CC BY
54
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 533.9:537.84
Н. Г. Тактаров, О. А. Рунова
РАСПАД ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СТОЛБА МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ С НЕОДНОРОДНЫМ ПОРИСТЫМ ЯДРОМ
Аннотация.
Актуальность и цели. Магнитные жидкости, не существующие в природе, получают искусственно - путем диспергирования наночастиц твердого ферромагнетика в обычной немагнитной жидкости. Магнитные жидкости нашли широкое применение в различных областях техники и технологии. В данной статье сформулирована и исследована математическая модель распространения и неустойчивости волн на поверхности цилиндрического столба магнитной жидкости бесконечной длины, окружающей коаксиально расположенное, бесконечно длинное ядро круглого сечения из неоднородного (слоистого) пористого материала.
Материалы и методы. Для решения задачи используются методы математической физики. Задача решается в цилиндрической системе координат (г, 0, z). Учитывается наличие поверхностного натяжения. Сила тяжести предполагается отсутствующей.
Результаты. Записаны уравнения движения магнитной жидкости внутри и вне пористой среды, а также уравнения для магнитного поля. Сформулированы граничные условия для гидродинамических и магнитных величин на поверхностях раздела сред. Найдено полное решение краевой задачи для гидродинамических и магнитных величин. Проведен численный анализ полученного дисперсионного уравнения, описывающего распространение поверхностных волн. Найдены условия, при которых возмущения поверхности жидкого столба становятся неустойчивыми и приводят к его распаду на цепочку из соединенных капель.
Выводы. Размер капель, образующихся при распаде жидкого столба, увеличивается с ростом магнитного поля, т. е. магнитное поле оказывает стабилизирующее влияние на распад жидкого столба.
Ключевые слова: поверхностные волны, неустойчивость, магнитная жидкость, пористая среда, магнитное поле.
N. G. Taktarov, O. A. Runova
BREAKUP OF A CYLINDRICAL COLUMN OF MAGNETIC FLUID WITH A NON-HOMOGENEOUS POROUS CORE
Abstract.
Background. The magnetic fluids, not existing in nature, are synthesised artificially by means of dispersion of nanoparticles of solid ferromagnetic in the usual non-magnetic fluid. The magnetic fluids have found a broad application in different areas of technology. A mathematical model of waves propagation and instability on a surface of a cylindrical column of magnetic fluid of infinite length, surrounding a coaxial infinite long non-homogeneous (laminated) porous core of round section was constructed and studied.
Materials and methods. The authors used the methods of mathematical physics and solved the problem in a cylindrical coordinate system (r, 0, z). The presence of the surface tension was taken into account. The gravity was neglected.
98
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
Results. The equations of motion of the magnetic fluids inside and outside of the porous medium and the equations for the magnetic field were written. The boundary conditions for hydrodynamic and magnetic quantities on interfaces of the mediums were formulated. The full solution of a boundary value problem for hydrodynamic and magnetic quantities was found. The numerical analysis of the dispersion equation that describes surface wave propagation was completed. The authors found the conditions, under which the disturbances of the fluid column surface become unstable and result in its fragmentation into a chain of connected droplets.
Conclusions. The size of droplets, occurring during fragmentation of the fluid column, increases with the growth of the magnetic field, i.e. magnetic field has a stabilizing effect on the fragmentation of the fluid column.
Key words: surface waves, instability, magnetic fluid, porous medium, magnetic field.
Введение
Магнитные жидкости синтезируют искусственно путем коллоидного растворения наночастиц твердого ферромагнетика в обычной немагнитной жидкости [1]. Обладая способностью к намагничиванию, такие жидкости взаимодействуют с приложенным магнитным полем, которое способно влиять на их движение. На этом свойстве основаны разнообразные практические применения магнитных жидкостей в различных областях техники и технологии. В связи с этим представляет интерес изучение движения магнитных жидкостей в различных конкретных случаях. Так, например, задача об устойчивости и распаде струи магнитной жидкости решена в [2]. Как известно, струи магнитных чернил, управляемых магнитным полем, используются в струйных принтерах.
Для различных практических приложений представляет интерес изучение движения жидкостей в пористой среде при наличии электрического или магнитного поля. Распространение волн на заряженной поверхности жидкого проводника, контактирующего с пористой средой, рассмотрено в [3, 4].
Неустойчивость и распад столба магнитной жидкости, окружающей однородное пористое ядро цилиндрической формы, исследовано в [5]. В данной статье рассматривается обобщение этой задачи на случай неоднородного (слоистого) твердого ядра, состоящего из внутреннего сплошного цилиндра и окружающей его коаксиально расположенной пористой цилиндрической оболочки.
1. Постановка задачи
Предполагается, что внутри бесконечно длинного цилиндрического столба магнитной жидкости находится неоднородное (слоистое) твердое ядро, состоящее из двух частей: внутреннего коаксиально расположенного круглого сплошного цилиндра и окружающего соосного с ним круглого цилиндрического слоя, состоящего из однородного пористого материала. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Сила тяжести предполагается отсутствующей. Вектор H0 напряженности однородного приложенного магнитного поля параллелен оси твердого ядра. Задача решается в цилиндрической системе координат (г, 0, z), ось z которой направлена по общей оси твердого и жидкого цилиндров. Радиусы сплошного цилиндрического ядра,
Physical and mathematical sciences. Mathematics
99
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
внешней поверхности пористого слоя и невозмущенной цилиндрической поверхности обозначим а\, а2 и а0 соответственно. Величины, относящиеся к сплошному ядру (0 < r < oj), пористому слою (a < r < a2), свободной жидкости (a2 < r < ао) и воздушному пространству вне жидкости О < r < ^) обозначаются в необходимых случаях индексами 1, 2, 3 и 4 соответственно. Магнитные проницаемости Mi (i = 1, 2, 3, 4) в областях 1, 2, 3 и 4 предполагаются постоянными (М4 = 1). Магнитная проницаемость среды в области 2 (пористый материал, насыщенный жидкостью) находится по формуле ц2 = Ц3Г + цs (1 - Г), где цs - проницаемость пористого материала; Г - пористость (отношение объема пор ко всему элементарному объему среды). Предполагается, что Г = const. В общем случае Ms ^ М-1.
Уравнения движения магнитной жидкости в пористой среде при сделанных предположениях имеют вид [1, 5]:
Г lU2 = _grad Р2 -K U2, div U1 = 0, (1)
здесь p - плотность жидкости; p2 - давление; U2 - макроскопическая скорость фильтрации, определяется как объемный поток жидкости на единицу площади в пористой среде; п - вязкость; K - коэффициент проницаемости пористой среды.
Предполагая, что амплитуда поверхностной волны значительно меньше ее длины, уравнения движения свободной жидкости вне пористой среды запишем в линейном приближении [6, с. 55]:
du3 1
р-^ = -grad P3,
div U3 = 0,
(2)
здесь U3 - скорость жидкости. В области 1 следует положить U1 = 0 . Уравнения для магнитного поля в неэлектропроводной среде [7]:
rot Hj = 0, div цjHj = 0 (j = 1, 2, 3, 4). (3)
Из уравнений (1)-(3) следует
U2 = grad92, U3 = grad93, H j = grad у j, (4)
Лф2 = 0, Дф3 = 0 , Лу,- = 0 (j = 1, 2, 3, 4).
Далее все величины будем записывать в виде
p2 = p20 + p2w , p3 = p30 + p3w , H j = H j0 + H jw , (5)
У j = V j 0 + ^ jw = zH j 0 + V jw ,
здесь индексами 0 и w обозначены соответственно невозмущенные величины и малые возмущения, связанные с волной; Ню = Н20 = H30 = H40 = H0 . Возмущения yiw также должны удовлетворять уравнениям Лапласа (4).
Граничные условия на соответствующих поверхностях раздела имеют вид [5-7]:
100
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
1) U2r = 0 при r = а (на твердой поверхности);
2) V = V2 при r = ai;
3) pin • grad^i = ^2n' grady 2 при r = ai;
4) U2r = U3r при r = a2 (на внешней границе пористой среды);
5) ¥2 = ¥3 при r = а2 ;
6) Ц2П • grad^2 = ^3n' grad^3 при r = а2 ; (6)
7) п ^2 it2 | М-2 H2 = Р М3 тт2 + М3 н2 при r = а •
7) Р2H2n +— Н2 = Р3 H3n + — H3n при r = а2;
4п 8п 4п 8п
8) U3r = — при r = ао + Ъ (на свободной поверхности жидкости);
dt
9) V3 = ¥4 при r = ао + Ъ;
10) Ц3П • grad^3 = Ц4П' grad^4 при r = ао + Ъ;
11) Р3 H32n + H2n - (Р4 -^H, +-8:4 H4n j = 2aCm при
4п 8п I 4п 8п I
r=ао +Ъ;
12) возмущение потенциала ¥4 на бесконечности (r ^^) равно нулю.
Здесь n - единичная нормаль к соответствующей поверхности; Cm -средняя кривизна поверхности жидкости; а - коэффициент поверхностного натяжения; r = ао + Ъ(0,z, t) - уравнение искривленной поверхности жидкости (Ъ << ао).
Невозмущенные (равновесные) величины также должны удовлетворять граничным условиям (6) в предположении, что U1 = u2 = о и Ъ = о, а все Hi = Но.
Как известно из дифференциальной геометрии, выражения для n и Cm для слабодеформированной цилиндрической поверхности в линейном приближении имеют вид
n =( , n0, nz )
\ _ ± дъ _эъл
ао дд’ dz j
2C
-^'v--м
а0
' ъ 1 д2Ъ д2Ъ"
2 + 2 дд2 + д 2
^ ао ао дд dz j
(7)
На недеформированной цилиндрической поверхности n = (1, 0, 0). Для возмущений давления из (1) и (2) с учетом (4) находим
Р2 w
_Р d^2
Г dt
Ф2, P>3w
Р
d%
dt
(8)
Граничные условия (6) с учетом (7) в линейном приближении в силу равновесных граничных условий принимают вид
1) ^ = 0;
dr
2) ¥1w = ¥ 2w;
Physical and mathematical sciences. Mathematics
101
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3) .
4)
w _.. d¥2w
М-2'
dr dr
Эф2 _Эфз ;
dr dr
5) V2w _ V3w ;
6) .2 %w _.з ^3
dr
dr
d¥ 2 w
7) P2w H _
4n dz
_ p , .3 H d¥3w . _ p3w +—H o—.
4n dz
8)
Эф3 _ Э£,.
dr dt
9) V3w _ V4w ;
10) .3 (H0 f] _. 4 Г h0 dz
11) p , .3 H d¥3 11) p3w +— H0 T" 4n dz
w .4 h ^V4> H0'
(
4n
dz
_-a
$ 1 d2$ Э2$ ^
2 + 2 dfl2 + d 2 a0 % o0 dz i
(9)
12) V4w _ 0 при r ^ ж .
Кроме того, на оси сплошного цилиндра (r _ 0) решения уравнений должны быть конечными.
В граничных условиях (9) величины P2w и P3w имеют вид (8). Математическая модель является, таким образом, краевой задачей, состоящей из уравнений Лапласа (4) и граничных условий (9).
2. Решение краевой задачи
Решение уравнений (4) с граничными условиями (9) ищем в виде бегущих затухающих (либо нарастающих) волн:
{ф2, ф3, V1w, ф2w, V3w,ф4w, $} _
_{ф*2(г X
ф 3(r) V 1w(r), V 2w(r), V 3w(r),
V*4 w
(rX $*}
X
X exp (-( + ikz + im0), (10)
* * *
здесь ф 1(r), ф 2(r), V jw(r) (j = 1, 2, 3, 4) - неизвестные амплитуды; k _ 2n/X - продольное волновое число; X - длина волны, m _ 0,1,2,..., -азимутальное волновое число; J_Jr + iJi - комплексная величина; ю_|уг| -частота; в _ Yr - коэффициент, который может быть как положительным (при затухании возмущения), так и отрицательным (при неустойчивости, приводящей к нарастанию возмущения).
Подставляя выражения (10) для фг- и Vjw в уравнения Лапласа (4)
в цилиндрических координатах, получим систему из шести модифицированных уравнений Бесселя порядка m для амплитуд, решения которых имеют вид
102
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
ф2 = c\Im (kr) + C2 Km (kr), ф 3 = C6 Im (kr) + C7 Km (kr),
Viw = C3Im (kr) , V2w = C4Im (kr) + C5 Km (kr) ,
V3w = C8Im (kr) + C9 Km (kr) , V4w = C10Km (kr) , здесь Im и Km - модифицированные функции Бесселя первого и второго родов порядка m; Ci,...,Cio - неизвестные коэффициенты.
Эти решения записаны с учетом свойств функций Бесселя: Im (kr) ^ ^ при r и Km (kr) ^ ^ при r ^ 0. В связи с этими свойствами бесконечно большие слагаемые в решениях отброшены.
Для амплитуд граничные условия (9) принимают вид:
1) Q4 (kai) + С2 K'm (kai) = 0;
2) C3Im (kai) = С4Im (kai) + C5 Km (kai);
3) M-iC3Imm (kai) = М-2С4Imm (kai) + M-2C5Km (kai) ;
4) CiIm (ka2) + С2 K'm (ka2) = Сб I'm (ka2) + C7 K'm (ka2);
5) С4Im (ka2) + С5Km (ka2) = С8Im (ka2) + C9Km (ka2);
6) ^2C4Im (ka2) + М-2С5 Km (ka2) = ^3C8I'm (ka2) + M-3C9Km (ka2) ; (ii)
7)
(^ - К ) I (ka2) + C2Km (ka2)] +
+ ^°k[С4Im (ka2) + C5Km ^)] =
4n
= PYI Im (ka 2) + C7 Km (ka 2) ] + ]* [ Im (ka2) + C9 Km (ka2)];
4n
8) kC6 I'm (kao) + kC7 K'm (kao) = -y^*;
9) С8Im (kao) + С9Km (kao) = QoKm (kao);
10) М-3[-Н07'^ + C8Im (kao) + C9K/m (ka0)] = Мд[-Н07'^ + Ci0Km (ka0)] ;
11)
ру[Сб Im (kao) + C7 Km (kao)] + ^34H°7k I Im (kao) + C9 Km (kao)]-
4n
-B4Ho7kCioKm(kao) = -Щг(i - m2 -ao2k2).
4n ao V !
Здесь 7 - мнимая единица, штрихами обозначены производные. Граничное условие i2 из (9) удовлетворяется тождественно в силу того, что
Km(kr) ^0 при r ^^. Находя неизвестные коэффициенты Q,...,Qo из
*
первых десяти уравнений (ii), считая при этом амплитуду волны ^ заданной и подставляя затем эти коэффициенты в одиннадцатое уравнение, полу-
Physical and mathematical sciences. Mathematics
103
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
чим дисперсионное соотношение для поверхностных волн, кубическое относительно у:
4Y3 + A2 Y2 + A3y+ A4 = 0. (12)
Коэффициенты Ai,..., A4 не выписываем ввиду их громоздкости.
Другой способ нахождения дисперсионного соотношения (12) заключается в приравнивании к нулю определителя линейной системы (11) с одиннадцатью неизвестными Q,...,Сю,В .
Уравнение (12) кубическое и может быть приведено к так называемому неполному кубическому уравнению x + px + q = 0 [8] с дискриминантом
D = (р/3) +(q/2) , где p и q выражаются через коэффициенты A1,...,A4 . При условии D > 0 существует волновое движение, поскольку уравнение (12) имеет при этом два комплексно сопряженных корня. При D < 0 волновых движений нет, так как все три корня уравнения (12) действительные.
3. Анализ модели
Числовые расчеты с дисперсионным уравнением (12) проводились для следующих значений параметров: р = 1 г/см3; а = 20 г/с2; п = 0,01 г/см • с; Г = 0,8; K = 0,02 см2; ц1 = 1; р2 = 1,8; р3 = 2; р4 = 1; р5 = 1.
Вместо размерных величиню, в и k введем безразмерные:
ю =
ю
в =-
V а /(рао) Vй /(Р°0)
k = kOQ .
ч* ? ^
На графиках зависимости ю и р от k область значений аргумента
* * * k делится на два интервала критической точкой k = kc (кс = 2п/kc), кото*
рая находится из условия равенства дискриминанта нулю ( D = 0 ). В точке kc
* * * *
выполняются условия: ю (kc) = 0 и р (kc) = 0.
* *
При этом в интервале 0 < k < kc происходит нарастание возмущений
*
(р < 0) и волны отсутствуют. Амплитуда возмущений растет с наибольшей
скоростью при k = km, при котором
в
достигает максимума. Размер (дли-
на) образующихся при распаде жидкого столба капель равен Xm ~ 2п / km
* * * *
(km = km / qq). При k ^ kc движение жидкости замедляется, т.е. ю ^ 0,
* * *
в ^ 0 . В области k > kc выполняется условие D > 0 и существуют затухающие в > 0 волны.
* * *
На рис. 1 приведены графики зависимости величин ю и в от k при
m = 0 (осесимметричные возмущения); Hq = 20 эрстед (Э); a1 = 1 см;
*
а2 = 1,5 см для нескольких значений Qq . Пересечение графиков с осью Ok
в
104
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
происходит в точке kc. Видно, что при всех значениях радиуса Oq жидкого
цилиндра и фиксированных значениях прочих параметров частота ю явля-
*
ется монотонно возрастающей функцией волнового числа k . Коэффициент * * затухания р принимает максимальное значение при некотором k .
а) б)
Рис. 1. Зависимость безразмерной частоты ю' (а) и коэффициента затухания Р' (б) от волнового числа k: a = 2; 2,1; 2,2; 2,3; 2,4 см (1-5);
a = 1 см; a = 1,5 см; m = 0; H = 20 Э
В случае m = 1 частота больше, а затухание сильнее, чем при m = 0 при одинаковых значениях прочих параметров. Для m > 2 движение является
апериодическим, с сильным затуханием всех возмущений.
* * *
На рис. 2 приведены графики зависимости ю и р от k при m = 0 ; Hq = 20 Э; 01 = 1 см; Oq = 2 см для нескольких значений 02 . Видно, что частота ю уменьшается с увеличением радиуса 02 пористого цилиндра (при
*
фиксированном k ). Затухание волн усиливается с ростом 02 в связи с утолщением пористого слоя.
* * *
На рис. 3 приведены графики зависимости ю и р от k при m = 0; Hq = 20 Э; 02 = 1,5 см; Oq = 2 см для нескольких значений 01. Видно, что
частота ю увеличивается с возрастанием радиуса 01 твердого цилиндра (при
*
фиксированном k ). Затухание волн уменьшается с ростом 01 в связи с уменьшением толщины пористого слоя.
* * *
На рис. 4 приведены графики зависимости ю и р от k при m = 0 ; 01 = 1 см; 02 = 1,5 см; Oq = 2 см для нескольких значений напряженности
магнитного поля H0 . Видно, что с ростом H0 частота увеличивается при
*
каждом зафиксированном значении k .
Physical and mathematical sciences. Mathematics
105
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Р*
О 1 2 Л*
0 12ft*
а)
б)
Рис. 2. Зависимость безразмерной частоты ю' (а) и коэффициента затухания Р' (б) от волнового числа k: a = 1,1; 1,3; 1,5; 1,7; 1,9 см (1-5); a = 1 см; a = 2 см; m = 0; H = 20 Э
а) б)
Рис. 3. Зависимость безразмерной частоты ю' (а) и коэффициента затухания Р' (б) от волнового числа k: a = 0,5; 0,7; 0,9; 1,1; 1,3 см (1-5);
a = 1,5 см; a = 2 см; m = 0; H = 20 Э
Влияние изменения H0 на затухание волны имеет более сложный
*
характер. С ростом H0 величина kc уменьшается, что равносильно увеличению критической длины волны Xc = 2п / kc. Это означает, что с ростом магнитного поля неустойчивость сдвигается в область волн с большей длиной, т.е. магнитное поле способно стабилизировать коротковолновые возмущения поверхности жидкого столба, затрудняя тем самым его распад на капли.
106
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
а)
б)
Рис. 4. Зависимость безразмерной частоты Ю' (а) и коэффициента затухания Р* (б) от волнового числа к. H = 0; 10; 20; 30; 40 Э (1-5); a = 1 см; a = 1,5 см; a = 2 см; m = 0
Заключение
Исследованы распространение и неустойчивость волн на поверхности
цилиндрического столба магнитной жидкости, окружающей неоднородное
*
(слоистое) пористое ядро. Рассмотрена область длинных волн (0 < к < 3),
которая при симметричных возмущениях (m = 0) делится критической точ-* * * кой кс на два интервала. В интервале 0 < к < кс происходит апериодическое
*
движение (р < 0) с нарастающей амплитудой, приводящее к распаду жидкого столба на цепочку из соединенных между собой капель, длина которых
* * *
приблизительно равна Кm = 2п/km (km = km /a0 ). В интервале кс < к < 3
*
существует затухающее волновое движение (р > 0).
Показано, что в интервале существования волнового движения частота Ю является монотонно возрастающей функцией от волнового числа к
при всех значениях радиуса a0 жидкого цилиндра и фиксированных прочих
*
параметрах. Коэффициент р принимает максимальное значение при некотором к .
При возрастании a2 и фиксированных прочих параметрах величина
* * *
Ю уменьшается, а р возрастает при каждом заданном к .
*
С увеличением ai и фиксированных прочих параметрах величина Ю
* * возрастает, а р уменьшается при каждом заданном к .
При возрастании напряженности магнитного поля H0 и фиксирован*
ных прочих параметрах частота увеличивается при каждом заданном к . Ко*
эффициент р изменяется при этом более сложным образом. С ростом H0
Physical and mathematical sciences. Mathematics
107
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
критическая длина волны Xc = 2п/kc (kc = kc /а0) увеличивается. Следовательно, с ростом магнитного поля неустойчивость сдвигается в область более длинных волн, т.е. магнитное поле стабилизирует коротковолновые возмущения поверхности жидкого столба.
Список литературы
1. Розенцвейг, Р. Феррогидродинамика / Р. Розенцвейг. - М. : Мир, 1989. -356 с.
2. Тактаров, Н. Г. Распад струи магнитной жидкости / Н. Г. Тактаров // Магнитная гидродинамика. - 1975. - № 2. - С. 35-38.
3. Тактаров, Н. Г. Математическое моделирование поверхностных волн в слое жидкости с поверхностным зарядом на пористом основании / Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 2 (18). - С. 41-48.
4. Миронова, С. М. Распространение волн на заряженной поверхности цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное пористое ядро / С. М. Миронова, Н. Г. Тактаров // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2012. - № 4. -С. 104-110.
5. Егерева, Э. Н. Неустойчивость и распад столба магнитной жидкости, окружающей длинное пористое ядро / Э. Н. Егерева, О. А. Рунова, Н. Г. Тактаров // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2015. - № 1. - С. 182-191.
6. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Физматлит, 1986. - 735 с.
7. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М. : Физматлит, 2000. - 736 с.
8. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. - М. : Наука, 1975. - 431 с.
References
1. Rozentsveyg R. Ferrogidrodinamika [Ferrohydrodynamics]. Moscow: Mir, 1989, 356 p.
2. Taktarov N. G. Magnitnaya gidrodinamika [Magnetic hydrodynamics]. 1975, no. 2, pp. 35-38.
3. Taktarov N. G., Mironova S. M. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki. [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 2 (18), pp. 41-48.
4. Mironova S. M., Taktarov N. G. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of liquid and gas]. 2012, no. 4, pp. 104-110.
5. Egereva E. N., Runova O. A., Taktarov N. G. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of liquid and gas]. 2015, no. 1, pp. 182-191.
6. Landau L. D., Lifshits E. M. Gidrodinamika [Hydrodynamics]. Moscow: Fizmat-lit, 1986, 735 p.
7. Landau L. D., Lifshits E. M. Elektrodinamika sploshnykh sred [Electrodynamics of continuum]. Moscow: Fizmatlit, 2000, 736 p.
8. Kurosh A. G. Kurs vysshey algebry [Course of higher algebra]. Moscow: Nauka, 1975, 431 p.
108
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
Тактаров Николай Григорьевич
доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева (Россия, г. Саранск, ул. Студенческая, 11а)
E-mail: colonnt@mail.ru
Рунова Ольга Александровна аспирант, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева (Россия, г. Саранск, ул. Студенческая, 11а)
E-mail: runova.olga@list.ru
Taktarov Nikolai Grigoryevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of mathematics, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev (11a Studencheskaya street, Saransk, Russia)
Runova Olga Alexandrovna Postgraduate student, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev (11a Studencheskaya street, Saransk, Russia)
УДК 533.9:537.84 Тактаров, Н. Г.
Распад цилиндрического столба магнитной жидкости с неоднородным пористым ядром / Н. Г. Тактаров, О. А. Рунова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2015. - № 1 (33). - С. 98-109.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
109
