Моделирование нежесткой механической системы в среде Matlab для синтеза системы управления

Змеу Константин Витальевич; Ноткин Борис Сергеевич; Ковалев Виктор Андреевич; Вара Андрей Владимирович

УДК 004.949

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЖЕСТКОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В СРЕДЕ МЛТЬЛБ ДЛЯ СИНТЕЗА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток

Поступила в редакцию 26.03.2012

Рассмотрены особенности моделирования нежёстких механических систем в MATLAB/Simulink. Выполнена идентификация параметров реальной механической системы по спектру собственных частот. Разработана модель системы в MATLAB/SimMechanics. Выполнена верификация модели на реальной механической системе. Приведены результаты сравнительных экспериментов. Показана работоспособность Simulink-моделирования замкнутой системы управления с использованием полученной модели нежёсткого механизма как объекта управления.

Ключевые слова: математическое моделирование, идентификация параметров, нежёсткая механическая система, планарный манипулятор, замкнутая система управления

Манипуляционные механизмы находят широкое практическое применение в различных областях, от промышленной автоматизации и медицинских операций, до функционирования в опасных окружающих средах. Стремление разработчиков манипуляторов к повышению одного из основных показателей конструктивной эффективности - отношения полезной нагрузки к весу манипулятора, а также уменьшению энергопотребления [7], и в ряде случаев большая пространственная протяжённость конструкций,

приводит к существенному влиянию нежесткости механической конструкции на функционирование манипулятора. Нежёсткая манипуляци-онная система, особенно последовательной кинематической структуры, с учётом реально присутствующих нелинейностей и нестационарно-стей, становится весьма сложным объектом управления. Например, уравнение динамики планарного, то есть не самого сложного, нежёсткого п-звенного манипулятора, основанное на уравнении Эйлера-Лагранжа, имеет вид [8]:

M (0,S)

~в

+

S

Шв)+htfasj)+fxo+fc f2 (в, 6) + h2 (в, в, S, S) + KS + FXS

u

_0_

где 9 - вектор обобщённых переменных, 5 -вектор переменных отклонений, f1, f2, h1 и h2 компонент кориолисовых и центробежных сил, fc - компонент сухого трения, M - инерционная матрица, K - матрица жёсткости, F - матрица демпфирования.

Змеу Константин Витальевич, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Технологии промышленного производства» Инженерной школы. E-mail: k.zmeu@ieee.org

Ноткин Борис Сергеевич, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Технологии промышленного производства» Инженерной школы. E-mail: borisnotkin @mail.ru

Ковалев Виктор Андреевич, аспирант. E-mail: daria3000@mail. ru

Вара Андрей Владимирович, аспирант. E-mail:varaav@mail.ru

В настоящей статье рассматриваются вопросы, связанные с созданием адекватной Matlab-модели нежёсткого планарного одно-звенного манипулятора (далее манипулятора) с целью дальнейшего ее использования при разработке системы управления таким объектом.

Модельно-ориентированное проектирование систем управления, при котором глубоко и всесторонне используются возможности имитационного моделирования, эффективно реализуется с использованием среды MATLAB. К сожалению, инструментальные средства, позволяющие непосредственно и с достаточной степенью детализации, моделировать нежёсткие распреде-лено-упругие механические элементы, в MATLAB/Simulink отсутствуют. Это обстоятельство стимулирует разработку специальных подходов к решению задачи.

Сформулируем общие требования к модели манипулятора, которая затем должна быть использована при разработке замкнутой системы управления: максимальное использование простоты и удобства визуального программирования, достаточная степень детализации во временной, пространственной и частотной области при умеренных требованиях к вычислительной мощности, возможность получения информации о фазовых координатах в любой пространственной точке нежёсткой распределённой системы, возможность использования модели при синтезе замкнутого контура управления (интеграция в системе 81ши1тк), возможность линеаризации средствами МЛТЬЛБ, адекватность, масштабируемость, наглядность (вплоть до анимации движений механизма). Для решения поставленной задачи используется инструмент втМесИа-п^, входящий в пакет Ма^аЬ, позволяющий моделировать физические системы с использованием модели твёрдого тела. Из-за невозможности моделирования нежёсткой системы штатными блоками 81шМесИашс8 используется метод сосредоточенных параметров [4], в котором нежёсткое звено представляется в виде конечного числа жёстких элементов, последовательно соединённых между собой подпружиненными шарнирами. Идентификация и дальнейшая верификация модели осуществляется по собственным частотам реальной системы.

Расчёт и идентификация однозвенного нежёсткого планарного манипулятора. Экспериментальная установка манипулятора включает электропривод, шарнир, нежёсткое звено и датчики системы. Кинематическое звено физического макета манипулятора представляет собой балку прямоугольного сечения, выполненную из стальной измерительной линейки, длиной £=0,343 м, высотой Л=0,028 м, толщиной ^=0,001 м и массой т=0,0691 кг. Для определения собственных частот манипулятора воспользуемся теоретическими расчётами и натурными испытаниями, рассматривая нежёсткое звено как консольно-закреплённую балку.

1. Теоретический метод определения спектра собственных частот. Для теоретического расчёта собственных частот применяются приближенные методы, например, Релея, Ритца, или точные методы, использующие уравнения теории балочных конструкций [2, 5]. Расчётное выражение для определения собственных частот консольно-закреплённой балки, основанное на уравнении Эйлера-Бернулли, имеет вид [6]:

Лп ГЁ1

Jn и ,

2nL \ PA , (1)

где E - модуль Юнга, I - момент инерции поперечного сечения, р - плотность материала, A - площадь поперечного сечения балки, L -длина балки, Х„ - расчётный коэффициент, зависящий от способа закрепления балки. Для первых четырёх значений частотного спектра собственные числа консольной балки определены как: ^=1,8751, ¿2=4,6941, ¿3=7,8548 и ^4=10,9955. Значения E=2,07 Н/м2 и р=7745 кг/м3 нежёсткого звена брались из справочника [3] в предположении о том, что для измерительных линеек основным материалом является инструментальная сталь. Таким образом, используя выражение (1), для длины консоли L=0,343 м и L=0,5 м были найдены значения первых четырёх собственных частот.

Для повышения надёжности определения спектра собственных частот воспользуемся еще одним методом, связанным с применением специальных программных продуктов, например, CosmosWorks [1]. Для расчёта собственных частот необходимо построить пространственную модель нежёсткого звена в SolidWorks с известными параметрами и ограничениями. Для задания одинаковых параметров в теоретическом расчёте и в SolidWorks использовалась инструментальная сталь с E=2,03 Н/м2 и р=7860 кг/м3, имеющаяся в базе данных материалов упомянутого программного продукта. Полученные результаты определения собственных частот расчётными методами сведены в таблицу.

2. Экспериментальное определение спектра собственных частот. Определение собственных частот проводилось путём высокоскоростной видеорегистрации (до 240 и 1000 кадров/с) свободных колебаний консольно-закреплённого нежёсткого звена. На всю длину нежёсткого звена с фиксированным шагом крепились маркеры, по которым в дальнейшем определялись координаты движения точек. Для реализации свободных колебаний звена применялись следующие приёмы: отклонение конца звена на разный угол с последующим быстрым снятием отклоняющей силы (определение основной собственной частоты и коэффициента демпфирования) и метод ударных возбуждений (определение высших частот). Для определения координат маркеров нежёсткого звена по видеоданным разработан алгоритм в среде MATLAB, в котором распознавание движения меток происходит путём сравнения текущих видеокадров с предыдущими с применением метода бинаризации и фильтрации. Алгоритм оформлен в виде приложения «Line

Ident Video (Identification video)» (http://www. mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/34953). Распознанные координаты меток нежёсткого звена записывались в массив данных, по которому проводился спектральный анализ. Таким образом, получен разными способами спектр собственных частот, который затем используется как инструмент верификации модели.

Моделирование манипулятора в SimMechanics и синтез САУ. Модель нежёсткого звена в SimMechanics показана на рис. 1 б. Нежёсткое звено, один конец которого закреплён (рис. 1а), представляется в модели в виде конечного числа жёстких элементов, последовательно связанных между собой с помощью подпружиненных шарниров (блоки «Flexible

Element»). Количество таких блоков, от которых зависит точность, пространственная форма и скорость расчёта модели, было подобрано экспериментально, и составило n=10 для нежёсткого звена длиной 0,343 м и 0,5 м. Коэффициенты жёсткости к и демпфирования b, задаются в подсистеме «Spring Damper». Коэффициент жёсткости определён путём сравнения значений прогиба реального нежёсткого звена и модели под действием известной силы, а коэффициент демпфирования - сравнением скоростей затухания свободных колебаний. Возбуждение колебаний звена моделировались его изгибом при помощи блока «Joint Initial Condition».

Рис. 1. Модель нежёсткого звена: а) кинематическое представление б) в SimMechanics

0123456789 10 Время (с)

Рис. 2. Сравнение свободных колебаний (а) и спектра собственных частот (б) реального звена манипулятора и модели длиной 0,5 м

Верификация модели (рис. 2 (а, б)) проводилась по свободным колебаниям и спектру собственных частот реального объекта. Сравнительные характеристики найденных собственных частот для разных длин звеньев описанными способами приведены в сводной таблице. По представленным данным можно сделать

вывод о достаточной адекватности полученной модели нежёсткого звена. Интеграция модели объекта в контур управления осуществляется с помощью блоков из других библиотек Sim-Штк Таким образом, получена замкнутая модель манипулятора по положению конечной точки звена (рис. 3).

Таблица 1. Сравнение собственных частот, определённых разными методами

Нежёсткое звено длиной 0,343 м

№ собст- Видео- SolidWorks Теория Модель

венной данные, Simulation Matlab/SimMecha

частоты (Гц) nics

частота, ошибка, частота, ошибка, частота, ошибка

(Гц) (%) (Гц) (%) (Гц) (%)

1 6,96 7,093 1,91 6,98 0,29 7,001 0,59

2 44 44,418 0,95 43,73 0,61 42,61 2,27

3 115 124,57 8,32 122.45 6,48 112 2,61

4 - 244,82 - 240,97 - - -

Нежёсткое звено длиной 0,5 м

1 3,38 3,322 1,78 3,28 2,96 3,41 0,88

2 21,47 20,81 3,09 20,6 4,05 21,02 2,1

3 60,1 58,31 2,98 57,62 4,13 53,8 10,48

4 118 114,47 2,99 112,92 4,31 - -

Рис. 3. Замкнутая модель нежёсткого однозвенного планарного манипулятора

Покажем на примере возможность использования полученной модели для управления конечной точкой манипулятора длиной 0,5 м с помощью ПД регулятора (настроен автоматически) (рис. 4). На осциллограф «Beam Position» выведен сигнал уставки, угловое положение вала привода и конца нежёсткого звена. Рис. 4 иллюстрирует работоспособность модели и пригодность ее для модельно-ориентированного синтеза замкнутой систем.

Выводы: предложен и практически опробован подход, позволяющий эффективно создавать модели сложных нежестких механизмов средствами визуального программирования MATLAB. Получена адекватная модель нежёсткого однозвенного планарного манипулятора, верифицированная по спектру собственных

частот реального объекта. Модель отвечает всем необходимым требованиям для использования при синтезе систем замкнутого управления.

Рис. 4. Переходные процессы управления положением исполнительной точки манипулятора

Угловое положение вала лривода

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Время, (с)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Алямовский, А.А. COSMOSWorks. Основы расчёта конструкций на прочность в среде SolidWorks. - М.: дМк Пресс, 2010. 784 с.

2. Бидерман, В.Л. Прикладная теория механических колебаний. - М.: Высшая школа, 1972. 400 с.

3. Шишков, М.М. Марочник сталей и сплавов: Справочник. Изд. 3-е доп-е. - Донецк: Юго-Восток, 2002. 456 с.

4. Chudnovsky, V. Modeling Flexible Bodies in SimMechanics and Simulink / V. Chudnovsky, D. Kennedy, A. Mukherjee, J. Wendlandt // URL: http://www.mathworks.com/company/newsletters/di gest/2006/may/SimMechanics.html (дата обращения: 10.12.2011).

De Luca, A. "Robots with flexible elements" in B. Siciliano, O. Khatib (Eds.) / A. De Luca, W. Book. -Springer Handbook of Robotics, Springer Verlag, Berlin, 2008. P. 287-319

Sinha, A. Vibration of mechanical systems. - Cambridge University Press, 2010. 308 p. Spong, M. Control in Robotics / M. Spong, M. Fujita // The Impact of Control Technology: IEEE Control Systems Society, 2011. Part 1. Selected Application Domains for Control / Eds. Samad T., Annaswamy A.M. URL: - www.ieeecss.org (дата обращения: 15.12.2011).

Talebi, H.A. Control of flexible-link manipulators using neural networks / H.A. Talebi, R. V. Patel, K. Khorasani. Springer, 2001. 142 p.

MODELING THE FLEXIBLE MECHANICAL SYSTEM IN MATLAB FOR CONTROL SYSTEM SYNTHESIS

Features of modeling the flexible mechanical systems in MATLAB/Simulink are considered. Identification of substantial mechanical system parameters on a range of natural frequencies is executed. The system model in MATLAB/SimMechanics is developed. Model verification on substantial mechanical system is executed. Results of comparative experiments are given. Operability of Simulink-modeling the closed control system with use of the received model of flexible mechanism as object of control is shown.

Key words: mathematical modeling, parameters identification, flexible mechanical system, planar manipulator, closed control system

Konstantin Zmeu, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Head of the Department "Technologies of Industrial Production " at Engineering School. E-mail: k.zmeu@ieee.org

Boris Notkin, Candidate of Technical Sciences, Senior Lecturer at the Department "Technologies of Industrial Production" at Engineering School. E-mail: borisnotkin @mail.ru

Viktor Kovalyov, Post-graduate Student. E-mail: daria3000@mail.ru Andrey Vara, Post-graduate Student. E-mail:varaav@mail.ru

MODELING THE FLEXIBLE MECHANICAL SYSTEM IN MATLAB FOR CONTROL SYSTEM SYNTHESIS

Текст научной работы на тему «Моделирование нежесткой механической системы в среде Matlab для синтеза системы управления»