CC BY
12
УДК 539.622, 539.3
Моделирование накопления контактно-усталостных повреждений и изнашивания в контакте неидеально
гладких поверхностей
И.Г. Горячева, А.Р. Мещерякова
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия
Построена модель накопления контактно-усталостных повреждений в упругом полупространстве при скольжении по нему периодической одноуровневой системы жестких сферических выступов. Модель основана на решении контактной задачи о внедрении периодической системы выступов в упругое полупространство с учетом взаимного влияния пятен контакта и предположения, что скорость накопления усталостных повреждений зависит от амплитудных значений максимальных касательных напряжений в упругом полупространстве. В предположении отсутствия сил трения изучено влияние плотности расположения выступов и величины номинального давления на скорость накопления по-врежденности и глубину залегания наиболее поврежденного слоя, а также на кинетику контактно-усталостного изнашивания типа отслаивания упругого тела.
Ключевые слова: контактно-усталостное изнашивание, периодическая система выступов, накопленная поврежденность
DOI 10.55652/1683-805X_2022_25_4_44
Modeling of contact fatigue damage accumulation and wear between contacting imperfectly smooth surfaces
I.G. Goryacheva and A.R. Meshcheryakova
Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia
A model is constructed for contact fatigue damage accumulation in an elastic half-space sliding against a periodic one-level system of rigid spherical asperities. The model is based on solving the contact problem of the penetration of a periodic system of asperities into an elastic half-space, taking into account the interaction of contact spots and assuming that the fatigue damage accumulation rate depends on the amplitude of the maximum shear stresses in the elastic half-space. Assuming the absence of friction forces, we study the influence of the density of asperities and the nominal pressure on the damage accumulation rate and the depth of the most damaged layer, as well as on the kinetics of contact fatigue wear such as delamination of an elastic body.
Keywords: contact fatigue wear, periodic system of asperities, accumulated damage
1. Введение
Спецификой контакта тел с неидеально гладкими поверхностями является наличие рельефа, в частности неровностей различной формы и размера. Наличие неровностей на поверхности приводит к дискретному характеру взаимодействия, которое отражается на распределении контактно© Горячева И.Г., Мещерякова А.Р., 2022
го давления, а также на процессах трения и изнашивания взаимодействующих тел.
Обзор исследований влияния дискретного характера контактирования на контактные характеристики приведен в [1], где перечислены методы решения периодических контактных задач для упругих тел в плоской и пространственной поста-
новках, а также задач с ограниченной номинальной областью контакта. Результаты моделирования дискретного контакта упругих тел с регулярным рельефом с помощью метода локализации [2-4], основанного на аналитическом подходе к расчету контактных характеристик, показывают, что при заданном номинальном давлении с увеличением плотности контакта уменьшается фактическая площадь пятен контакта. Анализ напряженного состояния упругого полупространства иллюстрирует наличие вблизи поверхности нагруженного слоя, толщина которого сравнима с радиусом области контакта. Расчет контактных характеристик с учетом взаимного влияния пятен контакта с помощью усовершенствованной теории Гринвуда-Вильямсона проводился в [5]. Помимо аналитических методов решения задач дискретного контакта широко распространены численные методы, которые позволяют учитывать реальную геометрию контактирующих тел на разных масштабных уровнях [6-10]. В частности, для моделирования контактного взаимодействия шероховатых поверхностей применяются метод граничных элементов с использованием быстрых преобразований Фурье [11], генетические алгоритмы [12], нейросети различной архитектуры
[13].
В условиях трения скольжения поверхностей, обладающих микрорельефом, происходит циклическое изменение напряженного состояния поверхностных слоев материала, толщина которых соизмерима с размером отдельного пятна контакта, что является причиной возникновения вблизи поверхности усталостных повреждений, приводящих к разрушению по усталостному механизму и отделению частиц износа. При усталостном изнашивании имеет место многократное отделение частиц материала с поверхности трения, а соответствующее изменение геометрии контакта при каждом акте разрушения приводит к перераспределению контактных и внутренних напряжений [2]. Для моделирования деформации и изнашивания материала на различных масштабных уровнях в условиях циклического взаимодействия применяются подходы физической мезомеханики
[14]. В данном исследовании рассматривается модель контактно-усталостного изнашивания на основе континуального феноменологического подхода, которая ранее была апробирована в теоретических [15-19] и экспериментальных [20, 21] исследованиях. В рамках данного подхода моделирование усталостного изнашивания состоит из
следующих этапов: расчет контактных и внутренних напряжений, определение накопленной по-врежденности в поверхностном слое материала, расчет толщины отделившегося фрагмента с учетом выбранного критерия разрушения материала, расчет накопленной поврежденности на следующем шаге и т.д. На каждом шаге моделирования износа учитывается история процесса, т.е. накопленная поврежденность на предыдущих этапах. В качестве основных параметров, влияющих на скорость изнашивания, выделяют условия контактирования, макро- и микрогеометрию поверхностей контактирующих тел, прочностные свойства материалов, остаточные напряжения и др. Результаты испытаний образцов стали с наноструктуриро-ванной поверхностью в [22] показывают, что изменение микрогеометрии поверхности образца приводит к повышению его усталостной прочности. На основании результатов анализа контакта шероховатых поверхностей в работе [23] сделан вывод, что наличие неровностей влияет на пиковые значения контактных давлений, что необходимо учитывать при моделировании изнашивания типа отслаивания.
В данной работе моделируется процесс контактно-усталостного разрушения поверхностных слоев неограниченного упругого тела при его взаимодействии со скользящим по его поверхности жестким штампом, обладающим регулярным поверхностным микрорельефом, и проводится исследование влияния плотности расположения выступов на поверхности штампа на характер и скорость изнашивания поверхностных слоев упругого тела.
2. Постановка задачи
Рассмотрим контакт с упругим полупространством жесткого неограниченного штампа, на плоской поверхности которого находятся выступы заданной геометрической формы (поверхности жесткого и упругого тел коллинеарны). Оси симметрии выступов направлены перпендикулярно границе упругого полупространства, а точки их пересечения с границей полупространства расположены равномерно по его поверхности с заданной плотностью N определяемой количеством выступов на единицу площади. На штамп действует номинальное (осредненное на единицу площади) давление р0. Штамп вместе с системой выступов может перемещаться по границе полупространства, при этом предполагается, что силы
Рис. 1. Схема контакта системы выступов жесткого штампа и упругого полупространства (цветной в он-лайн-версии)
трения в области контакта выступов с границей упругого тела пренебрежимо малы.
Свяжем цилиндрическую систему координат 0г§2 с осью симметрии одного из выступов (рис. 1). В этой системе координат форма контактирующей поверхности выступа описывается функцией
Дг) = г 7(2 Я), (1)
где Я — радиус кривизны отдельного выступа.
Ставится задача нахождения распределения контактных и внутренних напряжений в упругом полупространстве при заданных плотности расположения выступов и значении номинального давления р0 с учетом взаимного влияния пятен контакта. Полученное распределение напряжений затем используется для расчета накопления по-врежденности и кинетики изнашивания упругого полупространства при скольжении по нему периодической системы выступов, расположенных на плоской поверхности бесконечного жесткого контртела.
3. Метод нахождения контактного давления под единичным выступом
Для расчета контактного давления под произвольным выступом воспользуемся методом локализации [2], который основан на решении Л. А. Галина [24] контактной задачи о внедрении в упругое полупространство осесимметричного штампа при действии вне штампа заданной пригрузки, принимая во внимание, что в рассматриваемом нами случае пригрузка создается такими же штампами (выступами на поверхности контртела). Используя этот метод для расчета контактных давлений под произвольным выступом, уч-
тем действие остальных выступов системы равномерно распределенным номинальным давлением р0 вне круга радиуса А0 = ]/л/пЫ, который определяется из условия равенства номинального давления на всей границе упругого полупространства.
Тогда граничные условия для определения контактного давления р(г) (г < а) на поверхности (2 = 0) упругого полупространства под произвольным выступом при отсутствии сил трения имеют вид
и2 (г) = /(г) + В, г < а, агг = 0, г < а < Ао, (2)
22 = Pо, г > Aо, где В — глубина внедрения произвольного штампа в основание; а — радиус области контакта.
Используя общее соотношение между перемещениями и2(г) границы упругого полупространства и действующим на него давлением [24] и принимая во внимание граничные условия (2), получим следующее выражение для упругих перемещений границы полупространства:
и2(г)=
4(1 -V2/
пЕ
+Р0 /К
IР (Р)К
V 0
2Тф
2л/ф
г + р
РФ
г + р
л
рф
г + р
г + р
(3)
где Е и V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала упругого полупространства; К(х) — полный эллиптический интеграл первого рода.
Из (2) и (3) следует интегральное соотношение для определения контактных давлений под произвольным индентором (г < а):
/ ( г) + В =
+Р0 /К
4(1 -V 2/
пЕ
2Уф л
г + р
IР (р)к
V 0 рф
2Тф
г + р
рф
г + р
- Р0 А0Е
г + р
V А0 JJ
(4)
где Е(х) — полный эллиптический интеграл второго рода. При выводе соотношения (4) было использовано следующее равенство:
= /К
0
/ К
Ас
2Уф
г + р
г + р рф
рф
г + р -А0Е
г
г + р
V А0 J
(5)
Заметим, что второе слагаемое в правой части соотношения (4) определяет смещение границы упругого полупространства при действии на нее
X
постоянного давления и не влияет на перераспределение контактных давлений под произвольным выступом.
Решение интегрального уравнения (4) для ин-дентора, форма контактирующей поверхности которого описывается функцией (1), имеет вид [2]
Р(г) =
2Е*
+—Роаг^ п
( а I2 Г г
1Я J 1Я
4 а 2- -г 2 |
Д2 - а2 )
(6)
где номинальное (осредненное) давление р0 и нагрузка Р, действующая на индентор, связаны соотношением
Ро = РК. (7)
Также справедливо условие равновесия для произвольного индентора:
Р = 2п| р(г )^г.
(8)
Подстановка (6) в условие равновесия (8) позволяет вывести уравнение для определения радиуса а области контакта:
а3 + (1 -у2) ро
3Я
2 Е
х ^А02 а1тат ^Д- | - а\[А
2 - а 2 |= . (9)
4Е
В безразмерном виде соотношения (6)-(9) для расчета контактных характеристик имеют вид
р (г) = л/
= V а2 - г 2 +—р0 агс^ п
(
Ч2 - а2
ро = РК,
а
Р = 2п| р(г )rdr,
(10)
(11) (12)
о
-3
А агс8т
(а I
д,
па ,л 2. _
— + (1 -У 2) р,
- ал[Д
2 ~2 2 - а
Л
= 2(1 -У2)Р, (13)
где введены безразмерные параметры _ г ~ А ~ а ^ - 2
г = Я, А, = I0, а = Я, N = Ш2,
р(г) = пр(ГЯ) Р = р
р(Г) = 2Е , Р = 2ЕЯ2 , ро = 2Е
(14)
4. Моделирование накопления контактно-усталостных повреждений
4.1. Критерий накопления усталостных повреждений
При скольжении периодической системы одинаковых выступов по поверхности упругого полупространства в его подповерхностных слоях возникает циклически изменяющееся поле внутренних напряжений, что вызывает накопление контактно-усталостных повреждений [2о].
Для моделирования накопления контактно-усталостных повреждений в упругом полупространстве воспользуемся феноменологическим подходом и свяжем скорость накопления повреждений с амплитудными значениями максимальных касательных напряжений в произвольной фиксированной точке упругого полупространства [2]. В рамках данного подхода применяется модель линейного суммирования контактно-усталостных повреждений, взаимодействующие тела считаются упругими и однородными, а прочностные свойства материала учитываются параметрами модели, которые определяются экспериментально. При этом предполагается, что размер единичного пятна контакта много больше характерного размера структурного элемента изнашиваемого материала. Учитывая, что нагружение создается одинаковыми выступами, равномерно распределенными по границе упругого тела, скорость накопления поврежденности д^т(г) на глубине г зависит от амплитудных значений максимальных касательных напряжений Дттах(г) на этой глубине и рассчитывается по формуле [2]
Д .у
^ат(.) = С
(15)
где сит — параметры, которые описывают прочностные свойства материала. Описание применения экспериментальных методов для определения параметров модели, соответствующих реальным материалам в системе «колесо - рельс», приведено в [25]. Амплитудные значения максимальных касательных напряжений на произвольной фиксированной глубине . о определяются как разница их наибольшего и наименьшего значений в сечении плоскостью г=го, параллельной поверхности полупространства.
Поскольку поле внутренних напряжений под системой штампов остается неизменным, то по-врежденность материала на глубине г после п циклов рассчитывается по формуле
&аш (г, п) = ЩЛат (2) + ^ (г), (16)
где — распределение по глубине начальной поврежденности материала.
Разрушение материала типа отслаивания происходит, когда функция поврежденности впервые достигнет критического значения 2с1аш на некоторой глубине 2 , определяемой из условия
&аш(^ П*) = бс1аш, (17)
где п — количество циклов до разрушения.
4.2. Расчет максимальных касательных напряжений на оси симметрии выступа и в центре ненагруженной зоны
Для расчета амплитудных значений максимальных контактных напряжений сначала определяются внутренние напряжения, которые затем используются для определения функции распределения максимальных касательных напряжений в упругом полупространстве.
Компоненты тензора внутренних напряжений в каждой точке упругого полупространства рассчитываются по принципу суперпозиции на основании решения Буссинеска для единичной сосредоточенной силы, действующей на упругое полупространство в нормальном (Ог) направлении
[26], и с учетом полученного распределения контактных давлений на пятнах фактического контакта, распределенных с заданной плотностью по поверхности упругого полупространства. Затем компоненты тензора внутренних напряжений используются для нахождения максимальных касательных напряжений, определяемых по формуле
[27]
Тшах (X ^ г) = ^(С1(X г) - С3 (X, 2)), (18)
где аг(х,у, г) (/ = 1, 2, 3) — главные напряжения в точке (х, у, г), причем
о1(х, у, г) > о2(х, у, г) > о3(х, у, г). При расчете внутренних напряжений так же, как и при расчете контактных давлений с учетом взаимного влияния пятен контакта, использовался метод замены реальных контактных давлений на номинальные, распределенные вне круга, радиус которого определялся требуемой точностью расчета максимальных касательных напряжений.
Из принципа суперпозиции и рассчитанной в п. 3 функции распределения контактных давлений в условиях дискретного взаимодействия выступов следует, что наибольшие значения макси-
мальных касательных напряжений в упругом полупространстве находятся на оси Oz, проходящей через центр рассматриваемого выступа перпендикулярно поверхности полупространства, а наименьшие значения максимальных касательных напряжений находятся на оси O'z, равноудаленной от центров выступов (рис. 1).
При заданной плотности N расположения выступов введем характерное минимальное расстояние между выступами, разместив их для определенности в узлах гексагональной решетки с шагом l, определяемым из условия N = 2/(12-Л). Для нахождения значений максимальных касательных напряжений на оси O'z, проходящей через центр ненагруженной зоны, рассмотрим три выступа, центры которых расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной l. Для трех выбранных выступов учитываются реальные распределения контактных давлений. Для учета влияния остальных выступов на напряженное состояние упругого полупространства применим метод локализации: заменим действие остальных выступов номинальным давлением, действующим вне круга радиуса A2, который определяется из уравнения равновесия
р0жА22 = 3P. (19)
Изолинии максимальных касательных напряжений в сечениях полупространства Oyz (рис. 2, а) и O' yz (рис. 2, б), которые проходят через центры нагруженной и ненагруженной областей (см. рис. 1) соответственно для разных значений расстояния между центрами выступов и постоянного номинального давления, показаны на рис. 3.
Результаты показывают, что при большой плотности расположения выступов штампа (l/R = 0.5, NR2 = 4.6) и рассматриваемой величине номинальных давлений помимо подповерхностного максимума функции максимальных касательных напряжений на глубине z/R ~ 0.14 наблюдается зона концентрации максимальных касательных напряжений на глубине z/R ~ 0.85. При увеличении расстояния между центрами выступов (l/R = 1.0, NR2 = 1.15) увеличиваются значения функции максимальных касательных напряжений и расстояние от поверхности полупространства до ее подповерхностного максимума.
Минимальные значения напряжений на оси, равноудаленной от осей симметрии выступов, как показали расчеты, уменьшаются с ростом расстояния между выступами.
Рис. 2. Зависимость радиуса области контакта (а) и максимального контактного давления (б) от номинального давления для разной плотности расположения выступов при ЫЯ2 = о.2 (1), 1.о (2), 5.о (3) (пунктирные линии рассчитаны по теории Герца) (цветной в онлайн-версии)
4.3. Анализ влияния плотности расположения выступов и номинального давления на функцию поврежденности
Полученные результаты позволяют исследовать влияние плотности расположения выступов и номинального давления на распределение поврежденности внутри упругого полупространства
при скольжении по нему рассматриваемой системы инденторов. Для сравнения также приводятся расчеты, выполненные в предположении, что контактные давления под каждым выступом распределены в соответствии с теорией Герца [28], т.е. без учета взаимного влияния выступов. Заметим, что при заданном номинальном давлении измене-
Рис. 3. Изолинии максимальных касательных напряжений в сечении Оуг (а, в) и О'уг (б, г) при ро = о.3 и разных расстояниях между центрами выступов 1/Я = о.5 (а, б) и 1.о (в, г) (цветной в онлайн-версии)
Рис. 4. Распределение максимальных касательных напряжений вдоль осей Ог (сплошные линии) и О 'г (пунктирные линии) при номинальных давлениях р° = 0.1 (а), 0.3 (б) и разных расстояниях между центрами выступов 1/Я = 0.5 (7), 1.° (2), 2.0 (3) (цветной в онлайн-версии)
ние плотности контакта оказывает влияние как на нагрузку, действующую на единичный выступ, так и на дополнительную деформацию поверхности упругого полупространства при внедрении в нее соседних к рассматриваемому выступов. При расчетах контактных характеристик по теории Герца этой деформацией пренебрегают. На рис. 2 приведены зависимости радиуса области контакта (рис. 2, а) и максимального контактного давления (рис. 2, б) от номинального давления для разных значений плотности расположения выступов.
Результаты показывают, что при одинаковом номинальном давлении с увеличением плотности расположения выступов уменьшается радиус области контакта и возрастает максимальное давление на отдельном выступе. Сравнение с пунктирными кривыми, которые соответствуют теории Герца, позволяет сделать вывод, что с увеличением плотности расположения выступов и номинального давления разница между радиусами области контакта, рассчитанными с учетом взаимного влияния выступов друг на друга и по теории Герца, возрастает. Кроме того, теория Герца дает заниженные значения максимальных контактных давлений, при этом разница в значениях максимальных давлений возрастает с ростом плотности расположения штампов.
Распределения максимальных касательных напряжений вдоль осей Ог и О г, проходящих через центр индентора и центр ненагруженной зоны соответственно, при разных значениях расстояния между центрами выступов (шага I) и номинального давления показаны на рис. 4.
Результаты показывают, что при уменьшении плотности расположения выступов (увеличении шага I) увеличивается перепад между наибольшими (вдоль оси Ог) и наименьшими (вдоль оси О г) значениями максимальных касательных напряжений вблизи поверхности.
Распределения максимальных касательных напряжений вдоль осей, проходящих через центры нагруженной и ненагруженной зон, используются для расчета их амплитудных значений для разных значений расстояния между выступами и номинального давления (рис. 5). Штрихпунктирными линиями на рис. 5 показаны распределения амплитудных значений максимальных касательных напряжений по глубине в упругом полупространстве, если расчет контактных характеристик для каждого выступа проводится по теории Герца.
На основании построенных зависимостей можно заключить, что при уменьшении расстоянии между выступами (увеличении плотности их расположения) уменьшаются амплитудные значения максимальных касательных напряжений. При
Рис. 5. Распределение амплитудных значений максимальных касательных напряжений при номинальных давлениях Ро = 0.1 (а), 0.3 (б) и разных расстояниях между центрами выступов l/R = 0.5 (7), 1.0 (2), 2.0 (3) (штрихпунктирные линии — результаты, рассчитанные с использованием распределения контактных давлений по теории Герца) (цветной в онлайн-версии)
этом рост номинального давления приводит к росту абсолютных значений этой величины, определяющей скорость накопления поврежденности в упругом полупространстве. И плотность расположения выступов, и величина номинального давления определяют расстояние от поверхности, на котором накапливается максимальная повреж-денность. Чем выше плотность и больше номинальное давление, тем ближе к поверхности накапливается максимальная поврежденность. Использование теории Герца для расчета распределения контактных давлений под каждым выступом приводит к заниженным величинам повреж-денности, а также к некоторым погрешностям в определении глубины залегания наиболее поврежденного слоя, особенно при высоких значениях номинальных давлений.
5. Моделирование контактно-усталостного изнашивания
Расчет функции поврежденности для разного количества циклов (п. 4) позволяет провести численный анализ усталостного разрушения полупространства и построить кривые, описывающие кинетику его изнашивания типа отслаивания. Рас-
четы производились с использованием соотношения (16). Предполагалось, что при достижении критического значения поврежденности от поверхности полупространства отделяется слой, толщина которого определяется глубиной, на которой достигаются максимальные амплитудные значения функции Дттах(г). Оставшаяся часть полупространства имеет накопленную поврежден-ность, которая определяет вид функции 0°ат в соотношении (16) для расчетов на следующем шаге по времени (или числу циклов). Поскольку функция поврежденности при отслаивании имеет максимальное значение на поверхности, то некоторое время будет иметь место поверхностный износ, который снова сменится подповерхностным отслаиванием, когда критическая поврежденность вновь накопится внутри полупространства и т.д.
На рис. 6 показаны зависимости безразмерной координаты поверхности от количества пройденных циклов для разных значений номинального давления и параметра т, характеризующего прочностные свойства материала. Вертикальные участки кривых соответствуют моментам подповерхностного разрушения (отслаивания), между которыми имеет место поверхностный износ.
О 100 200 300 400 л 0 400 800 1200 п
Рис. 6. Зависимость координаты поверхности от количества циклов при 1/Я = 1, т = 1.5 (а) и 2.0 (б) и разных значениях номинального давления лр0/(2£) = 0.1 (1), 0.2 (2) (цветной в онлайн-версии)
Сравнение результатов показывает, что при т = 1.5 и р0 = 0.1 (рис. 6, а, кривая 1) после одного акта подповерхностного разрушения наступает поверхностный износ, скорость которого с увеличением количества циклов выходит на постоянное значение. С ростом номинального давления увеличивается количество актов подповерхностного разрушения (рис. 6, а, кривая 2), при этом толщина отделяемого слоя постепенно уменьшается. Увеличение параметра т, характеризующего прочностные свойства материала, приводит к уменьшению скорости изнашивания и увеличению количества актов подповерхностного разрушения.
6. Заключение
Разработан подход к моделированию контактно-усталостного разрушения типа отслаивания упругого тела при скольжении по нему периодической системы выступов жесткого контртела. Отличительной особенностью разработанной модели является учет взаимного влияния пятен контакта при расчете контактных и внутренних напряжений в упругом полупространстве при его нагружении периодической системой выступов.
В предположении, что скорость накопления усталостных повреждений связана с амплитудой изменения максимальных касательных напряжений внутри упругого полупространства, возникающих при скольжении контртела с регулярным поверхностным микрорельефом, проведен анализ влияния плотности расположения выступов и величины номинального давления на распределение максимальных касательных напряжений внутри упругого полупространства и на распределение поврежденности по глубине упругого тела. Результаты сопоставлены с расчетами по упрощенной модели, в которой контактные давления оп-
ределяются по теории Герца, и обозначен диапазон параметров задачи, когда такое упрощение приводит к существенным погрешностям при определении глубины залегания наиболее поврежденного слоя и момента его отслаивания.
На основе построенной модели приведены примеры расчета кинетики изнашивания типа отслаивания упругого полупространства при скольжении по нему жесткого контртела с различными плотностями расположения выступов на его поверхности.
Разработанная модель применима для анализа влияния параметров микрогеометрии жесткого контртела на его изнашивающее действие при фрикционном взаимодействии с упругим материалом.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РНФ в рамках научного проекта № 22-4902010.
Литература
1. Горячева И.Г., Цуканов И.Ю. Развитие механики дискретного контакта с приложениями к исследованию фрикционного взаимодействия деформируемых тел // Прикладная математика и механика. -2020. - Т. 84. - № 6. - С. 757-789. - https://doi.org/ 10.31857/S0032823520060053
2. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. - М.: Наука, 2001.
3. Горячева И.Г., Цуканов И.Ю. Моделирование упругого контакта тел с регулярным микрорельефом // Вестник Брянск. гос. тех. универ. - 2018. -№ 11. - С. 81-87. - https://doi.org/10.30987/article_ 5be14a3a619314.04367914
4. Goryacheva I.G. Mechanics of discrete contact // Tri-bol. Int. - 2006. - V. 39. - No. 5. - P. 381-386.
5. Ciavarella M., Greenwood J.A., Paggi M. Inclusion of "interaction" in the Greenwood and Williamson contact theory // Wear. - 2008. - V. 265. - No. 5-6. - P. 729734. - https://doi.org/10.1016/j.wear.2008.01.019
6. Yastrebov V.A., Breitkopf P. Numerical Methods in Contact Mechanics. - Hoboken: John Wiley & Sons, 2013.
7. Wriggers P. Computational Contact Mechanics. -Berlin: Springer, 2006.
8. Ewen J.P., Fernández E.R., Smith E.R., Dini D. Non-equilibrium Molecular Dynamics Simulations of Tri-bological Systems // Modeling and Simulation of Tri-bological Problems in Technology. - Ed. by M. Paggi, D.A. Hills. - Cham: Springer, 2020. - P. 95-130. -https://doi.org/10.1007/978-3-030-20377-1_3
9. Дмитриев А.И., Смолин А.Ю., Попов В.Л., Пса-хье С.Г. Многоуровневое моделирование процессов трения и износа на основе численных методов дискретной механики и феноменологической теории // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 4. - C. 1524.
10. Goryacheva I.G., Paggi M., Popov V.L. Editorial: Contact Mechanics Perspective of Tribology // Front. Mech. Eng. - 2021. - V. 7. - P. 1-5. - https://doi.org/ 10.3389/fmech.2021.649792
11. Wang Q., Sun L., Zhang X., Liu S., Zhu D. FFT-based methods for computational contact mechanics // Front. Mech. Eng. - 2020. - V. 6. - Article 61. - https://doi. org/10.3389/fmech.2020.00061
12. Cinat P., Gnecco G., Paggi M. Multi-scale surface roughness optimization through genetic algorithms // Front. Mech. Eng. - 2020. - V. 6. - Article 29. -https://doi.org/10.3389/fmech.2020.00029
13. Kalliorinne K., Larsson R., Pérez-Rafols F., Liwi-ckiM., Almqvist A. Artificial neural network architecture for prediction of contact mechanical response // Front. Mech. Eng. - 2021. - V. 6. - Article 579825. -https://doi.org/10.3389/fmech.2020.579825
14. Панин В.Е., Колубаев А.В., Слосман А.И., Тарасов С.Ю., Панин С.В., Шаркеев Ю.П. Износ в парах трения как задача физической мезомеханики // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 1. - C. 67-74.
15. Горячева И.Г., Чекина О.Г. Модель усталостного разрушения поверхностей // Трение и износ. -1990. - Т. 11. - № 3. - C. 389-400.
16. Горячева И.Г., Чекина О.Г. Изнашивание поверхностей: от моделирования микроразрушения к анализу формоизменения // Изв. РАН. МТТ. - 1999. -№ 5. - С. 131-147.
17. Горячева И.Г., Степанов Ф.И., Торская Е.В. Моделирование усталостного изнашивания эластомеров // Физ. мезомех. - 2018. - Т. 21. - № 6. - C. 6674. - https://doi.org/10.24411/1683-805X-2018-16010
18. Торская Е.В. Моделирование усталостного изнашивания тел с покрытиями при фрикционном на-гружении // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 1. -С. 68-74. - https://doi.org/10.24411/1683-805X-2016-00044
19. Горячева И.Г., Торская Е.В. Моделирование накопления контактно-усталостных повреждений в условиях трения качения при наличии остаточных напряжений // Трение и износ. - 2019. - Т. 40. -№ 1. - С. 44-51. - https://doi.org/10.3103/S10683666 19010057
20. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов В.С. Основы расчетов на трение и износ. - М.: Машиностроение, 1977.
21. Cooper J.R., Dowson D., Fisher J. Macroscopic and microscopic wear mechanisms in ultra-high molecular weight polyethylene // Wear. - 1993. - V. 162-164. -P. 378-384. - https://doi.org/10.1016/0043-1648C93) 90521-M
22. Панин С.В., Власов И.В., Сергеев В.П., Сунгату-лин А.Р., Калашников М.П., Полтаранин М.А., Овечкин Б.Б. Повышение усталостной долговечности стали 12Х1МФ наноструктурированием поверхности ионным пучком Zr+. Структура, свойства и характер разрушения // Физ. мезомех. -2012. - Т. 15. - № 6. - С. 93-106.
23. Alonso A., Casanueva C., Perez J., Stichel S. Modelling of rough wheel-rail contact for physical damage calculations // Wear. - 2019. - V. 436-437. - P. 202957. -https://doi.org/10.1016/j.wear.2019.202957
24. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. - М.: Наука, 1980.
25. Захаров С.М. Контактно-усталостные повреждения колес грузовых вагонов. - М.: Интекст, 2004.
26. Johnson K.L. Contact Mechanics. - Cambridge: Cambridge University Press, 1985.
27. Работнов Ю.Н. Сопротивление материалов. - М.: Физматгиз, 1962.
28. Hertz H. Über die Berührung fester elastischer Körper (On the contact of elastic solids) // J. Reine und an-gew. Math. - 1882. - V. 92. - P. 156-171.
Поступила в редакцию 18.05.2022 г., после доработки 02.07.2022 г., принята к публикации 18.07.2022 г.
Сведения об авторах
Горячева Ирина Георгиевна, д.ф.-м.н., проф., акад. РАН, зав. лаб. ИПМех РАН, goryache@iprnnet.ru Мещерякова Альмира Рифовна, мнс ИПМех РАН, mif-almira@yandex.ru
