Напряженное состояние упругих тел в условиях качения с проскальзыванием при наличии промежуточного слоя Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.622, 539.3

Напряженное состояние упругих тел в условиях качения с проскальзыванием при наличии промежуточного слоя

А.Р. Мещерякова1'2, И.Г. Горячева1'2

1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия 2 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет),

Долгопрудный, 141701, Россия

Рассмотрена контактная задача в пространственной постановке о стационарном качении с проскальзыванием упругого тела по упругому полупространству, покрытому тонким вязкоупругим слоем. Относительное проскальзывание имеет три составляющие: продольное, боковое и проскальзывание из-за верчения катящегося тела. Механическое поведение промежуточного вязкоупругого слоя описывается моделью Максвелла. В предположении, что упругие свойства тела качения и полупространства одинаковы, а податливость слоя в нормальном направлении пренебрежимо мала, для расчета нормального напряжения в области контакта используется решение Герца. Для расчета касательных контактных напряжений и анализа расположения подобластей сцепления и проскальзывания в области контакта применяется вариационный метод. Распределения контактных напряжений при разных значениях коэффициента трения скольжения, относительной скорости проскальзывания, угловой скорости верчения сферы и свойств вязкоупругого слоя использованы для анализа распределения внутренних напряжений в упругом полупространстве и определения мест концентрации максимальных касательных напряжений в подповерхностных слоях материала в зависимости от условий взаимодействия и свойств промежуточной среды. Разработанная модель может быть использована для нахождения областей зарождения усталостных трещин во взаимодействующих телах в условиях трения качения.

Ключевые слова: качение, верчение, подобласти сцепления и проскальзывания, упругое полупространство, вязкоупругий слой, внутренние напряжения

DOI 10.24411/1683-805X-2020-16006

Stress state of elastic bodies under slip-rolling contact in the presence of an intermediate layer

A.R. Meshcheryakova1,2 and I.G. Goryacheva1,2

1 Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia 2 Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University), Dolgoprudny, 141701, Russia

A contact problem of stationary slip rolling of an elastic body on an elastic half-space covered with a thin viscoelastic layer is considered in the spatial formulation. The relative slip has three components: longitudinal, lateral, and slip due to spin of the rolling body. The mechanical behavior of the intermediate viscoelastic layer is described by the Maxwell model. Under the assumption that the elastic properties of the rolling body and the half-space are the same, and the compliance of the layer in the normal direction is negligible, the normal stress in the contact area is calculated using the Hertz solution. A variational method is used to calculate the tangential contact stresses and to analyze the location of stick-slip subregions in the contact area. The contact stress distributions at different values of the sliding friction coefficient, the relative slip velocity, the angular velocity of rotation of the sphere, and the properties of the viscoelastic layer are used to analyze the distribution of internal stresses in the elastic half-space and to determine the sites of concentration of maximum tangential stresses in the subsurface layers of the material, depending on the interaction conditions and the properties of the intermediate layer. The developed model can be effective for the determination of fatigue crack initiation sites in interacting bodies under rolling friction.

Keywords: rolling, spinning, stick-slip subregions, elastic half-space, viscoelastic layer, internal stresses

© Мещерякова А.Р., Горячева И.Г., 2020

1. Введение

В условиях качения упругих тел область контакта состоит из подобластей сцепления и проскальзывания, расположение которых заранее неизвестно и зависит от скорости проскальзывания, коэффициента трения скольжения между контактирующими поверхностями, материала и геометрии поверхности контактирующих тел.

Точное решение двумерной задачи качения для тел с одинаковыми упругими постоянными получено Ф. Картером [1]. Решение задачи качения вяз-коупругого цилиндра по основанию из того же материала приведено в [2]. Моделирование контакта качения с проскальзыванием упругого цилиндра по упругому основанию, покрытому вязкоупругим слоем, проведено в [3]. Найдены расположение подобластей сцепления и проскальзывания и коэффициент трения качения для разных коэффициентов трения скольжения и параметров вязкоупругого слоя.

При качении упругих тел, изготовленных из материалов с разными упругими постоянными, касательные перемещения взаимодействующих тел не равны друг другу, что является причиной возникновения дополнительного проскальзывания в области контакта. Результаты качественного анализа качения тел с разными упругими постоянными приведены в работе О. Рейнольдса [4]. Задача качения цилиндров с разными упругими характеристиками решена численно в работе Р. Бенталла и К. Джонсона [5], где применяется кусочно-линейное представление функций нормального и касательного напряжения. Для описания трения качения жесткого диска по упругой полуплоскости А.Ю. Иш-линский использовал упрощенную модель основания в виде системы упругих стрежней, которые отклонялись в сторону и изменяли свою высоту пропорционально действующим на них силам [6]. В [7] рассмотрена задача о качении жесткой сферы по вязкоупругому слою, который моделируется телом Кельвина с ограниченной ползучестью, сцепленному с недеформируемым или упругим основанием. Решение задачи качения упругой сферы по упругому полупространству из того же материала при наличии промежуточной среды, моделируемой телом Кельвина, получено в [8] с применением метода полос [9].

Подходы, основанные на методе полос и вариационном методе, сформулированы и применены к решению конкретных задач о скольжении и качении деформируемых тел в работах Дж. Калкера [10-12]. Численное решение задачи качения упругих тел в присутствии третьего тела с помощью

модификации численного алгоритма CONTACT, основанного на теории Калкера, представлено в [13]. С помощью вариационного метода для задачи качения с круговой областью контакта получена конфигурация подобластей сцепления и проскальзывания для различных комбинаций продольного и бокового проскальзывания, а также проскальзывания из-за верчения катящегося тела [14]. Контактная задача качения упругих тел, изготовленных из одинаковых материалов, с помощью эквивалентной вариационной формулировки решена в [15]. Задача сведена к нахождению минимума функционала энергетического типа относительно касательных напряжений в области контакта с учетом граничных условий. Изучено влияние продольного и бокового проскальзывания и угловой скорости верчения на расположение подобластей сцепления и проскальзывания в области контакта. Решение задач качения в трехмерной постановке с помощью метода конечных элементов приведено в [16, 17]. Полученные решения позволяют проанализировать влияние формы и механических характеристик материалов контактирующих тел, на-грузочно-скоростных условий взаимодействия и свойств промежуточной среды на распределение контактных давлений и касательных напряжений.

Одной из причин разрушения элементов трибо-сопряжений в условиях трения качения является накопление контактно-усталостных повреждений в их поверхностных слоях. Интенсивность данного процесса определяется механическими и прочностными характеристиками материалов и распределением контактных и внутренних напряжений. В [18] проведен анализ влияния относительного проскальзывания и свойств промежуточного вязкоупругого слоя на распределение внутренних напряжений при качении упругого цилиндра по упругой полуплоскости (плоская постановка). Моделирование накопления контактно-усталостных повреждений при циклическом нагружении поверхностей взаимодействующих тел в условиях качения упругих тел в двумерной постановке проведено в [19], где для расчета касательных контактных напряжений использовалось решение Картера [1]. Изучено влияние относительного проскальзывания, коэффициента трения скольжения, величины остаточных напряжений на распределение амплитудных значений максимальных касательных напряжений. Моделирование подповерхностного разрушения при качении двух упругих тел с помощью метода конечных элементов проводилось в [20-24]. Изучено влияние коэффициента трения,

относительного проскальзывания и нагрузки на накопление контактно-усталостных повреждений в условиях трения качения.

Роль поверхностного слоя и границы раздела его с упругим полупространством с позиций физической мезомеханики изучалась в трудах В.Е. Панина, его коллег и учеников. В частности, ими показано, что в поверхностных слоях нагруженных тел возникает мезоскопический структурный уровень деформации, который определяет зарождение трещин в объеме деформируемого твердого тела [25]. Анализ влияния свойств поверхностного слоя как самостоятельной подсистемы на пластическую деформацию и разрушение нагруженного твердого тела представлен в [26, 27], где одним из ключевых параметров слоя считается его «эффективная» толщина.

В данном исследовании дается решение пространственной контактной задачи о качении упругой сферы по упругому полупространству, покрытому вязкоупругим слоем, при наличии продольного и бокового проскальзывания, а также верчения катящегося тела. На основе полученного решения исследуется совместное влияние относительных проскальзываний контактирующих поверхностей, коэффициента трения скольжения и механических характеристик промежуточного слоя на контактные характеристики и напряженное состояние упругого полупространства, в частности, на изменение с глубиной амплитудных значений максимальных касательных напряжений, ответственных за накопление поврежденности в подповерхностных слоях контактирующих тел и развитие усталостных трещин в условиях их циклического деформирования.

2. Постановка задачи

Рассмотрим стационарное качение упругой сферы по упругому полупространству, покрытому вязкоупругим слоем. На катящееся тело (ролик) действует постоянная нагрузка, продольная и боковая касательные силы и момент, вызывающий верчение движущегося тела вокруг нормали к границе полупространства в точке касания недеформиро-ванных поверхностей.

Задача рассматривается в подвижной системе координат (О, х, у, z), связанной с областью контакта. Схема контакта показана на рис. 1. При качении область контакта считается неизменной, а движение установившимся. Область контакта сферы и вязкоупругого слоя состоит из подобластей сцепления и проскальзывания, расположение которых определяется в ходе решения задачи.

Рис. 1. Схема качения сферы (1) по упругому полупространству (2), покрытому вязкоупругим слоем (3)

Предполагается, что в подобласти проскальзывания Ов выполняется закон трения Кулона-Амон-тона и направление вектора касательного напряжения т(х, у) противоположно направлению вектора скорости проскальзывания верхнего тела относительно основания s(x, у) [15]:

т(х, у) = -цр(х, у, (X, у) е О8. (1) I s( X, у )|

Здесь р(х, у) — контактные давления; ц — коэффициент трения скольжения.

При стационарном качении компоненты вектора скорости проскальзывания s(x, у) катящегося тела относительно основания определяются следующими выражениями [28]:

s(х, у) = v - V

' (х, у) дu2 (х, у) ^3 (х, у) ^

где

дх

Ч х у) =

дх

' Vх (х, у) Л Ъу(х у)

дх

+ Ш X г

(2)

VАх -ю2у +

ю ух 2 Я

V А у

-ю^х-

ю хх

Ю уу

2 Я

ю ху 2

(3)

2 Я 2 Я

и,(и,х, ы,у) (/ = 1, 2, 3) — касательные перемещения точек сферы, полупространства и слоя соответственно; ю(юх, Юу, юг) — угловая скорость верчения; Ах и Ау — величины относительного продольного и бокового проскальзывания:

А х =-

V-

ю уЯ

А у =

юхЯ

(4)

V " V где Я — радиус кривизны поверхности катящейся сферы в точке О; V — скорость качения сферы.

В подобласти сцепления Оа скорости точек верхнего тела и основания, состоящего из вязко-упругого слоя и полупространства, равны

18(X, у)|= 0, (х, у) бП,. (5)

Для касательного и нормального напряжений в подобласти Па выполняется неравенство

1 ^ У)|х У), (х У) ^па. (6)

В данной постановке предполагается, что промежуточный вязкоупругий слой не сопротивляется смятию в нормальном направлении, а его податливость в касательном направлении моделируется с помощью тела Максвелла [29], которое, как известно, обладает неограниченной ползучестью и применяется для описания механического поведения смазочных материалов в подшипниках скольжения [30, 31] и вязкоупругих свойств загущенных моторных масел [32]. В подвижной системе координат соотношение между вектором перемещений и3(х, у) слоя в касательном направлении и вектором касательных напряжений для используемой модели Максвелла имеет следующий вид:

ди3(х У)

И ( т(х, у) дт(х, у) ^

дх

(7)

¥Т дх

\ ^ у

где И — толщина вязкоупругого слоя; ЕТ и ТТ — модуль упругости и время релаксации материала слоя.

3. Метод решения

Для анализа напряженного состояния упругого полупространства сначала рассчитываются контактные нормальные и касательные напряжения с учетом сдвиговой податливости промежуточного слоя, по которым затем определяются поля внутренних напряжений в приповерхностных слоях материала и оцениваются места концентрации максимальных касательных напряжений.

3.1. Распределение контактных давлений

В силу сделанных предположений распределение контактных давлений р(х, у) может быть рассчитано на основании решения Герца [28]:

Р(х, у) = Р^1 "(х) "(у) , (х, у)е П, (8)

где р0 — максимальное значение контактного давления; а — радиус области контакта П:

3Р ( 3(1 "V) РЯ Ро =--, а =

1/3

(9)

2га2' ^ 4О Здесь О и V — модуль сдвига и коэффициент Пуассона материалов ролика и полупространства.

3.2. Метод расчета касательных контактных напряжений

Задача нахождения касательных контактных напряжений решается с помощью вариационного ме-

тода, в котором минимизируется функционал, построенный с учетом граничных условий для напряжений и перемещений в области контактного взаимодействия [15]:

ПТ, 8(Т)]

= I (мр(х, у) |8(х, у)| "(т(х, у), 8(х, у)))ахау. (10)

П

Здесь принимается во внимание существование в области контакта подобластей сцепления и проскальзывания. Доказательство эквивалентности задачи минимизации функционала (10) задаче нахождения вектор-функции контактного касательного напряжения т(х, у) в области контакта, удовлетворяющей граничным условиям (1) и (5), приведено в [15].

Для определения вектора скорости относительного проскальзывания (2) примем во внимание, что разницы касательных перемещений упругой сферы и упругого полупространства из того же материала вдоль осей Ох и Оу определяются следующими соотношениями [33]:

Щх (х, у) " "2х (х, у)

1 , 1"V 8Ш2©

кО'

Тх (х, у Ж ¿у'

1 , V 8Ш © С08 © , ,

--1-Ту(х , у )dх ¿у ,

кОЕ г 1

"1 у (X, у) " и2 у (X, у)

1 с V 8Ш © С08 © , ,

=---Тх(х , у )^х¿у

к0Е г

1 Г1" V С082 © , , , ,

--1-Ту(х , у )dх ¿У ,

кОЕ г 1

(11)

где

г = 4(х"х)2 + (у"у)2, 81П©^-^-^

С08©=х——, О = -

(12)

(13)

г 2(1 + V)

Тогда формула для расчета вектора скорости проскальзывания з(х, у) с учетом соотношений (2), (3), (7), (11) и (12) примет следующий вид: 8(х, у) = у(х, у)

- V

(

I В(х - х', у - у )т(х, у) ¿х¿у

И т(х, у) дт(х, у) Е

VTТ

дх

(14)

Здесь В(х - х', у - у') — симметричная матрица, элементы которой определяются дифференцированием соотношений (11) и (12) [15]:

г

г

B11(x - x, y - y') = -

cos Q(3v sin2 Q-1) %Gr 2

B12 (x - x', y - y') = B2i(x - x', y - y') v sin Q(1 - 3cos2 Q) nGr 2

(15)

(16)

о (х х у у) соэ0(у- 3у5Ш2 0 -1) (17)

В22(х - , у-у) =--;Т1-• (17)

Подстановка выражений (8) и (14) в функционал в правой части соотношения (10) позволяет рассматривать его зависящим только от одного функционального элемента т(х, у).

Введем безразмерные функции и параметры:

= x = y л = a = p0

x1 = , y1 = ,A = ~ n , pG = ^ ,

a a 2R G

P1( x1, y1) = ^, T1( x1, y1) = IM,

MPo

Po

s1(xl, y1) =

s(x, y) V ''

V-rayR ra R Д =-Д =

x V ' y V '

ra a raya

Wz = ^, Wy , z v y V

(18)

(19)

(20)

где а — радиус области контакта; Ах и Ау — продольное и боковое относительное проскальзывание.

Для описания характеристик промежуточного слоя используются следующие безразмерные параметры:

G,= G, H = h, Çt= ^

Ex a a

(21)

где параметр является аналогом числа Деборы.

Численное решение вариационной задачи минимизации функционала (10), представленного в безразмерных переменных и функциях, получено с помощью метода проекции градиента [15, 34]. Искомая вектор-функция касательного напряжения должна удовлетворять условию непрерывности на границе подобластей сцепления и проскальзывания.

3.3. Алгоритм расчета напряженного состояния упругого полупространства

Распределение контактных давлений (8) и рассчитанные из (10) касательные напряжения используются затем для расчета напряженного состояния упругого полупространства.

Компоненты тензора внутренних напряжений в каждой точке упругого полупространства рассчитываются по принципу суперпозиции на основании решений Буссинеска и Черрути для единич-

ной сосредоточенной силы, действующей на упругое полупространство в нормальном (Oz) и касательных (Ox и Oy) направлениях соответственно [28].

В дальнейшем компоненты тензора внутренних напряжений используются для нахождения максимальных касательных напряжений, определяемых по формуле [35]

Xmax(^ У, z) = 2 ((^ У, z) -°3(^ У, z)^ (22)

где CT;(x, y, z) (i = 1, 2, 3) — главные напряжения в точке (x, y, z), причем CT1(x, y, z) > CT2(x, y, z) > CT3(x, y, z).

4. Анализ результатов расчетов

Анализ полученной системы уравнений показывает, что распределения касательных контактных напряжений и напряженное состояние полупространства в случае качения с проскальзыванием зависят от коэффициента трения скольжения ц, упругих постоянных (v, G) материалов ролика и полупространства, продольного и бокового относительного проскальзывания Дх, Ду, угловой скорости верчения raz, скорости качения сферы V и геометрических и механических характеристик вяз-коупругого слоя h, E% и Tx.

В расчетах контактных и внутренних напряжений варьируются безразмерные параметры Дт, Ду, Wz, которые связаны с относительными скоростями продольного и бокового проскальзывания и угловой скоростью верчения raz соотношениями (20), коэффициент трения скольжения ц, параметры вязкоупругого слоя а = GH и Çx, где Gx, H и Çx определяются соотношениями (21). Заметим, что параметр Çx описывает релаксационные свойства промежуточной среды (с увеличением времени релаксации слоя растут значения параметра Çx).

Результаты расчетов сравниваются со случаем контакта качения двух упругих тел без промежуточного слоя (а = 0). Значение коэффициента Пуассона v считается постоянным: v = 0.3.

4.1. Распределение контактных касательных напряжений

Результаты расчета контактного касательного напряжения и векторного поля скоростей проскальзывания при качении сферы по полупространству, покрытому вязкоупругим слоем, при различных значениях продольного и бокового проскальзывания и угловой скорости верчения представлены на рис. 2.

Из проведенных расчетов следует, что на величину и положение областей сцепления и проскаль-

х/а х/а х/а

Рис. 2. Распределение контактного касательного напряжения (а-в) и векторное поле скоростей проскальзывания (г-е) при качении сферы по полупространству, покрытому вязкоупругим слоем, при Ах = 0.011, а = 5.75, ( = 16 и Ау = Ш? = 0 (а, г), Ду = 0.011, Ш? = 0 (б, д), Ау = 0, Ш? = 0.25 (в, е) (цветной в онлайн-версии)

зывания существенным образом влияют значения относительных проскальзываний в продольном и боковом направлении, а также наличие или отсутствие верчения. Сравнение результатов, представленных на рис. 2, а и б, показывает, что при наличии бокового относительного проскальзывания меняется направление скоростей проскальзывания, причем расположение подобластей сцепления и проскальзывания остается симметричным относительно оси у = 0, при этом возрастают максимальные значения касательных контактных напряжений и уменьшается подобласть сцепления (рис. 2, б, д). При качении с продольным проскальзыванием и верчением распределение контактного касательного напряжения и расположение подобласти сцепления несимметричны относительно оси у = 0 (рис. 2, в, е).

Зависимость распределения контактного касательного напряжения в сечении у = 0 от относительного продольного проскальзывания иллюстрируют графики на рис. 3, где пунктирные линии соответствуют случаю контакта двух упругих тел без промежуточного слоя, а сплошные — качению упругих тел при наличии слоя, характеризуемого заданными значениями параметров а и (т.

Результаты расчетов показывают, что при наличии промежуточного слоя с ростом относительного продольного проскальзывания площадь подобласти сцепления уменьшается и она смещается

к центру области контакта, а к передней границе области контакта по направлению качения ролика примыкает подобласть проскальзывания. При одинаковых значениях относительного продольного проскальзывания наличие слоя приводит к увеличению области сцепления.

Распределения контактного касательного напряжения в сечении у = 0 при различных значениях относительного бокового проскальзывания представлены на рис. 4. Результаты расчетов позволяют сделать вывод, что увеличение бокового про-

4'

, 4

/ч , X

/ \ \

и.и^-1-1-1-1-г

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 х/а

Рис. 3. Распределение контактного касательного напряжения в сечении у = 0 при качении сферы по полупространству, покрытому вязкоупругим слоем, при ц = 0.3, Ау = Wz = 0 и а = 5.75, ( = 16 (1-4): Дх = 0.006 (1, 1'), 0.011 (2, 2'), 0.016 (3, 3'), 0.021 (4, 4'); кривые 1'-4' соответствуют качению сферы по полупространству без промежуточного слоя (а = 0) (цветной в онлайн-версии)

Рис. 4. Распределение контактного касательного напряжения в сечении у = 0 при качении сферы по полупространству, покрытому вязкоупругим слоем при ц = 0.3, Д = 0.006, = 0 и а = 5.75, Ст = 16 (1-4): Ау = 0 (1, 1'), 0.006 (2, 2'), 0.011 (5, 3'), 0.021 (4, 4'), кривые 1'-4' соответствуют качению сферы по полупространству без промежуточного слоя (а = 0) (цветной в он-лайн-версии)

скальзывания, как и продольного, приводит к увеличению подобласти проскальзывания.

Наличие вязкоупругого слоя при небольших значениях продольного и поперечного проскальзываний приводит к уменьшению максимальных значений контактных касательных напряжений в области контакта по сравнению со случаем качения без слоя.

На рис. 5 приведено распределение касательного напряжения в сечении у = 0 при отсутствии бокового проскальзывания и верчения и фиксированном значении продольного проскальзывания; при расчетах варьировались значения параметров а и Ст, определяющих свойства вязкоупругого слоя.

Результаты показывают, что с увеличением параметра а площадь подобласти сцепления в области контакта сферы и основания увеличивается (кривые 2 и 3). Параметр Ст, который здесь является аналогом числа Деборы, также влияет на размер подобласти сцепления: при уменьшении значения Ст (кривые 3 и 4) размер подобласти сцепления уменьшается, причем центр подобласти сцепления смещается в направлении качения сферы. При постоянном относительном продольном проскальзывании с ростом коэффициента трения скольжения увеличивается максимальное значение касательного напряжения.

На рис. 6 представлены распределения касательного напряжения и векторное поле скоростей проскальзывания при качении сферы с продольным проскальзыванием и верчением без слоя и со слоем для разных значений параметра (20) пропорционального угловой скорости верчения сферы.

Рис. 5. Контактное касательное напряжение в сечении y = 0 при качении сферы по полупространству при Д = 0.011, Ay = Wz = 0 и ц = 0.1 (1), 0.3 (2-4), а = 5.75, С = 16 (1, 2), а = 2.86, С = 16 (5), а = 2.86, С = 8 (4), ц = 0.3, Д = 0.036, а = 0 (5) (цветной в онлайн-версии)

При наличии верчения сферы нарушается симметрия касательных контактных напряжений (рис. 6, а) и подобластей сцепления и проскальзывания (рис. 6, б) относительно оси y = 0, проходящей через центр области контакта в направлении качения сферы. Сравнение касательных напряжений (рис. 6, а) и полей скоростей проскальзывания (рис. 6, б) при отсутствии (рис. 6, а, г) и при наличии (рис. 6, б, д) промежуточного слоя позволяет заключить, что наличие слоя увеличивает подобласть сцепления и смещает ее в сторону, противоположную скорости бокового проскальзывания, при этом возникают относительные проскальзывания на набегающей части области контакта. Увеличение скорости верчения (рис. 6, б, д и г, е) приводит к уменьшению подобласти сцепления и росту максимальных значений контактных касательных напряжений.

Результаты расчета контактных касательных напряжений, полученные при наличии ненулевой угловой скорости верчения сферы для двух упругих тел (без промежуточного слоя), согласуются с результатами расчета, проведенного с использованием стандартной программы CONTACT [12].

4.2. Анализ внутренних напряжений

Полученные распределения нормального и касательного контактных напряжений были использованы для расчета внутренних напряжений в подповерхностных слоях полупространства под областью контакта согласно алгоритму, изложенному в п. 3.3.

На рис. 7 показаны изолинии максимальных касательных напряжений в сечении y = 0 упругого полупространства под катящейся сферой, построенные при наличии промежуточного слоя и раз-

х/а х/а х/а

Рис. 6. Распределение контактного касательного напряжения (а-в) и векторное поле скоростей проскальзывания (г-е) при качении сферы по полупространству, покрытому вязкоупругим слоем при ц = 0.3, Дх = 0.006, Ду = 0 и а = 0, Ш2 = 0.25 (а, г), а = 5.75, Ш2 = 0.25 (б, д), а = 5.75, Ш2 = 0.5 (в, е) (цветной в онлайн-версии)

ных значениях коэффициента трения скольжения и относительного продольного проскальзывания.

В сечении полупространства плоскостью у = 0 область контакта находится в промежутке 1 < х < 1. Результаты иллюстрируют наличие локального максимума функции максимальных касательных напряжений в сечении у = 0 на некоторой глубине под поверхностью и появление дополнительно поверхностного локального максимума исследуемой функции с ростом коэффициента трения скольжения (рис. 7, а, б, соответственно). Сравнение изолиний напряжений, представленных на рис. 7, б, в, показывает, что с ростом относительного продольного проскальзывания имеет место увеличение значений локальных максимумов максимальных касательных напряжений как под поверхностью, так и вблизи поверхности. Увеличение относительного продольного проскальзыва-

ния приводит также к смещению места концентрации максимальных касательных напряжений под поверхностью в направлении качения ролика. Изолинии максимального касательного напряжения при ц = 0.3, Дх = 0.036, показанные на рис. 7, в, соответствуют случаю полного проскальзывания, когда максимум функции максимальных касательных напряжений на поверхности превышает значение подповерхностного максимума. Результаты показывают, что величина относительного продольного проскальзывания слабо влияет на значение подповерхностного максимума функции максимальных касательных напряжений.

Наибольшие значения максимальных касательных напряжений на фиксированной глубине ?0 определяются их амплитудными значениями в сечении плоскостью ? = ?0, параллельной поверхности полупространства (22):

1.0 0.0 1.0 -1.0 0.0 1.0 -1.0 0.0 1.0

х/а х/а х/а

Рис. 7. Изолинии максимальных касательных напряжений в сечении у = 0 полупространства при Ду = Ш2 = 0, а = 5.75, (т = 16 и ц = 0.1, Дх = 0.011 (а), ц = 0.3, Дх = 0.011 (б), ц = 0.3, Дх = 0.036 (в) (цветной в онлайн-версии)

Рис. 8. Зависимость максимальных значений максимальных касательных напряжений от координаты 2 при качении сферы по полупространству без слоя (а) и при наличии вязкоупругого слоя (б) при Ду = = 0, ц = 0.3 и Д = 0.006 (2, 2', 2''), 0.011 (3, 3'), 0.036 (4) и параметрах слоя: Ст = 16, а = 5.75 (2', 3'), 2.86 (2 ''); пунктирная кривая 1 соответствует теории Герца (ц = 0) (цветной в онлайн-версии)

Vax( z0) = max

x, y

1

(Cj(x, y, Zo) -Оз(x, y, Zo))

,(23)

где ci(x,y, z), C2(x,y, z), сз(х,y, z) — главные напряжения.

На рис. 8 приведены зависимости максимальных значений максимальных касательных напряжений от безразмерного расстояния z/a от поверхности при отсутствии и наличии промежуточного вязкоупругого слоя, рассчитанные для разных значений относительного продольного проскальзывания и параметров вязкоупругого слоя.

Пунктирные кривые 1 на рис. 8 соответствуют распределению максимального касательного напряжения в случае нормального контакта упругих тел (кривая Герца). Штрихпунктирные кривые 4 соответствуют случаю полного проскальзывания (ц = 0.3), когда контактные касательные напряжения во всей области контакта определяются по закону Кулона. Зависимости максимальных значений максимальных касательных напряжений от глубины z для качения с проскальзыванием при разных значениях относительного продольного проскальзывания Ax и параметра вязкоупругого слоя а на рис. 8 представлены кривыми 2, 2', 2'' и 3, 3'. Анализ результатов показывает, что при качении с проскальзыванием с увеличением относительного

продольного проскальзывания Ах увеличивается поверхностный максимум максимальных касательных напряжений. В случае качения с проскальзыванием при коэффициенте трения скольжения ц = 0.3 и относительном продольном проскальзывании больше Ах = 0.01 значение функции максимальных касательных напряжений на поверхности больше либо равно значению подповерхностного максимума (кривые 3, 3' , 4). При наличии вязко-упругого слоя максимальные касательные напряжения вблизи поверхности уменьшаются.

Изолинии растягивающих-сжимающих напряжений Gx вблизи поверхности упругого полупространства (z/a = 0.005) при качении сферы по полупространству в отсутствие и при наличии вязко-упругого слоя, показаны на рис. 9.

Из полученных результатов следует, что при качении с проскальзыванием вблизи поверхности полупространства на задней границе области контакта (по отношению к направлению качения) имеет место концентрация растягивающих напряжений; максимум сжимающих напряжений находится ближе центру области контакта. Сравнение изолиний (рис. 9, б, в) показывает, что с увеличением параметра а, характеризующего упругие свойства материала промежуточного слоя, уменьшаются по

Рис. 9. Изолинии растягивающих-сжимающих напряжений ст вблизи поверхности упругого полупространства (у/а = 0, г/а = 0.005) при ц = 0.3, Д = 0.011, Ду = Шг = 0 и а = 0 (а), а = 2.86, Ст = 16 (б), а = 5.75, Ст = 16 (в) (цветной в онлайн-версии)

х/а х/а х/а

Рис. 10. Изолинии растягивающих-сжимающих напряжении Фх вблизи поверхности упругого полупространства (у/а = 0, ¿а = 0.005) при ц = 0.3, Ау = 0, а = 5.75, С = 16 и А. = 0.006, Шг = 0 (а), А. = 0.011, Шг = 0 (б), А. = 0.006, Шг = 0.5 (в) (цветной в онлайн-версии)

абсолютной величине значения растягивающих и сжимающих напряжений на поверхности полупространства.

Изолинии растягивающих-сжимающих напряжений ох вблизи поверхности полупространства, рассчитанные для разных значений относительного продольного проскальзывания и угловой скорости верчения, приведены на рис. 10.

Сравнение результатов расчетов показывает, что при качении ролика с верчением изолинии растягивающих-сжимающих напряжений несимметричны относительно оси у=0. С ростом относительного продольного проскальзывания (рис. 10, б) увеличиваются абсолютные значения наибольших растягивающих и сжимающих напряжений ах вблизи поверхности упругого полупространства.

5. Заключение

Проведен анализ напряженного состояния упругого полупространства в условиях трения качения упругих тел с одинаковыми упругими постоянными при наличии промежуточной вязкоупру-гой среды. Исследовано влияние относительных проскальзываний в продольном и поперечном направлениях и относительного верчения, а также коэффициента трения скольжения на расположение подобластей сцепления и проскальзывания в области контакта и места концентрации внутренних напряжений в подповерхностных слоях полупространства.

Установлено, что при больших значениях коэффициента трения скольжения ц = 0.2-0.3 функция зависимости максимальных значений максимального касательного напряжения на фиксированной глубине от поверхности контакта имеет два максимума: на поверхности и под поверхностью на глубине около половины радиуса области контакта. Добавление промежуточного слоя при заданных характеристиках продольного и поперечного проскальзываний в условиях качения ро-

лика по упругому полупространству приводит к уменьшению максимальных касательных напряжений на поверхности полупространства. Установлено, что с ростом относительного продольного проскальзывания увеличиваются абсолютные значения растягивающих и сжимающих напряжений на поверхности полупространства, при этом наличие слоя приводит к снижению пиковых значений растягивающих напряжений.

Результаты проведенных исследований показывают, что применение смазочных материалов в узлах трения качения является одним из способов снижения максимальных касательных напряжений вблизи поверхности, определяющих изнашивание поверхностей по контактно-усталостному механизму, и позволяют дать количественную оценку эффективности применения конкретных смазочных материалов при заданных условиях эксплуатации.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках проекта № 19-31-90015.

Литература

1. Carter F.W. On the action of a locomotive driving wheel // Proc. R. Soc. A. Math. Phys. Eng. Sci. -1926. - V. 112. - No. 760. - P. 151-157.

2. Горячева И.Г. Контактная задача качения вязкоуп-ругого цилиндра по основанию из того же материала // Прикладная математика и механика. - 1973. -Т. 37. - № 5. - С 925-933.

3. Goryacheva I.G., Sadeghi F. Contact characteristics of a rolling/sliding cylinder and a viscoelastic layer bonded to an elastic substrate // Wear. - 1995. - V. 184. -No. 2. - P. 125-132.

4. Reynolds O. On rolling friction // Philos. Trans. R. Soc. London. - 1875. - V. 166. - P. 155-174.

5. Bentall R.H., Johnson K.L. Slip in the rolling contact of two dissimilar elastic rollers // Int. J. Mech. Sci. Per-gamon. - 1967. - V. 9. - No. 6. - P. 389-404.

6. Ишлинский А.Ю. Трение качения // Прикладная математика и механика. - 1938. - T. 2. - № 2. -C. 245-260.

7. Мифтахова А.Р. Контактные задачи о качении с проскальзыванием для вязкоупругих тел // Трение и износ. - 2018. - T. 39. - № 1. - C. 71-79.

8. Goryacheva I.G., Miftakhova A.R. Modelling of the viscoelastic layer effect in rolling contact // Wear. -2019. - V. 430-431. - P. 256-262.

9. Haines D.J., Ollerton E. Contact stress distributions on elliptical contact surfaces subjected to radial and tangential forces // Proc. Inst. Mech. Eng. - 1963. -V. 177. - P. 95-114.

10. Kalker J.J. Simplified theory of rolling contact // Delft Prog. Rep. - 1973. - V. 1. - No. 1. - P. 1-10.

11. Kalker J.J. A fast algorithm for the simplified theory of rolling contact // Veh. Syst. Dyn. - 1982. - V. 11. -No. 1. - P. 1-13.

12. Kalker J.J. Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact. V. 66. - Springer, 1990.

13. Vollebregt E.A. Numerical modeling of measured railway creep versus creep-force curves with CONTACT // Wear. - 2014. - V. 314. - No. 1. - P. 87-95.

14. Kalker J.J. The computation of three-dimensional rolling contact with dry friction // Int. J. Numer. Methods Eng. - 1979. - V. 14. - No. 9. - P. 1293-1307.

15. Гольдштейн Р.В., Зазовский А.Ф., Спектор А.А., Фе-доренко Р.П. Решение вариационными методами пространственных контактных задач качения с проскальзыванием и сцеплением // Успехи механики. -1982. - Т. 5. - № 3/4. - С. 60-102.

16. Zhao X., Li Z. The solution of frictional wheel-rail rolling contact with a 3D transient finite element model: Validation and error analysis // Wear. - 2011. -V. 271. - No. 1-2. - P. 444-452.

17. Deng X., Qian Z., Dollevoet R. Lagrangian explicit finite element modeling for spin-rolling contact // J. Tribol. - 2015. - V. 137. - No. 4. - P. 1-11.

18. Горячева И.Г., Захаров С.М., Торская Е.В. Влияние относительного проскальзывания и свойств поверхностного слоя на напряженное состояние упругих тел при трении качения // Трение и износ. -2003. - Т. 24. - № 1. - С. 5-15.

19. Горячева И.Г., Торская Е.В. Моделирование накопления контактно-усталостных повреждений в условиях трения качения при наличии остаточных напряжений // Трение и износ. - 2019. - Т. 40. - № 1. -С. 44-51.

20. Walvekar A.A., Morris D., Golmohammadi, Sadeghi F., Correns M. A novel modeling approach to simulate rolling contact fatigue and three-dimensional spalls // J. Tribol. Am. Soc. Mech. Eng. (ASME). - 2018. -V. 140. - No 3. - P. 031101.

21. Zhao X.J., Guo L.G., Guo J., Liu Q.Y., Butini E., Mari-ni L., Meli E., Rindi A., Wang W.J. Effect of spherical

and ballast dents on rolling contact fatigue of rail materials // Wear. - 2020. - V. 450-451. - P. 203254.

22. Sakalo V., Sakalo A., Rodikov S. Computer modeling of processes of wear and accumulation of rolling contact fatigue damage in railway wheels using combined criterion // Wear. - 2019. - V. 432-433.

23. Li Y., Chen J., Wang J., Shi X., Chen L. Study on the effect of residual stresses on fatigue crack initiation in rails // Int. J. Fatigue. - 2020. - V. 139. - P. 105750.

24. Ghodrati M., Ahmadian M., Mirzaeifar R. Three-dimensional study of rolling contact fatigue using crystal plasticity and cohesive zone method // Int. J. Fatigue. -2019. - V. 128. - P. 105208.

25. ПанинВ.Е., ФоминВ.М., ТитовВ.М. Физические принципы мезомеханики поверхностных слоев и внутренних границ раздела в деформируемом твердом теле // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 2. - С. 5-14.

26. Панин В.Е. Поверхностные слои нагруженных твердых тел как мезоскопический структурный уровень деформации // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 3. -С. 5-22.

27. Панин B.E., Панин А.В. Эффект поверхностного слоя в деформируемом твердом теле // Физ. мезо-мех. - 2005. - Т. 8. - № 5. - С. 7-15.

28. Johnson K.L. Contact Mechanics. - Cambridge University Press, 1985.

29. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупруго-сти. - М.: Мир, 1974.

30. Ахвердиев К.С., Яковлев М.В., Журба И.А. Расчет радиальных подшипников с учетом сил инерции вязкоупругой смазочной композиции. // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. -2003. - № 4. - С. 4-6.

31. Ахвердиев К.С. Современное состояние гидродинамической и реодинамической теории смазки и некоторые перспективные направления в трибологии // Вестник РГУПС. - 2017. - № 1. - С. 8-18.

32. Леванов И.Г. Обзор реологических моделей моторных масел, используемых при расчетах динамики подшипников скольжения коленчатого вала // Вестник Южно-Уральского государственного университета. - 2010. - № 10. - С. 54-62.

33. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. - М.: ГИТТЛ, 1955.

34. Федоренко Р. П. Метод численного решения пространственных контактных задач качения с проскальзыванием и сцеплением. - Москва, 1979 / Препринт ИПМ № 158.

35. Работнов Ю.Н. Сопротивление материалов. - М.: Физматгиз., 1962.

Поступила в редакцию 15.11.2020 г., после доработки 15.11.2020 г., принята к публикации 22.11.2020 г.

Сведения об авторах

Мещерякова Альмира Рифовна, мнс ИПМех РАН, асп. МФТИ (НИУ), [email protected]

Горячева Ирина Георгиевна, д.ф.-м.н., проф., акад. РАН, зав. лаб. ИПМех РАН, проф. МФТИ (НИУ), [email protected]