CC BY
18
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ ТЕРМОЯДЕРНОЙ ПЛАЗМЫ НА ОСНОВЕ ТРЕХМЕРНОГО НЕЛИНЕЙНОГО МГД КОДА NFTC
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
1.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ ТЕРМОЯДЕРНОЙ ПЛАЗМЫ НА ОСНОВЕ ТРЕХМЕРНОГО НЕЛИНЕЙНОГО МГД КОДА NFTC
Попов Александр Михайлович, профессор, доктор физ.-мат. наук, заведующий кафедрой, факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. E-mail: professorpopov@gmail.com
Аннотация. Работа посвящена описанию трехмерного численного МГД кода нелинейной магнитной гидродинамики NFTC, разработанного для исследования неустойчивостей термоядерной высокотемпературной плазмы в установках токамак.
Предложена постановка задачи основанная на неоклассических уравнениях нелинейной магнитной гидродинамики. Изучаются причины возникновения неустойчивостей. Описан подход к решению задачи. Предложен численный метод для описания неустойчивости плазмы и приводятся алгоритмы улучшения точности решения. Приводятся результаты исследования плазменных неустойчивостей для международной термоядерной установки ITER.
Работа посвящена описанию трехмерного МГД кода нелинейной магнитной гидродинамики NFTC, разработанного для исследования неустойчивостей термоядерной высокотемпературной плазмы в установках токамак.
Ключевые слова: математическое моделирование, нелинейные МГД уравнения, плазменная нестабильность, термоядерные устройства.
1.1. SIMULATION OF THERMONUCLEAR PLASMA
INSTABILITIES USING THREE-DIMENSIONAL NONLINEAR CODE NFTC
Popov Alexander Mikhailovich, doctor in physics and mathematics, professor of the Lomonosov Moscow State University
Abstract. The work is directed to description of nonlinear three-dimensional numerical MHD code NFTC for investigation of thermonuclear plasma in Tokamak devices. The statement of problem is suggested on the base of neoclassical equations of nonlinear model.
The excitation of instabilities are discussed. The approaches for resolving of the instabilities problems solution is presented. Numerical methods for resolving of plasma instabilities and the accuracy of solutions are determined. The examples of instability calculations are presented for international thermonuclear device ITER.
The work is directed to description of nonlinear three-dimensional numerical MHD code NFTC for investigation of thermonuclear plasma in Tokamak devices. The statement of problem is suggested on the base of neoclassical equations of nonlinear magnetohy-drodynamics model.
Index terms: mathematical modeling, nonlinear MHD equations, plasma instability, thermonuclear devices.
1. Введение
Термин «токамак» означает «тороидальная камера с магнитными катушками» и представляет принципиальную схему термоядерной установки предложенную российскими учеными. Название ITER (ИТЕР) означает International Thermonuclear Reactor - проект международного экспериментального термоядерного реактора, основанного на принципах токамака. Задача ITER заключается в демонстрации использования термоядерного реактора и решения физических и технологических проблем получения энергии синтеза. На рис. 1 представлена конструкция токамака-реактора ITER (детализации схемы можно найти в на сайте ITER [1] ITERComunicatios@iter.org).
Большой радиус тороидальной вакуумной камеры, где находится плазма, составляет 6,2 м, малый радиус поперечного сечения равен 2 м. По форме вакуумная камера представляет собой тор с вытянутым поперечным сечением имеющим <^-форму». Проектирование реактора полностью закончено и выбрано место для его строительства - исследовательский центр Кадараш на юге Франции Начало экспериментов сейчас намечается на 2025 год. Для того, чтобы ядра трития вступили в реакцию слияния с ядрами дейтерия, они должны преодолеть взаимное электростатическое отталкивание за счет высоких температур. Термоядерная реакция должна стать самоподдерживающейся.
Вначале, разработка термоядерных установок опиралась на яркие теоретические идеи и разработки в области устойчивости плазмы российских ученых, академиков Б.Б. Кадомцева и В.Д. Шафранова [2, 3, 4]. В.Д. Шафрановым было сформулировано двумерное уравнение равновесия тороидальной плазмы, решения которого использовалось во всех работах по устойчивости. Работы по устойчивости термоядерной плазмы были теоретическими и посвящены принципиальным вопросам удержания плазмы. Работ по математическому моделированию на вычислительных машинах практически не было, как и самих высокопроизводительных машин. Работы Шафранова и Крускала были посвящены гидродинамической устойчивости плазменного шнура -
В 1970-е годы профессор Ю.Н. Днестровский впервые предложил использовать непосредственно численные методы и модели для исследования линейной магнитогидро-динамической устойчивости плазмы в цилиндрической геометрии. В это время научные исследования с использованием вычислительных машин только начинались. Вначале, использовали одномерные линейные МГД уравнения устойчивости [7]. Работа над кодом показала, что даже в простой постановке задача моделирования неустойчивостей очень сложна. Даже использование неявных схем со специальной аппроксимацией переносных членов около резонансных точек с учетом поведения в узком слое не позволяет проводить расчет устойчивости моделирующий эксперимент. Далее были разработаны схемы равномерно сходящиеся по малому параметру при старшей производной (обратное магнитное число Рейнольдса), которые позволяют правильно рассчитывать резистивную винтовую неустойчивость.
Поиск улучшенных условий удержания показал возможность стабилизации неустойчивости за счет изменения поперечной формы тороидальной плазмы введением эллиптического и даже D-образного поперечного сечения. Это привело к новым разработкам многомерного нелинейного численного МГД-кода. Однако главной проблемой оставалась дискретизация задачи. Оказалось, что использование разностных сеток для нелинейного уравнения в такой сложной геометрии плазмы приводит к таким ошибкам аппроксимации, которые сами могут подавлять физические неустойчивости. Плазма располагается на магнитных поверхностях, имеющих тороидальную форму. Каждая магнитная поверхность образована винтовыми силовыми линиями. Такая конфигурация возникает из-за того, что имеется два магнитных поля: одно -
винтовой неустойчивости. Получены условия устойчивости, которые носят их имя. Аналог винтовой неустойчивости при наличии высокой, но конечной проводимости называют тиринг неустойчивостью. Нелинейная стадия тиринг-неу-стойчивости была впервые проанализирована в работе [5] П. Разерфорда. Было показано, что экспоненциальный рост возмущения поля заменяется алгебраическим ростом по амплитуде. Наиболее значительной в теории линейной устойчивости является классическая работа А. Глассера, Дж. Грина и Дж. Джонсона выполненная в Принстоне. Работа реализована в вычислительном коде DCON, который является одним из основных кодов устойчивости плазмы в тороидальной геометрии [6].
внешнее магнитное поле в направлении большого обхода тора, другое поле создается продольным током и представляет полоидальное поле в поперечном направлении на магнитной поверхности. Таким образом силовые линии являются винтовыми, причем на каждой поверхности имеется свой шаг силовых линий. Поверхности на которых винтовые линии замыкаются на себя при обходе тора называются рациональными, в другом случае иррациональными. Численный код должен правильно воспроизводить возникновение неустойчивости с учетом сложной тороидальной геометрии. В это время был один численный код с которым можно было сравнивать вычисления [8]. Код позволял изучать нелинейную неустойчивость, но в цилиндрической модели плазмы. В это время мы пришли к решению использования естественных тороидальных потоковых координат, связанных с равновесными тороидальными поверхностями. Основу модели составляет нелинейных МГД код [9], однако самые главные изменения модели составляют изменения в уравнениях состояния, которые содержат такие члены, как бутстрэп ток и другие. Ряд работ был посвящен различным аспектам создания кода с произвольной геометрией и представляют собой отдельный интерес [10-15]. Специальные пограничные функции введены для получения равномерной сходимости по обратному магнитному числу Рейнольдса [12-14]. Это обусловило создание новой современной конфигурации трехмерного нелинейного кода NFTC (сокращенное название означает Нелинейный Полный (нередуцированный) Тороидальный Код) [16-18]. Расчет метрических элементов, связанных с конфигурацией равновесного поля позволил изучать произвольную геометрию плазмы. Главным достижением в создании кода является возможность
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ ТЕРМОЯДЕРНОЙ ПЛАЗМЫ НА ОСНОВЕ ТРЕХМЕРНОГО НЕЛИНЕЙНОГО МГД КОДА NFTC
его модификации к новым теориям процессов устойчивости: неоклассические эффекты, бутстреп-ток. В 2002 году в США появился проект NIMROD [20], объединяющий усилия сразу нескольких лабораторий для создания универсального кода подобного по возможностям NFTC. Затем работа над кодом по разным причинам затормозилась.
После 1978 года начались работы с использованием первого суперкомпьютера CRAY1 с параллельной архитектурой и код NFTC был успешно тестирован на этой вычислительной машине. В 1980-2000 годах было предложено и создано несколько суперкомпьютеров с самой различной архитектурой и код был приспособлен к двум новым архитектурам. В настоящее время код NFTC успешно используется на суперкомпьютерах Ломоносов (в МГУ) и суперкомпьютере с петафлоп-ной производительностью IBM Blue Gene/P, установленном на факультете ВМК МГУ.
В настоящей работе обсуждается создание математических моделей и численных алгоритмов для исследования удержания высокотемпературной плазмы в рамках модели многомерных нелинейных уравнений неоклассической магнитной гидродинамики (МГД). Нелинейное самосогласованное моделирование неоклассических тиринг мод (NTM) в индуктивных сценариях разрядов в ITER выполнялось с помощью нелинейного трехмерного магнитогидродина-мического кода NFTC. Последние исследования направлены на проработку экспериментов для реактора ITER.
2. Магнитогидродинамическая модель удержания плазмы
Рассмотрим исходную модель нелинейной магнитной гидродинамики и покажем как включаются новые эффекты в исходную систему.
Р dV = -Р [(VüV)V + VWo ]- ßo W-
Vße4 )
-(vß)ßeq + vAV - p [Vv)v + (vv)v] + (vb)b-
+ [(vß)ß] - p [(Vv) V] + (vB) B;
(1)
Разработка метода решения системы МГД уравнений была обусловлена следующими требованиями. Точность решения сильно влияет на выводы об устойчивости плазмы и магнитные острова можно определить с необходимой точностью, если расчетная сетка решения связана магнитными поверхностями. Выбрана натуральная система координат связанная с магнитными поверхностями. Равновесные тороидальные магнитные поверхности являются основой такого выбора. Вычисление компонент метрического тензора соответствующего такому выбору системы координат требуют высокой точности и основаны на предварительном вычислении выбранного равновесия {V0, Beq, Peq}. Мы решаем систему трехмерных МГД уравнений в потоковой системе координат, которая соответствует равновесному решению описываемому уравнением Грэда-Шафрано-ва. В этих координатах все дифференциальные операторы в уравнениях включают метрический тензор. Выбор координат с прямыми силовыми линиями сделан для вытянутого поперечного сечения соответствующего равновесию плазмы в ITER. Такой выбор мотивирован получением высокой точности для вычисления устойчивости и учетом тонких резистивых слоев около рациональных поверхностей. Высокая точность особенно важна для исследования течений с большим числом Рейнольдса. Около 40 гармоник необходимо для задания равновесных метрических элементов в разложении.
Далее проводится декомпозиция решения на линейные члены, квазилинейные и нелинейные члены. Метод основан на гармоническом Фурье-разложении трехмерного решения по угловым переменным и использовании конечно-разностной аппроксимации в радиальном направлении.
Таким образом решение {V, B, P} ищется в виде декомпозиции мод:
v (р, е, ф, t ) = v0 (р, е) + V (р, е, t) + v (р, е, ф, t);
dB = v(vBeq ) + v(v0B)-v[n(vB) +v(VB) + v(VB) + v(VB)
- vE„
f = -V(PeqV) -V(PV0 ) - (Г - l)|Peq (vV)] + P(VVo ;
-v (PV) -v (PV) - (r - 1) [P (vV)] + P(vV) -v (PV) - (r -1) [p (vv)] + v± (v±p) + v, (%i|V|P);
p dV = -Р [(Vo v) V0 + (Vo v)1V + (/v) Vo ] - ßo vP +
+ (vBeq) B + (vB) Beq + vAV - p [Vv) 1/ + (vB) B] +
[(vb)b]
[(v v)v ]
— = v(vb
dt 1 eq
v(VoB)-v[n(vB) +v(/B) +v(VB)„ = o + vEP;
^ = -v(p/ dt [ eq
-v(pv )-(r - i)[p (v/)
+P (vVo) -v (/V) - (r - d [P (v/)] - [v (PV)]n = o -- (r - 1) [P(vV)] n = o + v, (x , v , P) + v,| ( vP + Q;
p --
f (p, r).
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
n = 0 n ^ 0
P(p, e, ф, t) = Pea (p) + P(p, e, t) + P(p, e, Ф, t).
Задача состоит в отыскании {V, B, P} для данного равновесия {V0, Beq, Peq} которое вычисляется как аксиально-симметричное решение уравнений равновесия. Функции обозначенные крышкой соответствуют квазилинейной аксиально-симметричной компоненты не зависящей от тороидального угла.
В модели неоклассических тиринг мод (Neoclassical Tearing Modes - NTM) уравнение теплопроводности модифицируется добавлением дополнительных членов, описывающих конечную теплопроводность вдоль возмущенных магнитных поверхностей:
dP
—=...+v±(1±v±p )+v„ („v).
Здесь опущены обычные для магнитной гидродинамики члены, обозначенные точками.
Определяя единичный вектор b вдоль магнитной силовой линии и используя разложение магнитного поля
n = 0
n ^ 0
o
o
на равновесное, квазилинеиную компоненту и винтовую компоненты получим следующие выражения:
B + В + B
= b + В + b.
Определим дифференциальные операторы вдоль магнитных силовых линий:
= ь у(Ь Ур + ЬУр ) + Ь У(ЬУр) +
+bV(beqVP) +BV(beqVP-
■bVfbVP ) + bV(bVP)
-bVP ) + bV(b VP + BVP
eq / \ eq eq
+beqV(lDVP) + beqv(bvp) + bV(bVP) +bV(bVP + bVP + bVP) + bV(bVP + bVP).
Теперь модель теплопроводности запишется в виде:
V2pJ cos(me - Лф) =
1
-F2 P + FP,!q-= Y1
л 1 д
Vg дР xcos(me — n ф);
1 Y1 дР
|bJ2 y[g дР
Fmn = —Beq I n|.
1 q )
Здесь у1 - первая контравариантная компонента магнитного поля.
Рассмотрим нелинейные неоклассические эффекты в транспортной модели.
Необходимо было добавить ряд важных эффектов в классическую магнитную гидродинамику:
1) бутстрэп-ток пропорциональный градиенту давления плазмы (в простейшем случае), который объясняет возникновение неоклассических тиринг мод;
2) тока ЕCCD, включение которого позволяет локально влиять на распределение тока и плотности плазмы как в эксперименте, так и в математической модели;
3) локальное вложение тока от инжектируемого пучка нейтралов меняющего локально распределения плазмы.
Рассмотрим источник в уравнении (2), который появляется благодаря неоклассической коррекции закона Ома. Рассмотрим форму электрического поля е; в уравнении (2). Полная плотность тока представлена следующим образом:
' = 'п + ' 83 + ^ +
где ]п описывает омическую плотность тока, а все остальные члены представляют источники неиндуктивного тока: бут-стрэп-тока ' , ECCD-тока ^ и тока от нейтрального пучка ' ш. Соответственно,
е = ' = П' - е;. Член с источником включен следующим образом:
е; = па 83 + ^ + ^N8^
Тороидальная компонента бутстрэп тока ]85ф включена
в уравнения в простейшей форме:
j'Bse» = 1,46
дР / др
В,
pol
В коде NFTC мы используем следующую упрощенную форму тороидальной компоненты плотности тока ECCD:
J cd = 1
Cd 2n3/W
,—(p—Po )/Wc2d
1 +1 cos(m» — пф + an) 1
81 Wcd j V v >\
В этой формуле Wmn представляет ширину возникающего магнитного острова.
3. Метод решения МГД-уравнений
для моделирования устойчивости плазмы
Мы решаем 3D систему МГД уравнений в потоковой системе координат, соответствующую заданному равновесию (beq, Р ), получаемому решением уравнения Грэда-Шафра-нова. Так, что все дифференциальные операторы в уравнениях включают метрические коэффициенты. Выбор системы координат с выпрямленными силовыми линиями, особенно важен при расчетах устойчивости в ИТЕР. Метрические элементы g ш(р, 0) соответствующими системе координат с выпрямленными силовыми линиями р, 0, ф вычисляются с помощью (beq, Р ), где р = -J^N есть радиально-подобная метка магнитной поверхности, 0 - полоидально-подобный угол и ф - тороидальный угол. Высокая точность необходима также для исследований плазмы в которых магнитное число Рейнольдса принимает очень большие значения. На рис. 2 показана вычисленная натуральная система координат в которой проводятся вычисления для геометрии равновесия в ITER.
-0,5 -
-1,0 -
-1,5 -
Рис. 2. Криволинейная система координат для расчета устойчивости в установке ITER
Для решения использовалась полностью неявная схема, которая решалась методом матричной прогонки. Для членов с переносом плазмы была сконструирована специальная схема, позволяющая рассматривать экстремально большие числа Рейнольдса. Использовалась специальная аппроксимация содержащая равномерно сходящееся асимптотическое решение по малому параметру.
b
eq
eq
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУСТОИЧИВОСТЕИ ТЕРМОЯДЕРНОЙ ПЛАЗМЫ НА ОСНОВЕ ТРЕХМЕРНОГО НЕЛИНЕЙНОГО МГД КОДА NFTC
4. Расчеты порога неустойчивости NTM для реактора ITER
Некоторые расчеты представлены на рис. 3. На рис. 3, а показана временная эволюция ширины магнитных островов, а на рис. 3, б показана скорость роста магнитных островов. На рис. 4 показана радиальная скорость плазмы для случая больших магнитных островов. Трехмерные вычисления с помощью кода NFTC показывают, что наиболее опасная неоклассическая мода 3/2 эффективно подавляется в присутствии нелинейного взаимодействия мод 1/1, 4/3, 3/2. Этот эффект не мог бы быть получен в теории.
хЮ'
с Wcr = 0,022m не является опасным для ITER. Время развития моды до значений W = 0,068m составляет t = 685s. Опасным является второй пороговый остров с максимальной шириной W = 0,068m, который позволяет посеянному острову увеличится до величины W = 0,15m.
Посеянный остров от пилообразных колебаний составляет
W/a = 0,5[1 - q(0)] ~ 0,0125m (q0 = 0,975)
и уменьшается с сопротивлением.
Такой величины остров не может быть причиной срыва разряда.
Рис. 3, а. Временная эволюция неоклассических тиринг мод для токамака ITER
Рис. 4. Локализованный радиальный профиль скорости, приводящий к развитию магнитного острова
Уровень возмущений, связанный с развитием NTM показан на рис. 5. Видно, что развитая система островов не достигает границы плазмы и стохастизации границы плазмы не происходит.
Рис. 3, б. Скорость роста магнитных островов для n = 2.
Получен двойной пороговый эффект (малый и большой) для моды 3/2
Таким образом, изучены нелинейные неоклассические эффекты в транспортной модели и получена зависимость критического острова от отношения коэффициентов теплопроводности, которая согласуется с теорией
Неоклассическая неустойчивость является нелинейной пороговой неустойчивостью. Ее возбуждение зависит от затравочного острова. Найден двойной пороговый эффект (малый и большой) для моды 3/2. Маленький порог
Рис. 5. Линии уровня возмущенных магнитных островов при развитии тиринг моды
Радиальные профили различных гармоник решения показаны на рис. 6, а. Мода m/n = 3/2 является наибольшей в данном случае. Возмущение давления на границе достаточно велико и приводит к сильному возмущению магнитных островов в приграничной области. Возмущение давления показано на рис. 6, б.
Рис. 6, а. Радиальные профили радиального магнитного моля для разных винтовых гармоник
Представлена стабилизация винтовой моды 3/2 при большом уровне возмущения 1/1 и 4/3. Мода 1/1 имеет структуру внутренней винтовой моды. Мода 4/3 является резистивной винтовой модой. Обе моды имеют большой инкремент.
На рис. 7 показаны профили радиальной скорости различных гармоник, участвующих в развитии неустойчивости плазмы. Основной эффект заключается в том, что развитие наиболее опасной моды m/n = 3/2 подавляется нелинейным взаимодействием с другими модами NTM.
5. Численное моделирование
нелинейного взаимодействия NTM в ИТЕР в случае внедрения ECCD тока
Проводилось численное моделирование нелинейного взаимодействия NTM мод в ITER Исследовались влияние тока ECCD на возбуждение и подавление винтовых мод, возможность уменьшения требований к ECCD мощности и точности ее вложения на стабилизацию плазмы.
Рис. 6, б. Линии уровня возмущенного давления плазмы. Видно сильное магнитное возмущение приповерхностных магнитных поверхностей
Рис. 8, а. Влияние тока ECCD на устойчивость винтовых мод и эволюцию магнитных островов
0,3 0,5
rhn
Рис. 7. Профили радиальной скорости для нескольких основных винтовых мод. Показано взаимное влияние винтовых гармоник и стабилизация опасной моды 3/2
Рис. 8, б. Эффект места вложения ECCD тока на устойчивость эволюции винтовых мод. Зависимость ширины острова от времени
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ ТЕРМОЯДЕРНОЙ ПЛАЗМЫ НА ОСНОВЕ ТРЕХМЕРНОГО НЕЛИНЕЙНОГО МГД КОДА NFTC
Основная задача состоит в том, чтобы не дать моде дорасти до насыщения за счет нелинейного взаимодействия со специально возбуждаемыми окружающими модами. Показана возможность такого режима в ITER с помощью расчетов с использованием кода NFTC. Получено уменьшение требований к ECCD мощности и точности ее вложения.
Показана возможность уменьшения роста моды до насыщения за счет нелинейного взаимодействия со специально возбуждаемыми окружающими модами.
Эффект расположения точки вложения ECCD тока на эволюцию винтовых мод важен для устойчивости. Обозначим Dr = pcd - р3/2 расстояние между радиусом вложения ECCD мощности и расположением резонансной поверхности для моды m/n = 3/2. Если Dr = 0, то мода 3/2 стабилизирована полностью; при Dr = -0,105а мода 3/2 неустойчива, а мода 4/3 устойчива; при Dr = -0,045а мода 3/2 стабилизируется, а мода 4/3 возбуждается. Таким образом, место вложения мощности ECCD является важным фактором стабилизации неустойчивости и место вложения должно выбираться с хорошей точностью.
6. Заключение
Разработан трехмерный нелинейный код магнитной гидродинамики NFTC, который позволяет анализировать устойчивость плазмы в сложной реальной геометрии термоядерной установки ITER. Формулировка уравнений позволяет исследовать различные теоретические идеи стабилизации плазмы.
Исследовано нелинейное взаимодействие NTM мод в ITER: возбуждение и ECCD-подавление. Найдено уменьшение требований к ECCD мощности и точности ее вложения. Показано уменьшение острова за счет нелинейного взаимодействия со специально возбуждаемыми окружающими модами. В отсутствии ECCD взаимодействие мод мало. ECCD-модификация профиля тока создает сильную связь мод. Получена возможность мягкого стационарного режима с медленно растущей модой 4/3 и нарастающей модой 3/2. 3D-вычисления с помощью NFTC показывают подавление 3/2 NTM в присутствии нелинейного взаимодействия мод 1/1, 4/3, 3/2. ECCD мощность может быть уменьшена. Для /cd//p = 0,0125 (/cd = 0,188 МА для / = 1,5 МА), что соответствует мощности 20 МW и максимальному остров Wmax = 0,05m. Точность вложения ECCD может быть уменьшена по сравнению с полным подавлением моды.
Впервые величины порога нелинейной неустойчивости были проанализированы в [16-19]. Показано, что численный код NFTC имеет высокую точность при моделирования плазменных неустойчивостей в произвольной трехмерной геометрии. Формулировка кода позволяет рассматривать различные физические модели.
В заключении, прежде всего выражаю благодарность моему учителю, профессору Ю.Н. Днестровскому инициировавшему выбор темы работы связанной с МГД устойчивостью термоядерной плазмы.
Автор выражает глубокую благодарность своим коллегам, замечательным ученым, которые в разные годы участвовали и способствовали созданию столь сложного многомерного нелинейного кода NFTC: Алану Глассеру, В.В. Нефедову, A.B. Педоренко, H.H. Поповой, Е.В. Ильиной (Андреевой), Э.А. Шагирову, Лю Юсцану, Бену Каррерасу, Тиму Хендеру.
Литература
1. ITERCommunications@iter.org https://www.iter.org/doc/www/ content/com/Lists/list_items/Attachments/764/Progress_in_ Pictures_Dec2017.pdf (doc@iter.org).
2. Шафранов В.Д. Вопросы теории плазмы // Госатом. Вып. 2, 1963. С. 92-130.
3. Кадомцев Б.Б. Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. - Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1958. С. 353.
4. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит. 1988. 304 с.
5. Furth H.P., Rutherford P.H. and Selberg H. Phys. Fluids, 16, 1054 (1973).
6. Glasser A.H., Greene J.M., & Johnson J. Resistive instabilities in general toroidal plasma configurations // The Physics of Fluids. 18, 1975. Рр. 875-888.
7. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П., Попов А.М. Винтовая неустойчивость плазмы с распределенным током // Журнал технической физики. Т. 42, № 2, 1972. С. 1825-1832.
8. Carreras B.H. et al. Phys. Fluids, 23, 1811 (1980).
9. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. М.:. Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. 320 с.
10. Popov A.M., Shagirov Э.А. MHD-models for stability analysis of internal modes in a tokamak // Mathematical Modeling of Kinetic and MHD-Processes in Plasma. 1979. Рр. 55-78.
11. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П., Попов А.М, Шагиров Э.А. Нелинейное развитие внешних мод в токамаке в режимах с малым q // Физика плазмы АН СССР. Т. 2, № 9, 1985. С. 1080-1088.
12. Ильина Е.В., Педоренко А.В., Попов А.М. Численное моделирование устойчивости тиринг-мод в тороидальной плазме // Физика плазмы. Т. 15, 1989. С. 926-933.
13. Нефедов В.В., Попов А.М. Условия эволюционности в задаче о бифуркации плазменного цилиндра // Математическое моделирование. Т. 2, № 2, 1990. С. 73-85.
14. Ильина Е.В., Педоренко А.В., Попов А.М. Моделирование МГД-не-утойчивостей слабодиссипативной плазмы в токамаке // Математическое моделирование АН СССР. Т. 2, № 2, 1990. С. 86-97.
15. Liu Yu., Pedorenko A.V., Popova N.N., Popov A.M., Turnbull A.D., La Haye and Jensen T.H.R.J. Nonlinear MHD simulations of DIII-D experiments on plasma rotation control with external helical magnetic fields 37 annual meeting of the division of plasma physics of APS. 1995. Рp. 6-15.
16. Popov A.M., Chan V.S., Chu M.S., Liu Y.Q., Turnbull A.D. Nonlinear three-dimensional self-consistent simulations of negative central shear discharges in the DIII-D tokamak // J. Physics of Plasmas. 8, 3605, 2001.
17. Popov A.M., Haye R.J^, Murakami M., Liu Y.Q., Popova N.N., Turnbull A.D. Simulation of Neoclassical Tearing Modes (NTMs) in the DIII-D Tokamak. Part I - NTM Excitation // J. Physics of Plasmas. V. 9, № 10, 2003. Рр. 4205-4228.
18. Popov A.M., Haye R.J.La, Murakami M., Liu Y.Q., Popova N.N., Turnbull A.D. Simulation of Neoclassical Tearing Modes (NTMs) in the DIII-D Tokamak. Part II - Suppression by radially localized electron cyclotron current drive // Physics of Plasmas. V. 9, 10, 2003. Рр. 4229-4240.
19. Popov A.M. Nonlinear 3D MHD code NFTC for simulations of plasma instabilities // Journal of Plasma Physics. Cambridge Press. V. 72, part 6, 2006. Рp. 1101-1104.
20. Sovinec C. An Introduction to the NIMROD Fusion Magnetohydrody-namics Simulation Project. Department of Engineering Physics University of Wisconsin-Madison presented at Argonne National Laboratory November 21, 2002 The project has been a multi-institutional effort since 1996. Curt Bolton, OFES Dan Barnes, LANL Dylan Bren-nan, GA James Callen, Univ. of WI Ming Chu, GA Tom Gianakon, LANL Alan Glasser, LANL Scott Kruger, SAIC-San Diego Jean-Noel Leboeuf, UCLA Rick Nebel, LANL Scott Parker, CU-Boulder Steve Plimpton, SNL Nina Popova, MSU Dalton Schnack, SAIC-San Diego Carl Sovinec+stu-dents, Univ. of WI Alfonso Tarditi, NASA-JSC Chris Hegna, Univ. of WI Eric Held+students, Utah State Charlson Kim, CU-Boulder Michael Kissick, Univ. of WI.
