К вопросу использования фрактального анализа при обработке радиолокационной информации. Определения фрактала и фрактальной размерности Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Эксплуатация воздушного транспорта. Безопасность полетов

УДК 621.396.96

К ВОПРОСУ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ПРИ ОБРАБОТКЕ РАДИОЛОКАЦИОННОЙ ИНФОРМАЦИИ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФРАКТАЛА И ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Ю.И. ЧЕРЕСОВ

Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.

Кратко проанализированы известные определения фрактала и разновидностей фрактальной размерности, используемых при обработке информации.

Ключевые слова: фрактальный анализ, обработка информации.

Введение

В настоящее время можно говорить о надежном физическом обосновании принципов применения фрактальных методов в современных областях радиофизики, радиотехники, электроники и информационно-управляющих систем. Об этом свидетельствует большое количество опубликованных за последнее десятилетие фундаментальных работ по данному научному направлению отечественными и зарубежными учёными [1,2,3,4].

Но вместе с тем вопросы прикладного характера, связанные с эффективным использованием фрактальных методов при решении конкретных задач, требуют дальнейшего осмысления и обоснованного применения. Это, в частности, относится к проблеме преломления данных методов, к решению многообразия задач радиолокации. Потому целесообразно рассмотреть основные определения, связанные с фракталами и их применением.

Определения фрактала и фрактальной размерности

Развитие фрактальной геометрии в последние десятилетия - это одно из самых полезных в математике. Фракталы позволяют создавать (моделировать) сложные природные формы путём простых итерационных процедур. Сложность рождается из простоты. Большинство природных образований, а также сигналов лучше всего описываются фракталами. Можно констатировать тот факт, что нелинейность и фракталы являются геометрией хаоса. Под хаосом понимается констатация сложности, запутанности и непредсказуемости поведения фазовых траекторий той или иной рассматриваемой динамической системы [2]. Между теорией фракталов, опирающейся на геометрию и теорию размерности, с одной стороны, и теорией хаоса, являющейся развитием теории динамических систем, существует тесная связь.

Термин «фрактал» (от лат. 1гап§еге - «ломать» и 1гас1;ш - «дробный») был введён в 1975 г. Бенуа Мандельбротом, фундаментальные труды которого лежат в основе фрактального описания природы [2].

Взгляд на мир под углом зрения фрактальной геометрии значительно отличен от того, который трактуется евклидовой геометрией (основные определяющие её элементы: точка, линия, плоскость, трехмерное тело).

Простым примером естественного фрактала может служить дерево, ствол которого разделяется на две ветви, которые, в свою очередь, разветвляются на две более мелкие ветви и т. д. Таким образом, древесные ветви следуют гипотезе самоподобия, или фрактальному скейлингу. В данном случае каждое ответвление со своими собственными ветвями подобно всему дереву це-

ликом в качественном смысле. Поэтому вид фрактальной структуры существенно не меняется при масштабных преобразованиях в определенном диапазоне. Существует самоподобное пространственное и временное.

В качестве фрактальных структур можно также рассматривать линии берегов, рельеф местности, очертания облаков, турбулентные потоки, организации живых систем, кровеносную систему, молекулы веществ, странные аттракторы в фазовом пространстве динамических систем с хаотическим поведением, частоту слов в текстах, динамические процессы в экономике, структуры месторождений, дисперсионные системы, статистику ошибок при вызовах на телефонных станциях и многое другое.

Рассмотрим ещё один характерный пример. Предположим конечную евклидову плоскость. Если её смять в комок, то получившийся объём не был бы двумерным, но и не был бы в точности трёхмерным. Из-за складок получившийся объём имел бы размерность меньше трёх. Математически доказано, что полученное тело имеет дробную фрактальную размерность и не дифференцируемо [2].

Понятие дробной размерности опирается на анализ понятия целой евклидовой Е или топологической размерности Б0 . Фракталы можно рассматривать как множества точек, вложенных в пространство. В частности, точка имеет топологическую размерность Б0 =0. Гладкие кривые -окружности, прямые и т.п. - имеют евклидову размерность Б0 =1. Размерность поверхности Б0 =2, объёмных тел Б0 =3, гипертел - более высокие значения Б0.

Фрактальная размерность определяет, как объект заполняет своё пространство. В рассмотренном примере с «комком» полученный объект не заполняет трёхмерное пространство, которое имеет топологическую размерность Б0 , или размерность вложения. Следовательно, характеристикой фрактального объекта является наличие своей собственной размерности, неравной размерности вложения.

Для характеристики фрактальных множеств были предложены различные определения типа размерности. Их можно подразделить на две группы: характеристики меры, полученные из чисто геометрических соображений, и характеристики, связанные с теорией информации.

Понятия фрактальной меры и фрактальной размерности множеств характеризуют их в целом. Первое начальное формализованное определение Мандельбротом фракталов относит к ним множества, размерность Хаусдорфа - Безаковича Б, которых строго больше их топологической размерности (далее будет дано определение размерности Хаусдорфа - Безаковича). Первоначальному определению фракталов можно придать некоторый физический смысл. Оно характеризуется усложнением множеств. Если имеем кривую, то её можно усложнять путём бесконечного числа изгибаний до такой степени, что её размерность достигнет двух, если она плотно покроет конечную площадь.

В дальнейшем Мандельброт дал второе менее общее определение фракталов, как структур, состоящих из частей, которые в каком-то смысле подобны целому (это иллюстрируется рассмотренным выше примером о дереве с ветвями).

Первое определение позволяет различать категории «гладкий» и «хаотичный», но не позволяет различать категории «нерегулярный», но «самоподобный» и «геометрически хаотический». Это происходит вследствие того, что понятие фрактальной размерности по Хаусдорфу является весьма общим. Второе определение более физично и наглядно.

Оно подчёркивает существенный отличительный признак, наблюдаемый в эксперименте: фрактал выглядит одинаково в любых масштабах наблюдения.

Определение меры Хаусдорфа опирается на математическую абстракцию практического способа измерения длин, площадей и объёмов, когда измеряемый объект покрывается эталонами с определенными мерами. Для обычных объектов оценки мер сходятся при предельном переходе к асимптотике, являющейся истинной мерой объекта.

Для некоторых объектов (множеств) такие оценки не сходятся либо дают нулевой результат. По Хаусдорфу обобщение меры заключается в том, что эталоны могут быть любыми множест-

вами АI из некоторого класса, а приписываемая им мера определяется любой неотрицательной функцией /(Аг) множеств из указанного класса. В частности, пусть /(Аг) = (ё1атАг) а, где &ат Аг-

- диаметр множества А¡. В этом случае мера Хаусдорфа называется а-мерой (линейной при а=1 или плоской при а =2).

Дадим точное определение размерности Хаусдорфа - Безаковича.

Пусть совокупность множеств Аг- с диаметрами ё1атАг<8, где 8 - действительное число, образует счетное покрытие множества Х. Тогда для каждого 8 >0 определим:

mg

= inf ^ (diamAi )d.

i=1

Положим

md(A) = sup md(A).

є > o

Тогда по определению размерность Хаусдорфа - Безаковича D - это точная верхняя (sup) грань множества таких действительных чисел d, для которых md (A)>0. Важно подчеркнуть, что D -не обязательно целое число и D не является топологическим инвариантом, так как она зависит от метрики, введенной на данном множестве. Однако нижняя грань (inf) для всех D, соответст-вуюших всем метрикам на данном множестве, есть его топологическая размерность:

inf D (A) = dim A.

На практике фрактальную размерность часто определяют через клеточное разбиение. Полностью покроем данное множество A конечной системой замкнутых множеств Ai с диаметрами diam Ai <s. Определим минимальное число N(8) таких множеств для каждого 8.

Очевидно, что N(8) >0 для всех 8 > 0 и неограниченно возрастает при 8 >0, если только A не состоит из конечного числа точек.

Считаем, что существует такое положительное число С, для которого справедливо неравенство

N(8) > С/ є

для любого 8 >0, где r - некоторое целое число. Тогда

D = liminf

log N (g) loge

(1)

е^-о

Размерность Хаусдорфа Б, рассчитанная с использованием (1) для некоторых известных фрактальных множеств, приведена в табл.1 [2] (для сравнения приведена также топологическая размерность Бо).

Таблица 1

Фрактальное множество D Do

Канторовское множество (канторовская пыль) 0,63 0

Триадная кривая Кох 1,26 1

Кривая Мандельброта-Г ивена 1,89 1

Салфетка Серпинского 1,58 1

Ковер Серпинского 1,89 1

Кривая Г оспера 1,13 1

Универсальная кривая Менгера 2,73

В качестве примера рассмотрим этапы построения канторовского множества и кривой Кох, показанные на рис. 1.

■ ■ ■ ■ ■ ГП II «<1 ■

II II II II II II 5=4

II п IIII ни III ЯП нII 5=5

а

Рис. 1. Этапы построения канторовского множества (а) и кривой Кох (б)

Канторовское множество, названное в честь Георга Кантора, открывшего его в 1883г., позволяет сформировать фрактальное множество с размерностью 0<0<1. На рис.1а показана процедура образования триадного множества, называемого канторовской пылью. Затравкой служит единичный отрезок 0,1, разбиваемый три одинаковые части. Образующий элемент удаляет среднюю треть. Затем образующий элемент применяется к каждому из двух оставшихся отрезков и т.д. Первые пять поколений £ отрезков приведены на рис.1а. Сумма длин L удаленных отрезков в точности равна единице:

г 1 2 4 1 ^ (2 V ,

Ь — —I-----I----------------------+... — — / I — I — 1. (2)

3 9 27 3 013)

Кривая на рис. 1б первоначально была описана Хельгой фон Кох в 1904г. Затравкой служит

единичный отрезок, являющийся нулевым поколением кривой Кох. Разделив отрезок на три части и выбрав среднюю часть, вместо нее строим две стороны (длиной 1/3 каждая) равностороннего треугольника. Таким образом получаем четыре звена длиной 1/3 каждое - первое поколение п=1. Затем повторяем этот процесс на каждом звене ломаной еще и еще раз. Кривая п-го поколения при конечном п называется предфракталом с общей длиной (4/3)п и протяженностью каждого звена є = 3-п при числе звеньев N (є)=4п= е°. В предельном случае нигде не дифференцируемая кривая Кох является линией бесконечной длины, ограничивающей конечную площадь на плоскости (снежинка Кох).

Разрывное канторовское множество можно использовать для построения непрерывной фрактальной функции, интегрируя какую-либо функцию распределения. Пусть мы как-то распределили единичную массу на интервале 0 < х < 1. При перераспределении массы на оставшихся интервалах с каждым этапом плотность массы р(х) возрастает на укорачивающихся кан-торовских отрезках, а полная масса равна единице. Для п-го поколения число интервалов длиной (1/3)” равно 2п, а плотность рп = (3/2)п. Запишем массу на отрезке [0,х] в видеМ(х)при п^да;

х

М (х) — | р( х)дх,

0

где плотность в промежутках р(х)=0 и р(х) на всех бесконечно многих точках канторовско-

го множества. Масса М(х)=с,оп$Х на интервалах, соответствующих пустым промежуткам, длина которых, согласно (2), равна единице. Отсюда можно было бы заметить, что М(х)=0, и это было бы правильно для обычной гладкой кривой. Но масса возрастает скачками на точках канторов-ского множества, и эти скачки дают М(1)=1. На рис.2 показана одна из промежуточных функций Мп(х), называемая чертовой лестницей, которая почти всюду горизонтальна. Выражение dM(x) / дх определяет набор дельта-функций.

1.0

КМ

О, В

0,6 0,4 0,2

0 0.2 0,4 0.6 0,8 х 1,0

Рис. 2. Масса триадного канторовского множества Мп(х) в зависимости от координаты х [2]

Как выше уже отмечалось, физическое определение фракталов включает свойство самоподобия. Для его характеристики вводится размерность подобия П\, определяемая выражением

—т^_, (3)

1пг (N )

где г(№) - коэффициент подобия, ^любое целое число, показывающее во сколько раз уменьшаются элементы фрактала относительно друг друга.

Важной разновидностью фрактальной размерности является фрактальная корреляционная размерность, определяемая корреляционным интегралом

1 N

C(г ) = Ит772 £ 0(г -| xi - XJ |х (4)

Я и 1=1

Ы—<х>

который оценивается непосредственно для последовательности точек; |х - х;.| - расстояние между парами точек Х1 и Х}.; О - функция Хевисайда.

Для многих фракталов корреляционный интеграл зависит от г при г^-0 по степенному закону

С(г) = гш , (5)

поэтому фрактальную корреляционную размерность Д3 определяют по наклону прямой графика 1пС (г) = / (1пг).

Следующее определение размерности фрактала связано с понятием фрактального кластера. Под фрактальным кластером понимают систему (совокупность) взаимодействующих частиц, которая обладает свойством масштабного самоподобия в интервале размеров г, где Я0 «г« Я, Я0

- масштабная единица измерения линейного размера Я кластера.

Фрактальная размерность кластера Д4 является количественной характеристикой заполнения им пространства и определяется как предел:

А=1,т е-пт=ЧпИ, (6)

1пг 1пг

Г——о

где <п(г)> - среднее число частиц, попадающих в г - окрестность; С(г) - корреляционный интеграл.

Заметим, что необходимо различать фракталы самоподобные и самоаффинные. Ограниченное фрактальное множество А самоподобно с отношением подобия г, если А является объединением N неперекрывающихся подмножеств А], А2, А3, ....,Аы, каждое из которых конгруэнтно множеству г(А), получаемому из А преобразованием подобия с 0 < г < 1. Свойство конгруэтно-сти означает, что множество Аi совпадает с множеством г(А) после переноса и/или поворота. Аффинное преобразование переводит точку X = (х1,...,хЯ)в новую точку с координатами

X1 = (г1 х1,..., гыхЯ), где не все коэффициенты подобия одинаковы. Ограниченное множество А самоаффинно по отношению к вектору подобия Г = (г1,...,гя), если А является объединением N непересекающихся подмножеств А},...,Ам, каждое из которых конгруэнтно множеству Г(А), полученному из А с помощью аффинного преобразования, которое определяется вектором Г. Примером самоаффинного фрактала является траектория классического винеровского процесса броуновского движения, так как координаты времени и смещения входят в соотношение подобия с различными коэффициентами. Примером самоаффинного фрактала служит также приводимая выше функция «чертова лестница».

Более сложные объекты - мультифракталы - являются объединением фракталов различных размерностей и имеют более нетривиальные свойства, чем непосредственно фракталы. Само-аффинные множества также принадлежат к мультифракталам. Для характеристики таких структур вводятся в рассмотрение различные информационные размерности, которые чувствительны

к неоднородностям рассматриваемых множеств. В частности, такими размерностями являются обобщенные размерности Реньи различных порядков. Предположим, что случайное множество точек разбито на ячейки размером 8 и пусть Рг (в) - вероятность попадания в г-ю ячейку. Тогда размерности Реньи определяются как [2]

Д*=-1 гт К 9 (е> , (7)

£nPi (e)’

£—0

где Кч (в) - обобщенные энтропии, д = 0,1,2,.. ,,п.

При таком определении размерность Реньи Д0* совпадает с размерностью Хуасдорфа рассматриваемого множества. Размерность Д* называют информационной размерностью, а Д2* -показателем корреляционного интеграла (4), так как

N

С (г ) = £ р’-(е).

г=0

Размерности Реньи удовлетворяют неравенству Д*)Д*р при рщ. Равенство достигается

только для однородных множеств, в которых вероятность Рг удовлетворяет закону подобия Рг (в)~8° , где Д-любая размерность.

В заключение о размерностях фракталов целесообразно отметить следующее. Во-первых, информационная Д1* и корреляционная Д3 размерности ограничивают хаусдорфову размерность Д снизу, т.е.

Д3 < Д*< Д = Д0*. (8)

Во-вторых, значения Д и показатели Ляпунова X динамических систем связаны между собой обобщенной формулой Каплана - Йорка

]

£ Д

Д = З + (9)

Д+*

Здесь показатели Ляпунова упорядочены (Х1>Х2>.>Хп), так что ]- наибольшее целое, для которого £ Д )о. Для двумерного отображения формула (9) будет иметь вид Д=1-Х1/ Х2.

г=1

И последнее - геометрия и динамика странных аттракторов тесно связаны: по показателям Ляпунова можно судить о геометрии аттракторов, а измеряя их фрактальную размерность, получить данные о значениях показателей Ляпунова.

Под аттрактором понимают множество точек или подпространство в фазовом пространстве, к которому приближается траектория после затухания переходных процессов. При дробной размерности аттрактора его называют странным аттрактором.

ЛИТЕРАТУРА

1. Потапов А.А. Радиофизические эффекты при взаимодействии электромагнитного излучения миллиметрового диапазона волн с окружающей средой. - Ч.6. Информативность текстур оптических и радиолокационных изображений земной поверхности //Зарубежная радиоэлектроника, 1994, №7/8.

2. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. - М.: Логос, 2002.

3. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. - М.: Университетская книга, 2005.

4. Потапов А. А., Герман В. А. Фрактальный непараметрический обнаруживатель радиосигналов // Радиотехника, 2006, №5.

TO A QUESTION OF USE FRACTAI OF THE ANALYSIS AT PROCESSING THE RADARTRACKING INFORMATION. DEFINITION FRACTAL AND FRACTAL OF DIMENSION

Cheresov Yu.I.

The known definitions fractal and versions fractal dimensions used at processing of the information are briefly analysed.

Сведения об авторе

Чересов Юрий Иванович, 1936 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1964), кандидат технических наук, профессор кафедры радиосистемотехники МАРТИТ, автор 112 научных работ, область научных интересов- теория радиолокации, статистические методы обработки радиолокационной информации.