Единый подход к математическому описанию и моделированию сложных электромеханических систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62-83

Андрианов Е.Н., Саушев А.В., Троян Д.И.

ФГБОУ ВПО «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова» Санкт-Петербург, Россия

ЕДИНЫЙ ПОДХОД К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОПИСАНИЮ И МОДЕЛИРОВАНИЮ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Введение

В большинстве случаев реальные электромеханические системы (ЭМС) представляют собой сложные динамические системы, механическая часть которых состоит из вращающихся масс и содержит упругие связи. При моделировании и исследовании сложных механических систем (МС) их исходная расчетная схема обычно сводится путем преобразований и упрощений к более простой, часто двухмассовой модели. Известные формулы такого преобразования являются приближенными и не учитывают демпфирование упругих колебаний. В докладе рассматриваются методы моделирования многомассовых МС, основанные на использовании электрической аналогии. Такой подход позволил вывести уточненные формулы для расчета параметров эквивалентных расчетных схем сложных МС и получить универсальное математическое описание реальных ЭМС.

Результаты исследований

Для реализации единого подхода к моделированию электрической и механической частей ЭМС введем в рассмотрение понятия механического сопротивления и проводимости.

Под механическим сопротивлением будем понимать отношение операторных изображений крутящего момента к угловой скорости соответствующего элемента системы [1] и обозначать его буквой Z с индексом «мех» или с волнистой чертой над буквой: ZMex(p) = Z(p) = M(p)/w(p) . Механическая проводимость:

Мх (p) = y (p) = 1/Z(p) .

Выразим механические сопротивления вращающихся масс и упругих связей через физические параметры ЭМС. Для произвольной k-ой вращающейся массы момент с учетом демпфирования определяется суммой двух моментов Mk = Мик +Мтрк , где Mnk = Jkdwk/dt - избыточный момент, Mk =Р^% - момент вязкого

трения. В операторной форме записи Mk(p) = Jkpty(p) + Pk®k(p) = (Jkp + Pk)®k(p) .

Таким образом, механическое сопротивление, характеризующее k-ую вращающуюся массу, будет определяться выражением: Z%k(p) = Jkp + Pk , где Jk и Pk - соответственно приведенный момент инерции и коэффициент внутреннего вязкого трения k-ой массы.

Для упругого элемента, расположенного, например, между k-ой и (к+1)-ой вращающимися массами суммарный момент определяется выражением Mw+i = M^+i + M^+i , где M^+1 = ck,k+i (jk -jk+i) - упругий

момент от сил скручивания; M^k+i =Pkk +i (w “®k+i) - момент внутреннего вязкого трения; индексы «ф»

и «тр» характеризуют соответственно угол закручивания ф упругого элемента МС и трение в нем. В операторной форме, учитывая что ш = dj/dt , получим:

Mk,k+i(p)=ck,k+i/p(wk -wk+i)+pk,k+i (wk -%+i)=(ck,k+i/p+pkk+iЖ - wk+i).

Таким образом, механическое сопротивление, характеризующее рассматриваемый упругий элемент, будет иметь вид: Z%k k+i(p) = Ck k+i/p + Pk k+1 , где Ck k+i - коэффициент жесткости, характеризующий упругую связь между k-ой и (k+D-ой вращающимися массами; Pkk+1 - коэффициент демпфирования, определяющий потери на трение в этой упругой связи. В дальнейшем, для упрощения записи, оператор p для механических сопротивлений, проводимостей и операторных значений переменных состояния M(p) и Q (p) без необходимости писать не будем.

В общем случае для n вращающихся масс расчетная схема цепной механической системы привода будет иметь вид, как показано на рис. 1.

С учетом введенного понятия механического сопротивления этой схеме будет соответствовать структурная механическая цепная схема (рис. 2), в которой, по аналогии с электрическими цепями, токам соответствуют угловые скорости вращающихся масс, а напряжениям - моменты. При этом M и Mc соответственно электромагнитный момент двигателя и момент сопротивления рабочей машины.

Для уменьшения числа элементов и связей применяется приближенная замена двух инерционных элементов с общей упругой связью на инерционный элемент с двухсторонней упругой связью и наоборот. Используя метод аналогии, получим уточненные формулы такого преобразования, позволяющие упростить исходную расчетную схему, которая в самом общем случае учитывает диссипацию энергии [2]. Для замены одного инерционного элемента с двухсторонней упругой связью на два элемента с общей связью, т. е., при переходе, например, от трехмассовой механической системы к двухмассовой системе (рис.

3) преобразуем операторные сопротивления Z^i k , Z%k , Z%k k+i , соединенные в треугольник, в эквивалентную звезду Zk-i , Zn , Zk-i k . При этом получим:

Рис. 2. Структурная цепная механическая схема п-массовой системы привода

Z n Zk _1 - ZkZk_1,k _ VП _ ZkZk,k + 1 • ZП - Zk_1,kZk,k+1

— ~ ~ ~ ; Zk _1, k + Zk + Zk, k+1 _1, k + Zk + Zk, k + 1 ; Zk_1,k Zk _1, k + Zk + Zk, k+1

При этом Zk_1 - Zt_1 + , Z - zk+1+Z" , Zk _1, k - Z П Zk_1,k .

В результате рассмотренного преобразования из исходной расчетной схемы исключается k-я вращающаяся масса, и полученная эквивалентная расчетная схема будет содержать на одну массу меньше. При этом центральная точка звезды будет определять в механической цепной схеме точку соединения оставшихся вращающихся масс (механических сопротивлений Z'k-l и Z'k ) с преобразованными моментами инерции J'k_1 (вместо Jk_1 ) и J'k (вместо Jk+1 ) , между которыми будет находиться упругая связь (ме-

ханическое сопротивление Z'k_1k ) с преобразованными коэффициентами жесткости c'k_1k (вместо ck_1k и ck,k+1 ) и демпфирования p'k_1k (вместо pk_1k и pk,k+1 ).

Рис. 3. Структурные схемы преобразования треугольник-звезда

Введем обозначения:

А( р) = Zk _1, k + Zk + Zk,k+1 ; B( р) = Zk _1, kZk,k+1 ; D(p) = ZkZk _1, k F (p) = ZkZk,k+1 .

Подставляя в формулы механических сопротивлений физические параметры МС и учитывая, что при этом: Zk_1 = Jk_1P + Pk_1 ; ^%k = JkP + Pk ; ^%k+1 = Jk+1Р + Pk+1 , Zk_1,k = ck_1,k/p + Pk_1,k , после преобразований получим:

B(р) =(ck _1, k /р + pk _1 , k) (ck,k+1 / р + pk,k+1) =

А(р) - (ck_1,k + ck,k+1 )/Р + Jkp + pk_1,k + pk + Pk,k+1

(ck_1,kck,k+1 + ck_1,kPk,k+1p + ck,k+1pk_1 ,kp + pk_1,kpk,k+1p )/p2; D(p) -(Jkp + pk)(ck_1,Jp + pk_1,k)- Jkck_1 ,k + pkck_1,k/p + Jkpk_1,kp + pkpk_1,k ;

F (p) - (Jkp + pk) (ck, k+1 / p + pk, k+1)- Jkck, k+1 + pkck, k+1І p + Jk pk, k+1p + pk pk, k+1 .

2

_1, k ( p ) -CP-

B(p) - ck_1,kck,k+1 +(ck_1,kpk,k+1 + ck,k+1pk_1,k ) p + pk_1,kpk,k+1p

A( p) ( ck _1, k + ck, k+1) p + (pk _1, k + pk + pk, k+1) p 2 + Jkp3

Л % D(p) Q pkck_1,k + (Jkck_1,k +pkpk_1,k ) p + Jkpk_1,kp

Zk _1 (p) - ^%k _1(p)+^-- pk _1+Jk _1p+--—^^—і—ч——т;

A(p) ck _1, k+ck, k+1+(pk _1, k+pk+pk, k+1)p+Jkp

Z’t (p) - zt+1( p) + F(p) - p*+l + Jk+1 p +

A( p)

pkck, k+1 + ( Jkck, k+1 + pk pk, k+1) p + Jk pk, k+1p ck _1, k + ck, k+1 + (pk _1, k + pk + pk, k+1) p + Jkp 2

Используя замену p=jo, запишем выражения для полученных значений механических сопротивлений в комплексной форме:

Zk _1, k(jw) -

(ck _1, kck, k+1 pk _1, k pk, k+1 W) + jw( ck _1, k pk, k+1 + ck, k+1pk _1, k)

_(pk _1, k +pk +pk, k+1)W + jw( ck _1, k + ck, k+1 _ Jk W)

Zk-\Uw) - Pk-i + jwJk-i +

Pkck-1, k Jk Pk-1, kw + jw( Jkck-1, k + Pk Pk-1, k)

Zк (jw) - pk+i + jwJk+i +

ck-1, k + ck, k+1 Jk w + j (pk-1, k + pk + pk, k+1)w

Pkck,k+1 - JkPk,k+1 W + jw( Jkck, k+1 + Pk Pk, k+1 ) ck-1,k + ck,k+1 - Jk°? + j (Pk-1,k +Pk +Pk,k+1)

w

Выделяя действительную и мнимую части комплексных чисел Z'k-1k(jw) , ^^-1(jw) и Z'k(jw) ; принимая во

внимание рабочие частоты, соотношения между реальными значениями коэффициентов жесткости, демпфирования и моментов инерции; отбрасывая малые величины и переходя от жесткостей упругих связей к податливостям (e=l/c), получим:

т} Г % / "I Pk-1, kek-1, k + Pk, k+1ek, k+1 ek-1, kek, k+1 /n . n . о \ tTv ' 1 / . -Л-1

Re{Zk-1, k }- + ~ T2 (Pk-1, k +pk +pk, k+1 ) , Im {Zk-1, k }--( ek-1, k w + ek, k+1w) ;

Re {Z k-1>=Pk-1+ P, Re {^%;}-Pk+1+b

ek-1, k + ek, k+1 ek, k+1

( ek-1, k + ek, k+1 )

, Im {A,}- Jk _1+j e"'k+1

ek-1, k + ek, k+1 ek-1, k + ek, k+1

ek-1,k T Г~/1 T , _ T ek-1,k

, Im{z;}- Jk+1+wjk

L j ,.,. + w „

ek-1, k + ek, k+1 ek-1, k + ek, k+1

Учитывая, что : ZjP,k(jw)-pk-1,k - j/ek-1,kw , Z%k-1(jw)-pk-1 + jwJk-1 - ^%k(jw)-pk+1 + jwJk+1 и приравнивая действительные и мнимые части механических сопротивлений вычисленным значениям, окончательно получим следующие расчетные формулы:

Jk-1 - Jk-1 + Jk / ; Jk - Jk+1 + Jk / ’ ; ek-1,k - ek-1,k + ek,k+1; pk-1 - pk-1 + pk /

ek-1, k

ek, k+1 ,

ek-\, k

Pk -Pk+1 +Pk%yL; Pk-1,k -

ek-1, k

ek-1, k

Pk-1, kek-1, k + Pk, k+1ek, k+1 ek-1, kek, k+1

4-1,k + ek,k+1 (ek-1, k + ek, k+1)

ekk-1,k

■(Pk-1, k +Pk +Pk, k+1) •

Аналогичным образом можно вывести формулы для замены двух инерционных элементов с общей упругой связью на один инерционный элемент с двухсторонней упругой связью:

Jk - Jk+Jk+1; Pk-1,k -I Pk+P*,*+1 J- III +Pk-1

Jk+1 jl ek-1,kJk

J

Jk || ek, k+1Jk+1 !,o f ek-1, k

\-1, k

ek-1, k

; ek-1,k - ek-1,k + ek,k+1 “

A || e ,

Jk jl ek, k+1Jk

Pk-Pk +Pk+1; Pk,k+1 -1 Pk+1+Pk,k+1 J II^kJ +Pk,k+1 \%^ I ; ek, k+1 - ek+1,k+2+ek,k+1 J •

k,k+1

Jkk

Запишем уравнение движения привода для к-ой вращающейся массы Мдвк -Mk - Muk

МдвТ - M jk-1, k + MTpk-1, k , Mck - Mjk, k+1 + MTpk, k+1 + MTpk *

Подставляя вместо моментов их значения можно записать:

+ Pk-1,k j(wk-1 - wk) - \ kp+l + Pk,k+1 j(wk - wk+1) - (JkP + Pk) wk •

Переходя к механическим сопротивлениям и обобщая на случай н-массовой МС получим:

M -Z12 (w1 -w2) - j?1wl

Z12 ( wi - w2 ) - Z23 ( w2 - w3 ) - Z2 w2

Zk-1,k (wk-1 - wk ) - Zk,k+1 (wk - wk+1 ) - Zkwk

Здесь

2

2

2

Zn-1, n К-1 - wn )- Mc - Zn wn

Этой системе уравнений соответствует структурная схема (рис. 4), которую удобно использовать

при моделировании МС.

Рис. 4. Структурная схема н-массовой механической системы

Аналогия с электрическими цепями позволяет на основании эквивалентной расчетной схемы и соответствующей ей структурной цепной схемы н-массовой механической системы привода сразу же записать систему операторных уравнений, описывающих ее динамику.

В том случае, если неизвестными величинами являются угловые скорости вращающихся масс, такая система уравнений по аналогии с методом контурных токов [3] будет иметь следующий вид:

( + Z12 — 2?і2 Ю2 — M

—Z12W + (Z!2 + Z2 + Z23 )®2 — Z23®3 —0 + (Zn—1,n + Zn )Wn — —Mc

В приведенных уравнениях w , ®2 , wn - неизвестные угловые скорости, которые «играют роль»

контурных токов.

В том случае, если неизвестными величинами являются моменты в упругих связях удобно использовать аналогию с методом узловых потенциалов [3], при этом уравнения будут иметь следующий вид:

( Y + Y%2 + Y )M12 — Y2M23 — YM

. —Y2M12 +(Y%2 + Y%23 + Y )M23 — Y3M34 — 0

—y„-,m„

-1 +6—1 + Уц, + Yn)Mn.

— —YM c

Неизвестные моменты M12, M23JM34.

M

n—2,n—1

, M

n—1,n

в данной системе уравнений «играют роль» узловых

потенциалов.

Рассмотрим еще одно применение метода электрической аналогии, которое может быть использовано для решения задач анализа механической системы привода методами ТАУ. Введем в рассмотрение понятия входного и выходного операторных механических сопротивлений [1] . Под входным механическим сопротивлением будем понимать отношение операторных изображений момента двигателя к угловой скорости первой вращающейся массы при условии, что внешний момент сопротивления равен нулю.

гмех,х(р) — У (p)— M(p)/w(p) при Mc— 0 .

Выходное механическое сопротивление определим как

^ех.вых (Р) — 4,х (Р) — Мс (Р)/Wn (Р) при M — 0 .

Входная механическая проводимость 7вх (р) — 1/ ївх (Р) — ®i( p)/M (р) будет определять передаточную функцию по управляющему воздействию, а выходная механическая проводимость 7вЬК (p) — 1/ (p) — w, (Р)/М c( p) -

передаточную функцию по возмущающему воздействию. Численные значения Zвх (p) и Zвых (р) можно определить по цепной механической схеме (рис. 2) по аналогии с расчетом эквивалентных входного и выходного электрических сопротивлений. Легко видеть, что, например, для двухмассовой расчетной схемы формулы имеют следующий вид:

Zвх (p) — (Z1Z2 + Z1Z12 + Z12Z2 )/(Z2 + Z12 ) ;

^вых (p) — (Z1Z2 + Z1Z12 + Z12Z2 )/(Z1 + Z12 ) .

Для получения передаточной функции по управляемой переменной (по угловой скорости) запишем по аналогии со вторым законом Кирхгоффа [3] уравнение для внешнего контура структурной цепной схемы (рис. 2) при условии Mc — 0 . В результате получим:

М - Z1W + ... + Zn — 1ffln — 1 + Z,wn .

У ( Р) — М (Р)1 W (Р) — Z1 + к + Zn-1®n—1 / ®1 + Zn®n/ W .

Откуда искомая передаточная функция будет иметь вид:

Wm(Р) — ®n (РVW (Р) — Yn [(Zвх )n - (Zвх )n —1 ] .

Индекс при круглых скобках означает количество звеньев механической цепной схемы, которые учитываются при вычислении входного механического сопротивления.

Полученные выражения позволяют без дополнительных исследований и преобразований сразу же записать формулы для передаточных функций конкретной механической системы привода [2].

Рассмотрим применение метода электрической аналогии для разветвленной механической системы на примере двухдвигательного электропривода, расчетная схема которого приведена на рис. 7.

Рис. 7. Расчетная схема двухдвигательного электропривода Используя основное уравнение движения [1] и данную расчетную схему ческую модель разветвленной системы:

М1 Ми Мтр1 —М и1

М 2 - М 23 - М тр2 — Ми2 М13 + М 23 - М 34 - М т.3 М 34 - М с - М тр4 — М и4

— М и3

можно составить математи-

Здесь Мі и М2 - движущие электромагнитные моменты, развиваемые соответственно первым и вто-

рым электродвигателями; Ми , М23 , М34 - моменты в упругих связях; Мтрі , Мтр2 , Мтр3 , Мтр4 - реактивные моменты внутреннего вязкого трения во вращающихся массах; , Ми3 , Ми4 - избыточ-

ные моменты вращающихся масс; Мс - момент сопротивления;

Подставляя вместо внутренних упругих и реактивных моментов их значения, выраженные через механические сопротивления, получим:

Мі - Z13 (®і - ®3) — 2%i®i

М2 - Z23 (®2 - ®3 ) — ^2®2

Z13 (®1 - ®3 ) + Z23 (®2 - ®3 ) - Z34 (®3 - ®4 ) — Z3®3

Z34 (®3 - ®4 ) -Мс — ^4^4

Здесь ®1 , ®2 , ®3 , ®4 - угловые скорости вращающихся масс; Zn — (c^/p + рп) , Z23 — (c^/Р + Р23) ,

Z34 —(C34I p + Р34) - механические сопротивления упругих элементов, расположенных между вращающимися

массами; Z1 — </1 p + Р1 , Z2 — J2P + Р2 , Z3 — J3p + Р3 , Z4 — J4P + Р4 - механические сопротивления соответствующих вращающихся масс.

Используя полученную систему уравнений и метод электрической аналогии, можно составить разветвленную цепную схему двухдвигательного электропривода, которая приведена на рис. 8. В качестве примера предлагаемого подхода к математическому описанию и моделирования сложных ЭМС рассматривается электропривод механизма поворота ротора вагоноопрокидывателя, расчетная схема механической части которого представляет собой 12-массовую МС. Вагоноопрокидыватель является современной перегрузочной машиной, которая находит все более широкое применение для разгрузки сыпучих материалов в морских портах страны [4].

Рис. 8. Разветвленная цепная схема двухдвигательного электропривода

Заключение

Моделирование является важнейшим инструментом научно-технического прогресса [5, 6]. Аналогия с электрическими цепями позволяет на основании эквивалентной расчетной схемы и соответствующей ей структурной цепной схемы л-массовой МС сразу же записать систему операторных уравнений, описывающих ее динамику в виде контурных или узловых уравнений, и получить выражения для передаточных функций системы [1]. Предлагаемый подход позволяет также с единых позиций моделировать электрическую и механическую части ЭМС как в операторной форме записи, так и в пространстве состояний. При этом повышается достоверность моделирования за счет увеличения точности моделей механической части ЭМС.

ЛИТЕРАТУРА

1. Саушев А.В. Математическое описание механической системы электропривода: СПб.: СПГУВК,

2010. - 216 с.

2. Саушев А. В. Математическое описание многомассовых механических систем электропривода: Электричество. - 2013. - № 3. - С. 27 - 33.

3. Демирчян К.С., Нейман Л.П., Н.В. Коровкин Н.В. Теоретические основы электротехники: учебник для вузов. Т.1. - СПб.: Питер, 2009. - 512 с.

4. Саушев А. В., Троян Д. И. Моделирование электромеханической системы вагоноопрокидывателя Усть-Лужского речного порта. Речной транспорт (XXI век). - 2013. - №2. - С. 69 - 73.

5. Дедков В.К. Моделирование, как основа научно-технического прогресса // Труды межд. симпозиума «Надежность и качество»: в 2 т. Т. 1. - Пенза: ПГУ, 2013. - С. 19 - 22.

6. Дедков В. К. Математическое моделирование как альтернатива натурному эксперименту // Труды межд. симпозиума «Надежность и качество»: в 2 т. Т. 1. - Пенза: ПГУ, 2013. - С. 186 - 188.