль для широкого спектра приложений в различных областях техники - от схемотехники до строительной механики. От их эффективного решения зависит реализация целого ряда технологических процессов, качественное протекание которых связано с выполнением самых различных требований, накладываемых на состояние и свойства среды, подвергаемой динамическому воздействию. В настоящей работе рассматривается задача описания накопления неупругих деформаций слоем упруговязкопластичной среды, подвергаемым поверхностному силовому воздействию. Для решения задачи используется подход сосредоточенных параметров, учитывающий распределение напряжений в толще слоя и изменения локальных характеристик среды с накоплением деформаций, реализованный в виде численного алгоритма. В качестве примера приложения предложенного метода проведен численный эксперимент на примере реального источника внешнего динамического воздействия, осуществляющего деформирование слоя упруговязкопластичного материала.

Ключевые слова: численное моделирование, упроговязкопластичная среда, деформирование, уплотнение, метод сосредоточенных параметров

I. Введение

Моделирование деформационных процессов позволяет решать многие научные задачи, как с точки зрения теории, так и с точки зрения прикладных исследований. Анализ изменения напряженно-деформированного состояния среды при динамическом действии используется при проектировании сложных механических систем и систем виброзащиты, выборе эффективных режимов работы машин и механизмов, строительстве сооружений.

Одним их актуальных направлений моделирования динамического процесса деформирования упруговязко-пластичных сред является описание процесса накопления в среде пластичных деформаций, проявляющихся в виде изменения её физико-механических свойств и, как следствие, обеспечение ей определённых прочностных характеристик, позволяющее решать широкий круг научных и практических инженерных задач.

Классические результаты для решения задач в этой области были получены для случая абсолютно упругой изотропной среды Boussinesq (Буссинеск) и обобщены Westergaard (Вестергаард) [1]. Эти подходы и развитые в них методы являются актуальными по сей день и широко используются при расчетах оснований и фундаментов различных строительных сооружений и решении ряда других задач строительной механики.

Особый интерес рассмотрения процессов пластического деформирования слоев упруговязкопластичной среды играет для ситуаций, когда с накоплением необратимых деформаций материал слоя приобретает новые характеристики, обеспечивающие его эффективное использование для решения различных технических задач. Несмотря на длительную историю вопроса, исследования в области выявления особенностей взаимодействия источника поверхностной силы и слоя упруговязкопластичной среды ведутся достаточно активно. Причиной тому - широкий спектр характеристик сред и воздействий, возникающих при рассмотрений актуальных задач техники [2, 3, 4, 5].

II. Постановка задачи

В качестве объекта исследования в настоящей работе выступает процесс деформирования слоя упруговяз-копластичной среды внешним силовым воздействием с известными характеристиками (амплитуда, период приложения, зависимость силы от времени), а также с известной зависимостью величины пятна контакта источника от деформации слоя. Для различных участков толщи слоя, в зависимости от величины напряжения, характер

накопления пластических деформаций при таком воздействии будет неодинаковым. Эти области слоя среды будут рассматриваться как отдельные взаимодействующие массивные элементы, обладающие упругими, вязкими и пластическими свойствами, определяющими их отклик на деформирующее воздействие.

Выбор областей предлагается проводить исходя из характера распределения напряжений в толще слоя как объемов, ограниченных поверхностями постоянного напряжения, отвечающих значениям, соответствующим известным предельным параметрам среды, определяемым по ее кривой «напряжение-относительная деформация». Вычисление сосредоточенных параметров взаимодействующих участков активной области среды проводятся при решении задачи с учетом изменения характеристик среды при деформировании, завися от накопленной величины пластической деформации и возросшей плотности.

Результатом численного решения уравнения движения активной области под воздействием поверхностной силы будет величина накопленной пластической деформации и достигнутое к моменту прекращения воздействия значение плотности среды.

III. Теория

Основная гипотеза предлагаемого подхода состоит в том, что различные зоны активной области слоя упру-говязкопластичной среды находятся в различных состояниях по отношению к реакции на деформирующее воздействие, в зависимости от того, какие значения напряжения реализуются для заданной зоны. Границами этих областей могут выступать поверхности постоянного напряжения, отвечающие предельным значениям, определяемым по кривой «напряжение - относительная деформация». Для распределения вертикальных напряжений от точечной нагрузки величины Q теория Буссинеска дает следующий результат

^ = ____1_, (1)

z 2^z2 (1 + (r / z)2)5/2

а теория Вестергаарда для того же случая точечной вертикальной нагрузки величины Q дает

er =_ö__У_, (2)

z 2жz2 (y2 + (r / z)2)3/2

где коэффициент y служит для учета перераспределения напряжений в точке в толще среды

у = .

— 2/ , (3)

2 — /

/и - коэффициент Пуассона.

Во всех формулах выше переменная г - расстояние от точки наблюдения до вертикальной прямой, проходящей через точку приложения нагрузки, переменная 2 - глубина залегания точки наблюдения по отношению к поверхности слоя среды.

Выражения (1) и (2) позволяют получить распределение нормальных напряжений в среде и в случае распределенных нагрузок. Наиболее интересным является случай силы, приложенной к области в виде бесконечной

полосы шириной 2Ъ с поверхностной плотностью <Г0, порождающей выражение для распределения напряжений в толще деформируемой среды по Буссинеску в виде

-(—-—- (2 422 2 2 ^ (4)

где перейдя к безразмерным переменным, приведенным к половине ширины полосы, на которой осуществляется приложение силы ¿- — г / Ъ, % — х / Ъ , получим

е I агС:ап(—-) - агС:ап(--)--„ ь -„ „ ь у „ I у '

2 к | ( ¿- ) ( ^ ) (%2-1+ С2)2 + 4^2 )

Получить аналитическую зависимость между ними в виде % — %() для поверхности не представляется возможным из-за необходимости решать при этом трансцендентное уравнение.

Аналогичный результат можно получить, воспользовавшись подходом Вестергаарда в виде

<Г. = \Ъ2-^ГалЛ»^) - апс1ап(Х-Ъ) ) (6)

-Ъ к -ъ(У 2 +(х - г) ) к 1 уг уг )

принимающее в безразмерных переменных следующий вид

с (А, О = С | arcta^^1") - arctan(^—!-)

я у уС УС

(7)

В отличие от случая Буссинеска, подход Вестергаарда допускает аналитическое представление семейства кривых постоянного напряжения. Они представляют собой эллипсы, проходящие через точки (-1,0) и (1,0). Таким образом, поверхности постоянного напряжения будут являться пересекающими друг друга эллиптическими цилиндрами. Представим уравнение линии постоянного напряжения как

с А + 1 А —

-- = arctan(-) — arctan(-)

и преобразуем его, к каноническому виду,

1

(С—С)2

А2

у

(1 ■

с2 )

(1

с2 )

уС

= 1, с =

уС

= const

(8)

Семейство сечений различных поверхностей постоянного напряжения вертикальной плоскостью, ориентированной перпендикулярно осевой линии полосы приложения силы, приведены на рис. 1 и 2 в координатах.

Рис. 1. Распределение сечений поверхностей постоянного напряжения в толще деформируемой среды по Буссинеску (случай равномерного распределения силы по бесконечной полосе известной ширины) для значения С равного 0.1, 0.2, 0.4 (график в переменных

С, $ )

Рис. 2. Распределение сечений поверхностей постоянного напряжения в толще деформируемой среды по Вестергаарду (случай равномерного распределения силы по бесконечной полосе известной ширины) для значения напряжения, равного 0.1 , 0.2 ,0.4 (график в переменных С, $)

Распределение поверхностей постоянного напряжения в виде семейств пересекающихся цилиндров является достаточно хорошим приближением для описания зон активной области при нагружении в практически интересном случае пятна контакта, представляющего собой участок, ширина которого значительно уступает длине.

Воспользуемся лагранжевым формализмом классической механики, позволяющим реализовать как дисси-пативные силы вязкого трения, возникающие при движении среды, так и силу сухого трения, описанным в [5].

at I а"

(9)

гДе Т(.х,.'

_- кинетическая энергия активной области слоя, - силы, действующие на

2

слой, как внешние, обусловленные внешним динамическим нагружением со стороны источника, так и внутренние силы упругости и вязкого трения, р - отдельно выделенная сила трения, моделирующая элемент пластичности, включающийся при превышении контактным напряжением величины, определяемым пределом текучести.

с

о

жс

Z

1

с

о

Рис. 3. Кривая «напряжение - деформация» для упруговязкопластичной среды при осевом сжатии с последующей разгрузкой (тонкие линии соответствуют разгрузке)

Отличием предлагаемого подхода от традиционного выступает принятие во внимание динамики массы эффективного объема среды под воздействием внешней силы. В этом случае правая часть выражения (9) с учетом принятых допущений примет вид

(дГ_^ дГ _ й

йг

(т(х):'

V ч

(Эх 2

(10)

<Эх

демонстрируя по сравнению с уравнением движения для эффективного объема постоянной массы, построенного в [6]. Упругая или квазиупругая сила сопротивления слоя среды при поверхностном нагружении также предполагается в общем случае нелинейной по деформации и моделируется зависящей от величины смещения жесткостью участка среды

Рупр = ^ (*) * ,

(11)

остающейся главной линейной частью по малому смещению X при вычислении силы в потенциальном поле упругости в лагранжевом формализме. Неодинаковые деформационные свойства среды при нагружении и разгрузке можно учесть при моделировании, введя для их описания следующие соотношения:

= к = (Ер10(сш

(12)

где Ер1 - модуль пластической деформации среды слоя, Ее1 - модуль упругой деформации среды слоя, с -

скорость нарастания напряжений, в(2) - в - функция Хевисайда, Орг - предел пластичности среды. Для перехода к сосредоточенным элементам это эквивалентно переходу к силе сопротивления и жесткостям для пластической и упругой деформации:

Е = с^эс^эс, = (с С*;)6>(<"

(13)

Следует указать, что при конкретном выборе величины области контакта, жесткости зон вычисляются таким образом, чтобы сила квазиупругого сопротивления зависела от смещения центра масс активной области, а не от смещения поверхности слоя.

Вязкое сопротивление активной области среды, моделируемое элементом вязкого трения, описывается определяющим выражением для сосредоточенной вязкости

К^а = Ъ(ХУ >

причем необходимо отметить, что зависимость от смещения поверхности слоя среды, и, соответственно, от смещения его центра масс у сосредоточенной вязкости выражена слабо. В рамках представляемой модели текучесть учитывается введением в систему сосредоточенных параметров, описывающих активную область слоя, элемента сухого трения, порождающего при условии

о-(г) > ^

р1'

(14)

где о (г) - текущее значение контактного давления, постоянную силу сопротивления, не зависящую от величины деформации с одновременным прекращением действия упругих или квазиупругих сил (12), (13). Для той области слоя, в которой условие (12) выполняется, сила сопротивления может быть представлена в виде

(г) = ^ (г )о

рг5

где 8соп, ) - площадь пятна контакта источника нагружения и поверхности слоя в момент времени 1.

Таким образом, уравнение движения участка активной области слоя в общем виде (10) может быть переписано с учетом модельных допущений, описанных выше

т(рс) "

<Эх 2

|х|

.(15)

Здесь р (^ - внешняя сила, воздействующая на поверхность слоя среды со стороны уплотнителя, произвольная зависимость которой от времени определяется технологическими особенностями источника нагруже-ния и, с точки зрения подхода сосредоточенных параметров, предлагаемая модель активной области слоя моделируется однотельной конфигурацией, представленной на рис. 4. Многотельная модель, необходимая для более точного описания процессов в среде, должна строиться с учетом развития напряженно-деформированного состояния участков слоя согласно их отклика на деформирующее воздействие, ее схематичное описание представлено на рис. 5. Предложенная модель порождает систему дифференциальных уравнений, требующую решения для определения величины накопленной пластической деформации.

Рис. 4. Однотельная модель активной области слоя среды при взаимодействии с источником поверхностного силового воздействия

Рис. 5. Трехтельная модель активной области слоя среды при взаимодействии с источником поверхностного силового воздействия

т2(х2):\

т3(х3)'

Яш

тл{хл)"

Ят ^г ^

ОХ,

(16)

г)т (V ^

2

Индекс 0 соответствует источнику нагружения, индексы 1,2,3 - участкам активной области слоя. В этой системе уравнения отвечают последовательно рабочему органу, области среды, испытывающей нагрузку, обеспечивающую механические напряжения, приводящие к пластической деформации без реализации упругой силы сопротивления, области среды с различными упругими свойствами для нагружения и разгрузки, и области слоя с идентичными упругими свойствами для нагружения и разгрузки.

Система уравнений является нелинейной (16) и требует для решения численных методов, позволяющих учесть как смещение поверхности слоя при воздействии известного уплотняющего усилия, так и перераспределение характеристик участков активной области слоя известной формы и механических характеристик. Выбор шага по времени является важным в процессе реализации разностной схемы, осуществляющей численное решение системы (16). Переход к конечным приращениям в рамках предложенной схемы можно построить, представив производные смещений первого и второго порядка как отношения конечных величин

А к+1)

А к)

А к+2)

— 2х\

( к+1)

.( к )

тгт

где верхний индекс отвечает шагу разбиения, а нижний индекс - номеру сосредоточенной массы, соответствующей участку активной зоны деформируемой среды. Найденные величины деформаций, позволяют вычислить полную работу, совершенную при деформировании слоя, работу, затраченную на его пластическое деформирования и полезную мощность внешнего силового воздействия. Реализация подхода сводит задачу к линейной, поскольку коэффициенты уравнений, способные содержать сложные зависимости от координат входят в уравнения системы, переопределяемые на каждом шаге, в качестве констант, значения которых вычисляются с учетом деформации участков активной области.

IV. Результаты экспериментов Следует отметить, что численное моделирование, наряду с экспериментальными методами, традиционно выступает в качестве эффективного инструмента исследования взаимодействия различных сред с источниками поверхностного динамического нагружения, как для выявления характеристик среды и особенностей процесса взаимодействия [7, 8], так и для решения практических задач [9, 10, 11]. Особый интерес при этом вызывает процесс взаимодействия источника вибрационного воздействия и слоя среды. В качестве исследуемых сред выступали широко используемые в строительстве суглинистый и супесчаный грунты при их взаимодействии с рабочим органом (вальцом) вибрационного катка. Исследования вибрационного силового воздействия на грунтовые среды широко ведутся как у нас в стране, так и за рубежом [12, 13].

Моделирование проводилось с использованием параметров силового воздействия вибрационного катка DM-13-УЭ на слой супесчаного (требуемая плотность 1700 кг/м3) и суглинистого (требуемая плотность 1900 кг/м3) грунта толщиной 0.3 м, статическая нагрузка на вибрационном вальце катка составляет 65 кН, для супесчаного грунта моделировалось влияние вибрационного воздействия с амплитудой 62 кН и частотой 40 Гц, для суглинистого грунта с амплитудой 110 кН и частотой 40 Гц. Результаты моделирования приведены на рис. 6-9. В качестве входных параметров для моделирования выступали: характеристик катка, его скорость катка, (0.2 - 1.6 м/с) и исходный коэффициент уплотнения - отношение начальной плотности к требуемой.

ом^шмом^шю 00000000000101010101 о" о" о" о" о" о" о" о" о" о"

а)

0,050

",2"

","4"

",4"

0,030

",6"

","2"

",8"

0,010

1,00

0,000

1,2"

I I -I—I— оооооооо ■Ч Ч. С" ГЧ Ч.

о" о" о" о" »-Н

б)

0,80 0,82 ",84 ",86 ",88

Рис. 6. Величина накопленной пластической деформации за один проход катка в зависимости от начального коэффициента уплотнения упруговязкопластичной грунтовой среды а) и от скорости катка б) (супесь)

И-1-1-1-1-1-г

0,80 ",84 ",88 ",92 ",96

0,20 1400,0

0,40 1200,0

0,60 1000,0

800,0

0,80

600,0

1,00

400,0

1,20

200,0

1,40 0,0

1,60

"""""""" 2 4 6 8 " 2 4 6

0,80 ",82 ",84 ",86 ",88 0,90 ",92 ",94

а) б)

Рис. 7. Энергия, затраченная на пластическое деформирование упруговязкопластичной среды слоя в зависимости от начального коэффициента уплотнения упруговязкопластичной грунтовой среды а)

и от скорости катка б) (супесь)

0,045 0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0

т-1-1-1-1-1-1-1-1-1

0,80 0,84 0,88 0,92 0,96

0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

0,045 0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0

00000000 24680246

0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94

а)

б)

Рис. 8. Величина накопленной пластической деформации за один проход катка в зависимости от начального коэффициента уплотнения упруговязкопластичной грунтовой среды а) и от скорости катка б) (суглинок)

1400 1200 1000 800 600 400 200 0

0246802468 ,8 ,8 ,8 ,8 ,8 ,9 ,9 ,9 ,9 ,9

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

1400

0,20 1200

0,40 1000

0,60 800

0,80 600 400

1,00 200

1,20 0

0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

а) б)

Рис. 9. Энергия, затраченная на пластическое деформирование упруговязкопластичной среды слоя в зависимости от начального коэффициента уплотнения упруговязкопластичной грунтовой среды а)

и от скорости катка б) (суглинок)

Полученные значения величин накопленной слоем за один проход катка пластической деформации и затрачиваемой на это энергии могут служить критериями для выбора параметров энергоэффективного режима работы катка, при котором обеспечивается наиболее эффективное, с точки зрения затрат времени и ресурсов уплотнение для заданного начального состояния среды слоя.

Описанный выше алгоритм реализации численной схемы интегрирования нелинейных уравнений движения многотельной модели активной области уплотняемой среды был реализован в виде программы в среде компьютерной алгебры Maple 2016.

V. Обсуждение результатов Результаты, полученные в рамках исследования, представленного в настоящей работе, показали применимость впервые использованного модифицированного подхода сосредоточенных параметров для описания процесса накопления пластических деформаций слоем упруговязкопластичной среды. Математическая модель развития деформационных процессов в толще слоя при поверхностном силовом воздействии и реализующий ее численный алгоритм могут быть эффективно использованы как его для оценки динамики накопления деформаций слоем, так и для выявления энергетических характеристик процесса.

VI. Выводы и заключение С точки зрения задач строительной механики, проблема о накоплении слоем среды пластической деформации не теряет своей актуальности и продолжает исследоваться в рамках, например, рассмотрения уплотнения грунтовых и иных сред в дорожном строительстве. Ее эффективное решение позволяет перейти к активно развиваемой за рубежом технологии Intellegent Soil Compaction (Интеллектуальное уплотнение грунтов) для достижения требуемых результатов уплотнения с минимальным расходом времени и ресурсов. [14], [15]. Подход, впервые предложенный и реализованный в работе к описанию взаимодействия слоя упруговязкопластичной

среды с рабочим органом уплотнителя, позволяет предсказать существенные для наиболее эффективного накопления пластической деформации параметры динамического поверхностного воздействия по заданным исходным физическим характеристикам слоя среды.

Выявленные в результате численного эксперимента закономерности, представленные в виде таблиц и графических зависимостей, могут быть использованы для разработки методик энергоэффективного использования уплотняющих дорожных машин и проектирования их рабочих органов.

Список литературы

1. Murthy V. N. S. Geotechnical engineering. Series: Civil and Environmental Engineering. London, CRC Press, 2002. 1056 p.

2. Hong Z.; Yu S. B.; Fei W. P.; Yao S. The technique of paralleling motivation with impact and vibration for impact roller // 2006 International Technology and Innovation Conference (ITIC 2006). P. 676-680. DOI: 10.1049/cp:20060845

3. Townsend F. C.; Anderson B. A Compendium of Ground Modification Techniques // Research Report BC-354. UF Contract. №. 4910-4504-887. Florida Department of Transportation (FDOT), 2004. P. 16-60.

4. Hanbing Liu; Jing Wang; Weichao He; Jingke He. Study on shear strength of compacted subgrade soils by test and numerical simulation // World Automation Congress 2012 (Puerto Vallarta, Mexico, Mexico). P. 1.

5. Козлов В. В. Лагранжева механика и сухое трение // Нелинейная Динамика. 2010. Т. 6, № 4. С. 855-868.

D0I:10.20537/nd1004009.

6. Михеев В. В., Савельев С. В. Исследование влияния деформации адаптивного рабочего оборудования дорожного катка на процесс деформирования уплотняемого грунта // Строительные и дорожные машины. 2013. №

7. С. 45-51.

7. Hanbing Liu; Jing Wang; Weichao He; Jingke He. Study on shear strength of compacted subgrade soils by test and numerical simulation // World Automation Congress 2012. P. 1-4.

8. Rouveure R.; Bacconnet C.; Chanet M.; Monod M.-O.. Simulation of realistic soils for 3-D computational models // 2003 IEEE International Geoscience and Remote Sensing Symposium (IGARSS-2003) Proceedings. Vol. 4. P. 29002902. DOI: 10.1109/IGARSS.2003.1294625.

9. Elaoud A.; Chehaibi S.; Abrougui K. Simulating the effects of the passage of tractors on agricultural land // 2013 5th International Conference on Modeling, Simulation and Applied Optimization (ICMSAO). P. 1 -6. DOI: 10.1109/ICMSAO.2013.6552661.

10. Hong Z.; Yu S.B.; Fei W.P.; S. Yao The technique of paralleling motivation with impact and vibration for impact roller // 2006 International Technology and Innovation Conference (ITIC 2006). P. 676-680. DOI: 10.1049/cp:20060845.

11. Jun Li; Yan Li; Zhili Zhou; Fengkui Cui. Study on continuous detection of vibro-roller compactness // 2009 International Conference on Mechatronics and Automation. P. 2637-2641. DOI: 10.1109/ICMA.2009.5246709.

12. Forssblad L. Vibratory Compaction in the Construction of Roads, Airfields, Dams, and Other Projects // Research Report. № 8222, Dynapac, S-171, №. 22, Solna, Sweden, 1977.

13. Massarsch K. R.; Fellenius B. H. Vibratory compaction of coarse-grained soils // Canadian Geotechnical Journal. 2002. № 39(3). P. 695-709.

14. Peihui Shen. Mathematic modeling and characteristic analysis for the intelligent compactor // 2011 IEEE International Conference on Mechatronics and Automation. P. 2249-2253. DOI: 10.1109/ICMA.2011.5986289.

15. Mooney M. A., Rinehart R. V., Facas N. W., Musimbi O. M., White D. J., Vennapusa P.K.R. // 2010 Intelligent Soil Compaction Systems. NCHRP REPORT 67 6. Washington, D.C. 2010.

УДК 004.932

РАСПОЗНАВАНИЕ ПСИХОФИЗИОЛОГИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЧЕЛОВЕКА НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ТЕРМОГРАММ ЛИЦА И ШЕИ

А. Е. Сулавко, С. С. Жумажанова

Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-4-143-152

Аннотация - Предложена методика вычисления признаков на термограммах лица и шеи, характеризующих субъектов и их следующие психофизиологические состояния: нормальное (спокойное), сонное и состояние алкогольного опьянения. Предложен метод субъект-зависимого распознавания данных состо-