CC BY
43
Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1163-1164
УДК 532.591
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В СЛОЕ ЖИДКОСТИ НА ПОРИСТОМ ОСНОВАНИИ
© 2011 г. Н.Г. Тактаров, С.М. Миронова
Мордовский государственный педагогический институт им. М.Е. Евсевьева, Саранск
Поступила в редакцию 16.05.2011 Рассматривается распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании.
Ключевые слова: бегущие волны, электрическое волны.
1. Волны на плоской свободной поверхности жидкости
Предполагается, что электропроводная жидкость с поверхностным зарядом находится на слое пористой среды конечной толщины. Внутри проводящей жидкости напряженность электрического поля E равна нулю, а на поверхности направлена по нормали вовне. Величины, относящиеся к пористой среде, жидкости и атмосфере, обозначаются индексами 1, 2, 3 соответственно. Ось Oz декартовой системы координат направлена вертикально вверх против вектора g ускорения свободного падения, а оси Ox и Oy лежат на плоской поверхности раздела жидкости и пористой среды.
Уравнения движения жидкости в пористой среде при условии E = 0 запишем в виде
р du п
1 = -gradpi +pg- —ui, divui = °. (1) Г dt K
Здесь p — плотность жидкости, pi — давление, Г — пористость, ui — макроскопическая скорость фильтрации, п — вязкость, K — коэффициент проницаемости пористой среды.
Уравнения движения свободной жидкости при E = 0 запишем в линейном приближении (предполагается, что амплитуда волны значительно меньше ее длины):
= -grad p2 +pg, divu2 = °. (2)
Г dt
Здесь u2 — скорость жидкости, p2 — давление.
Уравнения для электрического поля в атмосфере rot E = 0, div E = 0. Система граничных условий:
1) uiz = 0 при z = —hi (на дне), где hi — толщина слоя пористой среды;
2) uiz = u2z при z = 0 (на границе пористой
поле, поверхностный заряд, пористая среда, стоячие
среды);
3) P\ = P2 при г = 0 на свободной поверхности жидкости с уравнением г = Н2 + ^(х, у, 0, где Н2 — толщина слоя жидкости;
4) и2п = ^;
5) Ет = Е — пЕп = 0;
6) РчПП! + Р2 =—«(1/^1 +1/^2)’ Ру = -Ратм 5У+ + ЕЕ /(4п) - Е Чу /(8п).
Здесь Уп = дхШ — нормальная скорость поверхности жидкости; Я2 — радиусы кривизны по-
верхности; ратм — атмосферное давление; Ру — максвелловский тензор механических напряжений в области 3; а — коэффициент поверхностного натяжения. Поверхностный заряд находится из условия а = Еп/(4п), где Еп = пЕ, п — внешняя нормаль к поверхности жидкости.
Решение сформулированной краевой задачи ищется в виде затухающих бегущих волн / (г)ехр[—у?1 + /(кхх + к2у)\, где у = в + /ю — комплексный декремент, ю — частота, в — коэффи-циент затухания волны. Дисперсионное уравнение имеет третью степень относительно у. Исследованы зависимости в и ю от волнового числа к2 = кх + к2 для различных частных случаев.
В отсутствие электрического поля данная задача решена в [1\. Рассмотрены следующие частные случаи:
1) НхГХ << 1, Н2/Х << 1, где X — длина волны;
2) Н1/Х >> 1, Н2/Х << 1;
3) Н1 — произвольное, Н2/Х << 1.
Конкретные числовые расчеты велись для
жидкого натрия при температуре 100 0С и следующих значениях параметров: р = 0.93 г/см3, а = 206.4 дин/см, п = 0.69 г/см-с, Г = 0.26, К = = 2.14-10—4.
Невозмущенные значения Е0 брались в промежутке от 0 до 50 ед. СГС (1 ед. СГС =
= 300 В/см). Остановимся подробнее на первом случае. Здесь частота ю > 0 уменьшается с увеличением длины волны X и слабо зависит от толщины h1, но с ростом h2 значения ю увеличиваются (при X = const); декремент в > 0 также уменьшается с ростом X, при этом с ростом h1 величина в увеличивается (при X = const), а с ростом h2 — уменьшается (при X = const).
С ростом Е0 значения ю уменьшаются при заданных X, h1, h2. При этом изменение h1 практически не влияет на ю, при увеличении h2 значения ю увеличиваются (при заданных X, h1).
С увеличением Е0 значения в уменьшаются при заданных X, h1, h2. При увеличении h1 значения в увеличиваются. При увеличении h2 значения в уменьшаются.
2. Волны на поверхности цилиндрического
столба электропроводной жидкости с поверхностным зарядом, окружающей пористое цилиндрическое ядро
Система уравнений имеет вид (1), (2). Задача решается в цилиндрической системе координат. Граничные условия записываются для цилиндрической поверхности раздела пористой среды и жидкости, а также на возмущенной свободной поверхности жидкого столба. Вместо условия 1 в берется условие конечности скорости u1 на оси цилиндра.
Решение сформулированной краевой задачи с заранее неизвестной свободной поверхностью жидко сти ищется в виде бегущих затухающих волнf (r)exp (—yt + ikz + im0), где r, z, 0 — цилиндрические координаты; к и m — продольное и поперечное волновые числа, у = в + Ш — декремент. Решение выражается через модифицированные функции Бесселя Im(kr) и Km(kr).
Рассмотрены различные частные случаи. Най-
дены условия, при выполнении которых существуют бегущие затухающие волны. Показано, что при определенных условиях волны не могут существовать и жидкий цилиндр распадается на капли.
Данная задача является обобщением известной классической задачи Рэлея о распаде струи обычной жидкости. Распад струи невязкой электропроводной жидкости при отсутствии пористого ядра рассмотрен в [2].
3. Стоячие волны
Рассматривается задача о затухании стоячих волн (при отсутствии электрического поля) в слое жидкости на пористом основании в двух случаях: 1) в полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда; 2) в полости цилиндрической формы. Математическая модель представляет собой совокупность уравнений (1), (2) движения жидкости в пористой среде и свободном слое и соответствующих граничных условий (3) на поверхности раздела жидкости и пористой среды, свободной поверхности жидкости, а также на поверхности полости, содержащей жидкость. Рассмотрены различные частные случаи.
Работа поддержана Федеральной целевой программой «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 годы (государственный контракт №П695 от 20 мая 2010 года).
Список литературы
1. Столяров И.В., Тактаров Н.Г Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа. 1987. №5. С. 183—186.
2. Huebner A.L., Chu N.R. Instability and breakup of charged liquid jets // J. Fluid Mech. 1971. Vol. 49, No 2. P. 361—372.
MODELING SURFACE WAVES IN A LAYER OF FLUID ON A POROUS BED
N.G. Taktarov, S.M. Mironova
The propagation of surface waves in a liquid layer on a porous bed is investigated.
Keywords: progressive waves, electric field, surface charge, porous bed, standing waves.
