Моделирование многомассовых механических систем электроприводов методом электрической аналогии Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 62-83 А. В. Саушев,

канд. техн. наук, доцент, СПГУВК;

В. А. Шошмин,

д-р техн. наук, профессор, СПГУВК

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМАССОВЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОПРИВОДОВ МЕТОДОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ

MODELLING OF MULTIMASS MECHANICAL SYSTEMS ELECTRIC DRIVES THE METHOD OF ELECTRIC ANALOGY

Рассматривается метод электрической аналогии, позволяющий упростить многомассовую расчетную схему механической части электропривода и получить удобные для практического применения формулы ее описания. В основе метода лежат известные и хорошо разработанные алгоритмы расчета электрических цепей.

The method of the electric analogy is considered, allowing to simplify mnogomasso-vuju the settlement scheme of a mechanical part of the electric drive and to receive formulas of its description convenient for practical application. At the heart of a method the known and well developed algorithms of calculation of electric chains lie.

Ключевые слова: моделирование, механическая система, электропривод, механическое сопротивление, расчетная схема, контурные уравнения, узловые уравнения, передаточная функция.

Key words: modelling, mechanical system, the electric drive, mechanical resistance, the settlement scheme, the planimetric equations, the central equations, transfer function.

БОЛЬШИНСТВЕ случаев механическая часть электропривода представляет собой многомассовую механическую систему, которая сводится путем преобразования к упрощенной, как правило, двухмассовой или трехмассовой системе. Для математического описания и упрощения таких систем удобно пользоваться хорошо разработанными методами анализа электрических цепей. Введем в рассмотрение понятия механического сопротивления и проводимости. Под механическим сопротивлением будем понимать отношение операторных изображений крутящего момента к угловой скорости соответствующего элемента системы

2мех{Р) = 2(Р)=^-^.

мехК ’ к } Ю(Р)

Для к-й вращающейся массы момент с учетом демпфирования определяется суммой двух моментов:

мк=мИк+м^к,

где: М , — избыточный момент; М , — мо-

ик ’ тр.к

мент вязкого трения.

В операторной форме записи мн (Р) = (Р)+ Р кЩ (р) = ^кР + Р* Н'•

Таким образом,

¿(Р)=^р+ р*.

Для упругого элемента, расположенного, например, между к-й и (к+1)-й вращающимися массами, момент также определяется суммой двух моментов:

М = М + М

1у1к,к+1 1у1<рк,к+1 ^1у11р.к,к+\,

где: Мфк к+1 — упругий момент от сил скручивания; Мтр к к+1 — момент внутреннего вязкого трения. В операторной форме записи

Мк,к+ЛР>

^к,к+1

k,k+\ '

f с kjt+l

СО,

-СО;

г+1

)+р

СО

'*+1,

+р

к,к+1

У

Таким образом,

¿ЬЫ С^)= Ск,к+l/P + Рм+1.

Механическая проводимость определяется формулой

Выпуск 4

¡Выпуск 4

1

Г„(Р)=Г(Р)=-.

Заменой р = /ю можно получить комплексные значения механического сопротивления и проводимости.

В общем случае для п вращающихся масс расчетная схема цепной механической системы привода будет иметь вид, как

М (01

показано на рис. 1. С учетом введенных понятий механических сопротивления и проводимости ей будет соответствовать структурная цепная схема, приведенная на рис. 2. Здесь роль токов играют угловые скоро -сти вращающихся масс, а роль напряжений (ЭДС) — моменты: М — электромагнитный момент электродвигателя, Мс — момент сопротивления нагрузки. Элементами

р12 I—I Р*-и

р1 Р2

Рис. 1. Расчетная схема п -массовой механической системы привода

Z2

2*

О

%к-\,к

Ч*+1

■С=Н*

^п-\,п

Рис. 2. Цепная схема механической системы привода

мс

4-

л

Л

'¿+1

Р*-1 Р к Ра+1

¿¿-1 ¿к+1

^-1 Гк

Р’

к-\

Р'*

Рис. 3. Структурные схемы преобразования «треугольник - звезда»

схемы являются операторные механические сопротивления.

Для уменьшения числа элементов и связей применяется эквивалентная замена двух инерционных элементов с общей упругой связью на инерционный элемент с двухсторонней упругой связью, и наоборот. Используя метод аналогии, получим формулы преобразования, позволяющие упростить исходную расчетную схему, которая в самом общем случае учитывает диссипацию энергии.

Получим расчетные формулы для эквивалентной замены одного инерционного элемента с двухсторонней упругой связью на два элемента с общей связью (рис. 3.). Такой переход возможен, например, при эквивалентной замене трехмассовой механической системы привода на двухмассовую.

Используя аналогию с электрическими цепями и преобразуя сопротивления Zi_1^, гкк+ь соединенные в треугольник, в эквивалентную звезду ¿к_х, ¿к+1, ¿к_и, на основании известных из теории электрических цепей формул [1] получим:

7П -¿‘к-1 _

Zjfc Zk_lk

^к-\,к +z* +z,

'к, к+1

7 -

лк+1 ~

+ Zk + Zk k+l

^к-\,к^к,к

гуП ____ к—\,кк, к +1

¿‘к-1 к ~ ~ ~ *

7 +7 +7

Складывая сопротивления (рис. 3), получим:

7' -7 +7П ■ 7' —7 +7П

к—1 л—1 A -z,/t+l л+Р

_ _ с'

7' -7я - *~u I R' •

^*-1,* — к—\,к ~ ^ Гк-\,к ’

Р

z*W*-bP+P*-i; zt = Jkp+pt;

Zi+1 - + P*+i; 1 = * lJc + Pt_i *.

p

Введем обозначения:

A(p)=Zk_lk+Zk + Zkk+V B(p)=Zk_lkZkk+x;

A(p)= c-i=ià thjn +JiP+f> + p, + p = P

_ (C*-l,* + Ck,k+1 + JkP ) + PY.P ,

P

ГДе Pr _ Pi-l,i + Pi + Pi,i+1;

m =

4-1,1

+ Pi-l,i

Lk,k+1 , R

_ Ск-\кСкМ1 +Ск-\,к$к,к+1Р + Ск,к+$>к-ХкР+$к-\,к$к,к+\Р1.

У .

к-\,к^Р' Л/ ч

_ С*-иС*,*+1 + (С*-1,*Р*,*+1 +С*,*+1Р*-1,* + Pyt-l.fr

(с*-и + с*,*+1 +Л.Р2 + ЕМ*

Перейдем к комплексной форме записи

4-1,,С/о>)=р;_и+^ =

■ • ую

_ (^к-\,кСк,к-Л Р*-1,*Г Р*,*г+1 ю )+7ю (сн,*Р*,*+1 + скм\ Р*-и ) -ХР“2+>(см,* +с№1 -л®2)

Принимая во внимание рабочие часто -ты, соотношения между реальными значениями коэффициентов жесткости, демпфирования и моментов инерции, а также отбрасывая бесконечно малые величины, окончательно получим:

Р1 _ $к-\,кСк,к+' ~'Г$кМ\Ск-\,к

к-1.

к-1,*

Ci-l,i + Ci,i+1

(СА-1 ,к + Ск,к+1

(Pi-1 + Pi + Pi-l,i ).

Или

pu =

Pi-l,iei-l,i + Pi,i+lgi,i+l + ек,к+1

(Pi-1 + Pi + Pi-l,i ) ;

Ck-l,k —

Ck-l,kCk,k+l -p p ------------------; *4-1, i ~^к-\,к T 4t,i+l.

Ct-Lt + C£,i+1

Определим значение механического сопротивления Z^:

7' _ 7 , Г7П . 17П _ ZkZk_X'k _

^k-l ~i‘k-\ i-l; ^i-l _

k-\,k

A(p) A(p)

+ P*-i,,

- Jkck~\,k + ’ + ■APi-i,i^>+P*P*-i,*;

p

zniip)=MiP}=

Ap)

Выпуск 4

¡Выпуск 4

_ Р А-l.fr + (^кСк-1,к + Р<:Р|Ъ-1д)/)~|~ ^к$к-1,кР Ск-1,к +Ск ,к+1 +^кР2 + ^Р

В комплексной форме записи

¿п (/кск-1,к + Р^Р^-ц).

С*-1,* + Ск,к+1 — •^*<В + УРе®

После преобразований, аналогичных рассмотренному выше случаю, получим следующие расчетные формулы:

Р£=Р*

С*-1Д + Ск,к+1

Р*-1 _ Р*-1 + Рйг-1 _ Р*-1 + Р*

ь*- 1Л

рм=рм+э*—=рь.1+р*¥^;

^,¿+1

С*-1,£ + С4,*+1

4-1,4

Л,£+1

_ у , у ^+1

~ к А +*'к ^

^-1,4

Определим значение механического сопротивления 2^:

7’ =7 + 7‘

4 ^*+1 ^*+1

7я . 7П - _М(р) .

к+1 А(р) А(р)

л

Я(р)=(/кР + Рк)

м±1+р V Р

к,к+1 У

Дальнейший вывод аналогичен вычислению значений р^ и Ткл.

Окончательно получим:

р;=р*+1+р,

^к,к+1

С*-1,* + С*,*+1

=р*+1+р*—=р*+1+р*^

и4-1,*

ЧЬ-1,*

/' = / + /

° к ''к-\^°к

Н,ш

Ск-\,к + Ск,к+1

-Л+1+Л

Ч-и

~^к+1 +^к I

к-1,к

^к-\,к

Таким образом, для замены одного инерционного элемента с двухсторонней упругой связью на два элемента с общей связью (например, для перехода от трехмассовой системы к двухмассовой) в общем случае нужно соблюдать соотношения:

*4

:+/

Р*

Р*:

+/

Л

Р*

Рис. 4. Структурные схемы преобразования «звезда - треугольник»

V - Т + Т •

°к-\ ^к-\ ^•'к / ’

■Л _ Лг+1 + Л: ?

4-1,4

*4-1,4

4-1,4

вк-1,к ~ вк-\,к +вк,к+1 5

Эм = Эм + Р*^-; Р;=Р.+1 + Р.^

(1)

^4-1,4

ь4-1,4

р;.и -

$к-\,кек-\,к + Р^Д+1е<:Д+1 _

вк-\,к + б4,4+1

ы!ььЧтфы + Р1 + Эы,>

(е4-1,4 + %,4+1 )

В том случае, если диссипация энергии отсутствует или ею можно пренебречь, значения коэффициентов Р^, р^, Р^_и (в отдельности или все вместе) принимаются равными нулю.

Получим расчетные формулы, позволяющие осуществить эквивалентную замену двух инерционных элементов с общей упругой связью на один инерционный элемент с двухсторонней упругой связью (рис. 4). Такой переход возможен, например, при эквивалентной замене четырехмассовой механической системы на трехмассовую. Воспользуемся аналогией с электрическими цепями и преобразуем сопротивления Zk, 2к+1, Zк к+ъ соединенные в

^ гу П

звезду, в эквивалентный треугольник ¿ъ-\£,

гуП ¿уП

^к+1,

На основании известных из теории электрических цепей формул [1] получим:

7П -7 +7 | ^^+1 .

^4+1 ^к ^ ^4+1 ^ ~ ’

^4,4+1

В этих формулах

^к ~ ^кР + Р*; ¿к+1 = Jк+l р + Р4+1.

%4+1

+ Р.

4,4+1

Ъ-*=У2к-» =

Ск,к+1 + Рк.ыР

У' -1/7'

4+1,4 +2 4+1,4 +2

С4+1,4+2 + Р4+1.4+2.Р

Операторное сопротивление 2^ будет иметь вид:

^ = Р* + Р*+1 +(Л -'-¿к+\)р +

, (Л.р+РаХЛ^ + Р^!)^.

С4,4+1 + Р*,*+1/?

Раскрывая скобки и переходя к комплексной форме записи, получим:

К С/ю) =Э* + Р*+1+7 ю (Л + Л+1)+

(Р**^*г+1 +Р*+1‘4)(0 +7®(Р^Р*+1— •^*Л+1(0 )

+7®Р

4,4+1

Принимая во внимание рабочие часто -ты, соотношения между реальными значениями коэффициентов жесткости, демпфирования и моментов инерции, а также отбрасывая бесконечно малые величины, окончательно получим

К о ) = р; + усо-/; где р;=р* + р*+1;

^1 = Л+Л+1.

Определим значение механической проводимости 1^*:

У' =7

-'4-1,4 4-1,4 т к

■П

4+1’

7" —7+7

^к—\,к

к,к+1

+ -

4,4+1 — 2*-+1 + 2* *+1 +

4 4,4+1 .

'4+1

^к+1^кк + \

Складывая проводимости (рис. 4), можно записать:

у' = у +9П

4-1,4 4-1,4 ^ -'4-1,4'

У' = У + Уя

4,4+1 4+1,4+2 т -*4,4+1’

¿4=^!=^+р4.

где

уя =____________

“к+1

"¿+1

7 7 +7 7 +7 7

7я 7

¿+1 ¿,¿+1

Подставляя вместо операторных механических сопротивлений Zk+l, ¿^+1 и Zk^+1 их значения, выраженные через физические параметры ^ ^+рСкмъ р^ Р4>4+]? а также переходя к комплексной форме записи и выделяя вещественную и мнимую составляющие, аналогично изложенному выше получим:

Р£и=Р* + Р,, г> ~п ^

к+1

к+1

к+1

¿71

Выпуск 4

¡Выпуск 4

После сложения проводимостей Икл к, Ук-\,к и преобразований получим расчетные формулы для вычисления эквивалентных коэффициентов демпфирования и податливости:

ч2

р;-и=р*-и

(Ск-Цс)

(с11 + С V ’ (сП + с V

£+1

вк-1,к ~вк-1,к +вк,к+\ т, '

''к

Значение механической проводимости ^*+1 к+2 определяется аналогичным образом.

Подставляя в формулы для вычисления искомых коэффициентов и р^ 4+1 вместо Рлмл и Р**+1 их значения, окончательно получим расчетные формулы для эквивалентной замены двух инерционных элементов на один элемент:

^к = ^к+ ^4+1 > Р* = Р* Р*+1>

е*,*+1 — е*-Ри =

+ Pt-l.it Pi.it+1 ■ Р кк\

р к + р к,1

4-1,к

*^*+1.

1 Т ’ и к

ь..

¿+1 к

Т \ ик ( т ^ е4,*г+1^*:+1

1 J ик+1 У е' 7' ^ к-\,к к у

+

\ек-\,к;

(2)

Р*+1 + Ра,а+1 *

•Л

к;

V

% ,к+1^к Г г»

+

^Д+1

/

\вк,к+1 У

| 62]

Формулы (2) используются, например, для перехода от четырехмассовой механической системы к трехмассовой.

В случае, если диссипация энергии отсутствует или ею можно пренебречь, значения коэффициентов р^ р4_,^ рм+1 в отдельности или все вместе в системе уравнений (2) принимаются равными нулю.

Эквивалентная расчетная схема является основой для математического описания механической системы привода.

Запишем уравнение движения привода для к-й вращающейся массы:

М - М = М .

дв с и

Здесь

Мдв =Мчк-\£ + ^^.к-\,к;

К =-^<,,¿,4+1 +^тр.к,к+! +МтрЛ.

Откуда:

-^ср*-1Л + ^тр.к-1,к ~^<рк,к+1 ~Мтр^к1[+1 =Jkp(aк +Мтрк;

/•

\

К-1-®*)-

К-®*+1)=(л/>+р*Н

ч у

/ \

_ £*¿+1,0

+ Р*,*+1 I Р )

Конкретизируем запись уравнений для

первой и п-й масс.

Для первой массы: к = 1, Мк1к = О,

Мтр.к-1,к = °. ,

Таким образом, получим:

М — Мп —МтрЛ2 = ^ра> 1 +МтрЛ;

откуда следует:

С \

М-

^ + р

’12 У

(ю1-ю2)=(«/1/?р1)®1-

Для п-й массы: к = п,МкЫ = 0,М кк+1 = °. Таким образом, получим:

Мф«-м +Мъ*-\> ~Мс = 'ТпР™п +^,; откуда следует:

^-+Ри-1,я ^К-1 -®„)-мс = (Лр+Р„)ч.

Используя понятия механических сопротивления и проводимости, уравнение движения для к-й массы примет вид:

Дь-и (®4-1_ ) _ 4д+1 (со* —

где ^к~^кР+\^к, ^к-1,к~Ск-1,к/Р+^к-1,к,

^к,к+1 ~ Ск,к+1 ¡Р + Р*,*+Г

Изменяя к от 1 до п, получим общую систему уравнений:

-ю2)=71ю1

■^12 (®1 ~(£>2 )— ^23 (®2 —(03 )= 22Ш2

(3)

4-i.fr (®*-1 -т*)-%+1 (®*

„ (со„ , -со, )-Мг = 2 т

п—1,п \ П — 1 71 / С П П

Структурная схема механической системы привода будет иметь вид как на рис. 5.

НЕЙ

со2

"12

м

м.

12

«ои

«02 <^1-1

м„

Чх)—*■

Мп-\,п

СОп

Рис. 5. Структурная схема п-массовой механической системы

Аналогия с электрическими цепями позволяет на основании эквивалентной расчетной схемы и соответствующей ей структурной цепной схемы п-массовой механической системы привода сразу же записать систему операторных уравнений, описывающих ее динамику.

В случае, если неизвестными величинами являются угловые скорости вращающихся масс, такая система уравнений по аналогии с методом контурных токов будет иметь следующий вид [1, 2]:

+ ¿12)<»1 - ¿иоз2 - М

—¿12щ + (¿12 + ¿2 + ¿2Л<о2 — ¿23 со3 =0 . \ / (4)

-¿п-и^п-1 + (4-1,„ +2„)юл = -мс

В приведенных уравнениях юр ю2, ..., юп — неизвестные угловые скорости, которые играют роль контурных токов.

Если неизвестными величинами являются моменты в упругих связях, удобно использовать аналогию с методом узловых потенциалов, при этом уравнения будут иметь следующий вид:

+ ^12 + ^2 ~ %М1Ъ = \М

-У2М12 + (у2 +Уа+^улв- %Мм =0

+<К-м =-?пМс Неизвестные моменты М., , ..., М ,

12’ 23’ ’ п-1,п

играют роль узловых потенциалов.

Рассмотрим еще одно применение метода электрической аналогии, которое может быть использовано для решения задач анализа механической части привода методами

ТАУ. Введем в рассмотрение понятия входного и выходного операторных механических сопротивлений. Под входным механическим сопротивлением будем понимать отношение операторных изображений момента двигателя к угловой скорости первой вращающейся массы при условии, что внешний момент сопротивления равен нулю:

2жхЛР)=2ЛР)=М{Р)!щ{Р) при М = °.

Выходное механическое сопротивление определим как

^,вых.(Р)=4ы, (Р)= Мс(Р)/ши (Р) приМ = °. Очевидно, что входная проводимость

УЛР)^К(Р>щ(Р)1М(Р) (6)

будет определять передаточную функцию по управляющему воздействию, а выходная проводимость

(Р)= ]/2_(Р)=шя (Р)/Мс (Р) (7)

будет определять передаточную функцию по возмущающему воздействию.

Численные значения (г) и (Р) можно определить по цепной механической схеме (рис. 2) по аналогии с расчетом эквивалентных входного и выходного электрических сопротивлений. Нетрудно заметить, что, например, для двухмассовой расчетной схемы формулы имеют следующий вид:

^вх (р) = (4^2 + 4^12 + ^12^2 (4 + ^12 );

4ых (^>)= (4^2 + 44г + 4г4^(4 + 4г). Щ63

Для получения передаточной функции по управляемой переменной (по угловой скорости) запишем по аналогии со вторым законом Кирхгоффа уравнение для внешнего контура структурной цепной схемы (рис. 2) при

Выпуск 4

¡Выпуск 4

= 0. В результате получим:

м=г1а1+...++¿пфп .

¿вс(р)=м(р)/щ(р)=г1+...+

+ 2й_1ю„-1/ю1+4®„/ю1.

Откуда искомая передаточная функция будет иметь вид:

»'(р)=т<(руа>, (/,)=п[(г..) -(¿«1,]. (8)

Индекс при круглых скобках означает количество звеньев механической цепной схемы, которые учитываются при вычислении входного механического сопротивления.

Полученные выражения (6)-(8) позволяют без дополнительных исследований и преобразований сразу же записать формулы для передаточных функций конкретной механической системы привода.

Таким образом, применение метода электрической аналогии позволило получить в самом общем виде формулы (1), (2) упрощения исходной расчетной схемы многомассовой механической системы электропривода и формулы (3)-(8) ее математического описания, удобные для моделирования и исследования динамики этой системы в операторной и в классической формах записи.

Список литературы

1. Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники: учебник для вузов / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 4-е изд., Т. 1. — СПб.: Питер, 2006. — 463 с.

2. Михайлов О. П. Автоматизированный электропривод станков и промышленных роботов: учебник для вузов / О. П. Михайлов. — М.: Машиностроение, 1990. — 304 с.

УДК 004.04 Н. О. Сапунов,

СПГУВК

ИНТЕГРАЦИЯ РАЗНОРОДНЫХ ИСТОЧНИКОВ ДАННЫХ ПОСРЕДСТВОМ XML WEB-СЕРВИСОВ при организации управления ТРАНСПОРТНЫМ ПРОЦЕССОМ

INTEGRATING HETEROGENEUS DATA SOURCE THROUGHT XML WEB-SERVICES FOR MANAGEMENT OF TRANSPORT PROCESS

Одной из старейших задач в области разработки информационных систем, несомненно, можно назвать интеграцию разнородных гетерогенных данных. Допустим, есть несколько гетерогенных источников данных, которые связаны на логическом уровне, и имеется задача обеспечить возможность унифицированного доступа к этим данным, как будто бы они имеют единое логическое представление.

В статье предлагается новый метод интеграции разнородных гетерогенных источников данных посредством XML Web-сервисов, основанный на операциях над деревьями и XSLT преобразованиях.

One of the oldest problems in the field of information systems development can certainly be called the integration of diverse heterogeneous data. Assume there are several heterogeneous data sources, which are related to the logical level, and there is a problem allow unified access to these data as if they have a single logical view.

The paper proposes a new method of integrating heterogeneous data source via XML Web-services based on operations over the trees and XSLT transformations.

Ключевые слова: веб-сервис, интеграция данных, xml, распределенные приложения.

Key words: web services, data integration, xml, distributed applications.