CC BY
138
Моделирование изнашивания деформируемых тел на разных масштабных уровнях
И.Г. Горячева
Институт проблем механики РАН, Москва, 119526, Россия
Излагается подход к анализу напряженного состояния и разрушения поверхностных слоев деформируемых тел, основанный на рассмотрении процессов контактного взаимодействия на нескольких масштабных уровнях, определяемых характерными структурными параметрами поверхности и подповерхностных слоев контактирующих тел (микро- и мезомасштабы) и их макрогеометрией. Такой подход позволяет не только оценить влияние геометрических, механических и физических характеристик материалов взаимодействующих тел и промежуточной среды на работоспособность трибосопряжений, но и разработать способы повышения их износостойкости и долговечности, а также снижения энергетических потерь за счет управления процессами трения и изнашивания в тонких поверхностных слоях.
Simulation of wear of deformed solids at different scale levels
I.G. Goryacheva Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia
The paper puts forward an approach to the analysis of stress state and fracture of surface layers in deformed solids. The approach is based on the consideration of contact interaction processes at several scale levels determined by characteristic structural parameters of the surface and subsurface layers of contacting bodies (micro- and mesoscales) and by their macrogeometry. The approach can be used to estimate the influence of geometrical, mechanical and physical characteristics of materials of contacting bodies and the intermediate medium on the performance of friction pairs. Methods of increasing the wear resistance and service life of the pairs and reducing energy loss owing to the control of wear and friction processes in thin surface layers can be developed.
1. Введение
Изнашивание есть удаление материала с поверхности трения вследствие ее разрушения, проявляющееся в постепенном изменении формы и размеров взаимодействующих тел.
Как показали исследования, процесс разрушения поверхности происходит под действием различных причин. Прежде всего, он может быть вызван концентрацией напряжений в приповерхностных слоях материала при трении, приводящей к трещинообразованию и отделению фрагментов материала (частиц износа) с поверхности трения. Этот наиболее распространенный вид износа носит название механический износ, при этом часто слово «механический» опускается. Поскольку механический износ двух тел при трении определяется напряженно-деформированным состоянием их припо-
верхностных слоев, моделирование процесса разрушения поверхности в этом случае должно быть основано на методах механики контактного взаимодействия и механики разрушения. Однако изнашивание характеризуется рядом специфических свойств, выделяющих его в особый вид разрушения, поэтому недостаточно использовать подходы только этих областей механики деформируемого твердого тела для описания фрикционного взаимодействия.
2. Основные этапы моделирования
Специфика износа заключается, прежде всего, в том, что сам факт протекания этого процесса не является критическим для работы сопряжения. Обычно допустимый износ подвижных элементов сопряжений намного больше характерного размера частицы износа. По-
© Горячева И.Г., 2007
этому при работе сопряжений имеет место многократно повторяющееся отделение частиц материала с поверхности трения. Многократность элементарных актов разрушения является основной особенностью изнашивания, отличающего этот процесс от разрушения материала в объеме. После удаления материала с поверхности в результате его изнашивания вновь образованная поверхность снова вступает в контакт. Ее характеристики, включая те, которые определяют скорость изнашивания (микрогеометрия, степень поврежденности и т.д.), зависят от истории процесса фрикционного взаимодействия. Таким образом, изнашивание можно рассматривать как процесс наследственного типа. Кроме того, изнашивание есть процесс с обратной связью. Процессы самоорганизации и формирования равновесных структур при изнашивании являются проявлением действия обратной связи.
При моделировании изнашивания необходимо, прежде всего, определить напряженное состояние и поле температур, которые возникают в теле при заданных внешних условиях взаимодействия, свойствах материалов контактирующей пары и макро- и микрогеометрии поверхностей (состояние контакта). На макроуровне — это осредненные (номинальные) характеристики, определенные с учетом известных макроформы поверхностей и условий взаимодействия. На микроуровне — это фактические давления, фактические поля внутренних напряжений и температур в приповерхностных слоях, построенные с учетом микрогеометрии поверхностей, а также с учетом изменения механических и триботехнических характеристик поверхностных слоев в процессе изнашивания.
На основании этого анализа устанавливаются наиболее вероятные механизмы разрушения поверхности, которые с использованием критериев разрушения позволяют определить момент разрушения и форму поверхности после отделения частицы материала (или ее переноса на другую поверхность). Полученные характеристики поверхности используются для расчета напряженного состояния и температур в следующий момент времени и т.д. Изложенные этапы моделирования схематично представлены на рис. 1.
Поскольку при анализе изнашивания в большинстве случаев нас интересуют лишь глобальные характеристики процесса (изменение формы тела через промежутки времени, гораздо большие, чем интервал времени между отдельными актами разрушения, максимум величины износа по поверхности и т.д.), изменение формы поверхности после элементарного акта разрушения, форма отделяющейся при этом частицы, как и все характеристики, связанные с расчетом полей напряжений и температур при рассмотрении процессов на масштабах, соизмеримых с размером единичного пятна контакта, в большинстве практических приложений являются внутренними параметрами модели. Фактически, в боль-
шинстве приложений задачей моделирования износа является прогнозирование перехода от одного макросостояния (макроформы) к другому при заданных внешних условиях (нагрузка, скорость).
Таким образом, моделирование изнашивания можно рассматривать на двух масштабных уровнях (рис. 1): макроуровень, определяющий кинетику изменения макроформы тел при изнашивании, и микроуровень, описывающий каждый элементарный акт отделения частицы от поверхности. Многократное повторение расчетов на микроуровне позволяет оценить изменение характеристик сопряжения на макроуровне (изменение макроформы, сближение тел при изнашивании и т.д.) и рассчитать долговечность сопряжения по критериям износостойкости. Применение этого алгоритма к расчету реальных сопряжений сложной конфигурации является чрезвычайно трудоемким.
Часто анализ процессов, протекающих на микроуровне, позволяет разработать феноменологическую модель изнашивания пары трения на макроуровне, в которой задается скорость износа дм1»/& как функция макрохарактеристик сопряжения (давления р, скорости V, относительного перемещения поверхностей и т.д.). Вид этой функции в зависимости от процесса, протекающего на микроуровне, определяется на базе моделирования элементарных актов разрушения поверхности.
3. Моделирование разрушения поверхностей на микроуровне
При моделировании износа на микроуровне объектом исследования является активный поверхностный слой. Моделирование износа включает в себя определение момента зарождения трещины и траектории ее развития вплоть до отделения частицы материала, вынос отделившихся частиц из зоны трения, а также описание изменения поверхностной микрогеометрии и свойств активного приповерхностного слоя в процессе разрушения.
При построении модели изнашивания на микроуровне, схема которой представлена в нижней части рис. 1, от состояния контакта на макроуровне необходимо: пе-
^Р(рЛ/,..)
ей
^ Изменение ^ макроформы
—Г-*--------
Рис. 1. Основные этапы моделирования изнашивания и их взаимосвязь
Состояние контакта на макроуровне
рейти на более низкий масштабный уровень, на котором необходимо определить физический механизм элементарного акта разрушения и выбрать критерий разрушения, соответствующий этому механизму; рассчитать напряженное состояние, температуру поверхностного слоя и другие функции, входящие в критерий разрушения; построить модель отделения частицы; определить новые характеристики поверхностного слоя после отделения частицы (распределение контактных и внутренних напряжений, температуры и т.д.) и следующий момент разрушения.
Первый этап включает в себя анализ механизма изнашивания и определение критерия разрушения, соответствующего этому механизму. Как правило, критерий разрушения зависит от абсолютных или амплитудных значений напряжений, температуры, механических характеристик материалов и т.д. Заметим, что сам механизм разрушения во многом определяется уровнем напряжений и температур в активном слое.
Следующий этап состоит в расчете функции, входящей в критерий разрушения, и в определении точки и момента зарождения трещины. С этой целью на базе решения соответствующей задачи механики контактного взаимодействия для шероховатых поверхностей рассчитываются распределения напряжений и температур в активном слое.
Для определения начала разрушения и моделирования отделения частицы от поверхности обычно применяются методы механики разрушения, позволяющие на основе выбора критерия разрушения и анализа состояния активного слоя рассчитать размеры и форму отделяющихся частиц.
Таким образом, моделирование процесса изнашивания на микроуровне должно включать в себя решения задач механики контактного взаимодействия, при постановке которых принимаются во внимание макро- и микрогеометрия взаимодействующих тел, неоднородность механических свойств поверхностных слоев, а также неоднородность температурного поля, и задач механики разрушения, используемых для описания отделения от поверхности частиц материала.
На наш взгляд, наиболее трудным этапом моделирования является выбор критерия разрушения, поскольку процессы, вызывающие отделение частицы, могут иметь различную природу. Тип износа зависит от материалов пары трения, условий нагружения, кинематики, наличия и природы смазки и других обстоятельств. Однако есть ряд общих свойств, которые отличают разрушение поверхности в условиях фрикционного взаимодействия. Прежде всего, вблизи пятен фактического контакта шероховатых тел имеет место высокая концентрация напряжений, определяемая характером нагружения, микрогеометрией тел, коэффициентом трения и т.д. Фрикционное тепловыделение на пятнах фак-
тического контакта приводит к значительному росту температуры в поверхностном слое. Наконец, вследствие миграции пятен фактического контакта при относительных перемещениях поверхностей происходит циклическое изменение полей напряжений и температур в приповерхностном слое.
Поскольку построение моделей изнашивания является непростой задачей, в трибологии обычно используются наиболее простые модели, учитывающие только основные факторы, влияющие на процесс разрушения поверхности.
4. Усталостный износ
Результаты многих экспериментальных исследований показывают, что наиболее часто поверхности разрушаются по усталостному механизму. При циклическом нагружении поверхности, имеющем место при относительных перемещениях шероховатых тел, в активном слое возникает неоднородное циклическое поле внутренних напряжений с высокими амплитудными значениями, что является причиной накопления в этом слое повреждений.
Для анализа кинетики разрушения шероховатых поверхностей в условиях фрикционного взаимодействия в [1-5] использовался макроскопический подход к построению модели усталостного разрушения поверхности, который, как известно [6], состоит в построении положительной неубывающей во времени функции Q(M, г), характеризующей меру повреждения материала в точке М и зависящей от амплитудных значений напряжений в данной точке. Разрушение наступает в момент времени t», когда эта функция достигнет заданного порогового значения. Такой подход применим к исследованию как поверхностного разрушения, так и разрушения внутри тела.
Существуют разные физические подходы к моделированию поврежденности, в которых скорость накопления поврежденности рассматривается как функция напряжений в данной точке, температуры и других параметров в зависимости от механизма разрушения, вида материала и т.д. Приведем здесь результаты исследований, изложенные в [2, 3], где для описания процесса накопления поврежденности при фрикционном взаимодействии двух шероховатых поверхностей использована термокинетическая модель [7], в которой скорость накопления повреждений задается соотношением
q( X, У, 2, 0 = -Цхр
и -уа( х, у, 2,0
А
(1)
кТ (х, у, 2, О
где и— энергия активации; 'б- и у — характеристики материала; к — постоянная Больцмана; а(х, у, z, і) — характеристика поля напряжений в точке (х,у, z) внутри деформируемого тела в момент времени t. Используя в
качестве а(х, у, z, ґ) различные характеристики поля напряжений или их комбинации, в рамках данного подхода можно воспроизвести различные типы разрушения.
Рассмотрение термокинетической модели накопления поврежденности делает возможным исследование влияния температурных эффектов на разрушение в явном виде. Поскольку поле температур в подповерхностном слое Т(х, у, z, 0 является весьма неоднородным, его расчет должен проводиться с достаточно высокой степенью точности. Рассмотрение осредненных температурных характеристик в данном случае недопустимо.
Функция поврежденности Q(x,y, z, ґ) в произвольный момент времени t рассчитывается по формуле: г
Q(X, У, г, г) = | q(х, у, 2, и) dт + Qo (х, у, 2), (2)
о
где функция q(x,y, z, т) определена соотношением (1), а функция Q0 (х, у, 2) задает начальную поврежден-ность. В расчетах, проведенных в [2], в качестве характеристики напряженного состояния использовалась функция максимальных касательных напряжений
^шах (х ^ 2 1 )-
В целом процесс разрушения для данной модели описывается следующей совокупностью параметров (индексы і = 1, 2 соответствуют двум контактирующим телам):
- исходная форма контактирующих поверхностей
і’і (х у);
- зависимость внешней нагрузки от времени Р(ґ);
- упругие характеристики тел Еі , Уі ;
- параметры изнашиваемого тела: теплоемкость, теплопроводность, плотность;
- характеристики, определяющие накопление поврежденности: и, 'б- и у;
- коэффициент разделения тепловых потоков К;
- коэффициент трения |і;
- относительная скорость скольжения V;
- температура внешней среды.
Модель позволяет описать кинетику процесса усталостного изнашивания шероховатой поверхности и определить его характеристики: скорость износа, размер и форму отделившихся с поверхности частиц материала, изменение микрогеометрии поверхности, эволюцию контактных давлений. Анализ модели показывает, что размер отделившихся частиц существенно зависит от коэффициента трения, оказывающего влияние как на напряженное состояние, так и на распределение температуры. Рост коэффициента трения приводит к увеличению фрикционного разогрева и смещению к поверхности точки максимума функции максимальных касательных напряжений. Оба эти фактора ведут к уменьшению размера отделяемых частиц.
Некоторые результаты проведенных расчетов представлены на рис. 2. Анализ зависимостей полного износа w и среднеквадратичного отклонения о* профиля
от времени г для двух различных значений коэффициента разделения тепловых потоков дает возможность заключить, что процесс изнашивания включает в себя инкубационный период, измеряемый временным интервалом от начала взаимодействия до первого разрушения, что является характерной чертой усталостного изнашивания. Интенсивность износа в течение этого периода равна нулю. Инкубационный период становится короче при возрастании скорости накоплений повреждений, т.е. при росте температуры или напряжений в подповерхностном слое. Этот рост может быть вызван увеличением нагрузки, коэффициента трения или увеличением потока тепла в изнашиваемое тело. Заметим, что факторы, способствующие сокращению инкубационного периода, приводят также к увеличению скорости износа.
Сравнение кривых 1 и 2 показывает, что в случае, когда тепловые эффекты не учитываются (К = 0, кривые 2), продолжительность инкубационного периода больше, износ несколько ниже, однако он происходит за счет отделения более крупных фрагментов, что приводит к возникновению более шероховатой поверхности, чем в случае, когда тепловые эффекты принимаются во внимание (К=1, кривые 1).
Таким образом, при изнашивании среднеквадратичное отклонение профиля может увеличиваться или уменьшаться по сравнению с начальным профилем (рис. 2, б). Обе эти тенденции наблюдались экспериментально [8].
Таким образом, из анализа модели можно заключить, что:
- изнашивание может привести как к росту, так и к снижению шероховатости (за меру шероховатости было взято среднеквадратичное отклонение профиля);
Рис. 2. Характеристики процесса изнашивания: полный износ (а) и среднеквадратичное отклонение профиля (б) как функции времени для ц = 0.2иК = 1 (1), 0 (2). Величины w, о* и ґ выражены в условных единицах
- рост коэффициента трения приводит к увеличению интенсивности изнашивания и уменьшению размера отделяющихся фрагментов;
- увеличение нагрузки повышает интенсивность изнашивания, при этом размер частиц возрастает, если тепловыделение отсутствует или его роль незначительна; в противном случае размер частиц уменьшается за счет интенсивного нагрева поверхностных слоев.
Некоторые выводы, следующие из анализа данной модели, совпадают с результатами, полученными при исследовании одномерной модели (см. [1]), и, по-видимому, могут быть отнесены к общим закономерностям усталостного износа. К таким выводам относятся: существование инкубационного периода процесса; возможность одновременного протекания непрерывного поверхностного изнашивания и отделения фрагментов конечных размеров при одном заложенном в модель механизме, определяющем разрушение, а также наличие при определенных условиях стационарного режима изнашивания.
Моделирование изнашивания поверхностных слоев позволяет построить уравнение износа в виде зависимости скорости износа от номинального давления, скорости относительных перемещения поверхностей и других параметров, что очень важно для расчета изменения контактных характеристик сопряжений на макроуровне.
5. Моделирование изнашивания трибосопряжений
При расчете ресурса сопряжений необходимо принимать во внимание тот факт, что свойства поверхностных слоев и сама макрогеометрия поверхности меняются в процессе трения. Учет изнашивания при постановке контактных задач на макроуровне позволяет рассчитать кинетику изменения формы изношенной поверхности, распределения номинальных давлений на площадке контакта, взаимного положения контактирующих тел, а также установить продолжительность стадии приработки, когда происходит интенсивное изменение макрогеометрии контакта, т.е. ответить на ряд основных вопросов, возникающих при расчете на износ подвижных сопряжений машин.
Впервые задача о расчете износа сопряжений была поставлена и решена А.С. Прониковым [9, 10] в предположении, что контактирующие тела абсолютно жесткие или имеет место степенная зависимость деформационной осадки поверхностей тел от контактного давления. Постановка задачи об износе локального контакта упругих тел впервые изложена М.В. Коровчинским [11]. Развитие теории износоконтактных задач связано с основополагающими работами Л.А. Галина [12-16], который предложил математический аппарат для исследования задач этого класса.
При математической постановке контактных задач с учетом формоизменения поверхностей трения в результате их изнашивания принимают во внимание необратимое изменение формы контактирующих тел в направлении, перпендикулярном к поверхности трения. Это изменение оценивается величиной линейного износа w. В общем случае износ распределяется по поверхности трения неравномерно и является функцией координат точек поверхности (х, у) и времени t, т.е. w» = w (X, у, t).
Закон изнашивания, т.е. зависимость скорости изнашивания Эw (х, у, {)/дt от давления, скорости скольжения, температуры и т.п., определяется, прежде всего, видом изнашивания (усталостное, абразивное и т.д.). Эти зависимости строятся на основании экспериментальных и теоретических исследований. Для многих видов изнашивания имеет место степенная зависимость скорости изнашивания от давленияр и скорости скольжения V [8]:
^ = К рТр, (3)
at
где Кщ — коэффициент износа; а и Р — параметры. Величины Кш, а и Р зависят от фрикционных и микро-геометрических характеристик изнашиваемой пары, температуры тел и т.д.
Часто при постановке контактных задач с учетом формоизменения поверхностей при изнашивании является допустимым предположение о малости необратимых перемещений поверхности за счет износа w(x, у, 0 и их соизмеримости с упругими перемещениями и2 (х, у, t), направленными по нормали к поверхности трения. При определении напряженно-деформированного состояния тела в таких случаях граничные условия относят к недеформированной поверхности, так что контактное давлениер(х,у, 0 оказывается связанным с упругими перемещениями и2 (х, у, {) в произвольный момент времени с помощью оператора А, который аналогичен оператору, связывающему давление с упругими перемещениями в соответствующей контактной задаче без учета изнашивания поверхностей, т.е.
иг (X, у, t) = А[р( х, у, t)]. (4)
Так, в случае контакта без трения осесимметричного штампа с упругой полуплоскостью соотношение (4) имеет вид:
0 <р<а^),
где К(р) —-полный эллиптический интеграл первого
рода; р = -1 х 2 + у 2.
Как это, в частности, видно из (5), оператор А зависит от формы и размера площадки контакта й. Если в
процессе изнашивания размер площадки контакта фиксирован, т.е. a(t) = a(0), оператор A в точности совпадает с оператором в начальный момент времени t = 0. Такой случай имеет место, например, при изнашивании упругого тела штампом с плоским основанием. В противном случае для определения границы Г области контакта й используются дополнительные условия, например условие непрерывности контактного давления вида:
Р(Х’ У,t )|(x,у).Г= 0
Заметим, что требование малости линейного износа w(x, y, t) в ряде случаев диктуется самими функциональными свойствами сопряжения, например в прецизионных узлах трения. Однако в некоторых случаях изменение геометрии контактирующих поверхностей за счет изнашивания соизмеримо с характерным размером тел. Так обстоит дело, например, при исследовании изнашивания тонкого упругого покрытия, когда перемещения за счет износа могут оказаться соизмеримыми с толщиной покрытия. В этом случае соотношение между упругими перемещениями и давлением становится нелинейным и зависит от геометрии изношенного контакта
[17, 18].
Для замыкания системы уравнений (3) и (4) используется условие контакта, имеющее в общем случае вид: uz (X, у, t) + w (x, у, t) =Ф(х, у, t), (6)
где, как правило, функция Ф(х,у, t) задана. Вид этой функции зависит от формы контактирующих тел и характера их относительных перемещений. Например, при изнашивании упругого основания скользящим цилиндрическим штампом формы g(x) функция Ф(х, y, t) имеет вид: Ф( x, t) = D (t) - g (x) — при движении контртела вдоль своей образующей (система координат Oxyz связана с границей упругого полупространства, ось Oz совпадает с нормалью к границе полупространства, проходящей через точку O начального касания тел, D(t) — смещение цилиндра вдоль оси Oz вследствие упругих деформаций и износа поверхности основания); Ф( x, t) = D (t) - g (x - Vt) — при движении штампа со скоростью Vперпендикулярно к своей образующей [5].
При неизвестной функции D(t) система уравнений (3), (4), (6) дополняется условием равновесия, связывающим контактные напряжения с внешними нагрузками, приложенными к взаимодействующим телам. В случае, когда трение отсутствует и единственным контактным напряжением является контактное давление, условие равновесия имеет вид:
JJ P(x,У, t) ф^,у)dxdy = P(t), (7)
Q(t)
где P(t) — нагрузка, действующая по нормали к области контакта; ф(х,у) — геометрический фактор. Например, ф(х,у) = 1 для плоского контакта, ф(х,у) = cos x для цилиндрического контакта.
Решение полученной системы уравнений позволяет определить неизвестные контактные давленияр(х, у, t), упругие перемещения П2 (х, у, t), форму изношенной поверхности, определяемую функцией w(x, у, ^, и сближение D(t) тел за счет их деформирования и изнашивания.
Обзор различных постановок износоконтактных задач и методов их решения содержится в [19]. Как правило, система уравнений (3)-(7) сводится к линейным или нелинейным интегральным, дифференциальным или интегро-дифференциальным уравнениям в зависимости от моделей, используемых при постановке задачи.
Разработанные методы положены в основу исследования изнашивания подшипников, зубчатых передач, направляющих скольжения, абразивного и режущего инструмента, колес и рельсов и других важных элементов трибосопряжений, используемых в различных областях техники.
6. Установившийся режим изнашивания
При определенных условиях система уравнений (3) -(6) имеет стационарное решение, которое соответствует установившемуся режиму изнашивания. Необходимым условием существования установившегося режима изнашивания является стабилизация во времени внешних параметров задачи (скорости сближения Нт Е> ^) = Б взаимодействующих тел или нормальной нагрузки Нт Р() = р, скорости относительного скольжения тел Нт V (х, у, t) = У^( х, у), области контактного взаимодействия Нт и т.д.). При этих условиях и в
предположении независимости от времени оператора А (4) в [5, 20] сформулированы достаточные условия существования асимптотически устойчивого распределения давления р(х, у):
Р~ (х, у) = 1т р( х, у, t) =
= ---------------1 . (8)
_КДх,у)Vр(х,у) ] ' '
Здесь Kw (х, у) — коэффициент износа, который в общем случае является функцией координат. Зависимость коэффициента износа от времени, в частности, имеет место при изнашивании неоднородных, а также упрочненных поверхностей. Если 0 или Р^= 0, контактное давление стремится к нулю, т.е. рм (х, у) = 0.
Замена в (3), (4), (6) и (7) контактного давления известным распределением рм (х, у) определяет асимптотику величин ы2, w, Р и, тем самым, позволяет рассчитать форму изношенной поверхности тел и скорость изнашивания в установившемся режиме.
Заметим, что если стационарное распределение контактного давления (8) определяется видом закона изнашивания и характером относительного движения взаи-
модействующих тел, то установившаяся форма изношенной поверхности существенным образом зависит также от вида оператора А.
В качестве иллюстрации приведем решение задачи об изнашивании локально упрочненного полупространства плоским неизнашиваемым штампом, полученное в [21]. На рис. 3 приведена схема контакта штампа и упругого полупространства, упрочненного периодически внутри полос (п1 + а < х < (п +1)1, < у < +<^).
Штамп прижат к полупространству силой Р/1 (I — период) и совершает возвратно-поступательные перемещения вдоль оси Оу в плоскости z = 0, связанной с подошвой штампа. В силу локального упрочнения коэффициент износа является кусочно-постоянной функцией вида:
[К ,, хе [п1,а + п1 ],
Kw = ]" _ , „ (9)
[Kw2, х ^[п/, а + п1 ],
где К^ и Kw2 — коэффициенты износа поверхности вне и внутри упрочненных зон [п/ + a,(n +1)/] соответственно (К^ > К^). Упругие характеристики материала Е и V, являющиеся, как правило, структурно-нечувствительными, считаются постоянными.
В рассматриваемом случае оператор А имеет следующий вид:
2(1-
А[р(х, t) = ■
х| р( х, t)1n2
-V2),
яЕ
sin
п(х' - х)
/
ёх'.
(10)
Стационарное распределение давления в рассматриваемой задаче представляется кусочно-постоянной функцией, подстановка которой в (10) позволяет рассчитать форму поверхности в установившемся режиме изнашивания, выражающуюся в виде следующего ряда [21]:
/~(х) = ■
2(1 -V 2)Рт ^ Л 2 Е(1 - ат) sin(лnа)
Ч1 ^
пп
(11)
п=1 п Ч ^
где ~ = а//; т =1 - (^/Кwl)1/“.
Форма изношенной поверхности в установившемся режиме, рассчитанная по формуле (11) для двух различных значений геометрических и триботехнических параметров упрочнения, представлена на рис. 4.
Анализ решения периодических задач для упругого полупространства, поверхность которого упрочнена внутри полос или круговых зон, показал [5,21,22], что при изнашивании поверхность становится волнистой. Геометрические характеристики изношенной поверхности зависят от соотношения коэффициентов износа отдельных ее участков и их характерных размеров. Параметры упрочнения влияют и на скорость изнашива-
Рис. 3. Схема контакта штампа с полупространством, упрочненным внутри полос
ния. Образование такой эксплуатационной волнистости при некоторых условиях трения способствует повышению триботехнических свойств сопряжений.
Работа сопряжения в установившемся режиме изнашивания является наиболее благоприятной, поскольку она характеризуется стабилизацией давления и, следовательно, всех характеристик сопряжения (давление в данном случае является управляющим параметром). На основе разработанных моделей можно поставить и решить обратную задачу — создание поверхностей (определение параметров их структуры и макроформы), износ которых оптимален по критериям, сформулированным на основе предъявляемых к сопряжению требований практического характера.
7. Задачи управления процессом изнашивания
Исследование износоконтактных задач позволяет разработать методы управления процессами изнашивания за счет:
- приближения начальной формы поверхности к установившейся, определяемой расчетным путем, таким образом сокращая время приработки и осуществляя экономию материала (задача 1),
- обеспечения требуемых характеристик сопряжений в установившемся режиме изнашивания путем приближения установившейся формы /^ (х, у) поверхности к оптимальной /з( х, у) (задача 2).
Когда наложены жесткие условия на конфигурацию, свойства материалов сопряжения и условия изна-
Рис. 4. Установившаяся форма изношенной поверхности при т = = 0.5, а = 0.2 (сплошная линия) и т = 0.3, а = 0.6 (штриховая линия)
Рис. 5. Поверхность абразивного инструмента с включениями (а) и распределение плотности включений по поверхности инструмента, обеспечивающее сохранение его плоской формы (б)
шивания, тем самым полностью определена установившаяся форма /^ (х, у). При условии, что функция /^ (х, у) является допустимой с точки зрения работоспособности сопряжения, можно ставить и решать задачу минимизации времени приработки за счет приближения начальной формы /0(х,у) к /^(х,у) (задача 1). Если оказывается возможным создать поверхность с начальной формой /0(х,у) = /^(х,у), то время приработки равно нулю и установившийся режим имеет место в течение всего процесса изнашивания. Например, установившаяся форма изношенной поверхности основания цилиндрического штампа радиуса R, движущегося поступательно в разных направлениях по поверхности не-изнашиваемого (или изнашиваемого равномерно) упругого полупространства, может быть получена путем подстановки стационарного распределения давления в форме (8) в выражение (5). Поскольку при постоянном коэффициенте износа давление в установившемся режиме распределено равномерно по площадке контакта, форма /0(г), которую надо придать штампу, чтобы обеспечить стационарный износ в течение всего времени работы, определяется соотношением
4(1 -у2)Р Г Е ( г'
ЯЕ Я
I- \ у
где Е(0 — полный эллиптический интеграл второго рода; Р — сила, действующая на штамп по нормали к поверхности полупространства.
Задача стабилизации оптимальной формы / (х, у) изнашиваемой поверхности (задача 2) может быть поставлена, если существуют некоторые параметры у. (х, у), характеризующие свойства сопряжения, которые допускают варьирование внутри определенного класса функций [23]. Для ее решения следует положить /„( х, у) = /8( х, у) и рассмотреть соотношение вида:
/о( г) =-
-1
(12)
X (х, у) = А[р„ (х, у ), у(х, у )],
(13)
как уравнение относительно одного или нескольких неизвестных у.(х, у). Поскольку точное решение этого уравнения, как правило, не может быть реализовано на практике (реальные возможности технологии создания
поверхностей накладывают определенные ограничения на параметры у. (х, у)), решение уравнения (13) обычно заменяется решением задачи минимизации функционала F =
= И /(X у)----И /(X, у^йх'йу'
те8Й
ёхйу, (14)
где /(х, у) = /^ (х, у) - /,(х, у); mes ^— площадь области Й.
В рассмотренном выше примере изнашивания локально упрочненной поверхности управляющими являются параметры т и <5, характеризующие соответственно степень упрочнения и относительную ширину упрочненных полос. Варьирование этих параметров в пределах, допускаемых технологией упрочнения, позволяет управлять трибологическими и геометрическими характеристиками волнистой поверхности /^ (х) (11), образуемой в результате изнашивания.
Коэффициент износа — не единственный параметр, влияющий на установившуюся форму изнашиваемой поверхности. В случае дискретного контакта на установившуюся форму существенно влияет взаимное расположение пятен контакта. В [20] построено решение задачи 2 для абразивного инструмента и предложен метод определения рационального расположения включений на рабочей поверхности инструмента, обеспечивающего ее равномерное изнашивание. В качестве управляющего параметра была рассмотрена функция плотности расположения включений к(г), которая искалась в классе кусочно-постоянных функций. Результаты расчета для поверхности инструмента в виде кольцевой области, вращающегося с постоянной угловой скоростью на поверхности упругого полупространства, приведены на рис. 5. Функция к(г) обеспечивает сохранение плоской формы рабочей поверхности инструмента в процессе изнашивания. Эта функция состоит из трех участков, поскольку полученные в результате решения задачи и различающиеся меньше чем на 10% плотности считались неразличимыми из технологических соображений.
Таким образом, моделирование изнашивания поверхностей позволяет как предсказать характер разрушения поверхностей и поведение этого процесса в зависимости от условий трения, так и управлять этим процессом за счет создания оптимальной формы поверхности элементов пар трения и сокращения времени приработки, что приводит к экономии материала и увеличению ресурса трибосопряжений.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №№ 06-08-01105, 07-01-00282), а также гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ № НШ-1245.2006.1.
Литература
1. Горячева И.Г., Чекина О.Г. Модель усталостного разрушения поверхностей // Трение и износ. - 1990. - Т. 11. - № 3. - С. 1-11.
2. Чекина О.Г. Моделирование разрушения приповерхностных слоев при контактировании шероховатых тел // Прочность и пластичность. - М.: Наука, 1996. - Т. 1. - С. 186-191.
3. Горячева И.Г., Чекина О.Г. Изнашивание поверхностей: От модели-
рования микроразрушения к анализу формоизменения // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 5. - С. 131-147.
4. Богданов В.М., Горячев А.П., Горячева И.Г., Добычин М.Н., Захаров С.М., Кривоногов В.Г., Солдатенков И.А., Чекина О.Г. Моделирование контактного взаимодействия, изнашивания и накопления поврежденности в сопряжении колесо-рельс // Трение и износ. -1996. - Т. 17. - № 1. - С. 12-26.
5. ГорячеваИ.Г. Механика фрикционного взаимодействия. - М.: Нау-
ка, 2001. - 478 с.
6. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. - М.: Высшая школа, 1972. - 752 с.
7. Регель Р.В., Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа
прочности твердых тел. - М.: Наука, 1974. - 560 с.
8. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов В.С. Основы расчетов
на трение и износ. - М.: Машиностроение, 1977. - 576 с.
9. Проников А.С. Классификация и расчет сопряжений деталей машин на изнашивание // Трение и износ в машинах. - М.: Изд-во АН СССР, 1956. - Вып. 11. - С. 121-181.
10. Проников А.С. Контактная задача для сопряженных поверхностей деталей машин // Трение и износ в машинах. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - Вып. 15. - С. 375-391.
11. Коровчинский М.В. Локальный контакт упругих тел при изнашивании их поверхностей // Контактное взаимодействие твердых тел и расчет сил трения и износа. - М.: Наука, 1971. - С. 130-140.
12. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости при наличии износа // ПММ. - 1976. - Т. 40. - № 6. - С. 981-989.
13. Галин Л.А., Горячева И.Г. Осесимметричная контактная задача теории упругости при наличии износа // ПММ. - 1977. - Т. 41. -№ 5. - С. 807-812.
14. Галин Л.А., Горячева И.Г. Контактные задачи теории упругости при наличии износа // Теория трения, износа и проблемы стандартизации. - Брянск: Приок. кн. изд-во, 1978. - С. 251-265.
15. Галин Л.А., Горячева И.Г. Контактные задачи и их приложение к теории трения и износа // Трение и износ. - 1980. - Т. 1. - № 1. -С. 105-119.
16. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. - М.: Наука, 1980. - 304 с.
17. Горячева И.Г., Солдатенков И.А. Теоретическое исследование приработки и установившегося режима изнашивания твердых смазочных покрытий // Трение и износ. - 1983. - Т. 4. - № 3. -С. 420-431.
18. Солдатенков И.А. Изнашивание тонкого упругого покрытия при изменяющейся площадке контакта // Трение и износ. - 1985. -Т.6. - № 2. - С. 247-254.
19. Горячева И.Г., Солдатенков И.А. Контактные задачи с учетом износа // Механика контактных взаимодействий. - Под ред. И.И. Воровича и В.М. Александрова. - М.: Физматлит, 2001. -С. 438-458.
20. Горячева И.Г. Контактные задачи теории упругости для системы изнашиваемых штампов // Изв. АН СССР. МТТ. - 1987. - Вып. 6. -С. 62-68.
21. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Изнашивание неоднородно упрочненных поверхностей // Трение и износ. - 1986. - Т. 7. - Вып. 6. -
С. 985-992.
22. Горячева И.Г., Торская Е.В. Контактные задачи при наличии износа для тел с переменным по поверхности коэффициентом износостойкости // Трение и износ. - 1992. - Т. 13. - Вып. 1. - С. 185194.
23. Горячева И.Г., Чекина О.Г. Управление формоизменением поверхностей при изнашивании // Трение и износ. - 1989. - Т. 10. - №1.-С. 5-12.
Поступила в редакцию 24.09.2007 г.
