CC BY
35
МЕХАНИКА
УДК 539.3
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦ ГРИНА И НЕЙМАНА ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИИ ТЕРМОУПРУГОСТИ
© 2012 г. Л.А. Игумнов, В.П. Пазин
НИИ механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
Поступила в редакцию 17.02.2012
Рассмотрен вопрос построения матриц Г рина и Неймана для трехмерной анизотропной теории термоупругих равновесий. При построении использованы интегральное и полиномиальное представления искомых матриц. При численном анализе результаты двух подходов сравниваются. Представлена визуализация матриц в виде поверхностей.
Ключевые слова: матрица Грина, матрица Неймана, трехмерная постановка, термоупругость, численное моделирование.
Введение
1. Постановка задач
Тензор Грина играет ключевую роль в нахождении решений методом граничных интегральных уравнений в краевых задачах для уравнений в частных производных теории упругости. Вывод каждого нового тензора Грина, особенно в явной форме, всегда высоко оценивается. В настоящей работе применяются два метода построения матриц Грина. Спецификой первого метода является получение матриц Грина в виде интегрального представления, а второго - в виде аналитической формулы, использующей корневые множества матриц Грина. Для конкретных свойств материала численно построены компоненты полученных представлений матриц Грина. Дано сравнение результатов, полученных разными методами. Представлена визуализация матриц Грина в виде поверхностей. Решаемая в статье задача впервые была сформулирована и решена как задача Кельвина для неограниченного упругого пространства (Thomson, 1982) или как задачи для упругого полупространства (Boussinesq, 1885; Mindlin, 1953; Nowacki, 1975; Rongved, 1955). Дальнейшее получение решений таких задач связано с именами: Freedholm (1900), Lifshitz и Rozenzweig (1947), Kroner (1953), Synge (1957), Willis (1965), Mura и Kinoshita (1971), Pan и Chou (1976), Wang (1997). Исследования упругостатических матриц Грина термоупругости можно найти в монографиях [1-3].
Приведем базовые уравнения трехмерной термоупругости, которые можно найти, к примеру, в [4, 5]: _
ОЛ, 1 + Р, = 0 Ч,,, - R = 0 и 1 = 1,3
= СцыЕы - Р Д и Л1, т = 1 3
е1 = | К1+ ^ ч, = ^//^,/, и1 =1,3
где Оу, ч, - соответственно компоненты тензора напряжения и вектора теплового потока; Г,, Я -компоненты плотностей объемной силы и интенсивности внутреннего теплового источника; Еу - компоненты тензора деформации; С,цт, Ру и ку - упругие модули, коэффициенты термоупругости, элементы тензора тепловой проводимости; и, и 0 - упругое смещение и возрастание температуры выше средней соответственно. Здесь и в дальнейшем повторение индексов означает суммирование. Запятая обозначает частное дифференцирование.
Для того чтобы задачи анизотропной теории упругости и термоупругости рассматривать с единых позиций, группируем базовые компоненты следующим образом [4]:
Ги,,, = 1,2,3, и =\
' 10, , = 4,
„ [є j, i = 1,2,3,
8j 1-0,,, i = 4,
„ I о., , j = 1,2,3, -
0 j = Г 4 Ck =
\q., j = 4,
Cijkl, j, к = 1,2,3,
- p,, J = 1,2,3, к = 4, О, к = 1,2,3, j = 4,
- ки, J, к = 4.
Тогда физические уравнения и уравнения равновесия запишутся следующим образом:
О = С..„Е„, О + F =0,
,1 ук! к!^ ,1,, 1
где
р ГР, 1 = 1,2,3, 1 1- Я, 1 = 4.
2. Получение формул представления матриц Г рина и матриц Неймана
Математически матрица Грина может быть определена следующим образом:
СтОы,и (х) = -51„5(x), и1 к, I т = 1,3 (1) Существует два способа получения матрицы Грина.
Рассмотрим интегральный метод. Матрица О]к с использованием обратного преобразования Радона может быть записана следующим образом [2]:
Пг | СМ" (2, ))-|5( :,г, )<&( 2,):
5 2
12-| (М22 г ^^.г,0)^,),
1 2П
1к,-= «.У /(-':(М* )-'-2’Г* ^
о., =
о о
Dnq = Мгп; + м;д,Рк = (МП )-1 Dnq (м;к)-1, (3)
0 Л 0 А
Мк = Сци2/, , М12 =стг^1.
Рис. 1. Пересечение единичной сферы с плоскостью
Продемонстрируем второй метод. Обратную матрицу (М 22(г))-1 представим через матрицу алгебраических дополнений А^) и определитель D(z), тогда матрица Грина примет вид [6, 7]
в. = Г 5(2, г )&(2, ) =
1 8п2 \ D(zi) ' ' '
1 +? Ак (р + С Ч)
(4)
I
4п г -> Щр + Сч)
Применение теории вычетов позволяет интеграл (3) записать в следующем виде:
А1к (р+СыЧ)
в* (х) = - ^ I—
ПГт=1ц(С. - О ПК. - ^)(Сы - С)
к=1,к^т
(5)
8п г
52
г 1 Л
г0 = г, 5(2,г,) = 5(ггГ) = - 5(2,г,0), М= = С^. г г
Интеграл по сфере S2: 22 = 1 преобразуется
к интегралу по окружности:
1 2п
вк= «ПТ | М (2 (Ф)))-1 ^ (2)
Единичная окружность является пересечением единичной сферы с плоскостью 2 г = 0 (рис. 1).
Матрица Неймана - первая производная матрицы Г рина - имеет вид [6]:
2 г, =0
I I
где £т - корни D(p + £Ч) = 0 - многочлена восьмой степени от £; °9 - коэффициент при С8;
1ш^т > 0, т = 1,4; - сопряженное к С..
С учётом симметричности расширенной матрицы Грина необходимо вычислить лишь 13 элементов из 16.
Производные матрицы Грина могут быть вычислены на основе интерполяции Лагранжа.
Для произвольной точки X = (х1, х2, х3) производные тензора Грина Ож по координатам имеют вид: дО 1
~ТРК [ОРК (Х + К X2, Х3) - ОРК (х1 - К ^
дх1 2к
дО 1
~^7 [ОРК ^ Х2 + К Х3) - ОРК (X', Х2 - К (6)
дх2 2к
дО 1
~~ [ОРК ^ X2, X + К) - ОРК (x', X2, X - К)].
дx3 2К
Выбор интервала К имеет решающее значение. В данном исследовании значение этого интервала бралось К = г10-3.
3. Численные эксперименты
Для удобства тензор упругих модулей Суш за-
пишем через константы сар (а = 1,6; Р = 1,6) [8].
В качестве примера рассмотрим моноклини-ческий материал [5]. Отличные от нуля упругие константы сар даны с точностью до множителя в
109 Н/м2 и приведены в табл. 1, коэффициенты термоупругости ркр - с точностью до 106 Н/К-м2 в табл. 2, элементы тензора тепловой проводимости ку- - Вт/К-м в табл. 3.
Для точки X = (1,1,1) компоненты термоупругой матрицы Грина представлены в табл. 4.
Для точки X = (1,1,1) компоненты электроуп-ругих матриц Неймана ОРК1, ОРК2, ОРК3 представлены соответственно в табл. 5-7.
Таблица 1
с11 с12 с13 с1б с22 с23 с26 с33 с36 с44 с45 с55 с66
430.1 130.4 18.2 201.3 116.7 21.0 70.1 73.6 2.4 19.8 -8.0 29.1 147.3
Таблица 2
Ри в12 в22 Р33
1.01 2.0 1.48 7.52
Таблица 3
кп к22 к33
5.2 7.6 38.3
Таблица 4
Значения индексов компонент (/,к) Интегральный метод (м) Явная формула (м)
1,1 0.6174784846х10-12 0.6172316951х10-12
1,2; 2,1 - 0.2400490499х10-12 - 0.2401700234х10-12
1,3; 3,1 0.9535587421х10-15 0.7259562563х10-15
1,4 0.0 0.0
2,2 0.96545754684х10-12 0.9647376842х10-12
2,3; 3,2 0.4519237691х10-13 0.4544503971х10-13
2,4 0.0 0.0
3,3 0.1210679363х10-11 0.1210355806х10-11
3,4 0.0 0.0
4,1 -0.8043917673х10-10 -0.9187738643х10-10
4,2 0.9032813160х10-10 0.5425874990х10-10
4,3 0.1555537276х10-9 0.1569803087х10-9
4,4 0.3457092637х10-2 0.3458292553х10-2
Таблица 5
(Р, К Интегральный метод Явная формула
1,1 -0.5544200272 х10 ~13 -0.5514961546 х 10 ~13
1,2; 2,1 0.1645447337 х10 ~12 0.1645617121 х 10 ~12
1,3; 3,1 0.6537543247 х10 ~13 0.6547443135 х10 ~13
1,4 0.0 0.0
2,2 -0.2723063643x10 ~12 -0.2720398601 х10 ~12
2,3; 3,2 -0.8427221936 х10 ~13 -0.8458593865 х 10“13
2,4 0.0 0.0
3,3 -0.4443186015 х10 ~12 -0.4435325738 х10 ~12
3,4 0.0 0.0
4,1 0.4048714872 х10 ~7 0.4046201217 х 10 ~7
4,2 -0.4412034388х 10 ~7 -0.4446365151х10 ~7
4,3 0.6983994258 х10~7 0.6960677811 х 10 ~7
4,4 -0.1901083564 х10 ~2 -0.1899217980 х10 ~2
Таблица 6
(Р, К) Интегральный метод Явная формула
1,1 -0.1784610003 х 10~12 -0.1788625979 х10~12
1,2; 2,1 0.1040716793х10 ~12 0.1040341462 х 10~12
1,3; 3,1 -0.4856491150 х10 ~13 -0.4819876447 х10~13
1,4 0.0 0.0
2,2 -0.1908375383х10 ~12 -0.1912097003 х 10~12
2,3; 3,2 0.4204843115 х10 ~13 0.4178222335 х 10~13
2,4 0.0 0.0
3,3 -0.6055289004 х10~12 -0.6057858233 х10~12
3,4 0.0 0.0
4,1 -0.4582644546 х10~7 -0.4554125088 х10~7
4,2 0.2792991153 х10 ~7 0.2807293015 х10~7
4,3 0.7031942872 х10 ~7 0.7055384697 х10~7
4,4 -0.1298144360 х 10~2 -0.1302069260 х 10~2
Таблица 7
(РК) Интегральный метод Явная формула
1,1 -0.3841423925 х10-12 -0.3835169147 х 10~12
1,2; 2,1 -0.2865240417 х10-13 -0.2840025714 х10~13
1,3; 3,1 -0.1789479112 х10-13 -0.1790900481 х 10 ~13
1,4 0.0 0.0
2,2 -0.5019326006 х 10~12 -0.5021193570 х10~12
2,3; 3,2 -0.2852989876 х10-14 -0.2768289586 х10~14
2,4 0.0 0.0
3,3 -0.1611995443 х 10~12 -0.1610451116 х 10~12
3,4 0.0 0.0
4,1 0.5178255719 х10 ~8 0.5262925177 х10~8
4,2 0.1637081083 х 10 ~7 0.1628182654 х 10 ~7
4,3 -0.1404707641 х 10~6 -0.1404748776 х10~6
4,4 -0.2575978166 х10~3 -0.2578710671 х 10~3
о о
Рис. 2. Компонента Оп
3.5'|
3^ 2.5 ^ 21.5 -
О О
Рис. 3. Компонента Оп
О о
Рис. 5. Компонента Gr
4. Визуализация матриц Грина
Опишем построение матриц Грина в виде двумерных поверхностей на основе интерполяционной схемы вычисления. Функции Gjk(x) зависят от трех пространственных переменных Хі, Х2 и Хз. Перейдем к сферическим координатам (г, 01, 02).
Для единичной сферы Gk(01,02) являются функциями только двух переменных - полярного угла 0 < 01 < п и азимутального угла 0 < 02 < 2п. Значение Gjk в зависимости от конкретных 01 и 02 строится с помощью интерполяции Лагранжа [3].
На рис. 2-10 представлены компоненты термоупругой матрицы Грина, на рис. 11-19 представлены компоненты термоупругой матрицы Неймана для заданного материала.
Заключение
Построены матрицы Грина и Неймана трехмерной теории термоупругости. Найден явный вид матрицы Грина и приведен апостериорный численный анализ точности получения значений ее компонент для конкретного материала. Представлена визуализация таких компонент в виде двумерных поверхностей.
о Д
Рис. 6. Компонента G33
-7
» 10
о о
Рис. 8. Компонента G42
Й 0
Рис. 10. Компонента G44
№ :®
Рис. 12. Компонента G11,2
-7
х 10
0 о
Рис. 7. Компонента G41
-7 'А '■".,
X 10 | | !
ю ...... ; ; ; .... - к.. !
о о
Рис. 9. Компонента G43
к 10
4
0 О
Рис. 11. Компонента Gll,l
-12
к 10 5-г-"""
О О
Рис. 13. Компонента G11,з
-7
х 10
3 ..."
о о
Рис. 14. Компонента G411
-7
X 10
о о
Рис. 16. Компонента G41,3
о М
Рис. 18. Компонента G442
Список литературы
1. Угодников А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во КГУ, 1986. 296 с.
2. Gaul L., Kogl M., Wagner M. Boundary Element Methods for Engineers and Scientists. Berlin Springer, 2003. 488 p.
3. Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физмат-лит, 2008. 352 с.
4. Bojing Z., Taiyan Q. 3D modelling of crack growth in electro-magneto-thermo-elastic coupled viscoplastic multiphase composites // Applied Mathematical Modelling. 2009. № 33. P. 1014-1041.
■1
x 10
A
0 0
Рис. 15. Компонента G412
айв
И D
Рис. 17. Компонента G441
О fg
Рис. 19. Компонента G44,3
5. Fahmy M.A. A time-stepping DRBEM for the transient magneto-thermo-visco-elastic stresses in a rotating non-homogeneous anisotropic solid // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2012. № 36. P. 335— 345.
6. Li X., Wang M. Three-dimensional Green’s functions for infinite anisotropic piezoelectric media // International Journal of Solids Structures. 2007. № 44. P. 1680-1684.
7. Pan E., Amadei B. Fracture mechanics analysis of cracked 2-D anisotropic media with a new formulation of the boundary element method // Int. J. Fracture. 1996. № 77. P. 161-174.
8. Li J., Dunn M.L. Micromechanics of magnetoe-lectroelastic composite materials: Average fields and effective behavior // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 1998. № 9. P. 404-416.
NUMERICAL-ANALYTICAL CONSTRUCTING OF GREEN’S AND NEUMANN’S MATRICES IN 3D THEORY OF THERMOELASTICITY
L.A. Igumnov, V.P. Pazin
The problem of constructing Green’s and Neumann’s matrices for the 3D anisotropic equilibrium theory of thermoelasticity is considered. The construction is based on integral and polynomial presentations of the sought matrices. In numerical analysis, the results of both approaches are compared. Visualization of the matrices in the form of surfaces is presented.
Keywords: Green’s matrix, Neumann’s matrix, 3D formulation, thermoelasticity, numerical simulation.
