CC BY
15
УДК 621.833.12 Лимаренко Герольд Николавич,
д. т. н., доцент кафедры «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительного производства» ПИ СФУ, тел. 227-16-37
Колбасина Наталья Анатольевна, к. т. н., доцент кафедры «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительного производства» ПИ СФУ, тел. 242-05-86
Лукин Роман Сергеевич, аспирант кафедры «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительного производства» ПИ СФУ, тел. 8-902-928-84-53
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ КОНСТРУКЦИИ И РЕЕЧНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ ПРИВОДА РАБОЧЕГО ОРГАНА ТЯЖЕЛОГО СТАНКА
G.N. Limarenko, N.A. Kolbasina, R.S. Lukin
MODELING OF CONSTRUCTION PARAMETERS AND RACK TOOTHING OF HEAVY MACHINE ELEMENT
OPERATE DRIVE
Аннотация. Рассмотрены методы и некоторые результаты моделирования многопарных зубчатых реечных передач, применяемых в приводах тяжелых станков, а также результаты решения задачи поиска оптимальных значений параметров конструкции конечного звена по предложенной расчетной модели реечной вал-шестерни.
Ключевые слова: реечная передача, конечное звено, многопарная передача, оптимизация параметров, конечно-элементная модель, вал-шестерня, контактные линии.
Abstact. The methods and some modeling results of multijugate toothed rack-and-gear drive are discussed, which are used in heavy machine drives, and the results of solving the problem of searching optimal values of end effector construction parameters values by the proposed calculation model of rack-and-gear pinion shaft are considered.
Keywords: rack-and-gear drive, end effector, multijugate transfer, parameters optimization, finite element model, pinion shaft, contact lines.
Введение
В приводах подачи тяжелых многоцелевых станков при перемещении рабочих органов (РО) на величину свыше 3 метров используются зубчатые реечные передачи (ЗРП). Конструктивно ведущие звенья ЗРП чаще всего встраиваются в редуктор в виде двух консольных вал-шестерен, зацепляющихся с косозубой рейкой с усилием предварительного натяга (рис. 1). Создание натяга и выбор зазоров в элементах кинематической цепи осуществляется путем разворота двух ветвей при-
вода в редукторе с помощью подпружиненной плавающей шевронной шестерни [1].
9 8
Рис. 1. Редуктор с устройством выбора зазоров в передачах и подшипниках
К ЗРП и к следящему приводу подачи РО тяжелого многоцелевого станка в целом предъявляются высокие требования по передаваемому тяговому усилию, жесткости, плавности и точности перемещения, уровню собственных частот колебаний и др.
В технической литературе при проектировании рекомендуется ЗРП рассматривать как разновидность цилиндрической зубчатой передачи, на которую должны распространяться и методы ее расчета по критериям работоспособности: контактной и изгибной выносливости, прочности при перегрузках. При скудной смазке зацепления рекомендуется также рассматривать ЗРП как открытую передачу, критерием работоспособности которой является износостойкость [2].
При традиционном расчете зависимости контактной выносливости зубьев основаны на теоретических моделях Герца по сжатию двух
цилиндрических тел, предполагающих параллельность цилиндров (цилиндров и плоскостей) при их упругом сближении, а также теоретических и экспериментальных исследованиях, учитывающих влияние различных конструктивных и эксплуатационных факторов на величину расчетной силы, сжимающей тела.
Расчетные формулы по определению контактной выносливости цилиндрических передач, а также по другим критериям работоспособности приведены в ГОСТ 21354-87 [3]. Вместе с тем ЗРП имеют некоторые особенности, которые не в полной мере учитываются в указанном стандарте. Эти особенности заключаются в величине передаточного отношения и = да, консольном расположении ведущих косозубых реечных шестерен, большом отношении ширины шестерни к ее делительному диаметру, высоких значениях суммарного коэффициента перекрытия и, соответственно, числа и протяженности контактных линий, малой величине (< 5 м/с) окружной скорости в зацеплении.
Оптимизация параметров вал-шестерни
Для поиска оптимальных значений параметров конструкции конечного звена расчетную модель реечной вала-шестерни представим в виде двухопорной балки, взаимодействующей с массой рабочего органа (рис. 2).
Рис. 2. Расчетная модель оптимизации параметров конечного звена
Вал-шестерня в процессе взаимодействия с рабочим органом совершает малые вращательные (вокруг своей оси) и угловые в вертикальной плоскости колебания. Путем приведения к точке О массы вала (топ) и упругой связи вала с основанием, систему вала можно свести к точечной массе, взаимодействующей с массой рабочего органа. Уравнения движения двухмассовой системы получим из выражений кинетической Т и потенциальной V энергии, учитывая обобщенные координаты д0 и Зр (рис. 2).
■ 2 .2
2 Т = тап -30 +тт-д„ ;
2У=и-в0г+и(8с
В матричном виде уравнение движения содержит диагональную матрицу масс и матрицу жесткости в виде
7о +./4 -и
. -Л Л .' Парциальная частота колебаний конечного звена определяется по выражению
[С]
/о =
= I
2-7Т т]
\ю+и
'
Для генерации оптимальной передачи пользована составная целевая функция
тах,
была
ис-
2500 0,7 135
1.5
'
где в числителях /0 - парциальная частота, к - -коэффициент среднего изменения длины контактных линий, - делительный диаметр, Кн - коэффициент нагрузки. Числа в знаменателях - это средние ожидаемые значения, уравновешивающие размерности параметров, составляющих оценочную функцию. Для поиска глобального максимума целевой функции использовалась комбинация генетического алгоритма и метода покоординатного спуска. Варьируемыми параметрами являются: модуль, число зубьев, угол наклона зуба, коэффициент смещения, ширина венца шестерни при выбранных значениях жесткости опор ]1,}2, крутильной жесткости привода /3, массе рабочего органа и размерах вала а,Ь, с. о2. В табл. 1 приведены полученные оптимальные параметры конструкции в зависимости от создаваемого усилия на тяговой рейке.
Конечно-элементная модель реечного зацепления
Для оценки характера распределения контактных и изгибных напряжений в ЗРП с учетом ожидаемых деформаций вала-шестерни и его подшипниковых опор при действии рабочих усилий была разработана конечно-элементная модель реечного зацепления. Далее идет описание разработки расчетной модели для оптимизированного варианта, сгенерированного под тяговое усилие 10 кН (вариант I).
Рассмотрим задачу о контакте нескольких зубьев реечной шестерни и рейки (рис. 3). Начало прямоугольной системы координат х, у, ъ находится в точке, совмещенной с торцом шестерни, расположенным со стороны присоединения вала, ось х параллельна оси, вдоль которой движется рейка, перпендикулярная ей ось ъ совпадает с осью вращения шестерни. При этом шестерня является ведущей. Линии профиля косых (прямых) зубьев выполнены по уравнениям, описанным в работе [4].
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
Т а б л и ц а 1 Оптимальные значения некоторых
Параметры Пределы значения Тяговое усилие на рейке .- , кН
10 20 30 40 50
Модуль ■■■, мм 5..8 5 5,07 5 5,95 7,06
Угол наклона .';, град 0..20 20 20 20 20 20
Число зубьев шестерни Г ■. 15..30 26 26 30 29 28
Коэффициент смещения шестерни '.': -0,6..0,6 -0,18 0,09 0,40 0,60 0,60
Ширина зубчатой шестерни .'■., мм 20..200 54 62 65 70 90
Ширина зубчатой рейки мм - 52 60 63 68 88
Радиальная жесткость большого подшипника -■., Н/мкм 1324 1324 1324 1303 1324
Радиальная жесткость малого подшипника , Н/мкм 1014 1014 1014 996 1014
Делительный диаметр d1, мм - 138,1 140,3 159,6 183,8 210,4
Коэффициент торцевого перекрытия :.. - 1,67 1,61 1,55 1,45 1,48
Коэффициент осевого перекрытия : ■ - - 1,13 1,29 1,39 1,24 1,35
Коэффициент перекрытия ^ГГ - 2,81 2,90 2,92 2,73 2,84
Средняя суммарная длина контактных линий -., мм - 91,9 102,1 103,1 106,9 137,8
Наименьшая суммарная длина контактных линий -..-., мм 78,2 88,6 89,4 84,6 115,1
Коэффициент среднего изменения длины контактных линий V, 0,85 0,86 0,87 0,79 0,84
Собственная парциальная частота Гц - 3008 3258 2705 2247 2121
Контактное напряжение в точке кромочного контакта и^МПа 894 981 899 885 880
Контактное напряжение в полюсе зацепления ." - , МПа 527 691 759 792 784
Коэффициент нагрузки У.. - 1,75 1,69 1,56 1,53 1,77
Изгибное напряжение зубьев шестерни -"-., МПа - 207 321 428 448 426
Изгибное напряжение зубьев рейки , МПа - 184 303 437 479 453
Как видно из постановки задачи, шестерню необходимо закреплять консольно на податливых опорах, поэтому при конечно-элементном моделировании возникает необходимость в моделировании вала и тела шестерни, а также учета податливости подшипников. При этом для уменьшения информационного объема решаемой задачи рассматривается взаимодействие нескольких пар зубьев (от 2 до 5). Число смоделированных зубьев выбирается из условий обеспечения соответствия реальному зацеплению на всем расчетном диапазоне исходя из рабочей ширины зацепления и коэффициента перекрытия.
Конечно-элементная модель вала-шестерни и схема ее закрепления приведена на рис. 4. При моделировании граничных условий и нагрузок в программном комплексе было задано
закрепление цилиндрических поверхностей посадки подшипников с помощью контактного алгоритма закрепления управляющего узла (метод внутренних многоточечных связей - метод создает контактный интерфейс путем генерации внутренних уравнений связи между элементами рассматриваемой конструкции). Каждый такой узел, имитирующий точку опоры подшипника, закреплялся на трех «жестко-демпфирующих» пружинах, каждая из которых назначалась с соответствующей реальному подшипнику жесткостью и демпфированием. Для передачи крутящего момента на поверхность посадки приводящего колеса также использовался управляющий узел, закрепляемый пружиной с крутильной жесткостью, соответствующей крутильной жесткости приводящих звеньев, а к свободному концу прикладывалась угловая скорость для передачи крутящего момента.
Рис. 3. Модель реечного зацепления
Рис. 4. Конечно-элементная модель вал-шестерни
Вдоль рейки действует сила Ft, равная тангенциальной силе в зацеплении, создаваемая не-
линейной пружиной, кривая реакционной силы которой не является линейной и может в явном виде задаваться пользователем, в данном случае при любой деформации пружины создаваемая ей реакция будет равна При этом один конец пружины жестко закрепляется, другой конец соединяется с управляющим узлом рейки и закрепляется по пяти степеням свободы кроме перемещения вдоль оси X (для обеспечения поступательного движения рейки). При этом на опираемую поверхность рейки накладывалось ограничение не податливого (как в предыдущих случаях с подшипниками), а жесткого закрепления относительно управляющего узла. Также для уменьшения времени счета (в частности количество равновесных итераций, потребных для схождения шага нагру-жения) предполагаем, что в зоне контакта зубьев шестерни и рейки отсутствует трение. При генерации конечно-элементной сетки взаимодействующих зубьев в окрестности области контакта использовалось более мелкое разбиение на элементы для получения более точного решения в зоне контакта.
Динамический расчет происходит следующим образом. Узел, к которому приложена угловая скорость, начинает вращаться с постоянной скоростью, однако из-за инерционных сил шестерни и рейки и крутильной податливости пружины какой-то отрезок времени скорость шестерни меньше заданной скорости узла. Этим обеспечивается плавный разгон шестерни до требуемой скорости и более точное моделирование пуска двигателя, что важно для следящих приводов при отсутствии заданной диаграммы разгона двигателя. Также во время пуска в подшипниковых опорах могут возрастать реакции вследствие действий больших ускорений, действующих на рейку.
Для повышения износостойкости и сопротивления выкрашиванию ножек зубьев шестерни на головке зуба рейки выполнено дополнительное снятие материала на глубину 0,005 модуля и высоту 0,4 модуля (модификация головки зуба или фланкирование). При этом максимум напряжений сместился ближе к полюсу зацепления (рис.
5).
Наиболее полную картину распределения напряжений и давлений по зонам контакта зубьев дают диаграммы, построенные вдоль линий контакта для первой и второй пар зубьев при угловых положениях ведущей шестерни 1,06°, 4,39° и 15,48° (рис. 6).
Рис. 5. Характер распределения эквивалентных напряжений и контактных давлений в двухпарном косозубом реечном зацеплении
Для первой пары контактирующих зубьев заметно существенное снижение контактных давлений по мере удаления точек контакта от зоны приложения крутящего момента. Для второй пары максимальное контактное давление приближено к средней части по длине шестерни - области максимальной жесткости зуба. Результаты измерения распределения напряжений, давлений и коэффициента неравномерности распределения контактных давлений приведены в табл. 2.
Т а б л и ц а 2 Распределение изгибных напряжений и контактных давлений
Угол поворота оси шестерни, град.
1,06 4,39 15,48
Длина контактных линий, мм 83,19 76,87 84,31
Максимальные изгибные напряжения первой пары зубьев, МПа 200 220 270
Максимальные изгибные напряжения второй пары зубьев, МПа 150 150 150
Максимальное контактное давление первой пары зубьев, МПа 591 542 800
Максимальное контактное давление второй пары зубьев, МПа 516 712 545
Коэффициент неравномерности распределения контактных давлений вдоль контактных линий первой пары зубьев 1,42 1,13 1,53
Коэффициент неравномерности распределения контактных давлений вдоль контактных линий второй пары зубьев 1,76 1,69 1,43
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
а)
б)
Рис. 6. Распределение напряжений вдоль линии контакта в косозубой передаче при двупарном зацеплении: а - для первой пары контакта, б - для второй пары
При большей ширине шестерни зона контакта в зацеплении распространяется на три-четыре зуба (рис. 7).
Рис. 7. Расположение контактных линий на приводных шестернях при трехпарном и четырехпарном зацеплении
Заключение
Моделирование контактного многопарного взаимодействия зубьев в зацеплении консольной шестерни с рейкой показало, что расчетный коэффициент нагрузки по ГОСТ 21354-87 требует уточнения в части распределения нагрузки между зубьями и по длине контактных линий (см. табл. 1 и табл. 2). Многопарное взаимодействие зубьев обеспечивается выбором конструктивных параметров шестерни и угла наклона ее зубьев. Многопарное реечное зацепление, как известно, увеличивает коэффициент перекрытия [5], повышает жесткость передачи, усредняет геометрические погрешности, способствует повышению плавности движения ведомого звена.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бушуев В.В. Практика конструирования машин: справочник - М.: Машиностроение, 2006.
- 448 с.
2. С.А.Чернавский. Курсовое проектирование деталей машин. М.: ООО ТИД «Альянс», 2005.
- 416 с.
3. ГОСТ 21354-87 Передачи зубчатые цилиндрические эвольвентные внешнего зацепления. Расчет на прочность - Дата введ. 01.01.1989. -М.: Издательство стандартов, 1987. - 126 с.
4. Колбасина, Н. А. Способ получения функций, описывающих профили зубьев, нарезаемых
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
стандартным инструментом на типовом оборудовании / Н. А. Колбасина // Транспортные средства Сибири: сб. науч. тр. с междунар. участием. - Красноярск, 2002. - Вып. № 8. -С.577-588.
5. Лимаренко Г.Н., Мальковский С.И. Геометрия зацепления в ортогональной зубчатой реечной передаче. Вестник машиностроения, 2009, №1, С.11-15.
УДК 519.853-519.632 Сельвинский Владимир Владимирович,
к. ф.-м. н., доцент Амурского государственного университета, тел.: 89246745701, e-mail: selvinvv@mail.ru
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ОКРЕСТНОСТИ ОСИ УГЛОВЫХ КОЛЕБАНИЙ НАКЛОННОЙ ШЕРОХОВАТОЙ ПЛОСКОСТИ
V. V. Selvinsky
MOVEMENT OF THE SOLID BODY NEAR THE AXIS OF THE ANGULAR VIBRATIONS OF THE INCLINED
ROUGH SURFACE
Аннотация. Исследуется влияние неоднородного вибрационного поля на перемещение твердого тела конечных размеров по шероховатой плоскости. На основе выбранной двухмассо-вой модели твердого тела устанавливаются общие закономерности движения, при котором происходит ориентирование твердого тела относительно оси угловых колебаний шероховатой плоскости.
Ключевые слова: шероховатая плоскость, вибрационное перемещение, двухмассовая модель твердого тела, система нелинейных дифференциальных уравнений с изменяющейся структурой.
Abstract. Aim of this article is to explore the influence of non-uniform vibration field on the movement of a solid body to be on rough plane. Based on the two-mass model of a solid body the general patterns of movement, in which appears the orientation of a solid body near the axis of angle vibration of rough plane, are established.
Keywords: rough plane, vibrating displacement, two-mass model of a solid body, system of nonlinear differential equations with varying structure.
Введение
Широко известны исследования вибрационного перемещения материальной частицы по шероховатой плоскости, совершающей поступательные гармонические колебания [1, 3-5]. Результаты этих исследований используются при проектировании вибрационных транспортирующих машин и устройств [2]. Практически неизученными остаются вопросы влияния угловых колебаний рабочей шероховатой поверхности на характер пере-
мещения транспортируемого объекта. Вместе с тем наличие угловых колебаний формирует неоднородность вибрационного поля определенной структуры, что приводит к перераспределению переносных сил инерции в относительном движении объекта. Это оказывает дополнительное влияние на вращательную часть движения объекта, способствует его самоориентации. Рассмотренная двухмассовая модель твердого тела учитывает все характерные особенности взаимодействия твердого тела с шероховатой плоскостью при безотрывном движении.
Базовая система уравнений состояния
Исследование движения материальной частицы в окрестности оси угловых колебаний шероховатой плоскости показало наличие режимов движения, при которых частица не покидает области безотрывности [ б]. Представляет интерес исследование аналогичного движения твердого тела, обладающего динамической асимметрией. В качестве простейшей модели такого твердого тела рассмотрим двухмассовую симметричную систему MjM2 с двумя точками опоры A и A (рис. 1). Она позволяет имитировать действие сил сухого трения, а также наличие осевых моментов инерции, определяющих вращательную часть движения реального объекта.
Шероховатая плоскость совершает угловые колебания относительно оси Ox по закону
a(t) = а0 Sin rat, где а0, ra - амплитуда и частота колебаний плоскости, t - время. Сама ось Ox наклонена под уг-
