Моделирование нестационарных процессов переноса вещества и адсорбции в пористой среде на основе фрактала «Дендрит» Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.0(075)+ 541.183

А.Г. Нагиев, Дж.И. Мамедов, Н.А. Гулиева

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ВЕЩЕСТВА И АДСОРБЦИИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ НА ОСНОВЕ ФРАКТАЛА «ДЕНДРИТ»

(Сумгаитский государственный университет) e -mail: nashfn@hotbox. ru

В качестве статистических эквивалентов высокопористых катализаторов и адсорбентов предлагается в рассмотрение совокупность дендритовых агрегатов с различными диаметрами входных отверстий на их поверхности. Разрабатывается модель дендрита в классе фракталов. Предлагается подход для связывания параметров фрактальных структур с кинетическими параметрами процесса переноса в пористой среде на основе модели «псевдоканала». Эффективность применения концепции фракталов проявляет себя в том, что эти модели позволяют не только имитировать равновесные явления в пористых средах, но и пригодны для включения их фрактальных параметров в дифференциальные уравнения динамики.

Ключевые слова: высокопористые катализаторы, адсорбция, фракталы, математическое моделирование массообменных процессов

К настоящему времени накоплен достаточный объем экспериментального материала, который говорит о древовидном (дендритовом) характере организации микрочастиц в кластеры в строении ряда веществ [1-3]. Не лишены экспериментальных подтверждений также предположения о фрактальности структуры высокопористых сред [4-8], которая представима в виде дендритовых образований [9]. Воспроизведение наиболее вероятных картин внутреннего строения пористой среды в виде фрактальных структур может способствовать эффективной параметризации высокопористой среды, а главное, возможности включения фрактальных параметров среды в дифференциальные уравнения динамики процессов диффузии и адсорбции. В связи с этими вопросами, в научной литературе все чаще встречаются попытки связать основной характеристический параметр - фрактальную размерность пористой среды — с кажущимися кинетическими параметрами этих процессов. Именно к этому вопросу единого подхода пока не существует.

Целью настоящей работы является вывод основных формул для определения параметров дендритов как фрактальных структур и проработка вопросов их связывания с кинетическими параметрами нестационарных процессов переноса и включения в модельные дифференциальные уравнения.

Дендритовая модель пористого зерна адсорбента как пространственно-геометрический объект со свойством фрактальности

По определению, данному Б. Мандельбро-том [10] — основателем фрактальной геометрии — фракталом называется структура, состоящая из

частей, подобных целому. В области практического применения фрактальной геометрии в исследовании технических систем широкое применение нашел фрактал, представляющий собой абстрактное канторово множество частей отрезка [0,1] [1]. Взяв в качестве исходного элемента единичный отрезок, и деля его при каждой итерации на три равные части, удаляя при этом средний элемент, можно получить стремящийся к нулю бесконечный ряд частных от деления (рис. 1). Очевидно, что на п-ш шаге будем иметь 2" отрезков длиной 1/3" каждый. При п=0,1,2,3,... получается стремящееся к бесконечности множество отрезков Суммарная длина отрезков, получив-

2 4 8

3 9 27' шихся в

J

д(п)--

п-й итерации делений при масштабе , определяется выражением:

£(п)

D

(1)

Вид этой формулы обозрим в отношении того, что в ней порядок первого множителя (1 может сопоставляться порядком второго множителя Б.

Величина с! является топологической размерностью пространства, в котором определены отрезки длиной 8(п) (в данном случае (1= 1: для плоской геометрической фигуры (1=2 и (1=3 - для пространственной), а величина И представляет собой фрактальную размерность канторовского пространства.

Фрактальную размерность Б для данного множества вычисляют по формуле [1]:

In

N(I)

D = -

N(I') _ In 2

In

V_ I

In3

: 0.6309-

(2)

II II II II

Рис. 1. Триадное канторовское множество отрезков [ОД] Fig. 1. Triadic Cantor set of intervals [0,1]

Если расширить представления о таком единичном канторовском отрезке, приписав ему еще два дополнительных пространственных измерения, то можно перейти к суждениям о некоторой трубке единичного объема Vo=l с начальным радиусом г о. Длина этой трубки будет составлять

Cq =—!—. Оставляя неизменным правило генерале

ции новых поколений трубок, получим последовательность трехкратно уменьшенных объемов:

где N(6). N(30 )— соответственно число покрытия фрактала элементами заданного характерного размера (показателя масштаба) 3 на некоторой

итерации и, и характерного размера ¿' = —3 на

3

последующей итерации п+1.

Теперь представим себе, что канторово множество составлено из последовательности величин 5и=яг„(?и, выражающих площади поверхностей тех самых трубок (трубки нулевой толщины стенок). В этом случае носителем фрактальной размерности будет указанная площадь.

Таким образом, последовательность геометрических измерений генерирующихся пространственных объектов, в отличие от канторов-ского множества одномерных элементов может быть характеризована рядом фрактальных размерностей - фрактальной размерностью по носителю объема, по площади поверхности, а также по периметру трубок (каналов). Показателем масштаба может быть использован как радиус, так и длина канала. Для конкретности далее воспользуемся только радиусом.

vj = mf СI = - , v2 = лг| С2 = - • • • • Число трубок в

каждом поколении будет также равно 2П. Суммарный объем трубок одного поколения при каждой итерации будет уменьшен в 2/3 раза. При этом, как нетрудно заметить, мы имеем канторовское множество геометрических измерений уже пространственных объектов. Пусть показателем масштаба принят радиус трубок.

Переходя к пространственным объектам, мы получаем возможность выбора правила задания нового радиуса на каждой итерации, rn+\=arn; 0<(7<1, при этом оставляя, например, неизменным описанное правило генерации новых поколений трубок с трехкратно уменьшенными объемами. Тогда длина каждой трубки в новой итерации

должна определяться как (п+\=-^—(п- В этом

3 а

случае размерность множества фрактальных пространственных объектов относительно величины v - носителя объема, очевидно не будет отличаться

/и 2

от I) _:--ранее вычисленной для одномерного

/и 3

канторовского множества, независимо от величины а.

а б

Рис. 2. Дендритовая модель пористого зерна катализатора, а - Дендритовое образование в пяти поколениях разветвлений, б - расположение пор внутри зерна Fig. 2. Dendritic model of a porous catalyst grain. a - the formation of dendritic branches in five generations, б - the location of the pores within the grain

Рассмотрим вопросы приложения к моделированию конкретных пористых структур. В качестве канторовского пространственного объекта примем древовидно-ветвящийся агрегат - дендрит (рис. 2а). На рис. 26 показана схема распространения дендритовых агрегатов на поверхности зерна пористого материала. Объектом моделирования будем рассматривать некоторый дендрит с определенными параметрами входного отверстия г о, v0. При этом принимаем во внимание, что удовлетво-

рено условие

1')7+1

< \, и, кроме того, имеем в виду.

что: а

гп+1

и =

Р

-О у.

Пусть также задано отношение

Хи+1 Хп

число ветвей на стволе дендрита, где х„. х„ 1 - количества ветвей дендрита в соответствующих поколениях с номерами п, п+1. Кроме того, примем, что 0<а<1, 0<Ь<1, с>1.

v

n

r

n

n

Тогда, учитывая введенные обозначения, запишем фрактальные размерности по носителям общего объема V, по общей площади поверхности стенок дендрита 5", и по общему периметру П. С этой целью запишем отношение:

^8,,+!; _ Уп+1 _ ягй+1*и+1

т„) уп

2е пгп 1п

2 2, па гп Ьагп

2"«

™п1п

а3Ь,

(3)

ЛГ(5„) ЛГ(8И

2ти2ги+1йги+1

2лг„ Ъгп

(5)

И) _ Пв+1 _ 2™-и+1

ЛГ(8И) П„ 271Гй

Определим фрактальную размерность по носителю объема, согласно формуле (2), в следующем виде:

1п(а3 1п а

1пс + 31пд „ 1п с

■-= 3 +

1п а 1п а

—, (7)

а также по носителям поверхности контакта и периметра сечений, применяя соответствующие выражения:

_ 1пс + 21па „ 1п с

=--= 2+-:

1п а 1п а

п 1 1пс

та

(8) (9)

Нетрудно заметить, что для дендритовой структуры с правилом построения, приведенным 1п с

выше, отношение д = -

1п а

всегда отрицательно,

п'(Л =

2п£ 2

0

п£

Д,

(10)

(11)

которое выражает кратность изменения числа N(1),,) покрытия общего объема некоторыми элементами масштаба Зп+1 относительно этого числа в масштабе предыдущего поколения ветви д„. Масштаб, характеризующий элементы заданного поколения п , исходя из (3) определится:

8у(и) = а" (4)

Аналогичным образом можно определить числа покрытия N(8^ по носителям поверхности и периметра сечений ветви дендрита в поколении п:

где ИР, !)';■ /V - определяются по формулам (7)-

(9).

С практической точки зрения функции

(10)-(12) вьфажают дифференциальный закон распределения в натуральном масштабе измерения

.

Их отличие от общепринятой функции распределения заключается в том, что они заданы в канто-ровских множествах переменной £ (также и параметров Д 5", V). которые изначально введены как множества изолированных точек числовой оси.

Установим связь между физической мерой протяженности пространства е с суммарной длиной каналов всех поколений до номера п включительно. Для этого, принимая п как непрерывную переменную, проинтегрируем следующее выражение:

г(п) = £о = — (а"-1);

•О ' 1п а

■а< 1,(13)

(6) откуда легко получить:

1п а

-1), а< 1.

(14)

поскольку, а< 1 и с> 1. Следовательно, существуют ограничения: /)|т<3; /Л<2: /)/.<1. Как видно, фрактальная размерность рассматриваемого нами пространственно-геометрического построения (фрактала) во всех трех измерениях меньше соответствующей евклидовой размерности.

Суммарные периметры, площади сечений и объемы ветви с длиной, равной I, согласно выражению (1) и с учетом соотношения г = Ъ£ могут быть вычислены следующим образом:

^DU

Дифференциальные уравнения для описания процессов диффузии и адсорбции

Рассмотрим параллельные процессы диффузионного переноса вещества и адсорбции в одном дендрите. Воспользуемся понятием «псевдоканала», как средством для вывода соответствующих дифференциальных уравнений (рис.1), включающих функции распределения (10), (11). Продольной координатой этого канала будет служить физическая мера протяженности пространства е , определяемая соотношением (13) (рис.2). Сам «псевдоканал», являясь лишь математической абстракцией, естественно, не будет соответствовать обычным геометрическим представлениям пространственных объектов (тел вращения). Распределение периметра и площади сечения «псевдоканала» по продольной координате, очевидно, будет выражаться соответствующими формулами, для вывода которых проведем преобразования в (10), (11). Учитывая формулу (13) и зависимости

£(п) = ¿да", получим:

5'(е) = пЬ'^Ц 1 + у^е

¥'(£) = пЬ~2£1

1п а 1 +-8

. £0

2-Д*

3-Юу

(15)

(16)

Функции (15), (16) представляют собой дифференциальные функции продольной координаты псевдоканала по площади поверхности кана-

0

ь

лов и по их объемам, которые в совокупности характеризуют распределение сорбционной емкости канала по переменной е. Данная координата названа псевдометрикой глубины проникновения сорбента.

жающие процессы переноса в газовой (внутри поры) и твердой (на стенках каналов) фазах:

ренциальном объеме, = S (s) dP

¿fe;; Ul - ско-

S\e) dP{t, s)

de

(18)

КТ0 дг

- каР(?,г%1 - и)<хП'(£) + А^иаП'(е) £") _

У = к:аРй,е) [- и(/\Е) -

Зг —

Система уравнений (18) представляет собой модель массопереноса по каналу, в котором учтены распределения геометрических величин по псевдометрике глубины проникновения е. В этой системе уравнений масса сорбента, заполняющая объем в единице длины псевдо метрики с1е, выражена в виде произведения сечения (;-:) на ско-

рость изменения парциального давления

Поверхность контакта с внешней средой

Рис. 3. Схематическое представление «псевдоканала» Fig. 3. Schematic representation of the "pseudochannel"

Выделим в глубине в псевдоканала дифференциальный слой толщины de. Запись дифференциального уравнения нестационарных процессов диффузии в объеме может быть основана на первом законе Фика. Параллельный процесс адсорбции может быть выписан на основе мономолекулярного механизма Ленгмюра.

Материальный баланс для нестационарных состояний этого дифференциального слоя выразим в виде:

u=-ui+u2-u3+u4, (17)

где и - скорость накопления вещества в диффе-

dt

dt ц КГо dt рость расходования вещества из дифференциального объема за счет адсорбции, капРоП(е)с]£: гь, и3 — скорости потоков вещества диффузией через сечения (е] .V (;-: ск-:) соответственно,

1иъ8т' +^ Щ ~ скорость

десорбции вещества, к^ЯТояЩе).

Принятые обозначения: М- масса вещества; ¡.I — молекулярный вес; /Л/,, - коэффициент диффузии, Р — парциальное давление ; Я - газовая постоянная, Т0 — стандартная температура; а — число адсорбционных центров в единице поверхности; п - доля занятых адсорбционных центров; ка, кс1 — константы скоростей адсорбции и десорбции.

Учет вышеприведенных уточнений в балансовом соотношении (17) приводит к дифференциальному уравнению массопереноса диффузией и процесса адсорбции. Ниже приводится система двух дифференциальных уравнений, выра-

Функция Djij(e) выражает зависимость коэффициента диффузии от радиуса канала [13], которым определены влияния молекулярной и кнудсенов-ской диффузий. Удельная поверхность контакта по единице длины канала также определена как функция координаты е.

В качестве начальных условий для модели (18) справедливы выражения:

t=О, Р(0,е)=0, п(0,ё)=0 (19)

Условиями, выражающими стационарные концентрации веществ в потоке газовой фазы и нулевые концентрации веществ в ядре, недоступном диффузии, являются [11,12]:

s = (0- P(t, f о) - Pin (ГУ, PA(t, slllax) = 0; (20) Численный алгоритм получения решений данной модельной задачи имеет особенность, проявляющуюся в том, что последовательность узловых точек по пространственной координате оказывается сильно сжатой справа. В этой связи очевидна полезность применения неравномерной сетки по пространству, которого естественно реа-лизовывать исходя из формулы (13).

ЛИТЕРАТУРА

1. Федер Е. Фракталы. М.: Мир. 1991. 260 е.; Feder Е. Fractals. М.: Mir. 1991. 260 p. (in Russian).

2. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. М.: Наука. 1991. 134 с.;

Smirnov B.M. Physics of fractal clasters. M.: Nauka. 1991. 134 p. (in Russian).

3. Олемской A.IL, Флат А.Я. // УФН . 1993. Т. 163. № 12. С. 1-50;

Olemskiy A.I., Flat A.Ya. // UFN. 1993. V. 163. N 12. P. 1-50 (in Russian).

4. Ehrburger-Dolle F., Lavanchy A, Stoeckli F. // J. Colloid Interface Sci. 1994. V. 166. P. 451-461.

5. Avnir D., Jaroniec M. // Lengmuir. 1989. N 5. P. 14311433.

6. Rigby S.P., Fletcher R.S., Riley S.N. // J. Colloid Interface Sci. 2001. V. 240. N 4. P. 190-210.

7. Куликов ДВ., Мекалова Н.В., Закирничная М.М.

Физическая природа разрушений. Уфа: Изд-во УГНТУ. 1999. 237 е.;

Kulikov D.V., Mekalova N.V., Zakirnichnaya M.M. Physical nature of destruction. Ufa: Izd-vo UGNTU. 1999. 237 p. 237. (in Russian).

8. Иванова B.C., Баланкин A.C., Бунин И.Ж., Оксогоев A.A. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука. 1994. 298 е.;

Ivanova V.S., Balankin A.S., Bunin I.Zh., Oksogoev A.A.

Synergy and fractals in materials science. M.: Nauka. 1994. 298 p. (in Russian).

9. Нагиев А.Г. // TOXT. 2003. Т. 37. N 1. С. 76 - 82; Nagiev A G. // TOKhT. 2003. V. 37. N 1. P. 76-82 (in Russian).

10. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. N.Y.: Freeman. 1982. 470 p.

11. Кельцев H.B. Основы адсорбционной техники. М.: Химия. 1984. 592 е.;

Keltsev N.V. Bases of adsorption techniks. M.: Khimiya. 1984. 592 p. (in Russian).

12. Ибрагимов Ч.Ш. К методам проектирования и управления адсорбционными процессами. Баку: Элм. 1989. 236 е.; Ibragimov Ch.Sh. On methods of designing and control with adsorption processes. Baku: Elm. 1989. 236 p. (in Russian).

13. Саттерфилд Ч.Н. Массопередача в гетерогенном катализе. М.: Химия. 1978. 239 е.;

Satterfield C.N. Mass-transfer in heterogeneous catalysis. M.: Khimiya. 1978/ 239 p. (in Russian).

Кафедра технической кибернетики

УДК 66.023. 525.3

В.К. Леонтьев, О.Н. Кораблева О ПОВЕРХНОСТИ КОНТАКТА ФАЗ В ГАЗОЖИДКОСТНОМ ЭЖЕКЦИОННОМ АППАРАТЕ

(Ярославский государственный технический университет) e-mail: leontevvk@ystu.ru; korablevaon@ystu.ru

Экспериментально определены «сульфитные числа» для газожидкостных эжек-ционных аппаратов. По предложенной методике рассчитана удельная межфазная поверхность. Проведена сравнительная оценка эффективности работы газожидкостных эжекционных аппаратов.

Ключевые слова: газожидкостной эжекционный аппарат, диспергирование, удельная межфазная поверхность, «сульфитное число», эффективность

В нефтеперерабатывающей, нефтехимической, химической, пищевой, фармацевтической, микробиологической и металлургической промышленности широко используются процессы, в которых осуществляется контакт газа с жидкостью.

При проведении гетерогенных реакций, а также процессов абсорбции, их скорость лимитируется массообменом и интенсификация процесса перемешивания приводит к повышению скорости этих процессов.

Известно, что газовые нагрузки в аппаратах с механическими перемешивающими устройствами имеют предел, после которого наступает резкое снижение полезной мощности диспергирования. Эти недостатки отсутствуют в газожидкостных аппаратах с эжекционным диспергированием газа [1].

Для изучения массообмена в многосопловом эжекционном аппарате была разработана экспериментальная установка (рис. 1). Аппарат со-

стоит из форсуночной и эжекционной камер и представляет собой цилиндрическую емкость, внутри которой расположен диспергатор.

При этом число эжекторов 7 можно менять от одного до четырех. Применение многоэжек-торного диспергирования газа может решить проблему равномерного диспергирования энергии перемешивания во всем рабочем объеме, а также увеличить газовую нагрузку, приходящуюся на поперечное сечение аппарата. Совокупность эжекторов, расположенных в реакторе, будет интенсифицировать процесс перемешивания жидкости в реакционном объеме аппарата, что, несомненно, приведет к равномерному контакту жидкости с газом, увеличению удельной межфазной поверхности, увеличению времени контакта фаз и повышению коэффициента массопередачи.

Для сравнительной оценки эффективности работы любых используются различные критерии