МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЙ В SIMINTECH Текст научной статьи по специальности «Математика»

signed to assist in solving preventive problems in determining the optimal strategy for managing the technical condition of weapons at the operational stage for each technical impact.

Key words: technical condition, weapons products, control strategies, operation of weapons, operating hours, failure.

Wolf Ilya Grigorievich, candidate of technical sciences, docent, head of department, ilvolf@yandex. ru, Russia, Perm, Perm Military Institute of the National Guard of the Russian Federation,

Muralev Andrey Alexandrovich, candidate of pedagogical sciences, docent, muralev-a@mail. ru, Russia, Perm, Perm Military Institute of the National Guard of the Russian Federation,

Ikhtisanov Ilnar Ildarovich, lecturer, alfione83@,mail. ru, Russia, Perm, Perm Military Institute of the National Guard of the Russian Federation

УДК 004.942

МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЙ

В 81МШТЕСИ

Ф.С. Беклемишев, В.А. Селиванова

Описывается решение уравнений движения механической системы с использованием уравнений Гамильтона и переменных состояний в среде SimInTech. Моделирование выполняется для системы с двумя степенями свободы. Решение, полученное через блок «Переменные состояния», сравнивается с альтернативными вариантами: с использованием второго закона Ньютона и уравнений Лагранжа; блоков «Передаточная функция общего вида»; блоков библиотеки «Механика».

Ключевые слова: моделирование, механическая система, уравнения движения, переменные состояния, автоматическое управление.

В статье выводятся уравнения движения механической системы с двумя степенями свободы с использованием второго закона Ньютона. Далее эти же уравнения определяются при помощи уравнений Лагранжа второго порядка. Моделирование осуществляется с использованием среды SimInTech [1]. Для определения свойств блока «Переменные состояния» в выбранной программе используются уравнения Гамильтона, а для блока «Передаточная функция общего вида» выполняется преобразование Лапласа импульсной характеристики системы. В заключительной части выполняется моделирование исследуемой системы при помощи блоков библиотеки «Механика», которые не требуют вывода каких-либо уравнений. Полученные в виде временных графиков результаты сравниваются между собой.

Уравнения Ньютона. В этом и двух последующих разделах описано составление уравнений движения механической системы с двумя степенями свободы через уравнения Ньютона [2], уравнения Лагранжа второго порядка и уравнения Гамильтона. Перечисленные уравнения затем решаются в 81т1пТвсН путём использования различных подходов к моделированию. Полученные результаты дают информацию о перемещениях, скоростях и ускорениях отдельных элементов механической системы в виде временных графиков (функции времени). Схема исследуемой механической системы приведена на рис. 1.

Рис. 1. Механическая система с двумя степенями свободы

Рассматриваемая механическая система с двумя степенями свободы состоит из двух тел с массами т1 и т2, соединённых между собой пружиной с коэффициентом жесткости к2 и демпфером с коэффициентом демпфирования Ь2. Тело т1 соединено с неподвижным основанием пружиной с коэффициентом жесткости к1 и демпфером с коэффициентом демпфирования Ь1. Система выполняет линейное движение в направлении осей пружин и амортизаторов, массы пружин и демпферов не учитываются. Для выведения системы из состояния покоя используется гармонически изменяемая сила Г^) = Г08т(юО. Элементы системы выполняют линейное вынужденное колебательное движение. Уравнения этого движения:

Чх,=-гя- г + г,2 + г а),

2 (1)

тА =- Г - ^

где силы реакции в пружинах

Г = \ ■ хр Г = к2 ■ (- хД (2)

а демпфирующие силы

Г = Ь1 ■ Хр = Ь2 ■ (х2 - хХ1). (3)

Цель исследования: определить отклик колебательной системы в виде перемещений х1 = х^), х2 = х2(0. Для этого необходимо составить и решить системы дифференциальных уравнений. Для механической системы с двумя степенями свободы такая система дифференциальных уравнений представляет собой неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнения Лагранжа. Далее определим уравнения движения вышеупомянутой системы при помощи уравнения Лагранжа второго порядка [2]. Для этого необходимо определить кинетическую и потенциальную

173

энергию системы, а также диссипативную функцию Рэлея. Если принять обобщенные координаты как ¡1 = х1, ¡2 = х2, а обобщенные скорости как ¡¡1 = Хр ¡2 = Х2, то кинетическая энергия системы

потенциальная энергия

Е = 1 • ^ + 1 • 2

к 2 11 2 22у

Ер = 2 к-1Х! + 2 к2(Х2 Х1) ,

диссипативная функция Рэлея

обобщённые силы

Б =1ЪХ +1Ы (Х0 - х )2, 2 1 1 2 2 2 1

С = Р (Т), Я = 0.

(4)

(5)

(6)

(7)

Раскрыв скобки для формулы потенциальной энергии системы (5) и диссипативной функции Рэлея (6), получим:

1

1

1

1

1

-Ер — Х-^ I ^2 (Х2 Хц) — Х-^ I ^2 ^2 Х^Х2 I ^2 Х^ , 2 2 2 2 2

(8)

1

1

1

1

1

Б = 2 Ъ1 Х1 + 2 Ъ2(хХ2 Х1) = 2 Ъ1 хХ1 + 2 Ъ2ХХ2 Ъ2Х1Х2 + 2 Ъ2Х1 ' (9) Уравнения Лагранжа второго порядка для рассматриваемой системы (рис. 1) с учётом обобщённых координат имеют вид

а

ЭЕ,

ЭЕ,

дЕ' дБ+С ,

дхх1 У дхх дхх ЭХх

ОТ

дЕ

V дХ2 У

Э^=-ЭЕр-ЭБ+с

дХ2 дХ2 ЭхХ2

(10)

После подстановки частных производных получаем уравнения движения в виде

ы.* + ы

к.

к^

1

Х^ — Х^ I (х^ ) х~1 I (Х2 Х~1 ) I Р (Т),

т.

т.

т.

шл

тл

К

к

(11)

Х2 = (Х2 хХ1) (Х2 - Хх).

т

т

Уравнения (11) образуют неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

На рис. 2 представлен вид схемы модели, реализующей решение уравнений Ньютона (Лагранжа), на рис. 3, а, б, в, приведены результаты этого решения (моделирования).

У1.»'Ч

ч±ы±ь

в-ш-

1/Ш1 -7.14286

х2

Т -Ь2/т2

1

-к1/т1 ■0.142857

-Ы/т1 о.714геб

Ь2/ш1

3.57143

Г&—

У2.ед д2_ед

Рис. 2. Схема модели, реализующей решение уравнений Ньютона

(Лагранжа) в ЗтТпТвск

Зависимости ускорений тел системы от времени

а

б

в

Рис. 3. Результаты моделирования: а - изменение ускорения тел; б - изменение скорости тел; в - изменение перемещения тел

175

Для удобства заполнения свойств блоков, размещённых на схемном окне, используется скрипт проекта:

т1 = 70; // масса первого тела, кг т2 = 140; // масса второго тела, кг

к1 = 500; // коэффициент жесткости пружины между основанием и первым телом, Н/м

к2 = 250; // коэффициент жесткости пружины между первым и вторым телом, Н/м

Ь1 = 10; // коэффициент демпфирования демпфера между основанием и первым телом, Н*с/м

Ь2 = 50; // коэффициент демпфирования демпфера между первым и вторым телом, Н*с/м

Б0 = 100; // амплитуда гармонически изменяющейся силы, Н ш = 2; // фаза гармонически изменяющейся силы, рад/с х0 = 0; // начальные перемещения тел, м У0 = 0; // начальные скорости тел, м/с

Уравнения Гамильтона. Функция Гамильтона И = Н(д, р) представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий:

Н = Ек I Ер . (12)

Данная функция может быть использована для определения уравнения движения механической системы с двумя степенями свободы. Она может быть представлена в следующем виде:

тт 1 -2 1 -2 1/2 1/ 2

И1 — хц i i кххх i к2х2

Уравнения Гамильтона имеют вид [2]

Эх, эн

к 1 к 2

к2ХцХ2 I к2Хц .

Ърг

Эт Эр' ЭН

Эт Эх,

I а I б.

(13)

(14)

(15)

Переменными состояниями рассматриваемой системы (рис. 1) являются перемещения х1 и х2, а также импульсы р1 и р2. В таком случае формула для определения кинетической энергии, выраженная через импульс, будет

Е„

потенциальная энергия

1

■2

1

-тх I — т

2 г г 2 г

2

р±

V т у

рг 2т.

Е

рг

■ к:Х: ,

2 г г

диссипативная функция Рэлея

=1 ЪгХг2.

г 2 г г

(16)

(17)

Обобщённая линейная сила для демпфирования за счёт вязкого трения выражается через частную производную диссипативной функции Рэлея

а_, I_1,2, (19)

обобщённые силы

эх.

Яы _ Г (*), бы _ 0.

Уравнения механической системы получены в следующем виде:

Эх^) _ дН

д Эр' Эх2^) _ дН

dp.it) _ дН

Эp2(t) дt

дхг дН

дРг + 61 + б,.

Эх0

+ б2 + бы.

(20)

(21) (22)

(23)

(24)

Уравнения (21) - (24) в матричной форме:

Вектор состояний

бхх(1)

бх2^) х^)

_ А ■ x2(t)

брх^ ) Р()

бл Р^)

бр2 (t)

б1

+ В ■

Г ^)" 0

(25)

X _ [х^), х2^), р^), р2^)]Т

(26)

Уравнение в матричной форме (25) в случае выражения импульса через формулу р1 = т1^, / = 1, 2 принимает вид

Вектор состояний

бхх (t)

бt

бх2 ^ ) х^)

бt _ А ■ х2^)

) ^)

бt V2(t)

бУ2^)

бt

+ В ■

Г ^) 0

(27)

X _ [х(), х2^), У(), У2(1)]Т 177

Таким образом, определены уравнения переменных состояний механической системы с двумя степенями свободы для перемещений х1, х2 и скоростей У\, У2 соответствующих объектам с массами ш\, т2.

Уравнения переменных состояний в 81т1пТвеН. В технике автоматического управления переменные состояния представляют собой математическую модель физической системы в виде набора входных, выходных и статических переменных, связанных дифференциальными уравнениями первого порядка. Чтобы не отвлекаться на количества входов, выходов и состояний, переменные выражаются в виде векторов. Кроме того, если динамическая система линейна и инвариантна по времени, то дифференциальные и алгебраические уравнения могут быть записаны в матричном виде. Представление системы в виде переменных состояний обеспечивает удобный и компактный способ моделирования и анализа систем с несколькими входами и выходами. В отличие от подхода в частотной области, использование переменных состояний не ограничивается системами с линейными компонентами и нулевыми начальными условиями.

Наиболее общее представление переменных состояний линейной системы с и-входами, ^-выходами и и-переменными состояния имеет вид, представленный на рис. 4.

Рис. 4. Схематичное представление переменных состояний линейной

системы

(29)

Описание многомерной линейной динамической системы в матричной форме имеет вид [3]

'X(^) = А ■ х(Г) + В ■ и Ц),

У (г) = с ■ х 0) + Б ■ и 0), где А, В, С, Б - матрицы: системы, входа, выхода и обхода, соответственно; х(1) - вектор переменных состояния (размерностью [Лх]); и^) - вектор входа (размерностью [Ли]); у(?) - вектор выхода, (размерностью [Лу]).

Получаем

Хх х1

х2 = А ■ х2

V VI

V _ V _

+ В ■

0

(30)

у=С•

Хл

Хгу

V, V

+в ■

г 0

(31)

Матрицы А, В, С, В определяются следующим образом:

А-

0 0

_ (к + к2)

т1

к2 _ _ т2

"1 0 0 0"

0 1 0 0_ Вектор входа и({ равновесия:

0 0

к

1 0

(Ъ + Ъ2)

С

т1 т1

к2 к

т2 т2

"0 0"

, в =

0 0

) представлен

0 0 0

1 0 0

к т1 , В = 1 т1 0

Ъ2 0 1

т2 _ т2

(32)

представлен силами, выводящими систему из

и (г) =

г (г) 0

(33)

Вектор выхода у(0 представлен перемещениями х1(г) и х2(0:

х,(г)

1 0 0 ' 0 10 0

У(г) =

х2(г) УХЦ)

у2а)

(34)

На рис. 5 представлен вид схемы модели, реализующей решение при помощи блока «Переменные состояния», на рис. 6 приведены результаты моделирования.

V5-

х=Ах+Ви у=Сх+Ои

'АЧл

Рис. 5. Схема модели, реализующей решение при помощи блока

«Переменные состояния»

Для удобства заполнения свойств блоков, размещённых на схемном окне, в дополнении к командам, приведённым в разделе «Уравнения Ла-гранжа», скрипт проекта дополняется следующими записями ^гашр -функция транспонирования матрицы [3]):

А = 1гашр([[0 , 0 , 1 , 0];[0 , 0 , 0 , 1];[-(к1+к2)/т1 , к2/т1 , -(Ъ1+Ъ2)/ш1 , Ъ2/т1];[к2/т2 , -к2/т2 , Ь2/т2 , -Ь2/т2]]); // матрица системы

179

В = 1гашр([[0 , 0];[0 , 0];[1/т1 , 0];[0 , 1/т2]]); // матрица входа С = 1гашр([[1 , 0 , 0 , 0];[0 , 1 , 0 , 0]]); // матрица выхода Б = 1гашр([[0 , 0];[0 , 0]]); // матрица обхода у0 = [х0 , х0 , У0 , У0]; // начальные условия

Зависимости перемещений тел системы от времени

Время Г, с

*1 =*1(|)

х2 = х2([)

Рис. 6. Результаты моделирования: изменение перемещения тел

Модель с использованием блоков «Передаточная функция общего вида» Если применить преобразования Лапласа к уравнениям (29), а затем выразить их операторный коэффициент передачи Ж^), то получается следующее выражение [4]:

(35)

W(s) = C(sl - A)_1B + D, где I - единичная матрица (размерностью [NxxNx]).

В результате расчётов получаем передаточные функции для определения перемещений х1 = x\(t), х2 = x2(t):

= ms* + bs + ki, (36)

dem( s)

где dem(s) = m1m2s4 + (b\m2 + b2m\ + b2m2)si + (k\m2 + k2m\ + k2m2 + b\b2)s2 + + (bk + b2ki)s + kik2.

W2(s) = . (37)

dem(s)

На рис. 7 представлен вид схемы модели, реализующей решение при помощи блоков «Передаточная функция общего вида», на рис. 8 приведены результаты моделирования.

W2(s]

Рис. 7. Схема модели, реализующей решение при помощи блока «Передаточная функция общего вида»

Скрипт дополняется следующими записями:

num1 = [[k2 , b2 , m2]]; // числитель первой передаточной функции num2 = [[k2 , b2]]; // числитель второй передаточной функции dem = [[k1*k2 , b1*k2+b2*k1, k1*m2+k2*m1+k2*m2+b1*b2, b1*m2+b2*m1+b2*m2 , m1*m2]]; // знаменатель передаточных функций

Зависимости перемещений тел системы от времени

Время t, с

Рис. 8. Результаты моделирования: изменение перемещения тел

Модель с использованием блоков библиотеки «Механика»

Данная модель не требует вывода каких-либо уравнений, а только корректного повторения при помощи блоков библиотеки «Механики» [3] схемы, представленной на рис. 1. На рис. 9 представлен вид схемы модели.

т1=70

т2=140

х1_т ->

\2_rn -►

VI т

м

Рис. 9. Схема модели, реализующей решение при помощи блоков

библиотеки «Механика»

На рис. 10, а, б показаны результаты моделирования.

а б

Рис. 10. Результаты моделирования: а - изменение скорости тел;

б - изменение перемещения тел

Выводы. В статье описывается процесс составления уравнений движения механической системы с двумя степенями свободы в среде 81ш1пТвсН с использованием различных подходов и инструментов их реализации. Полученные результаты моделирования сравнены между собой и продемонстрированы в виде графиков.

Вклад от этой работы, в первую очередь, образовательный, особенно в области прикладной механики и мехатроники. Представленный подход даёт возможность моделировать простые уравнения движения механической системы в среде 81ш1пТееЬ.

Список литературы

1. Карташов Б. А., Шабаев Е.А., Козлов О.С., Щекатуров А.М. Среда динамического моделирования технических систем SimlnTech: Практикум по моделированию систем автоматического регулирования: учебное пособие. М.: ДМК Пресс, 2017. 424 с.

2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учебное пособие: для ВУЗов. Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. Т. I. 224 с.

3. Справочная система SimlnTech [Электронный ресурс]. URL: http://help.simintech.ru/ (дата обращения: 31.03.2020).

4. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: учебное пособие. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 768 с.

Беклемищев Филипп Сергеевич, ассистент, philipsmsk@,gmail. com, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

Селиванова Вера Алексеевна, студентка, verhaqwertyagmail. com, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

SIMULATION OF A MECHANICAL SYSTEM USING VARIABLE STATES

IN SIMINTECH

F.S. Beklemishchev, V.A. Selivanova

The article describes the solution of the equations of motion of a mechanical system using the Hamilton equations and variable states in a SimInTech software suite. Modeling is performedfor a system with two degrees of freedom. The solution obtained through the «State variables» block is compared with alternative options: using Newton's second law and Lagrange equations; blocks «General form of a Transfer function»; blocks of the library «Mechanics».

Key words: modeling, mechanical system, equations of motion, state variables, automatic control.

Beklemishchev Filipp Sergeevich, assistant, philipsmsk@,gmail. com, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Selivanova Vera Alekseevna, student, verbaqwerty@gmail. com, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)