CC BY
17туры процесса при частичной гидрогенизации легкой фракции куриного жира с получением продукта по свойствам близким к маслу какао.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ковтун В.Ф. Вестник фармации (Республика Беларусь). 2005. №1. С.92-93.
2. Ковтун В.Ф. Исследование влияния температуры на скорость реакции гидрогенизации куриного жира. Фармация и здоровье: Материалы Междун. Научно-пракг. конференции, 9-12 ноября 2005. Пермь: ПГТУ. 2005. 103 с.
3. Кочин НЕ. Теоретическая гидромеханика. М.: Физмат-гиз. 1963. 460 с.
4. Кутузова ИВ. Теоретические и биофармацевтические аспекты создания стабильных липидных препаратов и их лекарственных форм. Автореф. дисс. ... д.ф.н. М. 1996. 36 с.
5. Ковтун В.Ф., Козлов В.А. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 7. С. 90-92.
6. Ковтун В.Ф., Козлов В.А. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 9. С. 48-49.
7. Ковтун В.Ф., Козлов В.А. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 8. С. 110-113.
УДК 621.184
В.А. Трубчанин, В.П. Жуков, Е.В. Барочкин
ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ МЕЖДУ ПОТРЕБИТЕЛЯМИ
ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ
(Ивановский государственный энергетический университет) e-mail: mizonov@home.ivanovo.ru
Сформулирована задача оптимального распределения тепловой нагрузки между потребителями, получены ее численные и аналитические решения. Выполнены вариантные расчеты для определения оптимального распределения нагрузки для ряда схем.
Ключевые слова: тепловая нагрузка, оптимальное распределение, потребление
В системах теплоснабжения промышленных предприятий существует, как правило, несколько источников и потребителей тепловой энергии. Затраты на передачу тепловой энергии от источников потребителю существенно отличаются в силу различной протяженности, диаметра трубопроводов и состояния их тепловой изоляции. При этом обеспечить потребителей тепловой энергией можно различными способами и, соответственно, с разной эффективностью.
Задача оптимальной организации транспорта тепловой энергии может быть сформулирована следующим образом. Пусть п источников обеспечивают теплом т потребителей. Наиболее общий вариант схемы тепловых потоков приведен на рис. 1. Для источников задаются максимальные тепловые нагрузки, которые они могут обеспечить. Нагрузки потребителей определяются технологическими условиями и считаются известными.
Затраты ресурсов при передаче единицы энергии от 7-го источника /-му потребителю учитываются соответствующими элементами стоимостной матрицы Су.
Общие затраты определяются через сумму произведений элементов стоимостной и транспортной матриц:
Г = ■
где qiJ - элементы транспортной матрицы, которые соответствуют тепловой энергии, передаваемой от ¿-го источника /-му потребителю, индекс / = 1,2,..и относится к источнику; / = \,2,..т - к потребителю энергии.
И с т о ч и и к и —► с1\\ chi Ч\т Тяи=в1 j
- с1л с1ч (/im j
- tfnl Чщ ^nm IX =в„ j
1 1 I
г г IX =4, г
ПОТРЕБИТЕЛИ
Рис. 1. Схема тепловых потоков между источниками и потребителями.
Fig. 1. Scheme of thermal fluxes between sources and consumers.
С учетом введенных понятий оптимизационную задачу сформулируем в следующем виде. Определить оптимальные потоки ц. от 7-го источника /-му потребителю, которые обеспечивают
минимальные суммарные затраты
с=Исл—^ш'
при заданных нагрузках потребителей
(2)
и ограничениях максимальной мощности источников
(3)
С'С= -(А
/А
%
Подстановка решения (5) в (2) и (3) позволяет найти множители Лагранжа
Mi
у и,
' V ■>
(6)
Мг =
Z—
Г 2а,
(7)
Z
1
Значения элементов стоимостной матрицы определяются протяженностью и диаметром трубопроводов, состоянием их теплоизоляции. Если элементы матрицы известны и постоянны (с = const),
У
то сформулированная задача (1) с ограничениями (2)-(3) относится к задачам линейного программирования. Если затраты при транспорте зависят от тепловой нагрузки су = ffcj^) ■ то задача становится нелинейной. При дальнейшем анализе считается, что элементы стоимостной матрицы определяются гидравлическими сопротивлениями связей и линейно зависят от нагрузки су = f (qy) = ,
где аи - постоянные коэффициенты.
Решение сформулированной задачи выполняется двумя методами: методом статистического программирования [1] и методом неопределенных множителей Лагранжа [2]. К преимуществам метода статистического программирования следует отнести простоту его реализации, к недостаткам - существенные затраты машинного времени, особенно при большом числе параметров оптимизации.
Аналитическое решение находится методом неопределенных множителей Лагранжа для случаев отсутствия (рис. 2, а) и наличия (рис. 2, б) ограничений на связи между источниками и потребителями.
При отсутствии ограничений теплоноситель от любого источника может подаваться любому потребителю. Для построения решения с учетом ограничений (2)-(3) целевая функция (1) переписывается в виде
2а,
3 —у
Решение системы нелинейных уравнений (6)-(7) методом итераций позволяет определить численные значения множителей Лагранжа.
Подача теплоносителя от каждого источника каждому потребителю (рис. 2, а) не всегда возможна в силу отсутствия между ними связей (рис. 2, б). В этом случае для указания существующих связей вводится матрица коммутации (К) размером п/т. каждый элемент которой указывает на наличие {кч = 1) или отсутствие {кч = 0) связи между 7-ым источником и /-м потребителем. Пример построения матриц коммутаций для двух схем приведен на рис. 2.
<=> К =
(\ 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 К
И4 П4
а)
<=> К =
(1 1 1 °1
0 1 0 0
0 0 1 0
,0 0 1 К
где А/, //, - неопределенные множители Лагранжа.
После приравнивая к нулю производной функции (4), решение оптимизационной задачи записывается следующим образом
а (5)
3 2а,
И4 П4
б)
Рис. 2. Структурные схемы теплоснабжения от четырех источников (И) четырех потребителей (П) и соответствующие им матрицы коммутации (К) при отсутствии (а) и наличии (б)
ограничений на связи Fig. 2. Block schemes of four consumers (C) heat supplying by four sources (S) and appropriate commutation matrixes (M). a) absence of limitation on connection, b) presence of limitation on connection.
Оптимизационная задача (1) с учетом существующих связей принимает вид
(8)
c = Hkvcv(iv—>min
Решение (8) с ограничениями (2) и (3), полученное методом неопределенных множителей Лагранжа [2], записывается следующим образом
2а,,
(9)
Подстановки решения (9) в (2) и (3) позволяют найти множители Лагранжа
2а„
(10)
/', =
< Ч
J Ч
¿г12а
J AUij
(11)
13,8
13,6
13,4
13,2
10"
N
10=
106
10'
Рис. 3. Зависимость значения целевой функции от числа вариантов расчета для численного метода (сплошная линия).
Точное решение показано штриховой линией Fig. 3. Target function value dependence on number of calculation variants for numerical method (solid line). Dotted line is exact solution
жителей Лагранжа согласно (5)-(7) и методом статистического программирования [1], представлены на рис.3 в виде зависимости значения целевой функции от числа вариантов расчета. На этом же рисунке в виде горизонтальной штриховой линии показано точное решение задачи, полученное методом неопределенных множителей Лагранжа.
Как видно из графиков, для достижения приемлемой сходимости численного метода необходимо провести 105-107 вариантов расчета.
Таблица
Сопоставление результатов решения оптимизационной задачи Table. Comparison of optimization problem calculation results
В качестве тестовой задачи рассматривается пример обеспечения теплом четырех потребителей от четырех источников с неограниченной мощностью. Конфигурация тепловой сети без ограничений связей, приведенная на рис. 2, а, позволяет каждому потребителю получать тепловую нагрузку от любого источника. Очевидно, что это условие подразумевает наличие связей (трубопроводов) между всеми источниками и потребителями, что является определенным упрощением в рассматриваемом примере. Решения тестовой задачи, полученные методом неопределенных мно-
Число сгенерированных вариантов численного решения 1000 10000 100000 1000000
Минимальные затраты (значения целевой функции, С) Численное решение с ограничениями связей (вариант 1) 26,1 25,1 24,7 24,3
Аналитическое решение с ограничениями связей (вариант 2) 23,61
Аналитическое решение без ограничений связей (вариант 3) 8.99
С использованием разработанного подхода решается задача оптимального распределения нагрузки для сети паропроводов с давлением 9 ата одного из энерготехнологических участков ОАО «Северсталь». Восемь источников (п=8) снабжают паром девять потребителей (т=9). Условно считается, что источники вырабатывают максимальную мощность, а разность между выработанной и потребленной мощностью направляется десятому виртуальному потребителю. Максимальные производительности источников пара задаются в виде вектора размера 1<=>8 В=[250 200 50 50 40 60 40 75], т/час. Производительности потребителей пара без учета виртуального потребителя представляются вектором размера 1<=>9 А=[25 10 80 60 10 20 53 10 20], т/час. При отсутствии ограничений на связи матрица коммутации размером 8<=>9 составляется из единиц, аналогично матрице примера рис. 2, а. С учетом реально существующих паропроводов между источниками и потребителями матрица коммутации записывается в виде
к =
(I 0 0 0 1 1 0 0 0^ 1111110 0 0 00001 0000 000000000 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0
v0 0 1 1 0 0 1 1 1,
Выполнено три варианта решения задачи: численно (вариант 1) и аналитически (вариант 2) с учетом реальных связей (22 неизвестных параметра), аналитически (вариант 3) без учета ограничения на возможные связи (72 неизвестных пара-
метра). Полученные решения представлены в таблице.
Анализ полученных результатов показывает, что абсолютное значение затрат при введении ограничений увеличивается примерно в три раза, что подтверждает эффективность использования гибких схем. Относительная точность численного решения при 10б сгенерированных вариантов составляет 3 %.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Дрофа. 2004. 207 с.
2. Вильсон А. Энтропийные методы моделирования сложных систем. М.: Наука. 1978. 248с.
Кафедра прикладной математики
УДК 66.0 (075)+ 541.183
А.Г. Нагиев, Дж.И. Мамедов
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ВЕЩЕСТВА И АДСОРБЦИИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ НА ОСНОВЕ ФРАКТАЛА «ГУБКА МЕНГЕРА»
(Сумгаитский государственный университет, Институт химических проблем HAH Азербайджана) E-mail: nashfn@hotbox.ru, cabir_m@mail.ru
В качестве статистических эквивалентов высокопористых катализаторов и адсорбентов предлагаются в рассмотрение модели фрактальных структур, известные в литературе как «губка Менгера», которые позволяют эффективно идентифицировать протекающие в них процессы переноса диффузией, адсорбции и химических реакций на поверхности. Предлагается подход для связывания параметров фрактальных структур с кинетическими параметрами процесса переноса в пористой среде на основе модели псевдоканала. Эффективность применения концепции фракталов проявляет себя в том, что эти модели позволяют не только имитировать равновесные явления в пористых средах, но и пригодны для включения их фрактальных параметров в дифференциальные уравнения динамики.
Ключевые слова: моделирование, процессы переноса, фрактал, кинетика
В последнее время в математическом моделировании физических процессов, в компьютерной графике и в других областях научных исследований повышено внимание к концепции фракталов. Предпринимаются активные попытки привлечь эту концепцию и к описанию внутренних структур высокопористых материалов. Находя некоторый порядок в упаковке кластеров, образованных из подобных же кластеров малого масштаба, исследователи приходят к выводу о фрак-тальности структуры пористой среды [1 - 4]. Вос-
произведение наиболее вероятных картин внутреннего строения пористой среды в виде фрактальных структур, являясь основной тематикой в области компьютерного моделирования таких объектов, чаще представляется как достижение компьютерной графики, чем как результат решения практической задачи физики адсорбции и кинетики каталитических реакций.
Иная цель преследуется в математическом моделировании самих процессов, протекающих в пористой среде, которое может найти в концепции
