signed to assist in solving preventive problems in determining the optimal strategy for managing the technical condition of weapons at the operational stage for each technical impact.
Key words: technical condition, weapons products, control strategies, operation of weapons, operating hours, failure.
Wolf Ilya Grigorievich, candidate of technical sciences, docent, head of department, ilvolf@yandex. ru, Russia, Perm, Perm Military Institute of the National Guard of the Russian Federation,
Muralev Andrey Alexandrovich, candidate of pedagogical sciences, docent, muralev-a@mail. ru, Russia, Perm, Perm Military Institute of the National Guard of the Russian Federation,
Ikhtisanov Ilnar Ildarovich, lecturer, alfione83@,mail. ru, Russia, Perm, Perm Military Institute of the National Guard of the Russian Federation
УДК 004.942
МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
В 81МШТЕСИ
Ф.С. Беклемишев, В.А. Селиванова
Описывается решение уравнений движения механической системы с использованием уравнений Гамильтона и переменных состояний в среде SimInTech. Моделирование выполняется для системы с двумя степенями свободы. Решение, полученное через блок «Переменные состояния», сравнивается с альтернативными вариантами: с использованием второго закона Ньютона и уравнений Лагранжа; блоков «Передаточная функция общего вида»; блоков библиотеки «Механика».
Ключевые слова: моделирование, механическая система, уравнения движения, переменные состояния, автоматическое управление.
В статье выводятся уравнения движения механической системы с двумя степенями свободы с использованием второго закона Ньютона. Далее эти же уравнения определяются при помощи уравнений Лагранжа второго порядка. Моделирование осуществляется с использованием среды SimInTech [1]. Для определения свойств блока «Переменные состояния» в выбранной программе используются уравнения Гамильтона, а для блока «Передаточная функция общего вида» выполняется преобразование Лапласа импульсной характеристики системы. В заключительной части выполняется моделирование исследуемой системы при помощи блоков библиотеки «Механика», которые не требуют вывода каких-либо уравнений. Полученные в виде временных графиков результаты сравниваются между собой.
Уравнения Ньютона. В этом и двух последующих разделах описано составление уравнений движения механической системы с двумя степенями свободы через уравнения Ньютона [2], уравнения Лагранжа второго порядка и уравнения Гамильтона. Перечисленные уравнения затем решаются в 81т1пТвсН путём использования различных подходов к моделированию. Полученные результаты дают информацию о перемещениях, скоростях и ускорениях отдельных элементов механической системы в виде временных графиков (функции времени). Схема исследуемой механической системы приведена на рис. 1.
Рис. 1. Механическая система с двумя степенями свободы
Рассматриваемая механическая система с двумя степенями свободы состоит из двух тел с массами т1 и т2, соединённых между собой пружиной с коэффициентом жесткости к2 и демпфером с коэффициентом демпфирования Ь2. Тело т1 соединено с неподвижным основанием пружиной с коэффициентом жесткости к1 и демпфером с коэффициентом демпфирования Ь1. Система выполняет линейное движение в направлении осей пружин и амортизаторов, массы пружин и демпферов не учитываются. Для выведения системы из состояния покоя используется гармонически изменяемая сила Г^) = Г08т(юО. Элементы системы выполняют линейное вынужденное колебательное движение. Уравнения этого движения:
Чх,=-гя- г + г,2 + г а),
2 (1)
тА =- Г - ^
где силы реакции в пружинах
Г = \ ■ хр Г = к2 ■ (- хД (2)
а демпфирующие силы
Г = Ь1 ■ Хр = Ь2 ■ (х2 - хХ1). (3)
Цель исследования: определить отклик колебательной системы в виде перемещений х1 = х^), х2 = х2(0. Для этого необходимо составить и решить системы дифференциальных уравнений. Для механической системы с двумя степенями свободы такая система дифференциальных уравнений представляет собой неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнения Лагранжа. Далее определим уравнения движения вышеупомянутой системы при помощи уравнения Лагранжа второго порядка [2]. Для этого необходимо определить кинетическую и потенциальную
173
энергию системы, а также диссипативную функцию Рэлея. Если принять обобщенные координаты как ¡1 = х1, ¡2 = х2, а обобщенные скорости как ¡¡1 = Хр ¡2 = Х2, то кинетическая энергия системы
потенциальная энергия
Е = 1 • ^ + 1 • 2
к 2 11 2 22у
Ер = 2 к-1Х! + 2 к2(Х2 Х1) ,
диссипативная функция Рэлея
обобщённые силы
Б =1ЪХ +1Ы (Х0 - х )2, 2 1 1 2 2 2 1
С = Р (Т), Я = 0.
(4)
(5)
(6)
(7)
Раскрыв скобки для формулы потенциальной энергии системы (5) и диссипативной функции Рэлея (6), получим:
1
1
1
1
1
-Ер — Х-^ I ^2 (Х2 Хц) — Х-^ I ^2 ^2 Х^Х2 I ^2 Х^ , 2 2 2 2 2
(8)
1
1
1
1
1
Б = 2 Ъ1 Х1 + 2 Ъ2(хХ2 Х1) = 2 Ъ1 хХ1 + 2 Ъ2ХХ2 Ъ2Х1Х2 + 2 Ъ2Х1 ' (9) Уравнения Лагранжа второго порядка для рассматриваемой системы (рис. 1) с учётом обобщённых координат имеют вид
а
ЭЕ,
ЭЕ,
дЕ' дБ+С ,
дхх1 У дхх дхх ЭХх
ОТ
дЕ
V дХ2 У
Э^=-ЭЕр-ЭБ+с
дХ2 дХ2 ЭхХ2
(10)
После подстановки частных производных получаем уравнения движения в виде
ы.* + ы
к.
к^
1
Х^ — Х^ I (х^ ) х~1 I (Х2 Х~1 ) I Р (Т),
т.
т.
т.
шл
тл
К
к
(11)
Х2 = (Х2 хХ1) (Х2 - Хх).
т
т
Уравнения (11) образуют неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
На рис. 2 представлен вид схемы модели, реализующей решение уравнений Ньютона (Лагранжа), на рис. 3, а, б, в, приведены результаты этого решения (моделирования).
У1.»'Ч
ч±ы±ь
в-ш-
1/Ш1 -7.14286
х2
Т -Ь2/т2
1
-к1/т1 ■0.142857
-Ы/т1 о.714геб
Ь2/ш1
3.57143
Г&—
У2.ед д2_ед
Рис. 2. Схема модели, реализующей решение уравнений Ньютона
(Лагранжа) в ЗтТпТвск
Зависимости ускорений тел системы от времени
а
б
в
Рис. 3. Результаты моделирования: а - изменение ускорения тел; б - изменение скорости тел; в - изменение перемещения тел
175
Для удобства заполнения свойств блоков, размещённых на схемном окне, используется скрипт проекта:
т1 = 70; // масса первого тела, кг т2 = 140; // масса второго тела, кг
к1 = 500; // коэффициент жесткости пружины между основанием и первым телом, Н/м
к2 = 250; // коэффициент жесткости пружины между первым и вторым телом, Н/м
Ь1 = 10; // коэффициент демпфирования демпфера между основанием и первым телом, Н*с/м
Ь2 = 50; // коэффициент демпфирования демпфера между первым и вторым телом, Н*с/м
Б0 = 100; // амплитуда гармонически изменяющейся силы, Н ш = 2; // фаза гармонически изменяющейся силы, рад/с х0 = 0; // начальные перемещения тел, м У0 = 0; // начальные скорости тел, м/с
Уравнения Гамильтона. Функция Гамильтона И = Н(д, р) представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий:
Н = Ек I Ер . (12)
Данная функция может быть использована для определения уравнения движения механической системы с двумя степенями свободы. Она может быть представлена в следующем виде:
тт 1 -2 1 -2 1/2 1/ 2
И1 — хц i i кххх i к2х2
Уравнения Гамильтона имеют вид [2]
Эх, эн
к 1 к 2
к2ХцХ2 I к2Хц .
Ърг
Эт Эр' ЭН
Эт Эх,
I а I б.
(13)
(14)
(15)
Переменными состояниями рассматриваемой системы (рис. 1) являются перемещения х1 и х2, а также импульсы р1 и р2. В таком случае формула для определения кинетической энергии, выраженная через импульс, будет
Е„
потенциальная энергия
1
■2
1
-тх I — т
2 г г 2 г
2
р±
V т у
рг 2т.
Е
рг
■ к:Х: ,
2 г г
диссипативная функция Рэлея
=1 ЪгХг2.
г 2 г г
(16)
(17)
Обобщённая линейная сила для демпфирования за счёт вязкого трения выражается через частную производную диссипативной функции Рэлея
а_, I_1,2, (19)
обобщённые силы
эх.
Яы _ Г (*), бы _ 0.
Уравнения механической системы получены в следующем виде:
Эх^) _ дН
д Эр' Эх2^) _ дН
dp.it) _ дН
Эp2(t) дt
дхг дН
дРг + 61 + б,.
Эх0
+ б2 + бы.
(20)
(21) (22)
(23)
(24)
Уравнения (21) - (24) в матричной форме:
Вектор состояний
бхх(1)
бх2^) х^)
_ А ■ x2(t)
брх^ ) Р()
бл Р^)
бр2 (t)
б1
+ В ■
Г ^)" 0
(25)
X _ [х^), х2^), р^), р2^)]Т
(26)
Уравнение в матричной форме (25) в случае выражения импульса через формулу р1 = т1^, / = 1, 2 принимает вид
Вектор состояний
бхх (t)
бt
бх2 ^ ) х^)
бt _ А ■ х2^)
) ^)
бt V2(t)
бУ2^)
бt
+ В ■
Г ^) 0
(27)
X _ [х(), х2^), У(), У2(1)]Т 177
Таким образом, определены уравнения переменных состояний механической системы с двумя степенями свободы для перемещений х1, х2 и скоростей У\, У2 соответствующих объектам с массами ш\, т2.
Уравнения переменных состояний в 81т1пТвеН. В технике автоматического управления переменные состояния представляют собой математическую модель физической системы в виде набора входных, выходных и статических переменных, связанных дифференциальными уравнениями первого порядка. Чтобы не отвлекаться на количества входов, выходов и состояний, переменные выражаются в виде векторов. Кроме того, если динамическая система линейна и инвариантна по времени, то дифференциальные и алгебраические уравнения могут быть записаны в матричном виде. Представление системы в виде переменных состояний обеспечивает удобный и компактный способ моделирования и анализа систем с несколькими входами и выходами. В отличие от подхода в частотной области, использование переменных состояний не ограничивается системами с линейными компонентами и нулевыми начальными условиями.
Наиболее общее представление переменных состояний линейной системы с и-входами, ^-выходами и и-переменными состояния имеет вид, представленный на рис. 4.
Рис. 4. Схематичное представление переменных состояний линейной
системы
(29)
Описание многомерной линейной динамической системы в матричной форме имеет вид [3]
'X(^) = А ■ х(Г) + В ■ и Ц),
У (г) = с ■ х 0) + Б ■ и 0), где А, В, С, Б - матрицы: системы, входа, выхода и обхода, соответственно; х(1) - вектор переменных состояния (размерностью [Лх]); и^) - вектор входа (размерностью [Ли]); у(?) - вектор выхода, (размерностью [Лу]).
Получаем
Хх х1
х2 = А ■ х2
V VI
V _ V _
+ В ■
0
(30)
у=С•
Хл
Хгу
V, V
+в ■
г 0
(31)
Матрицы А, В, С, В определяются следующим образом:
А-
0 0
_ (к + к2)
т1
к2 _ _ т2
"1 0 0 0"
0 1 0 0_ Вектор входа и({ равновесия:
0 0
к
1 0
(Ъ + Ъ2)
С
т1 т1
к2 к
т2 т2
"0 0"
, в =
0 0
) представлен
0 0 0
1 0 0
к т1 , В = 1 т1 0
Ъ2 0 1
т2 _ т2
(32)
представлен силами, выводящими систему из
и (г) =
г (г) 0
(33)
Вектор выхода у(0 представлен перемещениями х1(г) и х2(0:
х,(г)
1 0 0 ' 0 10 0
У(г) =
х2(г) УХЦ)
у2а)
(34)
На рис. 5 представлен вид схемы модели, реализующей решение при помощи блока «Переменные состояния», на рис. 6 приведены результаты моделирования.
V5-
х=Ах+Ви у=Сх+Ои
'АЧл
Рис. 5. Схема модели, реализующей решение при помощи блока
«Переменные состояния»
Для удобства заполнения свойств блоков, размещённых на схемном окне, в дополнении к командам, приведённым в разделе «Уравнения Ла-гранжа», скрипт проекта дополняется следующими записями ^гашр -функция транспонирования матрицы [3]):
А = 1гашр([[0 , 0 , 1 , 0];[0 , 0 , 0 , 1];[-(к1+к2)/т1 , к2/т1 , -(Ъ1+Ъ2)/ш1 , Ъ2/т1];[к2/т2 , -к2/т2 , Ь2/т2 , -Ь2/т2]]); // матрица системы
179
В = 1гашр([[0 , 0];[0 , 0];[1/т1 , 0];[0 , 1/т2]]); // матрица входа С = 1гашр([[1 , 0 , 0 , 0];[0 , 1 , 0 , 0]]); // матрица выхода Б = 1гашр([[0 , 0];[0 , 0]]); // матрица обхода у0 = [х0 , х0 , У0 , У0]; // начальные условия
Зависимости перемещений тел системы от времени
Время Г, с
*1 =*1(|)
х2 = х2([)
Рис. 6. Результаты моделирования: изменение перемещения тел
Модель с использованием блоков «Передаточная функция общего вида» Если применить преобразования Лапласа к уравнениям (29), а затем выразить их операторный коэффициент передачи Ж^), то получается следующее выражение [4]:
(35)
W(s) = C(sl - A)_1B + D, где I - единичная матрица (размерностью [NxxNx]).
В результате расчётов получаем передаточные функции для определения перемещений х1 = x\(t), х2 = x2(t):
= ms* + bs + ki, (36)
dem( s)
где dem(s) = m1m2s4 + (b\m2 + b2m\ + b2m2)si + (k\m2 + k2m\ + k2m2 + b\b2)s2 + + (bk + b2ki)s + kik2.
W2(s) = . (37)
dem(s)
На рис. 7 представлен вид схемы модели, реализующей решение при помощи блоков «Передаточная функция общего вида», на рис. 8 приведены результаты моделирования.
W2(s]
Рис. 7. Схема модели, реализующей решение при помощи блока «Передаточная функция общего вида»
Скрипт дополняется следующими записями:
num1 = [[k2 , b2 , m2]]; // числитель первой передаточной функции num2 = [[k2 , b2]]; // числитель второй передаточной функции dem = [[k1*k2 , b1*k2+b2*k1, k1*m2+k2*m1+k2*m2+b1*b2, b1*m2+b2*m1+b2*m2 , m1*m2]]; // знаменатель передаточных функций
Зависимости перемещений тел системы от времени
Время t, с
Рис. 8. Результаты моделирования: изменение перемещения тел
Модель с использованием блоков библиотеки «Механика»
Данная модель не требует вывода каких-либо уравнений, а только корректного повторения при помощи блоков библиотеки «Механики» [3] схемы, представленной на рис. 1. На рис. 9 представлен вид схемы модели.
т1=70
т2=140
х1_т ->
\2_rn -►
VI т
м
Рис. 9. Схема модели, реализующей решение при помощи блоков
библиотеки «Механика»
На рис. 10, а, б показаны результаты моделирования.
а б
Рис. 10. Результаты моделирования: а - изменение скорости тел;
б - изменение перемещения тел
Выводы. В статье описывается процесс составления уравнений движения механической системы с двумя степенями свободы в среде 81ш1пТвсН с использованием различных подходов и инструментов их реализации. Полученные результаты моделирования сравнены между собой и продемонстрированы в виде графиков.
Вклад от этой работы, в первую очередь, образовательный, особенно в области прикладной механики и мехатроники. Представленный подход даёт возможность моделировать простые уравнения движения механической системы в среде 81ш1пТееЬ.
Список литературы
1. Карташов Б. А., Шабаев Е.А., Козлов О.С., Щекатуров А.М. Среда динамического моделирования технических систем SimlnTech: Практикум по моделированию систем автоматического регулирования: учебное пособие. М.: ДМК Пресс, 2017. 424 с.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учебное пособие: для ВУЗов. Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. Т. I. 224 с.
3. Справочная система SimlnTech [Электронный ресурс]. URL: http://help.simintech.ru/ (дата обращения: 31.03.2020).
4. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: учебное пособие. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 768 с.
Беклемищев Филипп Сергеевич, ассистент, philipsmsk@,gmail. com, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),
Селиванова Вера Алексеевна, студентка, verhaqwertyagmail. com, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
SIMULATION OF A MECHANICAL SYSTEM USING VARIABLE STATES
IN SIMINTECH
F.S. Beklemishchev, V.A. Selivanova
The article describes the solution of the equations of motion of a mechanical system using the Hamilton equations and variable states in a SimInTech software suite. Modeling is performedfor a system with two degrees of freedom. The solution obtained through the «State variables» block is compared with alternative options: using Newton's second law and Lagrange equations; blocks «General form of a Transfer function»; blocks of the library «Mechanics».
Key words: modeling, mechanical system, equations of motion, state variables, automatic control.
Beklemishchev Filipp Sergeevich, assistant, philipsmsk@,gmail. com, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),
Selivanova Vera Alekseevna, student, verbaqwerty@gmail. com, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)