Моделирование неоднородных полей пьезодеформаций в модулях, составленных из кристаллов группы KDP Текст научной статьи по специальности «Физика»

Физика твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2007, № 5, с. 31-34

УДК 548.732

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ПОЛЕЙ ПЬЕЗОДЕФОРМАЦИЙ В МОДУЛЯХ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ КРИСТАЛЛОВ ГРУППЫ KDP

© 2007 г. А.В. Марков, Е.В. Зайцева, В.Н. Трушин, Е.В. Чупрунов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Псступила в родакцию 11.09.2007

Показана возможность создания неоднородных обратимых пьезодеформаций в кристаллах группы КЭР, что может быть использовано для управления интенсивностью рентгеновских дифрагированных пучков. Изменение интенсивности в данном случае может достигаться за счет проявления динамических эффектов, связанных с первичной экстинкцией. Неоднородность пьезодеформаций достигается за счет комбинаций склеивания по-разному ориентированных кристаллов. Приводятся расчетные данные таких полей.

В настоящее время возрос интерес к изучению возможности управления рентгеновским излучением путем изменения условий дифракции рентгеновских лучей в кристаллах. Решение данной задачи открывает возможности для развития управляемой рентгеновской оптики.

Хорошо известно, что интегральное отражение рентгеновских лучей от кристаллов в зависимости от степени их совершенства могут сильно отличается [1]. Это дает возможность с помощью определенных внешних воздействий, обратимо и неоднородно деформирующих решетку кристалла, изменять интенсивность его дифракционных максимумов (ДМ). Величина отклика на воздействие определяется степенью идеальности кристаллического образца до воздействия и характером самого воздействия.

В работах [2, 3] исследовалось влияние неоднородного электрического поля на изменение параметров ДМ кристаллов группы КЭР. Были обнаружены значительные изменения интенсивности ДМ, определяемые безразмерным коэффициентом (I—10)/10 = АМ0, где 10 - исходная интенсивность отражения, I - интенсивность, регистрируемая в той же точке в условиях воздействия на кристалл электрического поля. Кристаллы группы КЭР были близки к идеальным. Подтверждением этого являлась малая ширина кривой качания (около 10 угл. сек) исследованных образцов. При приложении электрического поля кристалл испытывал пьезоэлектрические деформации, характер которых определялся его симметрией и однородностью структуры. Они приводят к искажению атомных плоскостей и, как следствие, к значительному увеличению интенсивности ДМ. В [2, 3] было

также отмечено, что величина изменений интенсивности в значительной степени определяется направленностью поля по отношению к вектору дифракции. Для некоторых кристаллов этой группы наблюдалось уменьшение интенсивности при воздействии поля определенной полярности.

Наибольшие изменения величины ЛМ0 наблюдались, когда область дифракции захватывала границу пирамид роста граней призмы и бипирамиды. Топографическими исследованиями было показано, что возникающие в этой области пьезодеформации являются неоднородными. Проведенные исследования привели к мысли, что получить неоднородное поле пьезодеформаций можно путем создания модулей на основе моносекториальных пьезоэлектрических кристаллических блоков.

Настоящая работа посвящена моделированию полей деформаций, возникающих в модулях, составленных из кристаллов группы КЭР, при приложении к ним электрического поля.

При моделировании полей деформаций, возникающих в кристаллических модулях, при приложении к их поверхностям электрического поля мы учитывали, что в них действуют два механизма деформаций. Первый возникает вследствие пьезоэффекта во всём объёме модуля. Второй механизм возникает из-за линейных упругих деформаций, появление которых связано с тем, что блоки в области границы их соединения не имеют возможности свободно расширяться. Таким образом, в кристаллических модулях, устанавливаются напряжённые деформированные состояния. Упругие напряжения <5('™) будут удовлетворять закону Гука:

(т) /-і „(т) л г

Оv = С^.8ц , =1, "А

(1)

где £(т) - упругие механические деформации.

Величины деформаций 8 Цт) будут определяться формой границы, степенью жёсткости соединения блоков между собой. Малые упругие деформации, возникающие в кристаллах в результате обратного пьезоэффекта, описываются выражением:

,( р)

где 8^ - относительные пьезодеформации, -

матрица пьезоэлектрических модулей рассматриваемого кристалла, Е, - компоненты напряжённости электрического поля. Уравнение (2) для кристаллов группы КЭР (точечная группа

4 2т), находящихся в электрическом поле в кристаллографической системе координат, в матричном виде представляется следующими равенствами:

8 (р) = 0 1,2,3 0 ,

84Р) ““ “і4 Е1 :

8 5р ) — “14 Е2 ,

8 6р ) — “36 Е3 •

£ = 8 (т)+ 8( р)

03 = С138(т) + С1382т) + С1383

04 = С44(84т) - Е1),

о, = т) - е,),

°6 = Сбб(8бт) - Е,).

(т)

ди ди

дх, V ]

- + -

дх.

, г,] = 1, 2, 3 •

(7)

Ег г = 1, 2, 3, ц=1, •••, 6, (2)

Трёхмерные поля деформаций, возникающие в кристаллах, можно найти при помощи уравнения равновесия [4]

да,,

= 0,1,] = 1, 2, 3, (8)

дх,

где о, - тензор механических напряжений, определяемый уравнением (5), х, - координата]-й точки кристалла. Система дифференциальных уравнений (7), (8) может быть решена относительно функций и,- при задании граничных условий.

Рассмотрим кристалл группы КЭР, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям. Напишем граничные условия для Ц, на границе кристалл-вакуум. Если граница 5 параллелепипеда свободна, то перемещения Ц5 на

границе равны некоторой константе

и0

о

(3)

(9)

Деформации кристаллических блоков, входящих в модуль, можно представить суммой пьезодеформаций и упругих деформаций:

(4)

Г раничное условие для о примет вид =0,

или с учётом (6):

С 8(т) + С 8(т) + С 8(т) = 0

С11&1 С12 2 С13 3 0 ,

С 8 (т) + С 8 (т) + С 8 (т) = о

С12 1 "ГС11&2 С13 3 0,

Запишем напряжения Оу, возникающие в модуле:

= С„ (е'") + 8дР)) . (5)

Для кристаллов группы КЭР, с учётом симметрии матрицы жёсткости и с учётом (1), (3), получим

О, = С,,8(т) + С1,82") + С1:,8<->, а = С^т) + СУ» + Си8, т),

С 8 (т) + С 8 (т) + С 8 (т) = о

13 1 13 2 13 3 ^0 ,

С44(8т -“14Е1) = 0,

С44(8 ’ - “14 Е,) = 0,

Сбб(86т) -“36Е,) = 0•

(10)

(6)

Таким образом получаем стационарную краевую задачу, состоящую из уравнений (7), (8) и граничных условий (9) и (10).

Рассмотрим теперь образец, состоящий из нескольких соединённых блоков КЭР. Пусть граница соединения представляет собой некоторую функцию 5. Условия сопряжения для Ц] вдоль этой границы будут аналогичны условиям (9) на границе кристалл-вакуум

и 1(1) = и І(2) і = 12 3

и Ь-0 и ] 1 £+0 , ] 1, 2, 3,

(11)

При деформации каждая точка кристалла испытывает смещение. Обозначим его функцией Ц](х1, х2, х3). Тогда относительные деформации в малом объёме можно выразить через функцию Ц] следующим образом:

где (1) и (2) - левый и правый граничащие между собой блоки соответственно. Аналогично второе условие для О запишется как

О, 11-0 = О,, 1^+0 . Опуская букву (т) из обозначений, получим:

1

у, см

у, см

1,5

1,2

0,9

0,6

0,4

Е

\

/ "X N

// :>Х

1

1,5

1,2

0,9

0,6

0,4

1 іЩї

/

0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5

а)

х. см

б)

х, см

8г, 10

г)

Рис 1 Пьезодеформации, рассчитанные для КМ, состоящих из кристаллов KDP. Основа модулей - Z-срез• Вставки Х-срезьг Толщина модулей 1 см^ Напряжённость электрического поля Е2 = 3 кВ/см^ а), б) - указательные поверхности г и х-компонент тензора пьезодеформаций на глубине 0,3 см, в), г) - распределение деформаций вдоль направлений, показанных на рис (а, б) штриховой линией

С (18(1) + С (1)8(1) + С (1)8(1) =

С11 Ь1 ~1~С12Ь2 _|'С13Ь3 _

= С (28(2) + С (28(2) + С (28(2)

- С11 г>1 -і-С12 ь, -і“С13 &3 ,

С (18(1) + С (1)8(1) + С (1)8(1) =

С12 1 С11 2 ^С13 ь3 _

= С (28(2) + С (28(2) + С (28(2)

- С12 &1 -1“С11 ь, ч-С13 *3 ,

С (18(1) + С (1)8(1) + С (1)8(1) =

С13 Ь1 С13 2 ^С13 ь3 _

= С (28(2) + С (28(2) + С (28(2)

- С13 &1 1-^13 ь2 ^С13 &3

с 44) (8 41) + ^ е ) = с44) (8 42) + “а ех ),

С

44 4

66)(8 61) + а ™ е3) = с 66' (в ^ + а 36 Е3),

(12)

с44)(8 51) + < Е,) = с442)(8 52) + < е 2) •

Условие стационарности (7) должно выполняться в каждой точке границы S, независимо от её формы^ Таким образом, мы получаем стационарную краевую задачу для неоднородного искусственно созданного модуля, состоящего из множества жёстко соединённых между собой кристаллических блоков разной ориентации, и помещённой в однородное электрическое поле^ Были решены дифференциальные уравнения (7), (8) с учётом граничных условий (11) и (12) для кристаллов группы КБР, состоящих из блоков различных размеров^ На рис 1 и 2 представлены указательные поверхности и профили деформаций для трёхмодульных кристаллов^

0

0

y, см

1,5

1,2 -

0,9 -

0,6

0,4

0,3

0,6 0,9

а)

1,2

9 б 3

0 3 б 9 h-12

1,5

см

A

A

1 ,

\ 0,5 / 1 N1,5

\ x, см

\J

\

\j

б)

Рис. 2. Пьезодеформации, рассчитанные для КМ, состоящего из кристаллов ADP. Основа модуля - Z-срез. Вставки Х-срезы. Толщина модуля 1 см. Напряжённость электрического поля Е2 = 4,2 кВ/см. а) - указательная поверхность г-компоненты тензора пьезодеформаций на глубине 0,5 см, б) - распределение деформаций вдоль направления, показанного штриховой линией на рис. (а)

-2

0

0

x

Как видно из рис. 2 наибольшая величина и неоднородность поля напряжений возникает вблизи углов кристаллических блоков составляющих модуль. Можно предположить, что наиболее сильное изменение относительной интенсивности будет наблюдаться именно в этих областях кристаллических модулей.

Создавая КМ, составленные из ориентированных различным образом пьезоэлектрических кристаллов, можно формировать в них заданные профили неоднородных деформаций. Величина таких деформаций определяется напряженностью электрического поля, подаваемого на КМ, а также формой и взаимной ориентацией элементов КМ. Анализ распределений деформаций вдоль различных срезов позволяет указать область дифракции, в которой интенсивность рентгеновского излучения наиболее подвержена модуляции. Полученные результа-

ты могут быть использованы для создания рентгенооптических модуляторов по аналогии с электрооптическими модуляторами в видимом диапазоне длин волн.

Список литературы

1. Джеймс. Р. Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей. М.: ИЛ, 1950. 572 с.

2. Трушин В.Н., Чупрунов Е.В., Хохлов А.Ф. Электрорентгеновский эффект в кристалле дигидрофосфата калия // Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14, вып. 4. С. 307-310.

3. Трушин В.Н., Рыжкова Т.М., Чистякова Е.Л., Чупрунов Е.В., Хохлов А.Ф. Особенности дифракции рентгеновских лучей на кристаллах группы KDP в электрическом поле // Докл. АН. 1993. Т. 331, вып. 3. С. 308-310.

4. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие для вузов. В 10 т. Т. VII. Теория упругости. М.: Физматлит, 2003. 264 с.

MODELLING INHOMOGENEOUS FIELDS OF PIEZODEFORMATION IN THE MODULES COMPOSED OF KDP GROUP CRYSTALS

A. V. Markov, E. V. Zaitseva, V.N. Trushin, E. V. Chuprunov

The feasibility of achieving inhomogeneous reversible deformations in KDP group crystals is demonstrated. This can be used to control the intensity of diffracted X-rays. In this case, the intensity can be varied by means of the dynamic effects related to primary extinction. The inhomogeneity of piezodeformations is achieved due to various combinations arising when crystals of different orientation are assembled. Computational data for such fields are given.