Моделирование поведения реологических тел при различных законах нагружения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕ ДЕНИЯ РЕОЛОГИЧЕСКИХ ТЕЛ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНАХ НАГРУЖЕНИЯ

В.В. БЕНДЮКОВ, О.Г. ОСЯЕВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Ципенко В.Г.

Предложена модель поведения реологического тела (вязкоупругого материала, конструкции или системы) при управляющем воздействии нагрузки, действующей по заданному закону в течение некоторого времени.

Ключевые слова: реологическая среда, динамическая модель вязкоупругости, релаксация, коэффициент затухания.

В качестве управляющей нагрузки модели реологического тела (твердого топлива, вязкоупругого материала, системы) удобно рассмотреть функцию гармонического изменения действующих напряжений a(t). Управляемой функции отклика системы будет выступать соответствующая ей функция деформаций, также изменяющаяся по гармоническому закону с запаздыванием по фазе, равным углу механических потерь Аф. Наиболее универсальной моделью поведения реологической среды являются наследственные уравнения типа Больцмана и Вольтера для полимерных композитных материалов РТТ и подобных им реологических сред. Однако наиболее наглядно поведение систем при данных условиях можно описать с помощью рассмотренных динамических моделей вязкоупругости на основе трехпараметрического дифференциального операторного уравнения. Примем закон гармонического нагружения реологического тела в виде функции

дуль упругости, динамическая вязкость среды; /0 - частота установившихся колебаний системы. Функцию внешнего воздействия в правой части уравнения (1) можно представить множе-

В качестве наиболее удобных можно рассматривать следующие способы выражения функ-

где Vх{ - функция внешней нагрузки; е - деформация, вызванная этой нагрузкой; Е, г/ - мо-

ством способов, исходя из удобства рассмотрения задачи. В любом случае функция Т { представляет собой произведение

где N - параметр нагрузки; К - константы, характеризующие объект воздействия нагрузки.

(2)

ции wC:

(3)

(4)

(5)

(б)

С с V V

'Г<У±-АГ(1)=-^АП0 = 4~АП0 = ^г^(1) ■ (7)

Ьт Ь Ьт ЬУр

Ч * = - А ДО = Ят° А ДО = —-1 А ДО; (8)

Шт ЯЕБГр Яг]8т р

¥1У-У—РО) = -И— Р(1) = -^Р(1) = —— Р(1)- (9)

Е8т Шр 8Ур Шр

~ I А Л А I А

«Р <= -ЩО = +1X0 = -^00) = — 0(0; (10)

Л Л ЕЬ ЛЛ

*¥ ^ а^) = -^—1д(1) ; (11)

Ет ЕУр р ШУр ЕУр р

£> -, . £> - , . Иг!

--1псг( ?) =----1„а( ?) =--—

АЕ»1 р ЛЕУр р ЛЕ ¥р

В соотношениях (3)-(12) введены следующие обозначения: В - жесткость тела; В - поглощенная доза излучения; Б - мощность поглощенной дозы излучения; <т(0 - нагрузка, выраженная через напряжения; р(0 - нагрузка, выраженная через механический импульс; Ж(0, <2(0_ механическая и тепловая энергия; А ДО - изменение температуры при нагреве тела; Р(0 - мощность механического воздействия; 5',А5'(О - энтропия и изменение энтропии;

<5ДГ- тепловое расширение и теплопроводность; Бу,р- площадь, объем и плотность тела; — эмпирическая константа и время релаксации; <т(0,<?(0 - первая и вторая производные

от действующей нагрузки; т - константа, характеризующая пространственное напряженное

состояние объекта.

Функция нагрузки Ч/ { может быть определена также с помощью операторного уравнения

Ч/(1) = Ро° + Р1ё + Р2ё = Щр)Ф) • (13)

Используя общую форму записи операторного уравнения, приведем ее к виду, соответ-

ствующему уравнению (1), используя соответствующие коэффициенты

Т7

р\а + 2-Р;& + 4л2/02р0<7 = ¥(0, (14)

V

где искомые коэффициенты выражаются через вспомогательные:

р2=р*2; (15)

Р}=2-р*; (16)

77

Ро=4я2/оР*о- О7)

Тогда:

Р2=Р*2= (18)

ЛЕ т

Л=2-Л=т?-; (19)

г) АЕт

Ро =4ж2/^р*0 =^-; (21)

Ет

* D

Ро = —— ■ (22)

KthcQq

Подставим полученные коэффициенты

Dti .. D . D

----—ал--------ал------a = W(t). (23)

ЯЕ т ЯЕт Ет

Полученное уравнение показывает, что приведения ее к наиболее компактному виду удобно использовать в качестве функции нагрузки первое выражение в (3). Тогда выполним подстановку и преобразования (23)

.. Е . ЯЕ ЯЕ

ал— ал-------а =-----a(t) (24)

г/ г/ г/

или а + Яа + Я2а = Я2а(t) . (25)

Теперь выразим функцию нагружения через параметры системы, соответствующие левой части уравнения (25). Тогда, с учетом уравнений для функции напряжений и ее производных получим

а = рЯьсг0е~м . (26)

Выполнив преобразования, получим простое выражение

о /

(1-е* ) = -----ъ&О), (27)

ра0е м

согласно которому определим

dft^fia^fl-e’1) (28)

Полученное уравнение характеризует релаксацию нагрузки после ее установления. В случае, когда нагрузка изменяется по некоторому закону, полное выражение функции нагружения примет вид

4'(t) = o(t)-p<,„e-M(l-e,-<). (29)

Такой вид функции нагружения наиболее компактен и удобен для анализа вязкоупругой среды. В большинстве случаев нагрузка *Р(0 подчиняется гармоническому закону. Обозначим максимальное значение возмущающей силы Ч/т, тогда, при гармоническом законе изменения и в соответствии с условиями (3), можем записать

? D

ё + 2Яё + ю0 £ = Ч/т--cos cot, (30)

Em

или в другом виде

2

Е 9 ап

— £ + СОп£ = х¥ — 77 0 т Яп

£Л-2 — £Л-0)2£ = х¥ —^cos cot, (31)

0 >71 v '

где со = 27# - 2я Т - угловая частота возмущающей силы и установившихся колебаний системы;

/, Т - частота и период нагружения.

Решением уравнений вида (30)-(31) является, согласно [1], уравнение

£ = Ч/тсо$(Ш-а), (32)

где а - фазовый сдвиг резонатора (реологического тела) относительно возмущающей силы

„ сов 2 сод 2соЯ ....

а = агс#—-----у = агс#—--------------------------. (33)

т%)0 -со ^ со0 -со --о2

т

Таким образом, если нагрузка выражается через напряжения тела, то запаздывание колебаний составляет определенную выше величину угла механических потерь Аср, причем суще-

ственно зависящую от частоты вынуждающей силы о и коэффициента затухания

Е 1 „

8 = Л = — = —. Следовательно, в данном случае а = Аср. Тогда согласно [2]

V К

Т~* *

- л / Е

а = Аф = аг— = аг^ —^ .

Е' єг,

Тогда, исходя из (33), (28), получим Аср ~ агсі£ -

Е

77 I

- со

агсі£ — { - еЛ1 = arctg — ^ — е

(34)

(35)

Согласно теории колебаний [1], амплитуда колебаний реологического тела существенно зависит от частоты возмущающей силы со и коэффициента вязкого трения (5

или

ч/

Гт(&) = ^-

т

т

-со

С>0 -СО

+ 4

(36)

(37)

С использованием эмпирического коэффициента имеем

Ч*

ий) = —

т

-со

2^+4Л2со2

(38)

Анализ уравнений (36), (37) показывает, что при со —> со0 и при /? —» 0 амплитуда может

превысить допустимые для реологического тела значения, определяющие прочность тела. Динамические условия разрушения можно получить из условий прочности. При заданной возмущающей силе Ч^^и коэффициенте вязкого трения (3 амплитуда Ут (а) является функцией только угловой частоты нагрузки. При со» со0 достигается резонанс. Для определения резонансной частоты необходимо найти максимум функций (36)-(38) и приравнять первую производную нулю. Тогда

рез ДІ О

(39)

Используя эмпирические константы и выражения связи с вязкоупругими характеристиками полимерных материалов, получим

со =

рез ‘

^ „2 а/^о

Г/ і

-2Л2 =

2_

л

(40)

Е 1

Параметром является коэффициент затухания 8 = Л = — = —

V К

При малых 8 величина

Ут&) резко возрастает. Уравнения (36)-(38) справедливы и для случая статического нагружения тела при условии х¥т (со = 0) . Чтобы найти выражение для резонансной амплитуды подставим (40) в (36)-(38). Тогда получим, соответственно:

Ут(°) =

Ч',

Р

Р

4т"

Я

Рсо 2т8со’

(41)

о

2

2

0

1

2

2

0

2

0

2тЯсо 2тдсо 2тЕсо

(42)

(43)

Величина угла механических потерь А(р характеризует основные свойства реологического тела, материала или системы, а ее выражения (34)-(35) позволяют получить обобщенную связь между характеристиками тела и параметрами нагрузки.

1. Кухлинг Х. Справочник по физике / пер. с нем. - М.: Мир, 1982.

2. Гольденблат И.И., Бажанов В.Л., Копнов В.А. Длительная прочность в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1977.

tems) under controlling influence of the load, acting on given law for some time.

Key words: reologic environment, dynamic model of the viscous-elasticity , relaxation, factor of attenuation.

Бендюков Вячеслав Валентинович, 1960 г.р., окончил Ростовское высшее военное командноинженерное училище ракетных войск (1982), доцент кафедры ВС и АД Ростовского филиала МГТУ ГА, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, автор более 110 научных трудов, область научных интересов — конструкция и прочность летательных аппаратов.

Осяев Олег Геннадьевич, 1963 г.р., окончил Ростовское высшее военное командно-инженерное училище ракетных войск (1985), кандидат технических наук, доцент, старший научный сотрудник НИО РВИРВ, автор более 100 научных трудов, область научных интересов — численные и экспериментальные методы исследования прочностной надежности несущих конструкций летательных аппаратов.

ЛИТЕРАТУРА

MODELING OF THE BEHAVIOUR REOLOGICHESKIH TEL UNDER DIFFERENT LAW NAGRUZHENIYA

Bendyukov V.V., Osyaev O.G.

The Offered model of the behaviour reologicheskogo bodies (the viscous-elasticity of the materia), designs or sys-

Сведения об авторах