CC BY
20
УДК 620.92:330.138
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В ГЕЛИОСИСТЕМЕ
© 2011 г. Р.А. Амерханов, К.А. Гарькавый
Кубанский государственный аграрный Kuban State Agriculture
университет, г. Краснодар University, Krasnodar
Представлена математическая модель небольшой солнечной установки с естественной циркуляцией теплоносителя, построенная на нестационарных уравнениях энергии, движения и сплошности, которая позволяет определить температуру прозрачного покрытия, пластины абсорбера, температурное распределение в жидкости, протекающей по трубам коллектора, а также на уравнении сохранения энергии для бака-теплоаккумулятора.
Ключевые слова: гелиосистема; математическая модель; нестационарные уравнения; граничные условия.
The mathematical model of a small solar installation with a natural circulation of a heat carrier constructed on nonstationary equations of energy, motion and integrity which allows to determine the temperature of transparent cover, plate of absorber, temperature distribution in a liquid flowing in tubes of a collector and on an equation of energy safety for thermal receiver as well was presented.
Keywords: heliosystem; mathematical model; nonstationary equation; interfacial conditions.
Математическая модель небольшой солнечной установки с естественной циркуляцией теплоносителя представлена нестационарными уравнениями энергии, движения и сплошности для всех элементов установки с соответствующими начальными и граничными условиями, обеспечивающими сопряжения этих элементов. При этом учитываются наиболее существенные характеристики тепловых и гидродинамических процессов, протекающих во всей системе и в каждом её элементе. Процесс расчёта включает ряд этапов: тепловой расчёт солнечного коллектора (СК), тепловой расчёт бака-теплоаккумулятора (БТА) совместно с соединительными трубопроводами, определение расхода теплоносителя при его естественной циркуляции [1, 2].
Температура прозрачного покрытия Тс = Тс (т, х, у) определяется уравнением
дТ„
5сРссс = Uac (Т. - Tc) + Uco T - To) .
(1)
При расчете коэффициента тепловых потерь и учитывалось излучение пластины и стекла (прозрачной изоляции), свободная конвекция между пластиной и стеклом в воздушном зазоре, теплопроводность через теплоизоляцию и т.д.
Температура пластины абсорбера описывается уравнением
8aPaCa ^ = ^8a
дг
^д 2Т. дх 2
2
д 2Т ду 2
+ [Е - иг (Та - То )] + иас (Тс - Та) , (2)
где иг =%г/§г .
Начальное условие для уравнений (1) и (2) имеет вид Та = Тс = Т0 при т = 0 .
Граничные условия для области пластины
0 < х < N, 0 < у < Lск можно представить следую-
5Т N
щим образом: -= 0 при х = —,
дх 2
дТ
2Ха§а "дТ = ажП (Та ~ ТуК ) ^ Х = 0. (3)
Здесь предполагается, что тепловой поток равномерно распределен по периметру трубы солнечного коллектора
дТ дТ
= 0 при у = 0, —^ = 0 при у = LCк. (4) дУ ду
Температурные поля Тс =Тс (т, х,у) и Та =Та (т, х, у) определяются в области
0 <т<тс, (5)
где тс - продолжительность светового дня.
Для типовой конструкции солнечного коллектора выполняется неравенство Lск << N / 2, поэтому представляется возможность провести усреднение температурного поля по координате х, т.е. свести задачу к одномерной, полагая
2
2
Та (т у )=Т7 | Та (т х, у) йх '
" 0
N
- 2 2
Тс (т у ) = — | Тс (т X, у) ^ .
п 0
В гелиосистемах с естественной циркуляцией обычно осуществляется ламинарный режим течения жидкости, для которого справедливо соотношение аж = 4,36А,ж / dж .
С учетом этого соотношения и приведенных выше граничных условий можно записать:
дТ
8сРсС = иас (Та - Тс ) + ^ (Тс - Т ) . (6)
дг
дТ д Т 1
Sapaca^ = Xa5a —2--13,7-^(Ta -Тж) +
a a a дг a a ду2 N V '
+ [ J - U (Ta - To )] + Uac (Tc - Та ).
(7)
N
+
Индексы усреднения в этих формулах опущены. Система уравнений (6) и (7) решалась при следующих условиях:
- начальные
Та = То = Т при т = 0, (8)
- граничные
дта А
— = о при у = 0 и у = !ск. (9)
Температурное распределение в жидкости, протекающей по трубам коллектора, описывается дифференциальным уравнением конвекции
Рж Сж
n dж дТж 4 dt
- + с,„
G^ дТж
n dy
— 13,7Хж (Т. - Тж ) . (10)
Тепловой расчет солнечного коллектора заключается в решении уравнений (6), (7) и (10) при начальных и граничных условиях:
дТа
Та = Тж = То = Т при т = 0; — = 0 при у = 0,
ду
дТ. _ 0 ,
— - 0 пРи y = La
(11)
dt
dz
— X ж fi
д 2T
БТА
жУБТА „ 2
dz
+ Uбта (T - То ).
(12)
Начальное условие
ТБТА = Т0 при т = 0.
Граничное условие
ТБТА = Тж.под (т L2 ) при 2 = 0;
дТ-т
dz
— UБТА (ТБТА - Т0 ) при z - Hбта . (13)
Температура жидкости в подъемном трубопроводе определяется уравнением
nd 2
dT_
Р ж.под L ж.под + с G Т ж.под
гж ж л ж.под ж ж ж.под
4 ж.иид dt Ж Ж Ж.ПОД dy
— иж.подП dЖ.ПOДТж.под (Тж.под Т0 ) . (14)
Начальное условие
Тж.под = Т0 при т = 0.
Граничное условие
Тж.под = Тж (т ^к ) при у = 0. (15)
Температура жидкости в опускном трубопроводе Тж.оп = Тж.оп (т, У) определяется уравнением
nd 2
dT„
dT,
Р с ж.оп Т ж.оп + с G Т ж.оп
гжж, ж.оп ж ж ж.оп ^
4 dt dy
— Uж.оп0П<^ж.опТж.оп (Тж.оп - Т0 ).
(16)
Начальное условие
Тж.оп = Т0 при т = 0. Граничное условие
Тж.оп = ТБТА (^ НБТА ) при у = 0. (17)
Для определения расхода жидкости по замкнутому контуру воспользуемся уравнением Навье - Стокса для одномерного течения жидкости по трубе
дю дю 1 др д 2ю --ь ю — =----ь ю —— + г ?
дт Рж дС2 ^
В уравнениях (1) - (11) приняты обозначения: Тс, 8С, рс, сс - соответственно температура, толщина, плотность и удельная теплоёмкость прозрачного покрытия; т - время; Та - температура пластины поглощающего элемента (абсорбера); Т0 - температура окружающей среды; и - коэффициент тепловых потерь, и = U8i (X - теплопроводность; 8 - толщина пластины); Lск, N - размеры пластины; - теплопроводность жидкости (теплоносителя); dж - диаметр трубопровода для теплоносителя; Gж - расход теплоносителя; Тж - температура теплоносителя.
Математическая модель бака-теплоаккумулятора (БТА) учитывает эффект перемешивания стратифицированных слоев жидкости в результате конвекции при подводе горячего теплоносителя. Уравнение сохранения энергии для БТА имеет вид
р г дТБТА + с G дТБТА _
или
dro dro
Рж| ^ + I-+ Ц
dp
d 2ro
+
Р
(18)
ж| дт д^ д§ дС2 Применяя уравнение к поперечному сечению тру-
бы, получим
dro _ dro
Рж I--+ro —
Рж| dt
—-d^+XcT +р
(19)
сечению
где ю = ю (т, , р = р (т, - средние по
скорость и давление жидкости; тст - касательное напряжение к стенке трубы.
Здесь учтено, что на оси трубы (С = 0)
дю
т = ц—
дС
а на стенке трубы (С = d/2)
дю
- 0,
С—0
dC
— t.
С—-
Индекс усреднения в дальнейшем опущен. Поскольку движение жидкости в результате естественной конвекции происходит по замкнутому контуру гидравлической системы установки, то произведем интегрирование уравнения (19) по этому контуру: дю дю
§Рж "dtd$РжГО^ —
^д^^Кт + ^ж^^^ (20)
Проанализируем величины, стоящие в правой части уравнения (20). Можно показать, что
!тст (5)d ^ = -Рж г Е К,
I
где ^ - удельные потери напора на преодоление всех сил сопротивления на 1-м участке гидравлического контура.
ж
Рассмотрим интеграл ф[ ржgi -дт I d% .
I ди
Как известно, разность между объемной силой и силой давления при естественной конвекции жидкости можно принять равной g (р - р0). Таким образом,
^рж g %- d %=g (рж -р0)51п Ф%d %= = -g§(рж -р0)втф%d%,
где ф% - угол наклона контура d% к горизонтали.
Проанализируем величины, находящиеся в левой части уравнения (20). Так как скорость жидкости при естественной циркуляции мала, скоростным слагае-
дю
д
i 2\
фрж ю —— d| = рф—- — dd% можно пренебречь.
2
/б
БТА
/ж
первое слагаемое представим как
^ Рж
f
_ + —ж.оп + —ж.под
n /ск /ж
/ж
dG„„
ж.под у
дх
Вводя коэффициент объемного расширения, первое слагаемое в правой части уравнения (21) запишем
в виде
— |(Рж "Ро)sinФd£ = Ро
ламинарного режима течения, который, как правило, имеет место при естественной циркуляции теплоносителя, коэффициент сопротивления по длине определяется соотношением V' = 64Же, второе слагаемое в правой части в формуле (22) запишем в виде
g I ^ = ^ g,
(
л
V nd ск /ск d ж. оп /1
ж.оп./ ж.оп
d.
д
2
ж.под^ ж.под у
(23)
Здесь учтено, что
H
БТА
"БТА /б-
БТА ./БТА d ж.оп Уж .оп
зультате уравнение движения жидкости примет вид
В ре-
(
_+ —ж.оп + —ж.под
n/ск /ж.оп /ж
dG„„
ж.под у
дх
Первое слагаемое в левой части уравнения (20) представим в виде:
Г дю дЮг
d% = ?.рг—Ц . д% г дт
В результате уравнение (20) примет удобный для практических расчетов вид
^ =-g$ — (рж-р0)^ф%d%-gЕ^ . (21)
г дт р0 г
Записывая уравнение неразрывности для всех элементов гелиоситемы (СК, БТА, опускного и подъемного трубопроводов) и учитывая соотношение
НБТА << _^.оп
I [Тж (у)- ж.под ж.под )] dy -
-32v„, G_
v nd ск /ск d ж.оп
ж.оп ж.оп
d 2
д f
.(24)
ж.под ж.под у
Начальное условие: = 0 при т = 0. В уравнениях (12) - (24), кроме указанных в тексте, приняты обозначения: ТБТА - температура жидкости в баке аккумуляторе; /БТА - поперечное сечение БТА; иБТАо - основные тепловые потери в БТА; НБТА -высота БТА; ю - скорость; %, ^ - естественные координаты для движения жидкости по трубе; g - ускорение свободного падения; ц - динамическая вязкость; уж - кинематическая вязкость жидкости; р' - угол наклона поверхности к горизонту.
Таким образом, гелиосистема с естественной циркуляцией описывается следующей системой уравнений с учетом начальных и граничных условий: - для солнечного коллектора:
дТ
8сРсСс-д^ = Uac T - Тс) + UC0 (Тс - Т0);
ск г \"1
= ß ' I [Тж (У)- Тж.под (-ж.под )J sin Фскdy -
0
-ск
-ß ' I [Тбта (У)- Тж.оп (-ж.оп )>, (22)
где фск - угол наклона солнечного коллектора; перепадом температур по длине соединительных трубопроводов пренебрегаем.
Последний интеграл в правой части уравнения (22) является движущей силой для свободной конвекции в БТА, приводящей к образованию замкнутых токов жидкости внутри бака, поэтому данным интегралом можно пренебречь.
Записывая выражение для гидравлических потерь, пренебрегая местными сопротивлениями по сравнению с сопротивлением по длине и учитывая, что для
дТ
д Т
Д.
5a Ра = Хa5a—f -13,7-^ (Ta - Тж) +
a a a ох a a ду2 N v ж/
+ J - U (Ta - То )]+ Uac (Тс - Та ) ;
Р с П dж.оп дТж + с дТж
Г Ж Ж "l"t™
4 дх n ду
= 13,7Х ж (Та - Тж);
Тс = Та = Тж = Т0 при Х = 0; дТ
"ду ' 0 Тж = Тж под (-ж.под ) при у = 0;
дТа
—^ = 0 при у = -ск. дУ
+
р
ж
Р
ж
2
L
L
L
ж.под
ж.оп
+
L
- для бака-теплоаккумулятора с подъемным и опускным трубопроводами:
_ f дТБТА + G дТБТА Рж сж f Бтл
дг
dz
д 2Т
-7 f а J БТ. _ Лж./БТА „ 2
dz 2
- + UбтАО Р БТА (70 7БТА ) ;
2
_ с п dж.под L 01 ж.под + с G Т Т ж.пс
I ж ж 4 ж.под дг ж ж ж.под ду
— ^ж.под^ ^ж.подТж.под (7ж.под 70 ) ;
. с П dж.оп Т дТж.оп + с G Т дТ
гжж, ж.под ж ж ж.оп
4 жпод дг
— Uж.оп^ dж.опТж.оп (7ж.оп - 7 ) ;
ду
Тж.оп — ТБТА — Тж.под — Т0 при Г — 0 Тж.оп — Тж (Тск ) , Тж.под — ТБТА (НБТА ) ^И У — 0 ТБТА — Тж.оп (Тж.оп ) при Z — 0;
дТ
дz
UБТАО (Т0 - ТБТА ) при Z — H ;
- уравнение движения:
(
Тск + Тж.оп + Тж.под
дО„
дг
«/ск /ж.оп /ж.п
Рж gß ' 'Г[Т ж ( У )-Т ж.под ( Тж.под )] dy -
2
(
-32vж Ож
Тс
+
+
«d2 f d2 f d2 f y ск./ ск ж.под-'ж.оп ж.под^ж.под у
Ож = 0 при т = 0.
Расчет произведен методом конечных разностей по неявной схеме Кранка - Николсона, которая является абсолютно устойчивой и показана в работе [1].
Литература
1. Амерханов Р.А., Бутузов В.А., Гарькавый К.А. Вопросы теории и инновационных решений при использовании гелиоэнергетических систем : монография. М., 2009. 504 с.
2. Горин А.Н., Дорошенко А.В. Альтернативные холодильные системы кондиционирования воздуха. Донецк, 2006. 311 с.
Поступила в редакцию
15 ноября 2011 г.
Амерханов Роберт Александрович - д-р техн. наук, профессор, Кубанский государственный аграрный университет. Тел. (861) 221-58-54. E-mail: [email protected]
Гарькавый Константин Алексеевич - канд. техн. наук, доцент, Кубанский государственный аграрный университет. Тел. (861) 221-58-54. E-mail: [email protected]
Amerkhanov Robert Aleksandrovich - Doctor of Technical Sciences, professor, Kuban State Agriculture University. Ph. (861) 221-58-54. E-mail: [email protected]
Garkavij Konstantin Alexeevich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Kuban State Agriculture University. Ph. (861) 221-58-54. E-mail: [email protected]
ж
