CC BY
13
УДК (519.9 + 518.5): 532.54
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕИИЯ В ОБЛАСТИ ОПЕРАТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ ВОДОСНАБЖЕНИЯ В РЕЖИМЕ ПОЖАРОТУШЕНИЯ. Часть I. Теоретическая модель
И. П. Давыдова
Начальник абонентского отдела МП ПУ "Водоканал Воронежа"
М. Я. Панов
доктор технических наук, профессор Воронежского государственного архитектурно-строительного университета
В. И. Щербаков
доктор технических наук, профессор Воронежского государственного архитектурно-строительного университета
Предложена оптимизационная модель потокораспределения в водопроводных сетях в условиях интенсивного незапланированного кратковременного отбора воды в режиме пожаротушения. Модель позволяет синтезировать дроссельные характеристики системы с точным прогнозом режима потребления воды в зависимости от класса сложности пожара.
Давыдова Панов Щербаков
Ирина Петровна Михаил Яковлевич Владимир Иванович
Необходимость управления водопотоками иа муниципальном уровне особенно остро ощущается в условиях дефицита потребления воды, который, к сожалению, приобретает все более масштабный характер. Исключительно негативное влияние на режим потребления оказывает интенсивный незапланированный и кратковременный отбор воды в точке возникновения пожара. Несмотря на то, что водопроводные сети обязаны пропустить дополнительный поток воды для целей пожаротушения, непредсказуемость и координаты возникновения пожара существенно осложняют, а зачастую исключают резервирование системы и ее нормальное функционирование в указанных условиях. При этом может реализовываться как нагруженный, так и ненагруженный резервы. Оперативное управление сетевыми системами в рамках АСУ ТП как раз и призвано решать эти задачи.
Известно, что теория моделирования сетевых систем исходит из решения трех классов задач: синтеза, прямого и обратного анализов [1]. Область обратного анализа возмущенного состояния системы охватывает задачи, в которых ищется возмущение, повлекшее за собой переход системы в текущее (фактическое или заданное) состояние. Характер возмущения может быть весьма разнообразен — от перенастройки дроссельных элементов до аварий-
ного отключения отдельных элементов системы (участков, источников, потребителей и т.п.). Неизбежно возникает вопрос прогнозирования последствий возмущения, решаемый на основе модели возмущенного состояния, например [2]. Прогнозирование аварийных ситуаций (область прямого анализа) является исходной предпосылкой для резервирования наиболее уязвимых элементов [3]. Оперативное управление системой подачи и распределения воды (СПРВ) в рамках АСУ ТП водоснабжения относится к области обратного анализа возмущенного состояния, поскольку ищутся величины возмущающих воздействий (изменений гидравлических сопротивлений) на множество дроссельных элементов при заданном режиме водопот-ребления.
Основу обратного анализа составляет модель возмущенного состояния (МВС) [2], отображаемая в условиях структурных, режимных и параметрических возмущений бинарным структурным графом (БСТГ), содержащим расчетную зону (РЗ) и гидравлический эквивалент абонентских подсистем (АП). Термин "бинарный" несет в себе смысловую нагрузку, отражающую содержание в его составе реальных и фиктивных участков. Однако такая постановка задачи обратного анализа предполагает вместе с традиционным включением в состав
МВС искомого вектора Q с компонентами Qi (г е {I} — полное число участков БСТГ) еще и вектора 8 с компонентами (г е {1В} — полное число участков с дросселями) с определением последних (помимо расчета потокораспределения) при априорно заданном режиме потребления воды (где Qi, — расчетный расход и коэффициент гидравлического сопротивления г'-го участка соответственно). В этом случае МВС отображается прямоугольной матрицей вследствие дефицита числа уравнений к числу неизвестных, что вынуждает искать дополнительные аналитические связи, избыточные по отношению к связям, синтезирующим структуру МВС. Это утверждение следует из того, что любая модель потокораспределения и (У, X) = 0 позволяет однозначно определить искомый вектор У при условии det[aik ] Ф 0, известном как правило Крамера (агк — элемент квадратной матрицы коэффициентов размером п х п системы неоднородных уравнений) [4].
Отметим, что модель возмущенного состояния получена как результат решения вариационной задачи, отражающей принцип наименьшего действия применительно к СПРВ, т.е. связь между зависимыми и независимыми векторами формируется на уровне функционала и в вариационном смысле является исчерпывающей. Дополнительные связи следует искать в области регрессионного анализа [5], например на основе метода наименьших квадратов (МНК).
Гидравлическая трубопроводная система (ГТС) относится к транспортным системам с глубокими внутренними связями и конфигурацией МВС, адаптированной к энерго- и массообмену с окружающей средой (абонентами) через 32 энергоузлов (ЭУ). Здесь {Зг} с {Зн и Зд }, где Зн, Зд—подмножества ЭУ с фиксированным узловым потенциалом и отбором воды соответственно. В отличие от методов регрессионного анализа вопрос качества исходной информации здесь не рассматривается, поскольку это не связано с измерительной аппаратурой и ее погрешностью, т.е. такие независимые переменные, как априорно заданные значения фиктивных линий БСТГ (2^а, ] е {Зн}), определяющие режим потребления, являются величинами детерминированными, хотя и подверженными влиянию субъективных факторов пользователя.
Известно, что МНК строится на минимизации некоей остаточной функции Г, в данном случае для множества Зн компонентов векторов Н и Q, связанных между собой зависимостью в форме уравнения Бернулли. Учитывая вышеизложенное, представим целевую функцию применительно к СПРВ на основе МНК:
Г =
Б{ (й{а)а - б{ ш{)а
+ Х
I Qf -I
\ Iе л я
(1)
где Q'a, QJj — априорно заданное и фактическое значение расхода через фиктивный у'-й участок соответственно; X — множитель Лагранжа; ея}, — множество источников и стоков СПРВ второго подъема соответственно. Вторая группа слагаемых уравнения (1) подтверждает незыблемое правило гидравлики о том, что значение Г должно определяться в рамках условий сплошности потоков среды.
Условия экстремума (минимума) целевой функции позволяют сформировать систему нормальных уравнений:
= 2[Б{(д{а Г- б{(д{ )а ] -
} }
дГ
Ща
-[о£{(й{)а-1 ] + Х = 0, ] е ен}. (2)
г
Фактические расходы Qу независимыми в рамках априорного прогноза не являются, будучи "связанными" моделью потокораспределения. Исключение X приводит к системе нормальных уравнений:
(Б{)2{(Т- 1 Q1/ - (^^^Г 1 Q2/ = 0; (Б{)2{{)а- 1 Ql{ - (Б{)2ШМГ 1 Qз/ = 0;
(Б^дмгм - е ?Он оеН =0.
(3)
Из систем уравнений (2) и (з) следует, что предельное число дополнительных независимых связей на единицу меньше числа ЭУ-стоков, т.е. Зн - 1. Возможно любое другое, не повторяющееся, сочетание фиктивных участков в составе системы (3).
Полная математическая модель возмущенного состояния СПРВ в области обратного анализа, обозначаемая нами как регрессионно-топологическая модель потокораспределения (РТМ), позволяющая формализовать синтез дроссельных характеристик системы, представлена ниже в матричном виде:
\сг\сгв \с{\
я (<1)
яЬ (<)
я
(<)
QЬ Q{
= мт н
И
я г<) Qr
яЬ (<) QrD
=1 0
Лг\ЛГ0 \Л-
н
Q'
Q
Q'
=1 9
К )ll
а-1.
f I Lb fill Ia f
\QJ\ = E
(d )||
Rf = sf (Qf)а-1;
гдеRrj = ^(q;) . . .
q/ = (5/)(Q/aQ/)а-1; af J = (sf )2 X (Qf )2а-1;
а — показатель степени в формуле Дарси-Вейс-баха;
||С||, |, — топологические матрицы, составленные из единичных элементов цепных, контурных и узловых уравнений БСТГ соответственно;
||Hj|, || q|| — матрица-столбец фиксированных узловых потенциалов и отборов (притоков) воды соответственно;
||М|| — матрица смежности системы независимых цепей [2];
Т — признак транспонирования; верхние индексы r и f соответствуют реальным (РЗ) и фиктивным (АП) сетевым структурам; нижний индекс d относится к элементам диагональной матрицы.
Из топологической подмодели в составе матрицы (4) выделен блок с нижним индексом D, причем в этом случае размер этой матрицы составляет
I x (I + Id ).
Матрица Ef| содержит в каждой строке по два единичных элемента противоположного знака, число столбцов равно числу фиктивных участков, число строк — на единицу меньше в силу условия (3), т.е. ее размеры (JH -l) х JH. Размер объединенной квадратной матрицы (4), содержащей топологическую и регрессионную подмодели, составляет (I + ID) х (I + JH - 1) и является предельным, число участков с дросселями строго соответствует числу без единицы ЭУ-стоков.
Для анализа механизма формирования дроссельных характеристик используются результаты вычислительного эксперимента (алгоритмический язык Delphi 5) по моделированию потокораспреде-ления в области обратного анализа для системы водоснабжения (рис. 1) с хранением противопожарного расхода в водонапорной башне (рис. 1, поз. б), оснащенной новыми стальными трубами с четырьмя дросселями, установленными на ответвлениях к ЭУ-стокам.
Прогноз потребления формируется пятью априорно заданными значениями Qf с диапазонами изменения, приведенными в таблице.
®
Л ®
РИС.1. Бинарный '1 структурный граф системы водоснаб-7) жения второго подъема
(10
© ©
qd, л/с
60
100
200
300
400 SD ■ 105
РИС.2. Дроссельные характеристики системы водоснабжения: х, • — 1-я и 2-я версии регрессионной подмодели соответственно; 1 — 6о(1-2) = ¥1[5Ь(1-2)]; 2 — 6.7-8) = ¥1[5Ь(7-8)];
3 - 60(3-4) = ¥1[5д(3-4)]; 4- 6.0(9-10) = ¥1[5Д(9-10)]
В результате моделирования с первой версией регрессионной модели, приведенной в матрице (4), удалось синтезировать дроссельные характеристики, т.е. построить зависимости 6Ю = ф), I е {I.} (рис. 2), с дисперсией не более 3,5%, которые инвариантны к величине и диапазону и представляют собой устойчивую функциональную связь между расходом через дроссель и его гидравлическим сопротивлением. Однако большая степень нелинейности систем уравнений (2) и (3) (показатель степени при расходе Qj) вынуждает прибегать при решении этой задачи к повышенному числу итераций, которое может достигать к = 50 • 103.
С целью снижения нелинейности исходной функции в работе предложена вторая версия ре-
r
r
r
r
r
r
б
0
Расчетный диапазон изменения расходов воды, задаваемый в рамках прогноза потребления
Обозначение расхода воды Qfa q2-1 1 Qfa q4-12 Q fa Q6-13 Q fa Q8-14 Q fa q10-15
Пределы изменения, л/с 110-120 60-90 130-140 90-115 60 - 80
четного анализа по первой и второй версиям РТМ, характеристика дросселя инвариантна не только к обоим версиям, но, и что более важно, не меняет своей конфигурации и дисперсии при различных исходной и функциональной гидравлической настройках остальных (г - 1) дросселей.
Дроссельные характеристики СПРВ второго подъема, включающие пожарные насосы, функционирующие во время возникновения пожара, позволяют по заданному пользователем режиму потребления воды настраивать множество дроссельных элементов как в "ручном" режиме, так и в режиме мониторинга в рамках оперативного управления АСУ ТП.
Выводы
Предложена отпимизационно-топологическая модель потокораспределения, позволяющая синтезировать дроссельные характеристики системы водоснабжения второго подъема. Это дает возможность осуществлять точный прогноз потребления воды с учетом ее расхода на тушение пожара при соответствующей настройке дроссельных элементов и реализовать процесс оперативного управления системой водоснабжения в рамках АСУ ТП любого класса точности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Меренков А. П., Хасилев В. Я. Теория гидравлических цепей. — М.: Наука, 1985. — 278 с.
2. Панов М. Я., Щербаков В. И., Квасов И. С. Моделирование возмущенного состояния гидравлических систем сложной конфигурации на основе принципов энергетического эквиваленти-рования // Изв. РАН. Энергетика. 2002. № 6. С. 130-137.
3. Панов М. Я., Квасов И. С., Щербаков В. И., Щербаков К. В. К вопросу моделирования нена-груженного резерва в проектируемых гидравлических системах // Изв. Вузов. Строительство. 1997. № 11.С. 91-95.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — 720 с.
5. Основы компьютерного моделирования. — М.: РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2000. — 288 с.
Поступила в редакцию 25.04.05.
грессионной подмодели, полученная на основе функции цели:
Г = I-Q/]2 +х IQf -I
■з н
з з
\ Зе ^ Зе я у
(5)
Условия минимума этой функции позволяют получить новую систему нормальных уравнений, приведенную ниже в матричном виде:
||е{|||^{ || = ||Е{|||^{а||. (6)
Линейная регрессионная подмодель в относительных отклонениях, полученная на основе выражения (6):
||е {11Q (У I Щ {| = |\е {11Q ¿11 Щ {а |. (7)
Вторая версия РТМ потокораспределения (совокупность топологической подмодели в составе матрицы (4) и регрессионной (7)) позволяет избавиться от вычислительных проблем, обусловленных большой степенью нелинейности функции цели.
Как следует из дроссельных характеристик (см. рис. 2), синтезированных по результатам рас-
