CC BY
105
Бизнес в законе
6’2012
18.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБЪЕМОВ ПРОИЗВОДСТВА ПРОДУКЦИИ
Лютова И. И., д.э.н., профессор, Национальный
институт бизнеса, Москва
irina_lyutova@mail.ru
Аннотация: целью функционирующего предприятия
является получение прибыли, что связано с повышением эффективности производства на этапе управления производственным процессом. Экономико-математическое моделирование позволяет определить оптимальный ассортимент производства продукции, для чего выделены категории оптимальности ограничения по ресурсам.
Ключевые слова: эффективность производства,
экономико-математическое моделирование, критерии оптимальности, технологические показатели, граница спроса, максимальный выпуск.
MODELLING OF OPTIMUM PRODUCTION VOLUMES OF PRODUCTION
Lyutova I. I., the Doctor of Economics, the professor, National institute of business, Moscow
irina_lyutova@mail.ru
Annotation: the purpose of the functioning enterprise is profit earning that is connected with production effectivization at a production control stage. Economic-mathematical modelling allows to define optimum range of production for what categories of an optimality of restriction on resources are allocated.
Keywords: a production efficiency, economic-mathematical modelling, optimality criterions, production data, demand border, the maximum issue.
Повышение эффективности производства на
деревообрабатывающих предприятиях связано с совершенствованием управления технологическими процессами и производственными комплексами путем использования методов моделирования и оптимизации производственных процессов и производственных программ.
Этой цели служит экономико-математическое моделирование деятельности предприятия для
разработки оптимального ассортимента производства продукции. Анализ положения предприятия и решение оптимизационных задач требует построения адекватной математической модели на основе многоцелевой оптимизации.
Предприятие занимается первичной обработкой древесины - производством пиломатериалов и
последующей обработкой произведенных
пиломатериалов и производства из них следующих видов продукции:
- комплекты домов из клееного бруса;
- экспортные пиломатериалы;
- пиломатериалы побочных сечений (для внутреннего рынка);
- клееные деревянные конструкции;
- строганные и погонажные изделия;
- побочная продукция (технологическая щепа).
Производство продукции требует затрат трудовых
ресурсов, сырья и материалов, теплоэнергии, электроэнергии, горюче-смазочных материалов и других ресурсов.
Сырьем для производства всех этих видов продукции являются пиломатериалы, которые производятся из
древесного сырья, представленного пиловочником хвойных пород - сосны и ели. Известны нормы расхода ресурсов при выпуске единицы продукции каждого вида, запасы ресурсов в плановом периоде, отпускные цены реализации продукции. На основании информации об условиях, складывающихся на рынке сбыта продукции, а также степени оценки использования производственных мощностей установлены максимально возможные объемы выпуска названных изделий, а также минимальные объемы их производства.
Математическая модель задачи
По основным видам продукции предприятия известны:
- цены реализации за единицу продукции;
- расход денежных затрат на производство единицы продукции.
На первом этапе в качестве критериев оптимальности приняты четыре основных показателя производственной деятельности предприятия:
F - максимум выручки от реализации продукции;
F2 - минимум затрат на производство изделий;
F3 - максимум прибыли от реализации продукции;
F4 - максимум рентабельности продукции;
Выбранные критерии оптимальности являются значимыми индикаторами финансового состояния и экономической эффективности производства.
Каждая переменная представляет собой объемы производства соответствующего вида продукции. Оптимизации подлежат объемы производства следующих видов продукции:
3
X! - производство экспортных пиломатериалов, м
X2 - производство пиломатериалов 4 сорта для
реализации на внутреннем рынке, м3
^ '-'2
03 - производство технологической щепы, м
04 - производство брусовых домов, м2
05 - производство клееной балки, м2
2
06 - производство строганных изделий, м
Оптимизации подлежит только эти виды продукции, т.к. остальные виды продукции в совокупности составляют незначительную долю (менее 5%) в объеме производства.
С учетом выделенных переменных локальные критерии оптимальности примут следующий вид:
1) Максимум выручки от реализации продукции:
Fj(0) = йп0j + al2х2 + а13х3 + а14х4 + а1505 + а1606 — max
(1)
где а1 j - цены реализации соответствующих видов
продукции, руб.
2) Минимум затрат на производство продукции:
F2(0) = а210j + а22х2 + а23х3 + а24х4 + а2505 + а26 06 — min
(2)
где а2 j - производственная себестоимость единицы
продукции, руб.
3) Максимум прибыли от реализации продукции:
F3(0) = а1101 + а12х2 + а13х3 + а14х4 + а1505 + а1606 -
- (а 2101 + а 22 х 2 + а 23 х3 + а 24 Х4 + а 25 05 + а 26 0^^ max
(3)
4) Максимум рентабельности продукции:
@11 Oi + @12 Х2 + @13 Х3 + @14 Х4 + @15 Or + &16 О6 —
F4( о) =
— (@21 О\ + @22 Х2 + @23 Х3 + @24 Х4 + @25 О5 + @26 Об') @2i О-1 + @22 Х2 + @23 Х3 + @24 Х4 + @25 О5 + @26 Об
(4)
■> тах
Помимо критериев оптимизации необходимы ограничения по ресурсам. Как было сказано выше, предприятие занимается как первичной переработкой пиловочника - производства пиломатериалов, так и выпускает продукцию домостроения и клееные деревянные конструкции, для которой сырьем будут являться произведенные пиломатериалы. В связи с этим, необходимо ввести в модель две дополнительные переменные:
х 0 - валовый объем произведенных
пиломатериалов, м3 2 - объем пиловочника, потребляемого для
производства продукции, м3 Тогда ограничение по запасу пиловочника примет вид:
2 < в1,
где - запасы пиловочника, м3
(5)
В процессе распила в зависимости от качества потребляемого сырья получаются следующие технологические показатели, составленные на основе балансов потребления древесины:
- выход пиломатериалов должен находиться в пределах от 44 до 50%;
- выход технологической щепы варьируется от 33 до 35%;
- выход пиломатериалов из боковых сечений для реализации на внутреннем рынке составляет от 14 до 18%.
Исходя из этого, ограничения на выход пиломатериалов и щепы будут выглядеть следующим образом:
д0 > 0,442 и д0 < 0,502 - ограничения по выходу
пиломатериалов (6)
д2 > 0,332 и д2 < 0,352 - ограничения по выходу
щепы (7)
д2 > 0,14д0 и д2 < 0,18д0 - ограничения по
выходу пиломатериалов 4 сорта (8)
Поскольку производимые пиломатериалы расходуются на оставшиеся виды продукции и часть направляется на продажу, то необходимо записать ограничение по запасу пиломатериалов:
п11 д1 + п12 х2 + п14 х4 + п15 х5 + п16 д6 = д0, (9) где с1. - нормы расхода пиломатериалов на единицу продукции
(10)
3
где в2 - запасы пиломатериалов, м Ограничение по запасу трудовых ресурсов:
С21 Х1 + С23 Х3 + С 24 Х4 + С 25 Х5 + С 26 Х6 + С 27 Х7 < в3
(11)
где в3 - запасы трудовых ресурсов, чел.-час;
Х0 < в2 ■
\^2. — нормы расхода I рудовых ресурсов на единицу
продукции.
В целях недопущения увеличения затрат на производство продукции необходимо добавить
ограничение по себестоимости произведенной продукции
С31 Х1 + С33 Х3 + с34 Х4 + С35 Х5 + С36 Х6 + С37 Х7 < в4
где
вл
(12)
себестоимость
произведенной
продукции, тыс. руб.
с3 ■ - денежные затраты на единицу продукции.
Для недопущения снятия с производства какого-либо вида продукции наложим ограничения по максимальному и минимальному выпуску продукции, составленных на основе уровню спроса на эти виды продукции и производственных возможностей и загрузки производственных мощностей предприятия:
О1 > dx
О2 > d 2
О3 > d 3
О4 > d4
О5 > d5
Об > d
О1 < gi
О2 < g 2
О3 < g3
О4 < g
О5 < g 5
О6 < g
(13)
(14)
где
d -
минимальный уровень выпуска продукции;
gi - максимальный уровень выпуска продукции;
Кроме того, накладываются ограничения неотрицательности на все переменные:
ог > 0, д2 > 0, д3 > 0, д4 > 0, д5 > 0, д6 > 0 (15)
Нормы расхода ресурсов на единицу каждого вида продукции, цены реализации и себестоимость единицы продукции, а также фактическая производственная программа, максимальный и минимальный объем выпуска заданы в таблице 1. Запасы ресурсов, имеющиеся в наличии у предприятия, показаны в таблице 2.
Максимальный и минимальный объем выпуска продукции определен на основе максимального и минимального выпуска продукции за последние три года с разницей в 15%, то есть минимальный выпуск продукции был уменьшен на 15%, и это представляет собой нижнюю границу спроса на продукцию, а максимальный выпуск, соответственно, увеличен на 15% для определения верхней границы спроса. Уровень спроса на продукцию скорректирован в соответствии с производственными возможностями предприятия.
370
S*
уі О?
^ 1 м
ю ІЛ
О
+ UJ
'^1
N
оо
U\
X
+
40
о
>—і
X
U\
+
Н-ь
к>
"чо
о?
ON
ІД
І—
40
ОО
оо
■£-
О
,С>* О* о? о?
IV IA О о
1>J 1>J с/1
L>J О
N N
IV О
V -р^
N
ІЛ
UJ
Ю
^1
+ і + § О '
ъ, ;;
ON |Л
^ Os О + 40 ' ON
4^
Ю
X
Ui
+
"-J
JP*
_о>
Л -4
§ ої
+
чо Ю о to
£ X
К> CTn ^ 00 Ог о Is)
+ н
3 g
й £ U)
OJ оо
»* £
^1 J=
w CD Н Н
+ Ь
2S « •< и
СГ, S
00 ^Г,
О
СП
О
* К
Ш Слі
S о
О S
3=1 Ц ш 3 ь R
о *< =1 аз
ы +
<vi >— N> hi
Із S
Із 03
СО ї оз Е
5
s н
03
=1 о\ тз ^ о s § ^ го _. о .
6
ц s
й N3
і5*
IV
о
о*
to
IV
о
Ог Ог Ог Ог Ог _Ог Ог Ог Ог Ог
о\ <л U) к> о> L/1 ■U U) к»
ІЛ ІЛ ІЛ ІЛ ІЛ ІЛ IV IV IV IV IV
ю ю и> і—* -J Ю і—1 и> 4^
40 Ul оо \о 4^ О ^1 <Jy -Р^ о
^1 Ul ил \о UJ UJ 40 Оі О <-Л 4^
^1 О О ф- -J ю о О о to о
О о оо оо ^1 о ^1 С-/1
_Ог
IV
оо
Ul
о
о
О*
U)
IV
о
і*
IV
о
^Ог
IV
О
О*
IV
О
я
я
а
о
2
£5
а
№
к
“ТЗ
л
о
'С
о
о
со
со
£>
Я
8
43
о
о
'С
тз
о
о
в)
51
г
с
£
о>
Строганые изделия Клееная балка Комплекты домов Технологическая щепа Пиломатериалы низких сортов Экспортные пиломатериалы Пиломатериалы всего Вид продукции
4833 12992 16802 40 о 4233 5785 Цена реализации единицы продукции, руб.
4773 12521 16222 « 3980 5856 Себестоимость единицы продукции, руб.
Нормы расхода трудовых
12,9 9,01 11,85 1 1 1 5,12 ресурсов на единицу продукции, чел-ч
Нормы расходов сырья
н—» о 1 и-* (пиломатериалов) на
к> О единицу продукции
2092 17500 5500 44527 10405 ! 18500 Минимальный объем выпуска
-і^ КЗ КЗ 59948 о Максимальный объем
чо -л <1 о о о о <1 00 (-о Ы выпуска
4438 5212 16386 54875 11892 32159 74327 Фактический выпуск продукции
и1
г
с
£
о>
Нормы расхода ресурсов на производство единицы продукции
Лютова И. И.
Таблица 3
Результаты решения модели с использованием
нескольких критериев оптимальности
Показатели Максимум выручки от реализаци И продукции Максимум прибыли от реализаци и. продукции Минимум затрат на произволе тво продукции Максимум рентабель ности продукции Фактическ ая произволе твенная программа
Производство продукции
Экспортные пиломатериалы, мъ 15358 15358 30773 15358 32159
Пиломатериалы низких сортов, мъ 10479 10479 11227 10479 12492
Щепа, мг 55498 55498 54536 55498 54875
Комплекты домов, м2 26648 26648 17500 26648 16386
Клееная балка, м2 17241 17241 5500 17241 5412
Строганые изделия, мг 3092 3092 3977 3092 4438
Использование ресурсов
Древесное сырье (пиловочник), мъ 160964 160964 158223 160964 160964
Трудовые ресурсы, чел.-ч 1013732 1013732 777482 1013732 802052
Себестоимость произведенной продукции, тыс.руб. 782281 782281 586711 782281 586912
Результативные показатели
Выручка от реализации продукции, тыс. руб. 865878 865878 652965 865878 648776
Прибыль от реализации продукции, тыс. руб. 83597 83597 56254 83597 61954
Затраты на производство продукции, тыс. руб. 782281 782281 596711 782281 586912
Рентабельность продукции, % 9,7% 9,7% 8,95% 9,70% 9,55%
Решение данной задачи найдено при использовании пакета Microsoft Excel, результаты представлены в таблице 3, в которой отражены оптимальный план производства при каждом из критериев оптимальности, использование ресурсов и значения локальных критериев при соответствующем выпуске продукции. Для сопоставимости приведена Данные таблицы свидетельствуют, что план производства, использование ресурсов и результативные показатели по трем критериям оптимальности (максимум выручки от реализации, прибыли от реализации и рентабельности) имеют одинаковые значения, и только модель, решенная по минимуму затрат на производство продукции имеет отличные от них результаты. Вариант, реализованный по минимуму затрат предполагает меньший выпуск почти всех видов продукции, по нижней границе спроса. Однако это не отвечает интересам предприятия, которое заинтересовано в увеличении прибыли от продаж и рентабельности производства продукции. Поскольку предприятие уже довольно долго является одним из лидеров в своей сфере на Северо-Западе, то оптимальным критерием в такой ситуации целесообразно избрать критерий, соответствующий максимизации прибыли. Несмотря на то, что снижение затрат также
способствует росту прибыли, в этом варианте значительно ниже выручка от реализации продукции, что не позволит получить приемлемый размер прибыли от реализации продукции.
Список литературы:
1. Гераськин М.И. Математическая экономика: теория производства и потребительского выбора [Текст]: учеб. пособие / М.И. Гераськин. -Самара, Самар. гос. аэрокосмич. ун-т, 2008.
2. Математические методы в экономике. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. 3-е изд., перераб. - М.: Дело и Сервис, 2001.
3. Россия в цифрах. 2010: Краткий статистический сборник/Росстат - М.: 2010.
4. Лютова И. И., Ефимов Е. М. Оптимизация функции контроллинга в системе управления производственным процессом деревообрабатывающего предприятия // Бизнес в законе №5, 2012, с. 106
Reference list:
1. Geraskin M.I. Mathematical Economics: Theory of production and consumer choice: studies. Manual / M.I. Geraskin. - Samara, Samara. State. Aerospace. University Press, 2008.
2. Mathematical Methods in Economics. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V. Cheremnykh Y.N. 3rd ed., Rev. - M.: Business and Services, 2001.
3. Russia in Figures. 2010: Short Statistical Book / Rosstat - M.: 2010.
4. Lyutova I.I., Efimov E.M. Optimization function controller for process control system woodworking enterprise / / Business in law № 5, 2012, p. 106
