CC BY
26
Механика деформируемого твердого тела 1684 Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1684-1685
УДК 539.3
МОДЕЛИРОВАНИЕ МАТРИЦ ГРИНА И НЕЙМАНА ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С СОПРЯЖЕННЫМИ ПОЛЯМИ
© 2011 г. В.П. Пазин, И.В. Воробцов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского belov_a2@mail.ru
Поступила в редакцию 15.06.2011
На основе единой формализации для матриц Грина и Неймана трехмерных теорий анизотропной упругости, электроупругости и магнитоэлектроупругости представлены два метода их построения. Для конкретных свойств материала численно построены компоненты соответствующих матриц. Даны сравнения с результатами других авторов.
Ключевые слова: матрица Грина, трехмерная постановка, анизотропная упругость, электроупругость, численное моделирование.
Для того чтобы задачи теории упругости с сопряженными полями рассматривать с единых позиций, группируем базовые компоненты следующим образом [1-5]:
й, =
7 = 1, 2,3, 7 = 4,
Ф, 7 = 5,
й = й7, 7 = 1, Ы,
£,, =
а , =
7 = 1, 2, 3,
- Е,, 7 = 4,
у
Н
7 = 5,
а7у
О Б,
,
7 = 1, 2,3, 7 = 4, 7 = 5,
С№ =
Суш е1у,
егШ1 , %,
д7Ш1,
у,Ш = 1, 2, 3, у = 1, 2, 3, Ш = 4, у = 4, Ш = 1,2,3, у = 1,2,3, Ш = 5, у = 5, Ш = 1, 2, 3,
фи Ф — упругое смещение, электрический и магнитный потенциал соответственно.
Первый метод построения матриц Грина О,Ш (У, Ш = 1, 3) основан на обратном преобразовании Радона [1—5]:
Оу-Ш = -V | (М, (21 ))~1Ъ(21г1 ) =
8П2 5 2
— Хй, у = 4, Ш = 5; у = 5, Ш = 4,
— £/, У, Ш = 4
— Цц , У, Ш = 5,
где а., О, Б. — соответственно компоненты тен-
У 7 г
зора напряжения, вектора электрического смещения и магнитной индукции; Е, Q, М — компоненты плотностей объемной силы, плотности электрического заряда и плотности электрического тока; где £ . — компоненты тензора деформации, Еу — компоненты вектора электрического поля, Ну — компоненты вектора магнитного поля; С... , е..,,
Г ' гут гуШ
£- , Ц, д уШ и Х . — упругие модули, электроупругие коэффициенты, диэлектрические константы, модули магнитной проходимости, пьезомагнит-ные и магнитоэлектрические коэффициенты; й ,
8пг52
г0 = Г, 8( 2Г ) = 6(Г2гГ°) =18( 21г1°), г г
М,Ш = С1ук12 121 .
Преобразуем ОуШ к интегралу по окружности — результату пересечения сферы с плоскостью
21г° = 0:
ОуШ =1 (М,Ш (2 (Ф)))—1 dф. (1)
-1 8п2г 0 Второй метод построения матриц Грина базируется на представлении (М22 (2)) 1 через матрицу алгебраических дополнений А.. (2) и опре-
делитель В(2) [4, 5]:
О г АуШ(2)
уШ 8п2 1 О (2г)
8( 2^, ^ (2г) =
1 +р А,Ш (р+ Сд)
I
4п2г О(р + Сд)
dZ.
Применение теории вычетов позволяет интеграл (2) записать в следующем виде:
ОуШ (х)
1т
2пг
-х
£
й
ф
Моделирование матриц Грина и Неймана трехмерной теории упругости с сопряженными полями 1685
Рис. 1
G,,
Рис. 2
G,„
\ -»Л \ /
УШ--..
G„
Рис. 3
s
G,,
G„
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
N m=1,
Ajk ( Р + С m4)
N
(3)
AN+5VS m
(Z m -Cm ) П (Z m - Ck )(Z m - Ck )
k =1,k Ф m
где £т - корни В(р + ^Ф = 0 - многочлена степени от N + 4^; одг+5 - коэффициент при
> 0, т = 1, N; С - сопряженное к £т.
Дифференцирование формул (1), (3) позволяет, после соответствующих преобразований, получить формулы для матриц Неймана. Для материала ВаТЮ3 на рис. 1-6 представлены компоненты магнитоэлектроупругой матрицы Грина О., и ее производной полученных после соответствующей параметризации [2, 5].
Для ускорения необходимых вычислений используется технология параллельных вычислений. Представлены результаты сравнительных экспериментов.
Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «На-
учные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (ГК №2222), при поддержке РФФИ (проект №10-08-01017-а), по гранту Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ НШ-4807.2010.8.
Список литературы
1. Gaul L., Kogl M., Wagner M. Boundary Element Methods for Engineers and Scientists. Berlin: Springer, 2003. 488 p.
2. Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физматлит, 2008. 352 с.
3. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнито-упругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 470 с.
4. Pan E., Tonon F. // International Journal of Solids Structures. 2000. No 37. P. 943-958.
5. Игумнов Л.А., Пазин В.П., Петров А.Н. // Вестник ННГУ Сер. Механика. 2010. Вып. 5(1). С. 127-133.
MODELING GREEN AND NEUMANN MATRICES OF THE 3D ELASTICITY WITH CONJUGATE FIELDS
VE Pazin, I. V Vorobtsov
Based on the unified formalization for Green and Neumann matrices of 3D anisotropic elasticity, electroelasticity and magnetic electroelasticity, two methods for constructing them are presented. Components of the related matrices are numerically constructed for particular material properties. The results are compared with the data available elsewhere.
Keywords: Green's matrix, 3D formulation, anisotropic elasticity, electro-elasticity, numerical modeling.
