Моделирование потенциальных полей в средах с тонким включением методом деформирующих операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.44; 51-72

О. Э. Яремко, Е. С. Могилева

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ В СРЕДАХ С ТОНКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ МЕТОДОМ ДЕФОРМИРУЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ

Аннотация. Актуальность и цели. Моделирование потенциальных полей в средах с тонким включением осуществляется с помощью метода деформирующих операторов. Актуальность метода состоит в том, что он позволяет существенно упростить вычисления, открывает новые возможности для исследования моделей потенциальных полей. Целью данной работы является аналитическое описание потенциальных полей в средах с тонким включением, изучение сред с плоской и центральной симметриями. Материалы и методы. Моделирование потенциальных полей в средах с тонким включением реализуется с использованием метода деформирующих операторов. Результаты. Найдено аналитическое описание потенциальных полей в кусочно-однородных средах. Получены выражения деформирующего оператора, который однородную задачу Дирихле переводит в кусочно-однородную. Найдены асимптотические выражения деформирующего оператора, основанные на формуле суммирования Эйлера - Маклорена. Исследованы потенциальные поля для случая сред с плоской симметрией и центральной симметрией. Установлен физический смысл деформирующего оператора преобразования, когда коэффициенты теплоемкости слоев сильно отличаются: компонента решения u2 с точностью до числового множителя приближенно равна решению третьей однородной краевой задачи. Выводы. Выявлена возможность распространения результатов по применению метода деформирующих операторов для создания аналитических моделей двухслойных потенциальных полей в многослойных пластинах.

Ключевые слова: деформирующий оператор, условие сопряжения, задача Дирихле, формула суммирования Эйлера - Маклорена.

O. E. Yaremko, E. S. Mogileva

MODELING OF POTENTIAL FIELDS IN MEDIA WITH A THIN INCLUSION BY THE METHOD OF DEFORMING OPERATORS

Abstract. Background. Modeling of potential fields in media with a thin inclusion is carried out by the method of deforming operators. The topicality of the method lies in its capacity to significantly simplify the calculations; it opens new possibilities of research of the models of potential fields. The study is aimed at analytical description of potential fields in media with a thin inclusion and research of media with plane and central symmetry. Materials and methods. Modeling of potential fields in media with a thin inclusion is carried out using the method of deforming operators. Results. The authors revealed the analytical description of potential fields in sec-tionally-homogeneous media. The researchers obtained the expressions of a deforming operator that converts a homogeneous Dirichlet problem into a sectionally-homogeneous. The article reveals the discovered asymptotic expressions of a deforming operator, based on the Euler-Maclaurin summation formula. The authors

investigated potential fields for the case of media with plane and central symmetry. The researchers determined the physical sense of a deforming operator of transformation, when the thermal capacity coefficients of layers significantly differ: solution component u2 with accuracy up to a numerical factor approximately equals to the solution of the third homogeneous boundary problem. Conclusions. The study revealed the possibility of distribution of the deforming operators method application results in order to create analytical models of two-layer potential fields in multilayer plates.

Key words: deforming operator, conjugation condition, Dirichlet problem, Euler-Maclaurin summation formula.

1. Плоский случай

Полуплоскость с условиями внутреннего сопряжения. Моделирование потенциальных полей для полуограниченной бесконечной пластины с тонким включением приводит к задаче Дирихле для двухслойной полуплоскости с условиями сопряжения на прямой.

Рассмотрим краевую задачу о решении сепаратной системы уравнений Лапласа

a2 dju2_ + ^Ju2_ = о, (х,y); о < х < i, _^< у , (1)

дх ду

~\2 ~\2

2 д u д u л , ч ,

а2—2т +—? = 0, (х,У); l < х, -<~< у <^, (2)

дх ду

по граничному условию на прямой х = l:

Ui(x,у) = u(х,у), х = 0, (3)

по внутренним условиям сопряжения [1-5] на прямой х = l:

и1(х,у) = U2(х,у), k~U^(х,у) = ^U^(х,у), k > 0, (4)

дх дх

здесь функция u = и(х, у) - гармоническая в правой полуплоскости,

H = {(х, у): 0 < х, у е R} , непрерывна в {(х, у): 0 < х, у е R} и удовлетворяет условиям

u = 0 (V х2 + у2 j,

Задача (1)-(4) в случае тонкого включения, т.е. малого значения 1, а также в случае сильной неоднородности, т.е. большого различия параметров ^1, а2, является плохо обусловленной [6]. Решение такой задачи сопровождается значительными вычислительными трудностями. Поиск новых аналитических методов ее решения представляет самостоятельный интерес.

Тонкая полоса. Пусть функция и = и(х,у) гармоническая в правой полуплоскости Н = {(х, у): 0 < х, у е К}, непрерывна в {(х, у): 0 < х, у е К} и удовлетворяет условиям

(• u ■’ 1

+у2

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в полосе Н1 = {(х,у):0<х< 1,уе К}:

2 2

+ ~2" = 0, (х,у); 0 < х < 1, -<~< у <^ , (5)

Эх Эу

с граничными условиями вида

и(0,у) = и(0,у), и(1,у) = 0. (6)

Задача (5)-(6) также плохо обусловлена при малом значении 1.

Осевой случай

Круг с условиями внутреннего сопряжения. Пусть функция

л л 2 2

и = и( х, у) гармоническая в единичном круге, В = {(х, у): х + у < 1}, и непрерывна в его замыкании В . В круге В рассмотрим краевую задачу о реше-

нии сепаратной системы уравнений Лапласа

Ды1 = 0, (х, у) е Кк , Ам2 = 0, (х, у) е Вк , (7)

где Кк - кольцо с внутренним радиусом К и внешним радиусом 1; Вк - круг радиуса К. По граничному условию на окружности ^

и1(х, у) = и(х, у), (х, у) е £ , (8)

по внутренним условиям сопряжения на окружности радиуса К:

«1( х, у) = М2( х, у),

кЬдщ(х,у) = Ь0,и2(х,у), к > 0, (х,у)е ^, (9)

э э

Ьп = х----+ у —.

^ дх 7 ду

Задача (7)-(9) плохо обусловлена [6] при значениях К ~ 1.

Тонкое кольцо. Пусть функция и = и( х, у) - гармоническая в единич-

2 2 — ном круге, В = {(х,у): х + у < 1} и непрерывна в его замыкании В . В кольце с внутренним радиусом К и внешним радиусом 1 рассмотрим задачу Дирихле о решении уравнения Лапласа

Ьмх = 0, (х, у) є Кд, (10)

по граничным условиям на окружностях S, Яд :

и = и,(х,у)є Я; и = 0, (х,у)є Яд. (11)

Задача (10) плохо обусловлена [6] при значениях Д ~ 1.

2. Деформирующий оператор

В работах автора [1-3, 5] определяется понятие деформирующего оператора 3, J: и ^ и, позволяющего по известному решению и модельной задачи определить решение и какой-либо из четырех перечисленных выше задач.

Полуплоскость с условиями внутреннего сопряжения. Деформирующий оператор Jимеет вид J: и ^ и, и = х(Н1)и1 + х(#2)^, где

и1(х,у) = [у^^ [и(х + 2Ї],у) -- х + 2/у,у)| 0 < х < Ї,

2k

U2( x,y) = I+T I IT+k

j=0V

a__

a2

(x -1) +1 + 2lj, y

l < x,

(12)

A_ 02

к =------, х - характеристическая функция множества [7].

^2 а1

Тонкая полоса. Деформирующий оператор 3: й ^ и, можно определить формулой

<( x, y) = I (w(x + 2lj,y) - u(2l - x + 2lj,y)); 0 < x < l.

j=0

(13)

Круг с условиями внутреннего сопряжения. Деформирующий оператор выражается формулой

3: и ^ u,и = х(Кд)и1 + Х(вя)u2,

где

U_ (x, y) = I ^j ' U( xR2lj, yR2lj) - _—і г?

R2j+2 R2j+2

2k

U2( xy)=i+т IV _

j=0

(14)

X - характеристическая функция множества [7].

Тонкое кольцо. Деформирующий оператор 3: г? ^ и можно определить формулой

<( x, y) = I

j=0

R2j, yR2j )-

R 2j +2 R 2j+2

x y

(1З)

J

Формулы (12) и (14) удобны только при значениях к ~ 1. В случае двухслойного тела, компоненты которого резко отличаются свойствами, т.е. при значениях к, близких к нулю, а также при больших значениях к, деформирующими операторами пользоваться нельзя ввиду медленной сходимости

1 — к 1 рядов при-----~ 1.

1 + к

Формулами (13) и (15) пользоваться нельзя ввиду медленной сходимости рядов при значениях I ~ 1 и значениях Я ~ 1 соответственно.

Цель нашего исследования состоит в построении конструкции деформирующих операторов, удобной в указанных случаях.

3. Вспомогательные результаты

Лемма 1. Если функция у = Дх) определена на отрезке [0, 1] и имеет ограниченную вариацию [8] на отрезке [0, 1], то для каждого значения Я выполняется следующая оценка для разности интеграла и его интегральной суммы

1 - ^

J x-1f(x)dx - ln—I f(R2j)

< in-L V( f).

R2 0

Доказательство. Разобьем интеграл на сумму (п + 1) слагаемых:

1 п-1 1 1

| х-1 Д(х)йх = ^ | х-1 Д(Я2} х)йх +1 х-1 Д(Я2пх)йх .

0 }=0 я2 0

Замена переменной в последнем интеграле приводит к равенству

l

n-i 1 , R

dx

J x 1 f (x)dx = I J f (R2j)—+ J x _f (x)dx.

0 j=0 r2 x 0

Учитывая, что

f (r2jx )-f (r Rj)

< V(f), получим требуемую оценку.

J x 1 f (x)dx - I J f (R2 j)

j=0 R2

0

^ 1

< Ij| f (R2 jx) - f (R2 j)

j=0 R2

dx

x

<

dx 1 -

— < V (f )ln—,

x 0 R2

где V(Д) - вариация функции [8] на отрезке [0, 1].

1

0

Плоский аналог леммы хорошо известен [6].

Лемма 2. Если функция у = Дх) определена на промежутке [0; да) и имеет ограниченную вариацию [8] на промежутке [0; да), то для каждого значения 1 выполняется следующая оценка для разности интеграла и его интегральной суммы

j f (x)dx - 2l 2 f (2lj)

0 j=0

< 2lV(f).

0

Числа Бернулли [9] определяются при помощи производящей функции

^ Г)

■ = Т 1' •

^ -1 1=0 1!

Формула суммирования Эйлера - Маклорена, примененная к функции Д21х) на промежутке [0;да), приводит к равенству

j=0

f(0) - 2 (2l)2k-1 B2k 2k-1(0).

2 k! h k =1

j=0

f (1) 2 (2l)2k-1 B2k T2k-1 1 (1)

— - 2----------^-------Ц) f (1).

A k=1

Замечание 1. При к е (0,1) асимптотически выполнено соотношение

Т (ТГ!) ‘д (х+2‘) *

1 Г( x . „w„ . f (x) 2 (2l)2k-1 B2k T2k-1

0 k=1

21* 2

0

при к е (1, го) асимптотически выполнено

k!

Lf - (x);

if 141j f(x + 2lj)af2x)-2(22k - 1)Lhk-1 f(x).

j=0 ^1 +k 1 2 k=1 k!

Оператор Х2^ имеет вид = 2й +----.

Сх

Замечание 2. При ке (0,1) асимптотически выполнено соотношение

21—'' r-tX 1 + k

j=0

f (rR2 j) =

\2k-1

\ Z./V I

ln(1/ R2)) B2k

----------J-----------------L2 (r );

ln(1/ Г )0 2 “

k=1

k!

при k є (1, го)

І (T-11if (rR2)a /r+

i=o

(l^-J2)2k -1 B2k

k=1

k!

-(22k -1)I2rlf (r).

Оператор имеет вид = 2к +----.

ёх

4. Основной результат Плоский случай

Полуплоскость с условиями внутреннего сопряжения. Изучим случай тонкой оболочки, т.е. малого значения толщины конечного слоя 1. Физически последнее означает, что коэффициенты теплоемкости слоев сильно отличаются.

Теорема 1. Пусть выполнено условие

1- к = е2М 1 + к

и пусть величина к мала.

Для компонент и и ^2 решения задачи (1)-(4) справедливы приближенные формулы

е2М , е2к

~2Т

1 - e2hl - e-

й2 “—-—г^3, й_ ~ — г?з (x,y)—— ї?з(21 - x,y), (x,y)є H2,

21 1 21

где г?з - решение задачи Робина [10] с граничным условием вида

2hйз +------u 3=U,(x,y), x = 0.

dn

При этом справедлива оценка

2М т

1 - ez

2l

- J eєhй( x + є, y )d є-й2( x, y)

0

<

(l -e2hl) (eєhй( x + є, y)).

Доказательство. Применим лемму 2. В результате получим формулу

т

2к 1 Г „£Ь~/ , „ 2к тП „ек>

к +

т— Je^(x + є,y)dє-й2(x,y) <-—-V(U(x + є,y)). 12lJ к + lo ' '

Выражая к через к, получим доказываемую оценку для и 2 . При этом была применена формула, связывающая решения задач Дирихле и Робена из [10]

й2 =-J eєhй( x + є, y )d є.

Приведенная теорема допускает физическую интерпретацию: компонента решения и2 с точностью до числового множителя приближенно равна решению третьей однородной краевой задачи с краевым условием вида

2кг?з +—й 3=и,(х,у), х = 0. дп

Аналогично доказывается следующая теорема.

Теорема 2. Пусть выполнено условие

1 - к = е2к1 1 + к

пусть также величина к >> 1. Для решения задачи (1)-(4) справедливы приближенные формулы

1__е2к/ 1 /.

и1 “ 1 + 2к/ 2/((ху) _еШиз(х+21,у)) +

((2/ _ х, у) _ е2к/?з (4/ _ х, у) -,

+e 2 hli

1-е2М 1 , и2 * 21 21 гз(х’()-е2Мйз(х+21>у))•

Теорема 2 доказывается также на основе леммы 2.

Тонкая полоса. Применим лемму 2. Для решения задачи Дирихле (5)-(6) в полосе справедлива оценка

•u(x + є,y)-й^-x + є,y) ,

-і---2l---------- d є-й (x, y)

<V, 0

здесь

го го

V = V(и(х + е,у) _и(2/ _ х + е,у)) -

0 0

вариация функции [8], взятая по переменной е на промежутке [0;да).

Теорема 3. Решение задачи Дирихле (5)-(6) в полосе может быть найдено по приближенной формуле

и( у) _ ?2(х, у)_?2(2/-х, у) ,

2/

где и 2 - решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге с граничным условием вида

ди2

= u, x = 0.

dx

Осевой случай

Круг с условиями внутреннего сопряжения. Изучим случай тонкой оболочки, т.е. малого значения толщины внешнего слоя (1 - R). Будем счи-

го

тать также малой величину к, т.е. рассмотрим случай, когда коэффициенты теплоемкости слоев сильно отличаются. Положим

1

1 + к

Из леммы 1 следуют формулы

к = R2h

2к

к +1

,h-1

й(xє, yє)dє - й2 (x, y)

ln—2 о R2

< 21 V(u(xє,ує) к +1 o'

1 - R

2h 1

Phi

_— j є - u(xє,yє)dє-й2(x,y)

ln^ 0 R2

< V (є hM( x^ ує) )l - R2h

Таким образом, приходим к следующему результату.

Теорема 4. Для компонент решения задачи (7)-(9) и^,и2 справедливы приближенные формулы

й_

1 R 2h

йз( x, У )-----------йз

ln “Г R 2

ln ~~2 R 2

( ^ xy

й2

1 - R

2h

ln “Г R2

'й'ї.

Полученная теорема допускает физическую интерпретацию: компонента решения и2 с точностью до числового множителя приближенно равна решению третьей краевой задачи с краевым условием вида

2киз +-?з = и,(х, у) е Я.

дп

При этом необходимо учесть формулу из [3], связывающую решения

1

Р к 1

первой и третьей краевой задач: ?з = I е _ и(хе,уе)йе.

0

Исследуем теперь случай малого значения толщины внешнего слоя 1 _ Я ~ 0, считая при этом величину коэффициента к >> 1. Если выражение компоненты и2 переписать в виде

“2(х,у)=Г+Г|) и(Я,уя4')_

2к к -1 і; (I-T 11 + к ^ (1 + к

j=°y

к +

2j

?(xR2 R4j, yR 2 R4j),

определить число М формулой

к _ 1 = р2к

1 + к

и воспользоваться леммой 1, то получим такие приближенные формулы для компонент решения задачи (7)-(9):

1 _ Я2к 1

и1 ~ 1 + Я2к ГХ

1 + Я 21п4г Я2

x

йз

x У

( ( •'у

R 2%

йз( x, У) - R 2% ( 2 є, R2 y)) + R

2h .

- (»з( x, У) - R 2І,йз (R 2 є, R 2 y)).

R4 R4

1 - R

21п-

Я2

Тонкое кольцо. Пусть функция г? = и( х, у) гармоническая в единичном

2 2 — круге, В = {(х, у): х + у < 1} и непрерывна в его замыкании В . В кольце

Кя с внутренним радиусом Я и внешним радиусом 1 рассмотрим задачу Дирихле (10)-(11).

Применив лемму 1, получим следующую оценку решения задачи Дирихле в кольце (10)-(11):

- и( xє, ує) - й

( R2 R2 ^

—є,—є x y

( ^ у

є ln—2

R2

■d є — u( x, y)

<V, 0

здесь

1 1 V = V

0 0

й( xє, ує) - г?

-є,—є

x У

/)

вариация функции [8], взятая по переменной на отрезке [0; 1]. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Для решения задачи Дирихле в кольце (10)-(11) справедлива приближенная формула

г?2( x, у) - г?2

u (x, y) =

xy ( J у

ln _l_ R2

где г?2 - решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге с граничным условием вида

— = u,(x, y)e S. dn

Заключение

Как следует из приведенных в статье результатов, точность найденных формул имеет порядок, равный толщине внешнего слоя, поэтому представляет интерес получения формул более высокого класса точности. Указанная задача решается при помощи асимптотических формул, представленных в следствиях 1, 2. Актуальна задача распространения результатов на многослойные пластины, а также на краевые задачи с более общими граничными условиями.

Список литературы

1. Yaremko, O. E. Transformation operator and boundary value problems Differential Equation / O. E. Yaremko. - 2004. - Vol. 40, № 8. - Р. 1149-1160.

2. Yaremko, O. E. Matrix integral Fourier transforms for problems with discontinuous coefficients and transformation operators / O. E. Yaremko // Doklady Mathematics. -2007. - № 76 (3). - Р. 876-878.

3. Bavrin, I. I.Transformation Operators and Boundary Value Problems in the Theory of Harmonic and Biharmonic Functions / I. I. Bavrin, O. E. Yaremko // Doklady Mathematics. - 2003. - № 68 (3). - Р. 371-375.

4. Bavrin, I. I. The operator method in the theory of integral transforms for piecewise homogeneous media / I. I. Bavrin, O. E. Yaremko // Doklady Mathematics. - 2001. -№ 64 (1). - Р. 44-47.

5. Yaremko, O. E. The method of transformation operators as applied to boundary value problems in spherically symmetric domains / O. E. Yaremko // Doklady Mathematics. - 2006. - № 74 (1). - Р. 507-511.

6. Tikhonov, A. N. Solutions of Ill-Posed Problems / A. N. Tikhonov, V. Y. Arsenin. -New York : Winston, 1977.

7. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1976. - 724.

8. Rudin Walter. Real and complex analysis / Rudin Walter. - New York : McGraw-Hill, 1966. - 412 p.

9. Abramowitz, M. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. - 9th printing ed. / M. Abramowitz, C. A. Stegun. - New York : Dover, 1972. - P. 804-806.

10. Mei Zhen. Numerical bifurcation analysis for reaction-diffusion equations / Mei Zhen. - Berlin ; New York : Springer, 2000.

References

1. Yaremko O. E. Transformation operator and boundary value problems Differential Equation. 2004, vol. 40, no. 8, pp. 1149-1160.

2. Yaremko O. E. Doklady Mathematics [Mathematical reports]. 2007, no. 76 (3), pp. 876-878.

3. Bavrin I. I., Yaremko O. E. Doklady Mathematics [Mathematical reports] 2003, no. 68 (3), pp. 371-375.

4. Bavrin I. I., Yaremko O. E. Doklady Mathematics [Mathematical reports]. 2001, no. 64 (1), pp. 44-47.

5. Yaremko O. E. Doklady Mathematics [Mathematical reports]. 2006, no. 74 (1), pp. 507-511.

6. Tikhonov A. N., Arsenin V. Y. Solutions of Ill-Posed Problems. New York: Winston, 1977.

7. Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementy teorii funktsiy i funktsional’nogo analiza [Elements of the theory of functions and the functional analysis]. Moscow: Nauka, 1976, 724.

8. Rudin Walter. Real and complex analysis. New York: McGraw-Hill, 1966, 412 p.

9. Abramowitz M., Stegun C. A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9th printing ed. New York: Dover, 1972, pp. 804806.

10. Mei Zhen. Numerical bifurcation analysis for reaction-diffusion equations. Berlin; New York: Springer, 2000.

Яремко Олег Эмануилович кандидат физико-математических наук, профессор, кафедра геометрии и математического анализа, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: Yaremki@mail.ru

Могилева Елена Сергеевна аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: ElenaSergIvan@yandex.ru

Yaremko Oleg Emanuilovich Candidate of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of geometry and mathematical analysis, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Mogileva Elena Sergeevna Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 517.44; 51-72 Яремко, О. Э.

Моделирование потенциальных полей в средах с тонким включением методом деформирующих операторов / О. Э. Яремко, Е. С. Могилева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 4 (28). - С. 49-60.