CC BY
22
Фестник^Т^ИЖ № 4, 2012
УДК 621.7.043
Соискатель И.В. Фоменко
(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра технической механики, тел. (473) 255-47-20
Моделирование кинематики пластического течения при формообразовании гофра облегченного фланца
Определение предельных возможностей формообразования гофра фланца раздачей со свободным перемещением конца трубной заготовки в жестких разъемных матрицах эластичной средой.
The determination of the forming maximum possibilities of the flange corrugation by stretching with a free movement of the billets end in the rigid sectional matrices detachable by the flexible filler.
Ключевые слова: штамповка эластичной средой, предельные возможности.
Для авиастроения традиционно актуальным является уменьшение веса при одновременном повышении прочности конструкции, а также сокращение времени на капитальный ремонт воздушных судов. Эту задачу решают в том числе с применением быстроразъемных соединений, реализованных посредством облегченных фланцев (рис. 1) из титановых сплавов. Преимуществами данных соединений являются быстрота, удобство и легкость при многократном монтаже титанового трубопровода, его ремонте или частичной замене [1].
Рис. 1. Облегченные фланцы из сплава ПТ-7М с диаметром условного прохода 90 мм
Процесс формообразования зига облегченного фланца подразделяется на две стадии: штамповка гофра с целью предварительного набора материала в зоне интенсивного пластического формоизменения; калибровка гофра с целью придания ему окончательной формы зига фланца (рис. 2).
© Фоменко И.В., 2012
Наиболее ответственной является первая стадия штамповки, на которой возможно образование браковочных признаков в виде недопустимого утонения стенки и разрыва материала, поэтому для оценки предельных возможностей процесса была предложена математическая модель кинематики пластического течения в конечный момент формообразования предварительного гофра фланца (рис. 3).
В силу наличия горизонтальной плоскости симметрии будем рассматривать верхнюю половину гофра. В пределах рассматриваемой части облегченного фланца выделим три зоны: I - переходная зона между основной трубой и гофром; II - основная часть гофра; Ill - вершина гофра.
Для описания геометрии используем следующие системы координат: в зоне I - тороидальную систему координат r, 9, ф (ф - угловая координата в плоскости, перпендикулярной оси симметрии фланца (на рис. 3 не показана)); в зоне II - цилиндрическую систему координат z, r, ф; в зоне III - тороидальную систему координат r, 9, ф.
В принятых системах координат границы зон определяются следующими неравенствами [2]:
к
зона I: ri < r < ri + t; 0 < 9 < — ; 0 < ф < 2п,
2
зона II: r2 - t < z < п, Ri < r < R2; 0 < ф <2п,
к
зона III: r2 - t < r < п, 0 < 9 < — ; 0 < ф < 2п.
2
Поле скоростей, моделирующее пластическое течение в каждой зоне должно удовлетворять соответствующим условию несжимаемости и кинематическим краевым условиям.
^естник^ТУИЖ, № 4, 2012=
Рис. 2. Схема штампа для калибровки облегченных фланцев: 1 - плита; 2 - нижняя полуматрица; 3 -фланец с предварительным гофром; 4 - фланец с откалиброванным гофром; 5 - верхняя полуматрица; 6 - пуансон эластичный; 7 - прижим эластичный; 8 - корпус; 9 - пуансон жесткий; 10 - крышка
Рис. 3. Конфигурация и геометрические параметры предварительного гофра облегченного фланца: r и r2 - радиусы кривизны поверхности ручья матрицы
Для формообразования осесимметрич-ных элементов трубопроводов применяют процесс штамповки раздачей со свободным перемещением конца трубной заготовки в жестких разъемных матрицах эластичным пуансоном. В силу осевой симметрии гофра принимаем, что во всех зонах компонента вектора скорости Vv = 0, а остальные компоненты вектора скорости не зависят от координаты ф.
Зона III. Условие несжимаемости для данной зоны имеет вид:
(1)
Sr + scp+se =
где линейные компоненты тензора скоростей деформации имеют вид
0v
s =-r-r dr
s =-
v R2 + r cose
(Vr cose- Ve sine);
1, V r„
r ов
Компоненты скорости Vr и Ve должны удовлетворять краевым условиям:
Vj = 0; VJ = 0. (2)
e=o
Принимаем, что
Vr = r2 - r ,
тогда
dV
sr = — = -1.
dr
(3)
Подставляя (3) в (1), получим следующее уравнение для определения скорости Vв:
1
R2 + r cos в
[(r2 - r) cos в- Ve sin в]
+!(dVe + r2 - r) -1 = 0
r de 2
(4)
Толщина стенки фланца t является достаточно малой величиной. Поэтому с целью упрощения расчетов в (4) можно принять
Г - Г2 . (5)
С учетом (5) соотношение (4) принимает
вид:
dVe
r sine
de r2 + r cose
-■Ve-r = 0.
(6)
Решение (6) будем искать в виде Ув= u • v,
тогда
du . dv --v + (--
r sine
de
de
r2 + r cose
■ v) ■ u - r = 0.
Принимаем, что
dv
r sine
de r2 + r cose
-■ v = 0.
(7)
Решая (7), находим 1
ln v = ln-
R2 +rcose
=> v = -
R2 +rcose
Используя v, находим множитель u:
1
r2 + r cose de
du n ---r = 0,
u = (R2e + r sin e)r + c1(r) . В итоге скорость Ve равна:
Ve =
(R2e+r sine)r r2 +r cose
+
Ci(r )
R2 +rcose
Используя краевые условия (2), находим, что с1 (г) = 0.
Таким образом, для зоны III будем иметь следующее поле скоростей:
1
Г—Г.
1
^естник^ТУИЖ, № 4, 2012*
У<3) = r - r; VP =
(R— + r sm0)r
R2 +rcos-
Vl3) = 0.
(8)
Зона II. В зоне II линейные скорости деформации равны:
_ дУг ; _ У; _ дУг
£г _ - ; £а _ ; £ г _ - ,
дг г дг
а условие несжимаемости имеет вид
^г + _0. (9)
Компоненты поля скоростей должны удовлетворять краевому условию:
Уг\ _ 0 (10)
г_г2
и условиям неразрывности скоростей между зонами II и III:
V(2)| = у(?)\. у(2)\ = - V(3)|
z
z=R,
2 в=- '-^2 в=-2 2
Для границы между зонами II и III:
г(3) = г(2).
(11)
(12)
Подставляя (12) в выражение для Уг(3), будем иметь
У(2) _ г2 - г, (13)
при этом первое условие (11) и условие (10) будут выполнены.
Из (13) находим
дУ
^ _-1. (14)
дг
Подставив (14) в (9), для определения скорости Уг имеем уравнение:
дУ У
—- + —- -1 _ 0 или
дг г
дг (Уг • г) _ г .
дг
(15)
Решая (15), получаем
Уг = - + r 2
Г , С2(z)
(16)
Для определения постоянной интегрирования с2(г) используем второе условие (11).
Подставляя в выражение для у-3) в = ~~ и r = z (условие (12)), имеем
п
(R2 — + z) z
уй(3) = 2
R,
в=— 2
r = z
Тогда, используя (16) и второе условие (11), определяем
п
Vr(2)|
r=R2
= _2 + С2( z)
Ri 2
R,
(R2- + z) z
R
/ ч тЖ R2
z) = -(R2- + z)z - 2
2
2
В итоге для скорости Vr имеем соотношение:
п
2
r 2(R2- + z) z + R22
Уг =---
r 2 2r
Таким образом, поле скоростей в зоне II описывается соотношением:
п
2(R2 — + z) z + R2
у(2) _ - г . у(2) _ ^___1_2_
У -2 г; Уг 2 2г '
У}2) _ 0. (17)
Зона I. Для тороидальной системы координат г, 9, ф зоны I условие несжимаемости определяется соотношением:
(18)
£r + £р+£в = 0 =
где
е„ = ■
ду;.
dr
1
£р =
Rj - rcose
(Ув sin в - Vr cos();
1 (у- ).
г дУ
Кинематическое краевое условие для данной зоны имеет вид
К\_ 0, (19)
г _г1
а условия неразрывности скоростей на границе между зонами I и II определяются выражениями:
Г0) = -У.
(2) .
уЯ = У(2)
в=- r=R в=- r=R 2 2
Для границы между зонами I и II: z(2) = (r + r2) - r(1).
(20)
(21)
Подставляя (21) в выражение для У^2\ находим из первого условия (20):
У(1)\ = r -r .
Принимаем для зоны I
Vr = r - r,
(22)
при этом условие (19) будет выполнено. Из(22)определяем
дУ
sr =-дТ- = -1. (23)
dr
Подставляя (23) в (18) и принимая, как и для зоны III, r = r1, для определения скорости Ув будем иметь следующее уравнение:
дУв r sin в
—- +--Ув- r = 0.
дв R - r cos- в
(24)
r
Фестпик&ТУМШ, № 4, 2012=
Пусть V0 = u ■ v, тогда (24) принимает
вид:
ды ydv r sin в
—v + (— +-
дв дв R1 - r cose
Принимаем, что
dv r sin в
v)u - r = 0. (25)
- + -
дв R1 - r cose Из (26) находим
dv r sin в
= 0.
(26)
ln v = ln
Rj -rcosв 1
дв,
R1 - rcosв 1
v = -
-• (27)
R1 - rcosO
Подставляя (27) в (25), определяем множитель u
ды
1
■ = r
дв R1 - r ^в ы = (R1в - r sin 6)r + c3 (r).
Таким образом,
ТЛ (Яв- r sin в)r Ув=—-— + -
c3(r )
R1 - r cosO R1 -r cosO Постоянную интегрирования c3(r) найдем из второго условия (20):
V (2)1 = R -
r I 2
r=R z=(r1 + r2)-r тогда
2[R2 Л + (r + r2 -r)](r, + r2 -r) + R22
2Rj
= (R'2 - r )r + Сз(Г) = R
R
R
л 2
2[R2- + (r + r2 - r)] (r + r2 - r) + R
2R,
C3(r) = R2 - R22 - Л
2 - [R2- + (r1 + r2 - r)] X
Л
х(г1 + г2 - г) - (R1 — - г)г.
Таким образом, выражение для скорости Ув в зоне I имеет вид
Ve
(Rft- r si^r R1 -
л
л
R - Ц - 2[R2 2 + (rj + r2 - r)](rj + r, - r) - 2(RJ--r)r
2(R - rcosO) •
Принимаем с целью упрощения расчетов
r = rj, окончательно находим:
Va =
(Я1в- r sin в)r R1 - r cos в
Л
Л
R2 - R22 - 2(R2 + r2 )r2 - 2(R1--r)r
2(R1 - г со8б>) В результате получено, что пластическое течение в зоне I описывается соотношениями:
У(1) = г - г ; У« = 0;
У (1) = г у —
R1 - r cos в R - R¡ - 2(R2 Л + r2 )r2 - 2(R1 Л - r)r
2(R1 - r cos в)
(28)
На основании полученных результатов (8), (17), (28) кинематика пластического течения при формообразовании предварительного гофра фланца описывается следующими соотношениями. Зона I:
V(1) = rj - r ; V« = 0;
O = (RjO- r sin 0)r -0 R1 - r cos 0
R12 - R22 - 2(R2 — + r2 )r2 - 2(R1 — - r)r
2(R1 - r cos в)
Зона II:
r 2(R2 Л + z) z + R22 V(2) = r - z; V^ = 2--^-
( = 0.
Зона III:
K(3) = r2 - r; VÁ3) =
(R2в + r sin в>
R2 + r cos^ ' (
V(3) = 0
ЛИТЕРАТУРА
1. Давыдов, О.Ю. Технология получения элементов быстроразъемных соединений титановых трубопроводов [Текст] / О.Ю. Давыдов, В.Г. Егоров, И.В. Фоменко // Наука и технологии: материалы XXXI Всероссийской конференции. - М: РАН, 2011. - С. 153 - 161.
2. Давыдов, О.Ю. Кинематика пластического течения при формообразовании гофра сильфона [Текст] / О.Ю. Давыдов, В.Г. Егоров, И.В. Фоменко // Новые технологии: материалы VIII Всероссийской конференции. - М: РАН, 2011.- С. 86 - 93.
v
Л
в
2
