Моделирование напряженно-деформированного состояния пролетных строений мостов из многослойных дощато-клееных деревоплит Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.67.088 Уткин В.А. \ Кадисов Г.М.2

1ORCID: 0000-0002-2044-3242, доктор технических наук, 2ORCID: 0000-0002-7257-3372, доктор технических наук, Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет (СибАДИ) МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ МОСТОВ ИЗ МНОГОСЛОЙНЫХ ДОЩАТО-КЛЕЕНЫХ ДЕРЕВОПЛИТ

Аннотация

Статья посвящена изучению напряженно-деформированного состояния многослойной клееной деревоплиты из перекрестных досок, являющейся несущим элементом дощато-клееных пролетных строений мостов. Деревоплита из нечетного числа слоев перекрестных досок может рассматриваться как однородная тонкая плита с отличающимися свойствами в разных направлениях, с другой стороны она представляет многослойную конструкцию из спаянных (склеенных) однородных анизотропных слоев. Слои деревоплиты составлены из узких досок, не объединенных клеевой прослойкой по кромкам. Результаты исследования указывают на возможность применения многослойных деревоплит для плитных пролетных строений мостов.

Ключевые слова: дощато-клееное пролетное строение, многослойная деревоплита из перекрестных досок, четные, нечетные слои досок.

Utkin V.A.1, Kadisov G.M.2 1ORCID: 0000-0002-2044-3242, PhD in Engineering, 2ORCID: 0000-0002-7257-3372, PhD in Engineering, Siberian Automobile and Highway University (SIBADI) SIMULATION OF STRAIN-STRESS STATE OF BRIDGE FRAMEWORKS MADE OF MULTI-LAYER PLANK-

GLUED TIMBER SLABS

Abstract

The paper is devoted to the study of the strain-stress state of a multi-layer glued timber slab made of crossed planks, which is a bearing element of plank-glued bridge frameworks. Timber slab made of an odd number of cross-plank layers can be considered as a homogeneous thin slab having different properties in different directions, on the other hand it represent a multi-layered structure of welded (glued) homogeneous anisotropic layers. Layers of timber slabs are made up of narrow boards, not joined by a glued layer along the edges. The results of the study indicate the possibility of using multi-layer timber slabs for plate bridge spans.

Keywords: plank-glued span structure, multilayer timber slabs made of cross planks, even, odd layers of boards.

В настоящее время за рубежом плитные пролётные строения из древесины применяются в виде продольной деревоплиты различной конструкции, опертой на капитальные опоры. В зависимости от вида деревоплиты можно выделить три типа плитных пролётных строений (рис. 1): а) клееная плита; б) обжатая клееная плита; в) обжатая плита [1, С. 8], [2, С .49, 217-218], [3, С. 10-13], [4, С. 28-31].

Пролётное строение - клееная плита составляется из клееных панелей, объединенных между собой снизу поперечными балками. Количество панелей в поперечном направлении определяется шириной проезжей части моста. Панели шириной 1,2...1,7м и высотой 0,22...0,36м сформированы из уложенных на ребро и склеенных между собой досок. Продольные стыки между смежными панелями заполнены битумным герметиком.

а)

б)

в)

А.-б. покрытие

Продольная клееная деревоплита

I »

I I

Поперечная распределительная i балка

1—г-

Соединительные болты

А.-б. покрытие

Продольная обжатая деревоплита

■

I

Напрягаемый стержень \

А -б покрытие Продольная обжатая

деревоплита

Напрягаемый стержень \

Рис. 1 - Типы плитных пролетных строений с клееной деревоплитой а) клееная плита; б) обжатая клееная плита; в)

обжатая плита

Основное отличие пролетного строения «обжатая клееная плита» от предыдущего заключается в том, что уложенные боковой стороной плотно друг к другу на опоры склеенные из досок панели обжаты усилиями высокопрочных стержней, размещаемых как в отверстиях внутри панелей, так и снаружи (рис.1 б,в). Пролетное строение из обжатых клееных панелей применяется в качестве плитного пролётного строения при пролётах до 12 м.

Пролетное строение - обжатая плита (без склеивания досок) также нашла применение в качестве самостоятельной несущей конструкции из древесины. Плиту набирают из уложенных на ребро досок и обжимают высокопрочными стальными стержнями. Для достижения требуемого обжатия и трения между слоями досок стержни натягиваются с усилием 134...356 КН, в зависимости от диаметра стержня и расстояния между смежными стержнями. Предполагается, что около 60% усилий натяжения может быть потеряно на обжатие слоёв досок. К недостаткам данной конструкции следует отнести: 1) высокую трудоемкость сборки плиты из отдельных досок на всю ширину моста; 2) необходимость ввиду предполагаемых потерь в усилиях натяжения стальных стержней их периодического подтягивания на этапе эксплуатации моста; 3) подверженность конструкции с многочисленными вертикальными швами между досками увлажнению с последующим образованием гнили. Указанные недостатки характерны и для первых двух типов плит с клееными панелями. Кроме того, в пролетных строениях с досками «на ребро» строительная высота ограничивается стандартной шириной доски, что в свою очередь ограничивает их применение при увеличении длины пролетов.

Рис. 2 - Поперечное сечение и план клееной деревоплиты плитного пролетного строения из перекрестных досок. 1 - клееная деревоплита; 2 - дорожное покрытие; 3 - дорожное ограждение; 4 - продольные (нечетные) слои досок;

5 - поперечные (четные) слои досок

Известно также пролетное строение [5], содержащее в своем составе деревоплиту из ортогональных слоев склеенных по пласти досок, размещенных так, что все нечетные слои расположены вдоль моста, а все четные слои -поперек (рис.2).

Анализ существующих конструкций мостов из клееной древесины показал, что в мостостроении деревоплиты из перекрестных досок не применялись и свойства их не изучены. Как известно, с увеличением количества перекрестных слоев несущая способность представленной конструкции деревоплиты будет возрастать и это позволит повышать грузоподъемность и длину пролетных строений этого типа. В результате, многослойная деревоплита из перекрестных досок может быть рассмотрена как отдельный тип плитного пролетного строения.

В пролетных строениях этого типа перекрывающие и склеенные по пласти слои досок естественно обеспечивают влагозащиту нижележащих слоев и тем самым обеспечивают защитные свойства конструкций. Вместе с тем, исключение из конструкции стальных элементов обжатия существенно упрощает содержание конструкции в процессе эксплуатации. Все это положительно отличает данную конструкцию от ранее применяемых плитных пролетных строений.

В соответствии с требованиями [6], предъявляемыми к конструкциям повышенного уровня ответственности по надежности, расчеты их рекомендуется проводить на основе исследований на моделях или натурных конструкциях.

В качестве экспериментальной модели была принята многослойная деревоплита из перекрестных досок длиной 9,0 м и шириной 10,4 м. Деревоплита выполнена из 9 слоев перекрестных досок толщиной 32мм [7, с.293-301]. Расчетная нагрузка - четырехосная колесная тележка НК-80. Расчет выполнен методом конечных элементов с использованием вычислительного комплекса С08М08/М. В качестве конечного элемента использовался четырехузловой многослойный четырехугольный элемент 8ИБЬЬ4Ь.

Расчетная схема предусматривает дискретное опирание двух сторон плиты пролетного строения (8 точек с каждой стороны). Внешняя нагрузка от НК-80 приведена к узлам расчетной модели.

На рисунке (рис.3а) представлена деформированная форма пролетного строения под нагрузкой НК-80. Поперечное сечение в середине пролета обозначено узловыми точками, места опирания конструкции представлены в виде опорных связей, узлы приложения нагрузки обозначены сосредоточенными силами. На рисунке (рис.Зб) приведен график распределения нормальных напряжений бх на нижней поверхности деревоплиты, на рисунке (рис.Зв)- эпюра прогибов плиты в поперечном сечении пролета.

Приведенные расчетные данные напряженного состояния девятислойной деревоплиты пролетом 9,0 м при нагрузке НК-80 свидетельствуют о том, что в рассматриваемой конструкции наибольшие нормальные напряжения при изгибе как вдоль, так и поперек волокон не превышают расчетных сопротивлений, установленных нормами для клееной древесины. При этом установлено, что максимальные касательные напряжения в плоскости клеевых швов находятся в пределах, установленных нормами для расчетных сопротивлений древесины на растяжение поперек волокон, и в несколько раз меньше расчетных сопротивлений клеевых соединений на сдвиг. В результате подтверждается правомочность включения жестких клеевых прослоек в совместную работу с перекрестными досками деревоплиты. Одновременно, данные расчета свидетельствуют о перераспределении напряжений между слоями деревоплиты в соответствии с анизотропными свойствами древесины слоев.

Таким образом, результаты выполненного расчета показали, что исследуемая конструкция в основном удовлетворяет современным требованиям по предельным состояниям для деревянных мостов и может быть использована на практике.

С точки зрения теории упругости многослойная деревоплита может быть отнесена к разряду анизотропных плит, в которых срединная плоскость является плоскостью упругой симметрии, а симметричные слои однородны и ортотропны [8, С. 404-412], [9, С. 413-420]. В инженерной практике для расчета фанерных плит широкое применение получила теория Лехницкого С.Г.[10, С. 182-197].

Рис. 3 - Напряженно-деформированное состояние плитного пролетного строения от нагрузки НК-80. а) поверхность прогибов [м]; б) график нормальных напряжений бх на нижней поверхности плиты [МПа]; в) то же - бу [МПа]; г) Эпюра прогибов в поперечном сечении Ь/2 пролета [см]

В соответствии с этой теорией пролетное строение представлено многослойной плитой, нечетные слои расположены в продольном направлении, а четные - в поперечном. Толщина каждого слоя одинакова. На крайних поперечных сторонах плита свободна от опорных закреплений и потому изгибающие моменты и поперечные силы здесь отсутствуют.

Уравнение прогибов ортотропной пластинки имеет следующий вид:

_ д4ш __ д4ш _ д4ш . . Пч

°1—Г + 2Дэ 2 2 + = 9(у), (!)

дх дх ду ду

где , 02 , Оз - жесткости многослойной пластины, а д(у) - заданная нагрузка.

Пластинка опирается двумя противоположными сторонами шарнирно, две другие стороны свободны. При этом прогибы и изгибающие моменты на опертых сторонах (у=0 и у=Ь) равны нулю, а на свободных сторонах отсутствуют изгибающие моменты и поперечные силы.

Решение уравнения (1) представим в виде суммы:

ш = шо(у) + Ш1(х,у) (2)

Функция ~№0 удовлетворяет уравнению (3) и соответствующим шарнирным условиям (4):

А < = ч(у), (3)

шо (0) = ш0 (0) = шо (Ъ) = ш'0 (Ъ) = 0. (4)

Функция ш1 удовлетворяет однородному уравнению

^^ + 203-4^2+0^ = 0, (5)

дх дх2ду2 ду

Функцию ш0 необходимо представить ее в виде ряда Фурье по синусам:

WQ =-

b 4

D2x n=\n

где коэффициенты разложения ряда Фурье функции q(y)

z Br. sin nSL, (6)

,4 ^,„4 b

b

an = f J qsin nydy. (7)

0

Функцию wi представляем в виде ряда

да

wi =Z Xn (x)sin ^ . (8)

п=1

Полный прогиб (2) должен удовлетворять граничным условиям. Функция Хп определяется однородным дифференциальным уравнением:

DiXRV + 2D3(n^)2XR + D2(nf)4Xn = 0 . (9)

Функция Xn зависит от корней характеристического уравнения:

D^s4 - 2D3s2 + D2 = 0 (10)

Корни уравнения (10) комплексные: s±ti, —s ± ti. Функция Xn содержит произвольные постоянные An, Bn, Cn , Dn :

Xn = (An cos^ + Bn sinn^tX)chnS§x + (Cn cos^ + Dn sinn^Lx)shn^sx, (11)

Произвольные постоянные определяются из уравнений равенства нулю моментов и поперечных сил на свободных кромках пластинки.

Многослойная пластинка состоит из нечетного числа однородных ортотропных слоев. Нечетные слои имеют

модули упругости и j = 0,5, четные ( в поперечном направлении) - E и j = 0,02.

Жесткости многослойной пластинки в поперечном и в продольном направлении пролета представлены в общем виде:

2Г ER+lh3+i Em - - . ER+lh3+i Efm - ,

Dl = ч L n+i n+i + ^ m m (hm hm +1)]' Df = 3Г, n+in+i m m (hm hm +1)]'

m

Tí

л+Ц3 -tp s^mtu 3 t,3

3 i „n+!,,n+1 Л ..m„m m m +1 2 3 i ,.n+1 n+i , i m m ^ 1 — Vi Vf m=11 —Vi Vf ^ 1 — Vi Vf m=11 -yi vf

Dk = -k 3

Gn+ih3+i + TGm (hm — hm+i)

m=i

wn+i n+ih3 n j^m m

2 rE2 V1 hn +1 R E2 V1

V= - г 2 Vi hn +i + ^ e2 Vi (h 3 — h 3 )]. Vi = 3D2 i Vn+iVn+i + \ , VmVm (hm hm +i)];

2 i — Vi V2 m=ii —Vi V2

D2 ~ E V2 ^i--2, G = -

01 2(1 + У)

Прогиб многослойной пластинки под воздействием одного стоящего грузового автомобиля представлен в следующем виде:

w = V [ anb* + An(cosnfcnfX + cos^) ch™SX-d')-n=1 D2k n n b b b b

- Bn (sin rnixchmzx - sin n*t(x-d) Chn^s(x-d)) - (12)

n b b b b

- Cn(cosmLZshrnsx - cos n^(f-d) shn^s(x-d)) + n b b b b

- Dn (sin rnLZshn^X + sin n^(f -d) shn*s(x-d) )]sin n b b b b b

где d - расстояние между двумя рядами колес.

На двух продольных кромках пластины изгибающие моменты и поперечные силы отсутствуют и поэтому коэффициенты An, Bn, Cn , Dn определяются из уравнений:

д2 w д2 w п

для моментов ---- у -= 0, (13)

дх2 ду2

для поперечных сил - ^ + D + 2Dk ^w = 0 (14)

дх3 D дхду2

Уравнения (13-14) после преобразований представлены:

ад

V{An [у CC(х) - £ • SS(х)] - Bn [у SC(х) - £ • CS(х)] -

n=1

-Cn[y CS (х) - £ • SC( х)] - Dn [у SS (х) - £ • CC(х)] -j^ | • sin = 0 ; (15)

ад

V {A [-£ • SC(х) - 3 • CS(х)] - Bn [£• CC(х) - 3 • SS(х)] -

n=1

- Cn [-¿¡SS (x) - 3 • CC (x)] - Dn • CS(x) - 3 • SC (x )]}• sin ^ = 0, (16)

b

где у = s2 -t2-у, £ = 2st, £ = t (3s2 -12 -/) , 3 = s (s2 - 3t2 - /и) ,

СС(x) = cos TxchSx - cos T(x - d)chS(x - d); SC(x) = sin TxchSx - sin T(x - d)chS(x - d); CS(x) = cos TxshSx - cos T(x - d)shS(x - d); SS(x) = sin TxshSx - sin T(x - d)shS(x - d). Для каждой продольной кромки необходимо составить по два уравнения. В итоге, для двух продольных кромок получим четыре уравнения, в которых два первых уравнения обеспечивают отсутствие изгибающих моментов на продольных кромках, а два других - отсутствие поперечных сил. Таким образом, из системы четырех уравнений

будут вычислены параметры A, Bn, C , Dn. По этим полученным значениям можно вычислить прогибы в требуемых координатах пластинки.

Пример. Плита состоит из девяти слоев одинаковой толщины 8 = 3,2 10-2м. Общая толщина плиты 28,8 см. Модуль упругости нечетных слоев в направления пролета равен E2 = 1104 МПа, а в поперечном - E = 400МПа. Модуль упругости ортогональных (четных) слоев имеет такие же значения.

Модули сдвига: G = Ь1°4 = 3333,33МПа, G2 =—400— = 196,078МПа . Слои жестко склеены и при 1 2(1 - 0,5) 2 2(1 - 0,02)

деформировании работают совместно.

На рис. 4 плита представлена в виде пластинки с приложенной колесной нагрузкой. Основные данные: F= 10 т,

Ь=8,6м, а=10,4м, x=d=2,7м.

Прогибы

Рис. 4 - Пролетное строение в виде многослойной пластины пролетом 8,60 м, шириной 10,40 м.

Жесткости пластины: D2 =13,6467 ; D1 = 7,2652 , Dk = 4,544 , Д = 2Д = 9,49034.

Уравнение (10) с учетом Д / Д = 1,306273, Д / Д = 1,878365 представлено в виде

s4 - 2 • 1,306273 • s2 +1,878365 = 0 .

В итоге получены комплексные корни: ±s ± ti, при этом s = 1,156893963, t = 0,179250222.

Для вычисления коэффициентов уравнений изгибающих моментов и поперечных сил подсчитаны коэффициенты у = 1,250733 ; С = 0,414747 ; £== 0,269372 ; ,9 = -1,432575 .

В продольном ряду расположены четыре колеса с координатами 7Х = 2,9 м, г]2 = 3,1 м, 73 = 4,3 м, 74 = 5,5 м. Уравнения (15) и (16) представим в матричной форме.

Для формирования свободного столбца используем ранее полученную сумму для четырех колес ]Г sin(2f7) = sin 39,767o + sin 64,883o + sin 90o + sin 115,116o = 3,450551.

1

Система из четырех уравнений с четырьмя неизвестными параметрами представлена в следующем виде:

18,025588 -16,614297 -17,832979 16,61009 " " A" "-3,450551"

6,795416 +4,292306 6,197789 4,073113 B -3,450551

26,166162 -6,406102 -26,349956 6,514793 C 0

-8,298673 -0,587495 -8,920311 -0,973416 0

В результате решения системы уравнения имеем:

А = 0,086014025 ; В = -0,352051746; С = 0,01293319 ; Б = -0,639337857 .

Прогибы на линии, расположенной перпендикулярно оси пластинки, можно подсчитать по формуле (12).

Координаты точек, ориентированных перпендикулярно оси пролетного строения: -5,20, -2,60, 0, 2,70, 5,20 и -7,90, -

5,30, - 2,70, 0, и 2,50 м.

Матрица коэффициентов умножается на столбец параметров

( 16,5581 -8,498949 -16,42236 9,929128 V ч ( 2,144156 ^

( 0,086014025 ^

1,804892

0,247161 0,247161 1,690874

-0,352051746

0,01293319 -0,639337857

-1,898121 -5,679875 -0,303350 -1,383397 0,303350 1,383397

1,784625 5,438352 у , /

В результате получены относительные прогибы Ш :

3,450551 - 2,144156 = 1,30584. 3,450551 - 0,033705 = 3,41629. 3,450551 + 0,16294 = = 3,61294. 3,450551 3,43513. 3,450551 - 1,13270 = 2,31729.

Фактические прогибы получим из выражения

6,108917 2,697897 2,697897 5,886055

0, 033705 -0,162941 0,014866 1,132702

0,01486 =

w =

Fb

2

тг3и 3D2

• w , где

Fb2

10-103 • 8,62 тт3 443,9186-105

= 1,7136437-10 м.

Окончательные прогибы [см] w = 2,238,

w2 = 5,854, w3 = 6,1912 , w4 = 5,8865 ; 155

w5

= 3,9710 приведены на рис. 4.

Наша страна богата древесиной, добывают ее много, но в строительстве капитальных конструкций мостов ее практически не используют. Ясно, что старые конструктивные формы деревянных мостов не обеспечивают пропуск современных нагрузок, нужны новые решения. Эта проблема успешно решается за рубежом. Таким образом, разработка новых конструкций пролетных строений мостов под современные тяжелые нагрузки является одним из важных направлений применения древесины в транспортном строительстве и, в частности, в мостостроении страны.

Исследование напряженно-деформированного состояния плитного пролетного строения в виде многослойной клееной деревоплиты из перекрестных досок методом конечных элементов показало, что клееная деревоплита пролетом 9 м из девяти слоев досок толщиной 32 мм обладает несущей способностью современных пролетных строений. Максимальный прогиб этой конструкции составляет 1/200 длины пролета и допускается современными нормами. У данной конструкции при увеличении количества слоев грузоподъемность возрастает.

Исследование данной конструкции аналитическими методами теории упругости подтверждают сделанные выводы. Как видно из приведенных графиков, характер распределения прогибов в сечении середины пролета не совпадает, отличаются и значения, хотя это величины одного порядка. Отличия могут быть объяснены тем, что аналитическое решение получено приближенно, с одной гармоникой вдоль пролета.

Список литературы / References

1. Eurocode 5: Design of timbre structure - Part 2: Bridges // European committee for standardization CEN: Brussels -2004.

2. Handbook 1 Timber Structures. Education and Culture Leonardo da Vinci. Leonardo da Vinci Pilot Projet CZ/06/B/F/PP/1680007. TEMTIS - September 2008.

3. Agnieszka Gilun. Stress-laminated timber T-beam and box-beam bridges / Agnieszka GilunJulia Meronk // Chalmers university of technology. Göteborg, Sweden - 2006.

4. Уткин В.А. Автодорожные деревянные мосты нового поколения / Уткин В.А., Кобзев П.Н. // Монография. -Омск: Издательство СибАДИ, 2004. - 50 с.

5. Плитное дощато-клееное пролетное строение: Патент РФ на полезную модель №69528 / В.А. Уткин, Г.М. Кадисов // СибАДИ; - опубл. 27.12.2007.

6. ГОСТ 27751-2014 Надежность строительных конструкций и оснований. - М. Стандартинформ, 2015. - 14с.

7. Уткин В.А. Особенности напряженно-деформированного состояния клееной деревоплиты в пролетных строениях автодорожных мостов // Уткин В.А., Кадисов Г.М. // Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады 4-й Всероссийской конференции. - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2017. - С.293-301.

8. Уткин В.А. Пролетные строения из клееной древесины. Теоретические исследования свойств многослойной деревоплиты из перекрестных досок //Уткин В.А. // Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады I Всероссийской конференции. - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2008. - С. 404-412.

9. Уткин В.А. Результаты экспериментального исследования многослойной перекрестной деревоплиты на изгиб // Уткин В.А.// Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады I Всероссийской конференции. -Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2008. - С. 413-420.

10. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. - М.: Гостехиздат, 1947. - 464 с.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Eurocode 5: Design of timbre structure - Part 2: Bridges. - European committee for standardization CEN: Brussels -2004.

2. Handbook 1 Timber Structures // Education and Culture Leonardo da Vinci. Leonardo da Vinci Pilot Projet CZ/06/B/F/PP/1680007. -TEMTIS - September 2008.

3. Agnieszka Gilun. Stress-laminated timber T-beam and box-beam bridges / Agnieszka Gilun, Julia Meronk // Chalmers university of technology. Göteborg, Sweden - 2006.

4. Utkin V.A. Avtodorozhnye derevjannye mosty novogo pokolenija: monografija. [New-generation road wooden bridges: monograph] / Utkin V.A., Kobzev P.N. // Omsk. Izdatel'stvo SibADI, 2004. - Omsk: Publishing House of SibADI, 2004. - 50 p. [in Russian]

5. Plitnoe doschato-kleenoe proletnoe stroenie: Patent RF na poleznuju model' №69528 / [Plate boarded-glued span structure: the RF patent for a utility model №69528] V.A. Utkin, G.M. Kadisov; SibADI; publ. 27.12.2007. [in Russian]

6. GOST 27751-2014 Nadezhnost' stroitel'nyh konstruktsij i osnovanij. [SSS 27751-2014 Reliability of building structures and foundations]. - M.Standinform, - M. Standartinform, 2015. - 14p. [in Russian]

7. Utkin V.A. Osobennosti naprjazhenno-deformirovannogo sostojanija kleenoj derevoplity v proletnyh stroenijah avtodorozhnyh mostov [Features of the stress-strain state of glued wood in the span structures of road bridges] / Utkin V.A., Kadisov G.M. // Problemy optimalnogo proektirovanija sooruzhenij. Doklady 4-j Vserossijskoj konferentsii [Problems of Optimal Design of Structures. Reports of the 4th All-Russian Conference]. - Novosibirsk: NGASU (Sibstrin), 2017. - P.293-301. [in Russian]

8. Utkin V. A. Proletnye stroenija iz kleenoj drevesiny. Teoreticheskie issledovanija svojstv mnogoslojnoj derevoplity iz perekrestnyh dosok [Spans of glued timber [Theoretical studies of the properties of multilayer woodwork from cross-planks] / Utkin V.A. // Problemy optimal'nogo proektirovanija sooruzhenij. Doklady I Vserossijskoj konferentsii [Problems of Optimal Design of Structures. Reports of the First All-Russian Conference]. - Novosibirsk: NGASU (Sibstrin), 2008. - P. 404-412. [in Russian]

9. Utkin V. A. Rezul'taty eksperimentalnogo issledovanija mnogoslojnoj perekrestnoj derevoplity na izgib [Results of experimental research of multilayer cross-tree jib on bending] /Utkin V.A. // Problemy optimalnogo proektirovanija sooruzhenij. Doklady I Vserossijskoj konferentsii [Problems of Optimal Design of Structures. Reports of the First All-Russian Conference]. - Novosibirsk: NGASU (Sibst-rin), 2008. - P. 413-420. [in Russian]

10. Lehnitskij S. G. Anizotropniye plastinki [ Anisotropic plates] / Lehnitskij S. G. - M.: Gostehizdat, 1947. - 464 p. [in Russian]