Математическое моделирование волн в слое жидкого диэлектрика на пористом основании Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛН В СЛОЕ ЖИДКОГО ДИЭЛЕКТРИКА НА ПОРИСТОМ ОСНОВАНИИ

Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова

Рассматривается распространение волн на поверхности жидкого диэлектрика с постоянной диэлектрической проницаемостью, находящегося на слое диэлектрической пористой среды, насыщенной жидкостью.

Система координат выбрана так, что ось х направлена вертикально вверх, против вектора д - ускорения свободного падения; г = - твердая поверхность, ограничивающая снизу пористый слой (—/11 < 2 < 0); г = 0 - поверхность раздела пористого слоя и свободной жидкости; г — /¿2 - невозмущенная свободная поверхность слоя жидкости, занимающей область 0 < ^ < /12. Над поверхностью жидкости находится среда пренебрежимо малой плотности (атмосфера). Номерами 1, 2, 3 обозначаются величины, относящиеся к пористой среде, свободной жидкости и атмосфере соответственно. Приложенное однородное электрическое поле имеет произвольное направление. В результате распространения волн поле перестает быть однородным: появляется возмущение электрического поля . Предполагается, что в диэлектрике отсутствуют свободные электрические заряды.

Система уравнений движения жидкости в областях 1 и 2, а также для электрического поля в областях 1, 2, 3 имеет вид [2-4]:

1.

дйг

Г ' дЬ

8гаЛрг+рд-^-йг,

сНУ?/1 = 0;

2. р

дй2 ~дГ

-&дЛр2 4- рд, (Цугбг = 0;

(1)

3. го^г = 0, ¿\veiEi = 0

(г =1,2,3).

Здесь р - плотность жидкости; Г - пористость; й\ - макроскопическая скорость фильтрации; гГг - скорость свободной жидкости; р\,р2 ~ давление; г) - вязкость; К - коэффициент проницаемости; Е\ - напряженность электрического поля; - диэлектрические проницаемости, предполагаемые посто-■

янными. Система граничных условий на поверхностях раздела [2-4]:

1. и\г = 0 (г -

2. Ез™ = 0 (г

/11); -/11);

3. и\

и2г (г = 0);

4. Е1т = Е2т (^ = 0);

5. егЕгп = е2Е2п (2 = 0);

д £12. £1 £2 ц,2 .

6. Р1 - —Е1тг 4- —Ех =р2- —Е2п+

47Г

8тг

47Г

+ (2 = 0);

8тг

7. Ч2г

дЬ

(г = /г2 + О;

8. Е2г = Езг (* = Ла + 0;

9. е2Е2п = егЕзп (г = 4- О;

10. Р2-¥-Е%п + ^Е22-р3+

47Г

8тг

, £3 г-,2

4тг п

8тг 3

аД2£ (г = н2 + О;

© Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова, 2010

Серия «Физико-математические науки»

75

11. = о (г -> оо).

Здесь Е4 = + - невоз-

____

мущенное поле; Е^ - возмущение поля; г = ¡12 4- - свободная возмущенная

поверхность жидкости; Е{п = п, п -

единичный вектор нормали к поверхности, направленный из области 2 в 3; индекс г означает касательную к поверхности составляющую вектора; а - коэффициент поверхностного натяжения; Дг = д2/дх2 4- д2/ду2; Рз — ратм = const.

Из уравнений (1) следует: Е{ = —Vipi = = —Vipio — Vipiw, U2 = Vtp. Записывая давление в виде pi = p¿o 4- Piw(i — 1,2) и учитывая, что в линейном приближе-

нии п — —~¿r~ei — — ег 4- €3, где e¿ - едини ч-

ох оу

ные базисные векторы, перепишем граничные условия (2) в виде:

+

£з 4л

Е оз •

w

2Е

03 z

dz

aV2£

(г = кг)\i

11. Фзо = 0 (г оо).

Здесь У2£ = ех ^ + е2^ = У, 05

я/Лги = Рзьи = 0.

Первые четыре уравнения (1) принимают

для возмущений вид:

1.

р ди\

Г~дЬ

VpiM 4- Р9

V

К

щ;

2. divm = 0;

(4)

3. р

ди: ~dt

Vp2 4- pg\

4. divi¿2 = 0.

1. uiz = 0 (z

2.

ги

0 (z

Ai); -fti);

3. «i, = ^ (z = 0);

4.

w

dz

r¡)2W (z = 0);

(3)

_ дг/siw d^2w ,

5. £i—— = £2—— (z = 0);

dz

dz

£i

6. piw + (

Eoi - V^itt, 4- 2EQ\z

P2w 4" f — #02 ' V^iíj + 2£?q2z ■

47Г

az

(z = 0);

8. J^02z • £ ~ *¡>2w = Eqzw - £ - A¡)zw (z = h2);

9. £2 (£02 • V2f 4-

дф2

w

dz

£3

• V2£4-

4-

dz

/12);

10. p2iu 4-

£L

47Г

Я01 • V^2iü 4" 2£^02

dtp 2w

+

С учетом равенств = V<¿?, -Ег«; = -AipiW система (1) записывается в виде:

Р d ж

L TdiAuiz

л

к

Auiz]

2. Аср = 0;

(5)

3. Д^

гги

0(г = 1,2,3).

Для исключения давления Pin, из уравнения 6) в граничных условиях (3) при помощи уравнения 1) системы (4) запишем:

p dñix dP\w 4

Г dt dx К i

p dñiy dPiw r)

r dt dy К

Ulx,

(6)

Uly

Из уравнения непрерывности divui

0

следует

du

lz

duix duiy

dz

дх

ду

(7)

Продифференцируем первое и второе уравнения (6) по ж и у соответственно; сложим полученные равенства и при помощи (7)

получим соотношение

ti2,

&2P1W

d Pi w . d2piw

dx2

+

dy2

(8)

p d2uiz 7] dui

Г dtdz К dz

76

ВЕСТНИК Мордовского университета ¡ 2010 | Xa 4

Аналогично из уравнений 3) и 4) системы (4) следует:

Д2Р2

W

р

d2U2z

dtdz '

(9)

Применяя к обеим частям равенства 6) в системе (3) оператор Дг = д2/дх2 + д2/ду2 и используя затем равенства (8) и (9) вместо равенства 6), получим другое равенство 6'), в котором отсутствуют Piti, и P2w Для исключения P2w и £ из равенства 10) системы (3), подставим в (3) выражение

P2w

P9Z-P

д(р ~dt7

а затем продифференцируем равенство 10) по t с учетом U2Z = d£/dt и U2Z = dip/dz. В результате вместо 10) получим равенство 10'), в котором отсутствуют P2w и

Для исключения f из равенства 8) в системе (3) следует продифференцировать по t обе части этого равенства и использовать соотношение U2Z — d^/dt. В результате получим равенство 8х).

Чтобы исключить £ из равенства 9) системы (3), это равенство дифференцируем по t и используем затем u2z = d£/dt. В результате получим равенство 9').

Решение системы уравнений (5) ищем в виде бегущих затухающих волн

uiz{x,y,z,t) = U (z)exp[-7t-H(fcis + к2у)]; v(x,y,z,t) = Ф(г)ехр[-7^4-г(/с1Ж + к2у)}\ (10)

&w(x,y,z,t) = &i(z)exp[-'yt+i(kix + к2у)].

Здесь U, Ф, - амплитуды; кг, к2 - компоненты волнового вектора к = к{ёг + к2в2;

i = 1,2,3; 7 = Re{7) + ilm(7); 0 = Яе(7) -

коэффициент затухания колебаний волны

> 0 ); а; = |/771(7)! - частота колебаний волны.

Подставляя выражения (10) в уравнения (5), получим систему пяти линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка для нахождения пяти амплитуд J7, Ф, Решения этих уравнений имеют вид:

U(z) = Ciexp(-kz) + C2exp(kz);

&i(z) = Ci+jexp(-kz)+

-bCi+j+i exp(fcz).

Здесь к = у/Щ + k\ - волновое число, г = 1,2,3; j = 4,5,6; Сп(п = 1,2, ...,10) - произвольные постоянные, для нахождения которых подставляем выражения (11) в десять граничных условий: 1), 2), 3), 4), 5), 6'), 8'), 9'), 10'), И). В результате будем иметь однородную систему десяти линейных относительно Сп алгебраических уравнений, которая имеет ненулевые решения только при par веистве нулю определителя системы, составленного из коэффициентов при Сп.

В связи с громоздкостью вычислений ограничимся далее случаем чисто поперечного приложенного электрического поля, т. е. Eioz ф 0, Еых — Eoiy = 0 (г = 1,2,3), а также будем предполагать, что слой пористой среды имеет бесконечную толщину (hi —> +00).

Седьмое граничное условие (3) используется для нахождения профиля волны;

dy(x,y,z,t) dt

Приравнивая к нулю определитель вышеназванной системы, получим дисперсионное уравнение для поверхностных волн, связывающее между собой величины 7 и к:

P2L

9

ai

а>2 з\ . PVL 2 ,

7 ) + т?7"а27 +

Г

dK

ai Г

rjk

а2)лГ4-<э] -

0;

L—(e 1 + £2)(£2 + £з)ехр(2/г/12)+

М = (ex + £2)[ехр(2 kh2) + 1],

(12)

N = (р + °*L)L - (Eo2Z ~ EQ3z)2M,

в2бЗ

9

47Г g

Q=^1(Eoiz-Eo2z)x

lit g

x(Eq2z - Emz)(cl2 - ai),

ai — 1 — ехр(2/с/1г),

Ф(г) = Сзехр(—fcz) 4- С4ехр(/сг);

(И)

аг = 1 +exp(2/c/i2).

Серия «Физико-математические науки»

77

Зависимость величин /3 и и от волнового числа к и от других параметров рассматривается на примере жидкого диэлектрика бензола, для которого при температуре 20 °С: р = 0,879 г/см3; а = 29,0 дин/см; 82 = 2,29; г] — 0,00648 г/см • с. Пористая среда моделируется совокупностью стеклянных шариков с диэлектрической проницаемостью £4 = 5. Величина е\ находится по формуле е\ = Г е2 -Ь (1 — Г)е4; для воздуха принимаем £з = 1. Коэффициент проницаемости К пористой среды в формуле (2) находится по формуле Козени [1]:

Г3

К = _И2

150(1-Г)2 '

где ¿(см) - диаметр шариков.

Напряженность электрического поля измерялась в единицах СГС (1 ед. СГС = 300 В/см). Значения Е выбирались такими, чтобы они не превышали напряженность пробоя в воздухе (это около 80 ед.

СГС = 24 000 В/см).

Расчеты показывают, что при каждом фиксированном значении волнового числа к и значения Ез величина /3 возрастает с ростом пористости Г; с ростом к крутизна графика этой зависимости уменьшается.

При каждой фиксированной толщине слоя /12 и значении Ез, при увеличении к значения Р вначале возрастают, а затем, по достижении максимума, убывают. Чем меньше /12, тем круче график зависимости 0(к) на участке роста. При увеличении температуры от 10 до 50 ° С точка максимума графика /3(к) поднимается.

При увеличении Ез частота ш убывает при фиксированных /12 и к. С ростом Г частота и> возрастает при фиксированных /12, к и Ез .

Функция /3(сг), где сг = /12/А (Л - длина волны), при увеличении а вначале возрастает, а по достижении максимума - убывает. При увеличении /12 точка максимума опускается.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гершуни Г. 3. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г. 3. Гершуни, Б. М. Жу-ховицкий - М. : Наука, 1972. - 392 с.

2. Ландау Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Наука, 1982. - 624 с.

3. Ландау Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Наука, 1986. - 736 с.

4. Столяров И. В. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании / И. В. Столяров, Н. Г. Тактаров // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1987. - № 5. -С. 183-186.

Поступила 27.09.10.

78

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2010 | № 4