CC BY
23
УДК 338.2:658.87
С.М. Сергеев
МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛИЕНТСКИХ ПОТОКОВ В УЗЛЕ РИТЕЙЛЕРА
Крупные ритейлеры в России продолжают региональную экспансию и приблизились к европейским показателям, когда основные игроки (обычно первая десятка) контролируют, как правило, до 80 % рынка. Развивающиеся региональные сети весьма привлекательны для банков. Данные компании имеют реальную возможность заимствовать под умеренный процент через привлечение облигационных займов, выход на IPO, использование иных финансовых инструментов. В свою очередь, банки активно ищут хороших кредиторов, а ритейл - это один из немногих секторов экономики, который стабильно маржинален и в меру прозрачен и контролируем. В связи с этим необходимо решать проблемы, связанные с тиражированием бизнеса на территории России, где имеются сложности, причем не только из-за дефицита инфраструктуры и логистики, но и отсутствия научно обоснованных методик расчета. Надо отметить, что достоинством такого вида организации бизнеса является возможность проведения единой маркетинговой и дистрибьюторской политики. Это облегчает задачу разработки математических моделей [1], необходимых не только для анализа деятельности отдельного коммерческого предприятия, входящего в сетевую структуру, но и для целей системного управления, прогнозирования и перехода на опережающие экономические показатели [2, 3]. Решение данной проблемы позволит обоснованно привлекать кредиты на развитие бизнеса, а возможность с большой долей вероятности предвидеть перспективу работы будет главным козырем для колеблющихся
инвесторов. В данной работе изложены результаты моделирования потоков в узле сети ритей-лера и решения встречной задачи восстановления характеристик коммерческого объекта по срезу операционных данных.
Представим в агрегированном виде структуру потоков (рис. 1):
Здесь C - входящий (customer) поток; R -выходной необслуженный (refused) поток; S -выходной обслуженный (served) поток; D - входящий (delivery) товарный поток; Sold - выходной поток.
Очевидно, что в i-й день по результатам деятельности должны удовлетворяться соотношения
С = R + S, + 4, Di +Wi_1 = Wt + Bi,
где C. - число потребителей, посетивших точку; R. - число необслуженных потребителей; S. -число обслуженных потребителей; Ai - число аккомпанирующих обслуженным потребителям; Di - объем доставки; Wi - объем товара на складе и экспозиции узла; B. - приобретенный объем.
Такое представление необходимо по причине того, что в отдельно взятый день, вообще говоря D. Ф B. . Сразу отметим, что стратификация не изменит сути подхода, просто увеличится число параметров модели. Интенсивность входящего потока X зависит от многих факторов, но можно выделить ряд периодов в течение времени работы узла, когда X можно считать постоянной. Также существует зависимость интенсивности X от дня недели и сезонная зависимость [4].
■С
и in \ ---d
r s-iniv Узел
C
mi—
торговой сети _
1 ----Sold
Рис. 1. Структура потоков
^НаучнО-Технические^ведомости^СПбГПуЗ
Моделирование потоков в течение выбранного периода позволит решить ряд проблем, определяющих величину финансовых показателей. В их числе разумный баланс между складскими, экспозиционными площадями и количеством POS (point of sale) терминалов. Отсюда вытекают связанные показатели степени организации обслуживания, загруженности персонала, HR структуры, емкости, алгоритма и эффективности работы складов в условиях трафика, необходимого для поддержания темпа торговли. Поскольку в настоящее время POS-терминал имеет государственную регистрацию как единый программно-аппаратный комплекс и его функционал имеет тенденцию к усложнению, итоговые расходы на содержание дополнительных единиц могут быть сравнимы с величиной прибыли от их введения в строй.
Постановка задачи. Необходимо составить математическую модель движения производственных потоков в узле. При этом период работы разделен на отрезки времени, где можно считать постоянными интенсивность входящих потоков. Далее полагается, что в течение периода работы имеются данные о предельной величине очереди на обслуживание и предельном времени, которое клиент согласен потратить. Решение указанной задачи необходимо представить таким образом, чтобы результаты моделирования были применимы для нахождения баланса между расходами на содержание обслуживающего персонала и POS-терминалов (включая влияние уменьшения экспозиции) и неполученным доходом, который складывается из неосуществленных покупок, потери клиентов от утраты репутации и снижения уровня лояльности.
Составление математической модели. Количество потребителей C . в течение дня распределяется неравномерно и характеризуется интенсивностью входящего потока X. Ее значение может определяться различными способами (процесс измерения может быть автоматизирован снятием показаний с емкостных датчиков, обработки данных с камер). Данные выходного обслуженного потока S. определяются с сервера POS терминалов, что сразу даст интенсивность потока обслуживания (количество совершенных платежей). Необслуженный поток складывается из R . - части
посетителем, отказавшихся совершать покупку по причине большой очереди или слишком большого времени ожидания, и А. - аккомпанирующего потока (той части посетителей, которые совершали поход не в одиночку), который можно учесть, разложив входной поток. Соотношение к общему числу определяется, например, подсчетом занятых тележек или корзин. Считаем, что все операторы РОБ-терминалов имеют схожую квалификацию и, таким образом, близкое среднее время обслуживания. Соответственно значение показателя интенсивности ц потока на выходе также поддается измерению.
Применение классических формул стационарного режима, полученных из системы уравнений Колмогорова [5], некорректно ввиду того, что время выхода на установившийся режим может оказаться одного порядка с периодом изменения показателей случайного процесса (интенсивности).
Разделив время работы узла на несколько периодов, запишем для любого из них систему дифференциальных уравнений относительно вероятностей состояний. Разумеется, параметр X относится только к рассматриваемому периоду. Для этого используем символику Кендалла: М / М / п / О, где первая буква дает информацию о законе поступления требований в систему, причем М означает пуассоновский поток требований. Вторая буква обозначает закон поступления требований в систему; в рассматриваемом случае вторая М - экспоненциальное обслуживание, п -число параллельно функционирующих каналов обслуживания (РОБ-терминалов), О - допустимое число требований в системе, т. е. сумма числа покупателей в очереди 6 и числа клиентов, принятых на обслуживание. Поскольку производная вероятности любого состояния равна сумме потоков вероятности, переводящих систему в это состояние, минус сумма всех потоков вероятности, выводящих систему из этого состояния. Имеем:
= -XP0
dpo
dt dP
dP = Щ -(X + ¿)P + 2цР2; dt
P dt
■ = XPK -1-ny.PK.
Перепишем систему в матричном виде: P' = QP, где Р - вектор вероятности состояний, Р = (р)(0, Р](0, •••, PQ(0), матрица О размерности О х О имеет диагональный вид:
Q =
-X ц 0 - 0
X -(X + ц) 2ц - 0
0 X -(X + 2ц) - • 0
X - 0
0 0 0 - • -пц
(2)
Из полученного массива решений нас интересует, прежде всего, Pq (t). Данное значение позволит рассчитать число необслуженных посетителей. Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ODE) могут быть применены численные методы. Для этого применим пакет MATLAB, в котором реализованы специальные функции-решатели. Воспользуемся функцией ode23. Далее, выполнив общий порядок программирования, создадим М-функцию с описанием правых частей дифференциальных уравнений и М-сце-нарий с выбранным решателем. Кроме графического представления результатов в программе предусматривается вывод ассоциированного с LibreOffice файла, содержащего массив вероятно-
стей Р. На рис. 2 представлены результаты расчета системы формата M / M /12/19.
Результаты расчета системы форматов M/M/6/14, M/M/12/19, M/M/18/25, типичных для средней величины узлов ритейла, подтвердили ряд предположений относительно характера поведения решения. Во-первых, стало очевидно, что система выходит на стационарное решение через достаточно большой промежуток времени, сравнимый с периодом, на котором можно допускать постоянство интенсивности входящего потока. Во-вторых, сравнение с проведенным расчетом вероятностей Р* в установившемся режиме по известным формулам Эр-ланга [6] дало исходные данные для анализа модели. Это позволило отметить участок интенсивного роста величины P(t) заканчивающийся на уровне 0,8...0,85 от горизонтальной асимптоты, совпадающей со значениями P*. После этого в программу был введен дополнительный модуль, информирующий о достижении заранее заданного уровня от P*. Это дает возможность смоделировать систему принятия решений заблаговременно до неблагоприятного насыщения каналов обслуживания (линий POS-терминалов).
Рис. 2. Результаты расчета системы формата М / М / 12 / 19 - P19(t) зависимость вероятности отказа в обслуживании; ( ) - Р06(0 - зависимость вероятности наличия половины свободных POS
Другим важным результатом можно считать то, что моделирование данной системы в МЛТЬЛБ и обработка полученных данных позволяют сделать вывод о возможности применения аппроксимации вида р (/) = у - Р (! + 5)-1 при условиях:
у=
а
п!
О-п
8=-
уп О - п
I Т7+"Г II -
к! п! , = 1 I п
к = о
Р=-
у
РО И
--г
(3)
X
а = —
4 рд (Г)
({ - удовлетворяет соотношению Рд (Г) = у / 2, где
у - стационарная вероятность из решения системы уравнений (1), определяемая по формулам Эрланга [6]). На рис. 3 представлена аппроксимация решения в ЫЬгеОГГюе Р19(0 из рис. 2.
Моделирование обслуживания М / М / п / О с ограничением нахождения в очереди определяемым значением V - интенсивности ухода приводит к матрице следующего вида:
-X Ц 0 0 0 . 0
X -(X+ц) 2ц 0 0 . 0
0 X 2ц) 3ц 0 . 0
0 0 X 3ц) 4ц . 0
0 0 0 X 4ц) . 0
0 0 0 0 0 X -(тц+К V
Причем, применение аппроксимации, сходной с (3), также позволяет перейти к аналитическому исследованию процессов в узле.
Таким образом, получена работоспособная модель, описывающая поток через сетевое предприятие. Решая данную систему для набора X, что соответствует изменению интенсивности посещения, когда выходные данные одного решения являются начальными для следующего, получаем полную картину процесса для рабочего дня.
Полученное представление результатов в виде простых соотношений дает возможность строить приближенные расчеты для оценок параметров узла. Моделирование потока товаров производится аналогично. При этом исходными данными являются: объем доставки В. , наличный запас Ш . , уход В. . В этом случае в уравнения вида (1) параметры интерпретируются как количество пунктов приема-выдачи склада, интенсивность обслуживания кладовщиками (время укладки-поиска товара).
В данной задаче наибольший интерес представляет решение обратной задачи: по характеристикам потоков восстановить показатели процесса. Имея аналитические выражения (3) и зная плотность входящего потока, степень его разрежения, а также 6 и ц, найти такие значения п, чтобы доля необслуженных клиентов
5 10 15
Обшре Еремя обсл\™гания Рис 3. Аппроксимация решения ЫЬгеОГйсе Моделирование параметров М / М / 12 / 19
п
не превышала некоторого значения L (lost). Причем должна удовлетворяться связь F(L, п, 6, ц, b, e) > 0, т. е. функция, связывающая изменение п - числа POS с доходом от изменения совершенных покупок через величину среднего чека b и издержками e - на содержание терминалов, персонала, а также вызванными уменьшением площади экспозиции. В простейшем случае рассматривались соотношения вида: TXPq (X, ц, 6, n)b - ne > 0, где T - нормирующий коэффициент, зависит от выбранных единиц измерения. Данная проблема также решается с использованием вышеприведенного математического аппарата.
Итак, представленная в данной работе математическая модель позволяет проводить расчет потоков в ритейлерском узле. Результаты решения такой задачи могут использоваться как при проектировании коммерческих торго-
вых предприятий, так и промежуточных товарных складов. Знание характеристик потоков через узел сети дает возможность определять более рациональную структуру его организации и, кроме того, формировать комплекс мер по расчету основных экономических характеристик. На основе полученных данных могут быть вычислены операционные характеристики системы коммерческих предприятий, имеющей сетевую структуру [3], что позволяет спроектировать экспертную систему оценки параметров узла торговой сети. Реализация математически обоснованного подхода необходима, в первую очередь, для прогноза экономических показателей. Другим приложением изложенной методики решения прямой и обратной задач может быть расчет бизнес-планов, что является важным аргументом для привлечения банковских кредитов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сергеев, С.М. Математическое моделирование сети торговых предприятий [Текст] / С.М. Сергеев // Вестник Воронежского государственного университета. - 2012. - Т. 8, № 1. - С. 66-71.
2. Сергеев, С.М. О моделировании опережающих показателей торгово-экономических процессов [Текст] / С.М. Сергеев // Современные методы теории краевых задач: матер. ВВМШ. - Воронеж, ВГУ, 2010. -С. 199-201.
3. Борисоглебская, Л.Н. Моделирование динамических процессов в сетевых объектах с саморегулируемыми экономическими связями [Текст] / Л.Н. Борисоглебская, С.М. Сергеев // Математика и ее приложения / Ивановское математическое общество. -
Иваново, 2012. - С. 7-15.
4. Сергеев, С.М. Аппроксимация линий спроса рядами Фурье в задаче прогнозирования торговой деятельности [Текст] / С.М. Сергеев, М.З. Паничева // Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXII». - Воронеж: ВГУ, 2011. - С. 171-173.
5. Афонин, В.В. Основы анализа систем массового обслуживания [Текст] / В.В. Афонин, С.М. Мурю-мин, С.А. Федосин. - Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2003. - 236 с.
6. Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения [Текст] / Е.С. Вентцель, Л.А Овчаров. - 2-е изд. - М.: Высш. шк., 2000. - 383 с.
