CC BY
42
86
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 3 (1), с. 86-90
МЕХАНИКА
УДК 539.3
ГРАНИЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ТРЕХМЕРНОЙ ПЬЕЗОУПРУГОЙ КЕРАМИКИ
© 2014 г. Л.А. Игумнов, И.П. Марков
НИИ механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
Псступила в еедавцию 22.01.2014
Рассматриваются краевые задачи пьезоупругого равновесия в трехмерной постановке. Граничное интегральное уравнение прямого подхода, система уравнений пьезоупругости записываются в форме, единой с системой уравнений анизотропной теории упругости. Для получения компонент матриц фундаментальных и сингулярных решений использованы формы их интегрального и полиномиального представлений. Для трансверсально изотропного случая использованы явные представления этих компонент. Приведены примеры гранично-элементного решения краевых задач.
Ключевые слсва: пьезоупругость, граничный элемент, краевая задача, компоненты фундаменталь-
ных и сингулярных решений.
Введение
Пьезоэлектрики находят широкое применение в электронике, лазерах, ультраакустике. Они используются как элементы сенсоров, преобразователей и т.п. Применение пьезокерами-ческих материалов стимулирует изучение свойств керамик с учетом связанности электрических и механических полей. Требования к точности и надёжности расчетов соответствующих изделий ставят проблему решения пространственных задач теории упругости с учетом электрического потенциала.
В работе рассматривается применение прямого варианта метода граничных интегральных уравнений (ГИУ).
Математическая модель
Уравнения равновесия записываются в виде [1-3]: _
а ы = 0, Dы = 0, ¡, ] = 1,3,
где а у, D¡ - компоненты тензора напряжений и
вектора электрического смещения соответственно.
Физические соотношения имеют вид:
а = С в — е Е
¡у ¡у1т 1т кЦ к'
^ = е. ,в ., + в..Е.,
• чк ук у у'
ческого поля, ф - электрический потенциал;
С т, е ук и - упругие модули (измеренные
при постоянном электрическом поле), пьезоэлектрические коэффициенты (измеренные при постоянной деформации или постоянном электрическом поле) и диэлектрические константы (измеренные при постоянной деформации).
Система дифференциальных уравнений линейной статической теории пьезоупругости имеет вид:
С ук1ик Л + еау ф,и = 0 е ¡иик Л — ~>,Й = 0
¡,у,к,I = 13, ОсR3, где и 1 - упругие перемещения, ОсRъ - пьезо-упругое тело с границей Г.
Для того чтобы объединить упругие и электрические переменные, введем новые индексы К, J, варьируемые от 1 до 4, причем индексы 13 представляют упругие переменные, а 4 - электрические. С учетом этого обобщенные векторы перемещений и усилий, а также обобщенный тензор пьезоупругих модулей можем записать следующим образом:
иК =
и , к = К = 1,2,3,
Ф, К = 4,
Т = '
[/, • = т = 1,2,3,
¡, у, к, I, т = 1,3, где в у - компоненты линейного тензора деформации Коши; Еу = —ф у - компоненты электри-
С =
С
ЦкЛ-
[?, Т = 4,
у = Т = к = К = 1,2,3, у = Т = 1,2,3, к = 4, Т = 4, к = К = 1,2,3,
— вл, Т, К = 4,
е
е
где д - плотность поверхностного заряда (д = D¡n¡, п. обозначает единичный вектор нормали к площадке).
С использованием введенных обозначений систему уравнений статической трехмерной линейной теории пьезоупругости перепишем в виде
LJKUk = 0, ОсR3; J,K = 1Д (1)
и = и на Г", ^ = ~ на Г', ф = ф на Гф, д = д на Гд,
где ^к = Саад , ЭI, ¡, 1 = 1,3 J, К = 1,4 .
Сведение краевой задачи (1) к ГИУ формально аналогично случаю анизотропной теории упругости [3-6]:
Ои (х) = \и^ (х, ОР (О) -
Г
- Гы (х, (^ (О), К, J = 1,4,
сю = 5К/ + Ит I,
Г J
1т
и*К (х) = - — X [(^ + СтЧ)(а9 (Сш - С! ) X
Для получения сингулярного решения применим конечно-разностный аналог центральной производной в точке х = (х1, х2, х3).
Дискретный аналог и численные эксперименты
Используемая гранично-элементная модель описана в [5]. Граница Г области аппроксимируется совокупностью четырехугольных восьмиуз-ловых биквадратичных элементов Sk(к = 1,...,N). Декартовы координаты произвольной точки У = (У1, У2, У3) элемента Sk выражаются через координаты узловых точек этого элемента с помощью функции формы Ne (е = 1,...,8) от локальных координат О = (О1,О2):
У. (О) = Х N (О)у,
Р(к,е)
. = 1,2,3
(2)
где 8KJ - дельта Кронекера; Г = ЭО - граница области О; UJ, Р\ - компонента! векторов обобщенных перемещений и усилий; иы и Ты -соответственно, компоненты матриц обобщенных фундаментальных и сингулярных решений (1).
Фундаментальные и сингулярные решения пьезоупругой среды
Построение фундаментальных и сингулярных решений является самостоятельной проблемой [7, 8]. Компоненты матриц фундаментальных решений для анизотропной теории пьезоупругости можно представить в следующем виде:
и*к = IМК (*' »^Ж ),
Г = Г ' МЖ = Сик,2¿1 , ^ = 1
(3)
X П (С ш -С к )(С ш -Ск )) -1],
к=1,к Фш
J,К = 14, ¡ = 1,3, где 8(-) - дельта-функция Дирака, г = |х - у|, Сш - корни многочлена + Сд) = 0 восьмой степени от С; а9 - коэффициент при С8; 1ш Сш > 0, ш = 1,4; СШ - сопряженное к Сш .
где Р(к, е) - глобальный номер узла, имеющего в к-м элементе локальный номер е.
Граничные перемещения аппроксимируются билинейными элементами, а поверхностные усилия - постоянными элементами. Для получения дискретного аналога ГИУ в качестве проекционного метода используется метод коллокации. В качестве узлов коллокации выбираются узлы аппроксимации исходных граничных функций.
Существенной особенностью гранично-элементной схемы является наличие иерархического алгоритма численного интегрирования внутри граничного элемента [4, 5]. Такой подход позволяет достичь заданной точности.
Рассмотрим задачу о единичном кубе под действием одноосного растяжения или приложенного поверхностного заряда. Граничные условия формулируются следующим образом: при х3 = +0.5 : '1 = '2 = 0, '3 = +100Н/м2; д = 0 (для случая одноосного растяжения) и х3 = +0.5 : ' 1 = 0; д = 10-1°Кл/м2 (в случае приложенного поверхностного заряда), перемещения неизвестны; при х3 = 0: ф = 0 ; при х1 = х2 = +0.5 : ' 1 = д = 0 , перемещения неизвестны. В качестве материалов рассматриваются две трансверсаль-но изотропных пьезокерамики PZT-4 и PZT-5H со следующими параметрами: PZT-4:
С =
126.6 77.8 74.3 0 0 0
77.8 126.6 74.3 0 0 0
74.3 74.3 115 0 0 0
0 0 0 25.6 0 0
0 0 0 0 25.6 0
0 0 0 0 0 24.1
ГПа,
Г
Таблица 1
Материал Тип решения иг1010, м и3-1010, м ф , В
1 -1.164 4.117 1.321
Р7Т-4 2 -1.160 4.115 1.321
3 -1.1632197 4.1187309 1.3205455
4 -1.1632691 4.1201314 1.3205662
1 -0.785 3.558 0.716
Р7Т-5Н 2 -0.784 3.557 0.7163
3 -0.78426954 3.5585732 0.71612707
4 -0.78424341 3.5594851 0.71613712
Таблица 2
Материал Тип решения иг1010, м и3-1010, м ф , В
Р7Т-4 1 -0.559 1.321 -0.00425
2 -0.589 1.32 -0.00425
3 -0.0059027086 0.013212394 -0.0042535965
4 -0.0059027631 0.013213942 -0,00425361
Р7Т-5Н 1 -0.291 0.716 -0.00227
2 -0.291 0.716 -0.00227
3 -0.0029133009 0.0071626271 -0.0022712919
4 -0.0029133186 0.0071635909 -0.0022713216
" 0 0 0 0 12.7 0"
е= 0 0 0 12.7 0 0 Н/(В*м),
- 5,2 - 5,2 15.1 0 0 0
8 =
6.46 0
6.46 0
0 0 5.62
10"
PZT-5H: "126.6
С =
55 53 0 0 0
е =
55 53 126.6 53 53 0 0 0
0 0
117
0 0 0
0 0 0 35.3 0 0
0 0 0 0 35.3 0
0 17 0 17 0 0
0 0 0 0 0 35.5
ГПа,
- 6.5 - 6.5 23.3 0 0 0
Н/(В * м),
8=
15.1 0 0 15.1
•10"
0 0 13
Фундаментальные решения вычислялись двумя способами - по явным формулам для трансверсально изотропного материала [9] и численно по интегральной и полиномиальной формулам (3) при помощи линейной интерполяции Лагранжа [5]. Исследовались перемещения щ, и3 и потенциал ф в точке (0.5, 0.5, 0.5). Проведено сравнение с аналитическими и численными результатами из [9]. Для случая одно-
осного растяжения результаты приведены в табл. 1, для случая приложенного поверхностного заряда - в табл. 2. Расчеты проводились на гранично-элементной сетке с количеством элементов 1536.
В табл. 1, 2 в графе «Тип решения» цифрами 1,2,3,4 обозначены: 1 - аналитическое решение [9], 2 - численное решение [9], 3 - гранично-элементное решение с аналитическим нахождением компонент ядер, 4 - гранично-элементное решение с численным нахождением компонент ядер. Необходимо отметить, что в [9] допущена опечатка в результатах для перемещений в случае приложенного поверхностного заряда (табл. 2), результаты должны быть на два порядка меньше.
Рассмотрим задачу о действии на тело электрического потенциала, приложенного, как показано на рис. 1. Тело жестко закреплено на нижнем торце, остальная поверхность свободна от усилий. Там, где приложен потенциал, плотность поверхностного заряда неизвестна. В качестве материала взята трансверсально изотропная пьезокерамика PZT со следующими свойствами:
С =
107.6 63.1 63.9 0 0 0
63.1 107.6 63.9 0 0 0
63.9 63.9 100.4 0 0 0
0 0 0 19.6 0 0
0 0 0 0 19.6 0
0 0 0 0 0 22.2
ГПа,
9
9
100
мм
хз
х2
XI
ф= 100 кВ
7777777
ф = 0В
Рис. 1
решение 1 решение 2
[41
, хЮ
0.02
Рис. 2
0.04 0.06
х3,м Рис. 3
0.08
e =
0 12.0 0 12.0 0 0
- 9.6 - 9.6 15.1 0
р =
"1936 0 0 1936 0
00 0 0
Н/(В*м),
0 2109
Вслед за [3] исследовались перемещения щ и потенциал ф в узлах на линии (0.05, 0, х3). Проведено сравнение полученных результатов с результатами из [3] (рис. 2, 3). Используются следующие обозначения: гранично-элементное решение 1 - фундаментальные решения находятся численно по полиномиальной формуле (3) при помощи линейной интерполяции Лагранжа [5]; гранично-элементное решение 2 - фундаментальные решения вычисляются по явным формулам для трансверсально изотропного материала [9]. Расчеты проводились на гранично-элементной сетке с количеством элементов 1400.
На рис. 3 гранично-элементное решение 1 и гранично-элементное решение 2 графически неразличимы.
Заключение
Продемонстрированы возможности методического и программного гранично-элементного обеспечения решения задач равновесия линейной трехмерной теории пьезоупругости. Гранично-элементное получение решений на основе численного определения ядер ГИУ сравнивается с трансверсально изотропным случаем гранично-элементного получения решения, когда ядра ГИУ определяются аналитически. Созданная гранично-элементная схема дает возможность получать высокую точность искомых решений, превосходящую точность аналогичных схем других авторов.
Список литературы
1. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнито-упругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 472 с.
2. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
3. Gaul L., Kogl M., Wagner M. Boundary element methods for engineers and scientists. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 2003. 488 p.
4. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во КГУ, 1986. 296 с.
5. Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физмат-лит, 2008. 352 с.
6. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости / В.Д. Купрадзе [и др.]; ред. В.Д. Купрадзе. Изд. 2-е. М.: Наука, 1976. 664 с.
7. Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю., Пазин В.П., Петров А.Н. Численно-аналитическое построение
матриц Грина трехмерных теорий упругости и электроупругости // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2010. Вып. 3. С. 134-140.
8. Игумнов Л.А., Пазин В.П. Численно-аналитическое построение матриц Грина и Неймана трехмерной теории термоупругости // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. Вып. 4. С. 159-165.
9. Ding H., Liang J. The fundamental solutions for transversely isotropic piezoelectricity and boundary element method // Computers and Structures. 1999. № 71. P. 447-455.
BOUNDARY-ELEMENT ANALYSIS OF ELECTRO-MECHANICAL FIELDS OF 3-D PIEZOELASTIC CERAMICS
L.Igumnov, I. P. Мarkov
Boundary-value problems of piezoelastic equilibrium in a 3-D formulation are considered. The direct approach boundary integral equation and the set of equations of piezoelasticity are written in the same form as the equation set of anisotropic elasticity. To obtain components of the matrices of fundamental and singular solutions, their integral and polynomial representations are used. For the transversally isotropic case, explicit forms of these components are used. Examples of the boundary-element analysis of boundary-value problems are given.
Keywords: piezoelasticity, boundary element, boundary-value problem, components of fundamental and singular solutions.
References
1. Partem V.Z., Kudryavcev B.A. Ehlektromagnitou-prugost' p'ezoehlektricheskih i ehlektroprovodnyh tel. M.: Nauka, 1988. 472 s.
2. Novackij V. Teoriya uprugosti. M.: Mir, 1975. 872 s.
3. Gaul L., Kogl M., Wagner M. Boundary element methods for engineers and scientists. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 2003. 488 p.
4. Ugodchikov A.G., Hutoryanskij N.M. Metod gra-nichnyh ehlementov v mekhanike deformiruemogo tverdogo tela. Kazan': Izd-vo KGU, 1986. 296 s.
5. Bazhenov V.G., Igumnov L.A. Metody granich-nyh integral'nyh uravnenij i granichnyh ehlementov v reshenii zadach trekhmernoj dinamicheskoj teorii upru-gosti s sopryazhennymi polyami. M.: Fizmatlit, 2008. 352 s.
6. Trekhmernye zadachi matematicheskoj teorii uprugosti i termouprugosti / V.D. Kupradze [i dr.]; red. V.D. Kupradze. Izd. 2-e. M.: Nauka, 1976. 664 s.
7. Igumnov L.A., Litvinchuk S.Yu., Pazin V.P., Pe-trov A.N. Chislenno-analiticheskoe postroenie matric Grina trekhmernyh teorij uprugosti i ehlektrouprugosti // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Loba-chevskogo. 2010. Vyp. 3. S. 134-140.
8. Igumnov L.A., Pazin V.P. Chislenno-analiticheskoe postroenie matric Grina i Nejmana trekh-mernoj teorii termouprugosti // Vestnik Nizhegorodsko-go universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2012. Vyp. 4. S. 159-165.
9. Ding H., Liang J. The fundamental solutions for transversely isotropic piezoelectricity and boundary element method // Computers and Structures. 1999. № 71. P. 447-455.
