Моделирование колебаний с инерционным возмущением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.8/534

Моделирование колебаний с инерционным возмущением

© В.В. Дубинин, В.В. Витушкин

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Представлен метод моделирования колебаний различных механических систем с инерционным возмущением с использованием разработанной экспериментальной установки. Приведено описание конструкции этой установки, теоретических основ ее работы, методики проведения исследований колебаний и построения расчетных и экспериментальных амплитудно-частотных (АЧХ) и фазочастотных (ФЧХ) характеристик. Показано, что в силу подобия дифференциальных уравнений движения различных реальных промышленных объектов и рассматриваемой экспериментальной установки возможно ее применение для моделирования процессов колебаний указанных объектов. Приведены параметры подобия, позволяющие осуществлять такое моделирование и получать АЧХ и ФЧХ различных промышленных объектов, описан пример построения АЧХ некоторой системы с использованием экспериментов, проведенных на лабораторной установке.

Ключевые слова: механические системы, инерционное возмущение, колебания систем, частотные характеристики, лабораторная установка, моделирование колебаний, параметры подобия.

Введение. Развитие информационных технологий в различных областях науки и высшем образовании позволяет осуществлять математическое моделирование физических процессов и реализовывать органичное соединение такого моделирования с физическим экспериментом. Это направление в течение ряда лет успешно развивается на кафедре теоретической механики МГТУ им. Н.Э. Баумана путем создания исследовательских комплексов различного типа механических систем для научной работы и учебного процесса [1-4].

Физический эксперимент в таких комплексах играет принципиально новую роль, прочно связан с моделированием и позволяет сразу же его проверить и предложить новые идеи для моделирования. Модельные установки, не требующие больших финансовых затрат, создают для основных процессов того или иного большого промышленного комплекса. Их можно дополнять простыми устройствами обратной связи, нелинейностями и другими устройствами, а также соединять одни с другими по принципам построения основного комплекса.

Реально на практике часто встречаются процессы, в которых возникают колебания систем с инерционным возмущением. Авторами настоящей работы создана физическая установка, на которой моделируется такой процесс. Эта установка позволяет проводить научные исследования данного реального физического процесса по различ-

ным параметрам, а также моделировать его с помощью разработанных программ расчетов, записи и обработки экспериментов. Она входит в лабораторный исследовательский комплекс, который можно использовать также и в учебном процессе для исследований линейной модели вынужденных колебаний механической системы с инерционным возмущением.

Лабораторный исследовательский комплекс. Лабораторный исследовательский комплекс включает в себя собственно электромеханическую установку с блоком управления, аналого-цифровой преобразователь (АЦП), ПЭВМ и программно-методическое обеспечение (рис. 1).

Рис. 1. Общий вид лабораторного комплекса

Электромеханическая лабораторная установка (рис. 2, а) представляет собой механическую систему, состоящую из основания 1 с направляющими 2, в которых с возможностью продольного перемещения установлена каретка 4 с колесами 3. На каретке смонтирован механизм возбуждения ее колебаний, состоящий из электродвигателя 5, редуктора 6, маятника 12 и шарнирного механизма, включающего в себя закрепленный на выходном валу редуктора кривошип 7 с регулируемым эксцентриситетом и шток 8. Маятник шарнирно установлен на стойке 11, закрепленной на каретке, и снабжен грузом 13 и рычагом 9, шарнирно соединенным со штоком 8, при этом груз можно закреплять на стержне маятника на различных расстояниях от его оси вращения. Маятник совершает вынужденные колебания в соответствии с законом, близким к синусоидальному. Эти колебания обеспечивают формирование возмущающего воздействия на каретку. Каретка соединена с основанием пружинами 15 и на ней установлены также дополнительные грузы 14. Устройство снабжено потенциомет-рическим датчиком 10 угла поворота маятника и индуктивным дат-

чиком 18 продольных перемещений каретки, блоком 16 электропитания электродвигателя и датчиков и ПЭВМ 17. При этом датчик 18 выполнен в виде катушки, установленной на основании 1, и ферромагнитного стержня 19, закрепленного на каретке.

Сменные пружины 15 и грузы 14 позволяют изменять жесткост-ные и инерционные свойства системы, получать и исследовать различные амплитудно-частотные (АЧХ) и фазочастотные (ФЧХ) характеристики вынужденных колебаний каретки.

Рис. 2. Конструктивная (а) и расчетная (б) схемы электромеханической

установки

Установка может быть использована для исследований в различных вариантах. В настоящей работе представлен ее вариант, в котором каретка соединена с неподвижным основанием двумя пружинами, а маятнику сообщается от электродвигателя принудительное колебательное движение. В этом случае изучают установившееся колебательное движение каретки. Исследования проводят на основании принципа сравнения экспериментальных и теоретических данных. Для вынужденных колебаний каретки, вызванных возмущением инерционного типа, при изменении частоты вынужденных колебаний строят теоретические кривые АЧХ и ФЧХ. Вычисление амплитуды и разности фаз осуществляется на основе анализа сигналов, снимаемых с датчиков угла отклонения маятника и линейного перемещения каретки, т. е. сигналов возмущения и вынужденных колебаний. Запись сигналов и их обработку, получение параметров вынужденных колебаний тележки проводят с помощью аппаратно-программного комплекса ПЭВМ. Пары измерений частота — амплитуда, частота — разность фаз отображаются в виде точек на экране дисплея, и при постепенном изменении частоты возмущения они сливаются в размытые линии, которые соответствуют реальным АЧХ и ФЧХ. Программное обеспечение рассматриваемого комплекса реализовано как

а

б

в оригинальном исполнении, так и в среде системы LabView 7.0 в виде виртуального прибора, на экран которого выводятся экспериментальные данные и указанные теоретические зависимости.

Теоретические основы исследований. Рассмотрим линеаризованную математическую модель движения каретки без учета сопротивления. На расчетной схеме установки (рис. 2, б) электродвигатель и механизм привода маятника не показаны. Масса каретки равна M. Массу маятника m считаем сосредоточенной в точке C. Длина маятника OC = l. Колеса 3 совершают плоское движение, но в силу их малой массы будем учитывать ее в общей массе каретки M при прямолинейном поступательном движении последней (т. е. вращение колес не учитывается). Система имеет две степени свободы, введены две обобщенные координаты: x — линейное перемещение тележки и ф - угловое отклонение маятника. Изменение координаты ф задано, а уравнение х = x(t) необходимо определить. Примем, что колеса катятся без скольжения, поэтому работа на перемещениях точек приложения сил N, N',^тр,F' равна нулю.

Для составления дифференциального уравнения движения каретки используем уравнение Лагранжа 2-го рода

- — = Qx. (1)

dt дх дх

^ Mv2 mvC (M + m )x2 ml 2ф2

Здесь 1 =--1--= -----mxxlcp cos ф+--— кинетиче-

2 2 2 2

ская энергия системы; v = |v | = x — скорость каретки; vC = vr + ve — скорость точки С, vr = OCф = lpp, ve = v, vC = (ve + vr )2 = x2 +12ф2 + + 2 x 1ф cos(п - ф) = x2 + 12ф2 - 2 x 1ф cosф.

Обобщенная сила

Г-с (x0 + x) - с ( x - x0 )]5x

Qx = ^-^-= -2cx,

5x

где x0 — начальная деформация пружин; с — жесткость пружин.

С учетом выражений для T и Qx уравнение Лагранжа 2-го рода принимает вид дифференциального уравнения для вынужденных движений

(M + m)x + 2cx = ml (ф cos ф - ф2 sin ф).

В правой части уравнения находится нелинейная обобщенная возмущающая сила. При малых значениях ф правая часть уравнения

приближенно равна « ml (ф -ф2ф) (слагаемое ф2ф — величина третьего порядка малости).

Угол ф задан принудительно: ф = p0sin (ct + 5), где фо, ш — амплитуда и частота кинематического параметра возмущения ф. Определим первую и вторую производные по времени параметра ф:

ф = ф 0ш cos (шt + 5), ф = -ф 0ш2 sin (ct + 5).

В силу сделанного ранее предположения о том, что ф — малая величина, линейное дифференциальное уравнение движения системы можно записать как

(M + m )x + 2cx = т1ф = -т1ф 0ш2 sin (шt + 5)

или

x + K2 x = - h sin (шt + 5), (2)

где

к J-2^, h=m^.

\M + m M + m

Здесь K — частота свободных (собственных) колебаний системы без учета сопротивления (по координате x).

Интерес представляют вынужденные колебания каретки (системы). Найдем решение уравнения (2) в виде хв = ав sin (ct + 5), где амплитуда вынужденных колебаний определяется соотношением -a вш2 + a в K2 = -h и, следовательно,

Хв = 2 ^ „2 sin(cot + 5)

ш2 -K2

и

m.1ф 0ш2 m1ф 0Z2

(M + m)(ш2 -K2) (M + m)(Z2 -1)

(I = ш/К — коэффициент расстройки, ш — круговая частота вынужденных колебаний, равная частоте возмущения).

Если не учитывать сопротивление, то разность фаз в вынужденных колебаний и возмущения составит 0, п/2, п в зависимости от соотношения ш и К.

При проведении экспериментов устанавливают (задают) частоту возмущающего воздействия ш и определяют величины фо, а в = |хт| и К.

Введем коэффициент динамичности:

Х = = (3)

/ф0 M + m

Z2 -1

Теоретическую кривую X = Х(2 постоим по формуле (3). Экспериментальные точки, определяемые координатами хщ и шг-, нанесем

на график. Для этого найдем значения = шг- / К и Xi = |/(/ф0).

Возможен более точный учет распределения масс маятника, совершающего плоское движение. Например, если учитывать массу ш1 стержня маятника, считая его однородным стержнем длиной /1, выражение для кинетической энергии можно записать в виде

Т = Мх2 + шУс2 + Л^Ф2 + ш1у1С1

где

Vci = Vei + Vn, Vei = V, VriT = 2 ф,

Vcl = (vei + Vn)2 = x2 + -Jф2 - 2x2 ф cos ф .

Окончательно получим

T = --—--f m + mi 2 J x/ф cos ф+ m/2 + JCz + m1 — J—.

2 ^ 2 / J^^f Ciz 1 4 J 2

Если при этом учитывать сопротивление при колебаниях каретки с маятником, то обобщенную силу можно представить в виде:

Qx = -2cx - |ix,

где ц — коэффициент вязкого трения.

Тогда уравнение движения системы принимает вид

(M + m + m1 ) x + | x + 2cx = f m + m y J /ф = = -fm + -^2"у|/ф0®2 sin (cot + 5)

или

x + 2nx + К2 x = -h sin (wt + 5). (4)

Здесь

К =1 2с , 2п =-Д-, И Д 2 1

Ш\ /\ | , 2

т +---I/ф 0ш2

\М + т + т1 М + т + т1 М + т + т1

Таким образом, с учетом массы стержня получим

т\ 11 | ,„ „ 2

т + "2~ у | /ф о®

( + т + т1 ))(2-ш2) + 4п2

^2ш2

т, /,

т + —1-— гу

^ = ^ = 2 /__7

2

/ф 0 М + т + т,

Для разности фаз в имеем

в =

д/(1 - 22 )2 + 7V02 '

7

0 (1 - 72)

откуда

7

в = аг^

0 (1 - 72)

(6)

Методика проведения экспериментов. Методику проведения в данном лабораторном комплексе экспериментов по изучению вынужденных колебаний механической системы с инерционным возмущением рассмотрим на конкретном примере. Пусть масса груза маятника т = 1,056 кг, масса тележки М = 5,557 кг (без дополнительных грузов 14 (см. рис. 2, а)). Приведенные ниже результаты испытаний получены без дополнительных грузов и при длине маятника / = 0,196 м. По результатам экспериментального замера жесткости пружин среднее значение их коэффициента жесткости равно сср = 217,8 Н/м. Частота свободных колебаний тележки с маятником, полученная расчетным путем при этом значении сср, К « 8,068 рад/с. Значения К, обусловленные разбросом измеренных величин жесткости с, лежат в диапазоне К^7,88 ... 8,20 рад/с.

Непосредственно определить обобщенный коэффициент сопротивления системы п (или д) весьма трудно, поэтому найдем п с помощью эксперимента. Чтобы оценить параметры К и п зарегистрируем собственные затухающие колебания системы каретка — маятник. Для этого отклоним систему (каретку с маятником) в крайнее допустимое конструктивно положение и отпустим ее без начальной скорости. Определим круговую частоту затухающих колебаний

«в =

К1 = 2п / Т1, круговую частоту свободных (собственных) колебаний

системы без учета сопротивления К = л]К12 + п2 (Т1 — условный период затухающих колебаний системы). Декремент колебаний системы и ее логарифмический декремент колебаний

О = д1 / д1+1

= епТ1

и

откуда

1п О = 1п

Чг+1

= пТ1,

^ Чг п = — 1п-

Т1 Чг+1

В качестве примера на рис. 3 приведен фрагмент записи на экране виртуального прибора свободных колебаний данной системы при выключенном электродвигателе.

Рис. 3. Фрагмент записи свободных колебаний системы

Рассчитаем значения К и п, а также добротность системы 0 = К / 2п. Найдем по отметкам курсора условные период и частоту затухающих колебаний каретки с маятником

= 5685 1763 = 44 с, = , = рад/ 1 5 • 103 Т1 ^

Определим коэффициент сопротивления и частоту собственных колебаний

К Чг п =-1п-

1

1п 4,5246 = 0,2076 рад / с,

5Т1 qi+5 5 • 0,7844 2,0044

К = у1 К12 + п2 = 8,013 рад/с.

Здесь частота колебаний немного меньше ее значения (8,068 рад/с), полученного выше расчетным путем без учета массы стержня маятника по формуле К = Л/———.

V М + т

Затем включим электродвигатель и постепенно будем увеличивать частоту возмущения маятника ш (частоту вынужденных колебаний тележки). С помощью датчиков линейных (х) и угловых (ф) отклонений и специальных программ для ЭВМ зарегистрируем частоту вынужденных колебаний и соответствующее ей значение максимального отклонения каретки от положения равновесия (шг, хщ ) и получим записи вынужденных колебаний каретки при различных значениях частоты колебаний маятника, например при ш < К (см. рис. 4).

Рис. 4. Фрагмент записи колебаний маятника и каретки при со < К

На рис. 4 приведены зависимости от времени возмущений (колебание маятника) и вынужденных колебаний каретки при частоте

ш = 7,7208 рад/с < К, и коэффициенте динамичности X = =

/ф о

1,7900 тт„ ^ / ч

= о 3571 = 5,013. Найдем разность фаз 8 = ув-у = ю(t1 -12) = шА^

где у — фаза вынужденных колебаний; At — запаздывание по времени вынужденных колебаний каретки (отклик) по отношению к колебаниям маятника (сигнал возмущения):

2841 — 2770

е = ш At = 7,7208—-^^ = 0,5482 рад

103

или

8* 31,41°.

При этом коэффициент расстройки 2 = — = 0,9619.

К

На рис. 5 представлены теоретические АЧХ и ФЧХ вынужденных колебаний каретки, рассчитанные по формулам (5), (6), а экспериментальные значения приведены в виде совокупности точек, образующих размытые линии.

Рис. 5. АЧХ и ФЧХ на экране виртуального прибора

В частности, экспериментальным точкам на рис. 5 удовлетворительно соответствуют приведенные выше на рис. 4 результаты обработки записи вынужденных колебаний. Однако теоретическая АЧХ

лежит немного выше экспериментальной. Значения разности фаз во всем диапазоне частот практически совпадают с теоретическими, в то время как экспериментальные точки для амплитуды в области резонанса имеют больший разброс относительно теоретических значений, что отражает влияние нелинейных свойств системы на ее АЧХ. Тем не менее, частота резонанса по АЧХ и ФЧХ хорошо совпадает с теоретическим значением. Таким образом, результаты экспериментов подтверждают допустимость применения линейной модели для анализа работы лабораторной установки.

Исследования могут быть дополнены другими научными вопросами (например, исследование АЧХ и ФЧХ при другом уровне сопротивления в системе, влияние нелинейностей и др.).

Моделирование колебаний реальных объектов (установок). Обобщим типовые схемы таких реальных механических объектов, в которых имеется инерционное возмущение (рис. 6).

Применяя уравнение Лагранжа 2-го рода (1), для приведенных на рис. 6, а-е схем механических систем (диски — однородные, качение — без скольжения) имеем соответственно следующие дифференциальные уравнения движения:

с

x + K2x = h sin (oí + 5), h = s0o2, K2 =—;

т

c m

x + K2x = h sin (oí + 5), K2 =-, h =-s0o2;

m + m1 / 2 m + m1 /2

c m

s + K2s = h sin (oí + 5), K2 =-, h =-x0o2; (7)

m + m1 +M m + m1 +M

2c 2

x + K2x = h sin (oí + 5), K2 =—, h = — s0o2;

3m 3

s + K2s = h sin (coi + 5), K2 = —-—, h = ———x0o2;

m + M m + M -—

s + K2s = h cos (coi + 5), K2 =-, h =-/o2.

M + m M + m

При движении можно учитывать сопротивление как д s или д X, тогда, например в последнем варианте системы дифференциальное уравнение (7) принимает вид:

s + 2ns + K2 s = h cos(ot + 5), 2n = —Д— .

M + m

Рис. 6. Типовые схемы реальных механических объектов с поступательными движениями тел при s = s 0sin (ot + 5) (а); колеблющейся установки при

s = s 0sin (ot + 5) (б); механической системы с подпружиненным корпусом при X = x0sin(ot + 5) (в); системы с плоским движением тела при s = = s0sin (ot + 5) (г); второго варианта системы с плоским движением тела при X = x0sin(ot + 5) (д); системы с вращающейся деталью при 9 = ot,

o = const (е)

В силу того, что дифференциальные уравнения во всех рассмотренных случаях аналогичны уравнениям (2), (4), созданная установка, позволяет получать АЧХ и ФЧХ для реальных установок (натурных объектов) при одинаковых значениях добротности модели и натурного объекта Q м = Qн.

Рассмотрим вариант (см. рис. 6, а), в котором задано движение платформы в соответствии с законом s = s0 sin (ot + 5). В этом случае коэффициент X определяется формулой

х = 2

,/(1 - г2)2+г2

в которой все величины безразмерные и поэтому уже являются инвариантами при моделировании.

При 2 = — = ту = 11, Q = — = ту = I2, коэффициент динамич-К 2п

ности

X = ту = I.

Это означает, что при выполнении условий для инвариантов Iь 12 (коэффициентов подобия) можно получить одинаковые значения X для любых экспериментов.

Использование лабораторной установки в качестве модельной позволяет развить теорию моделирования и предсказать вид зависимости Х( 2, Q ) для натурного объекта.

Выполняя условия инвариантности, получаем следующие выражения:

ЧЮн =®. " 122 =(Юн ^ -

Из выражения для 11 получим шн/юм = Кн/ Км. Отсюда следует, что можно ввести масштабный коэффициент для отношения собственных частот натурного объекта и модели тК. Значение тК может быть больше или меньше единицы, что зависит от параметров натурного объекта. Следовательно, необходимо выполнить условие Юн/®м = т—.

Кроме того, из выражения для 12 получаем

пн К н

= —— = т—. п К

"■м

Если условия (8) выполнены, безраз мерные параметры 2 и Q равны для натурного объекта и модели: 2н = 2м, Qн = Qм, то Х = I, т. е. Xн = Хм и кривые Х(2, Q) для них совпадают.

Таким образо м, изложенная в работе методика позволяет проводить физическое моделирование и строить АЧХ и ФЧХ для модели и в то же время для натурных объектов. При этом собственные частоты К и коэффициенты сопротивления п для модели и натурного объекта отличаются в тК раз.

2

В случае вынужденных колебаний инерционного типа массовый коэффициент в зависимостях X = Х(2, О) не всегда равен единице, поэтому для него также нужно ввести коэффициент подобия 13, например, как в данной экспериментальной установке (см. (3))

Л =1 m

M + m ) т. е.

( m Л ( m

I M + m ) н 1 M + m ) м

V / н V Ум

Следует отметить, что зависимости X = X(Z, Q) уже при Z « 2

m

стремятся к предельному значению lim X =-, равному 13. Кро-

м + m

m

ме того, при резонансе X Z=1 =-Q.

M + m

Приведем пример моделирования колебаний натурного объекта при mk = 1, 2.

На рис. 7 представлены АЧХ и ФЧХ лабораторной установки, полученные при обработке результатов экспериментов с помощью оригинального программного обеспечения (кривые 1 и 2).

Рис. 7. Построение кривой моделирования

Безразмерные зависимости s = s(Z, Q) и Л = Л(Z, Q) модели и натурного объекта (см. (6)) в силу равенства Qм = Qн при моделировании совпадают (кривые 1 и 2 на рис. 7), при этом Юн = Юм Шк.

На этом же рисунке построена зависимость Лн = Лн (ю) для натурного объекта (кривая 3), причем в этом случае по оси абсцисс отложены значения ю в рад/с (нижняя ось абсцисс на рисунке). Кривая 3 смещена вправо по отношению к кривой 2 и при резонансе Лн = Лм, но pм = Kм « 2,8 рад/с, а Юн =юишг = 2,8• 1,2 = 3,36 рад/с.

Заключение. В настоящей работе показано, что в различных промышленных устройствах процессы колебаний при их инерционном возбуждении описываются дифференциальными уравнениями, аналогичными дифференциальным уравнениям движения разработанной экспериментальной установки (модели), что позволяет применять ее для математического и физического моделирования процессов колебаний реальных промышленных объектов. Приведены параметры подобия, позволяющие осуществлять такое моделирование и получать АЧХ и ФЧХ различных промышленных устройств, используя рассмотренную лабораторную установку.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Дубинин В.В., Жигулевцев Ю.Н., Назаренко Б.П., Ремизов А.В. О внедрении новых информационных технологий в учебный процесс по курсу «Теоретическая механика». Тр. Научно-методической конференции, посвященной 35-летию образования факультета «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Москва, 20 декабря 1999 г. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999, с. 65-66.

[2] Дубинин В.В. Физический эксперимент в некоторых задачах механики. Тр. зонального совещания-семинара заведующих кафедрами теоретической механики Центрального и Приволжского федеральных округов РФ. Издательство Ульяновского гос. ун-та. Ульяновск, 2002, с 14-15.

[3] Дубинин В.В., Жигулевцев Ю.Н., Назаренко Б.П. Автоматизированный лабораторный комплекс «Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы». Сб. научных статей, посвященный 125-летию кафедры теоретической механики. ИМТУ — МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 2003, с. 48-56.

[4] Дубинин В.В., Витушкин В.В., Назаренко Б.П. Современный лабораторный комплекс по теоретической механике. Интеграция образования, науки и производства. Материалы секционного заседания Междунар. конф. IXМеждунар. форума «Высокие технологии XXI века». Москва, 23 апреля 2008 г. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008, с. 153-156.

Статья поступила в редакцию 26.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Дубинин В.В., Витушкин В.В. Моделирование колебаний с инерционным возмущением. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 12. URL: http://engjournal.ru/catalog/eng/teormech/1146.html

Дубинин Владимир Валентинович родился в 1937 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1961, канд. техн. наук, доцент кафедры теоретической механики имени профессора Н.Е. Жуковского. Автор около 250 работ в области динамики и теории удара. е-mail: fn3@bmstu.ru

Витушкин Вячеслав Валентинович родился в 1942 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1968 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры теоретической механики имени профессора Н.Е. Жуковского МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 100 научных работ в области прикладной аэрогазодинамики и теоретической механики. e-mail: vitushkin.fn-3.bmstu@yandex.ru