CC BY
47
СТАТЬИ
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 537.81
А. П. Афанасьев, С. Ю. Борисова
МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ РЕАКЦИИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОГО УСТРОЙСТВА НА СЛУЧАЙНОЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ ВОЗДЕЙСТВИЕ
В данной статье рассмотрена модель электромеханического устройства в виде простейшего электромагнита. Выполнен анализ результатов имитационного моделирования при случайном механическом воздействии.
Ключевые слова: электромеханическое устройство, моделирование в MATLAB, SIMULINK, математическая и физическая модель, мультифизическое моделирование.
Электромагнитный соленоид (электромагнит) является основным электромеханическим компонентом, применяемым в широком спектре устройств — мехатронке, робототехнике, автомобилестроении и авиастроении.
Различные виды электромагнитов имеют свои конструктивные особенности, обусловленные функциональным назначением прибора, но общими элементами конструкции являются магнитопровод и катушка возбуждения [1; 2].
В исследовании анализировалась реакция электромеханического устройства с конструктивными элементами, схематически представленными на рисунке 1.
Афанасьев Александр Петрович — кандидат технических наук, заведующий кафедрой технических дисциплин, (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, Биробиджан); e-mail: fourier@km.ru
Борисова Светлана Юрьевна — студент (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, Биробиджан); e-mail: i01.04.1996@mail.ru
© Афанасьев А. П., Борисова С. Ю., 2016
9
приложенная сила, £1 Рис. 1. Конструкция исследуемого электромеханического устройства
Цилиндрический подвижный стальной поршень, находящийся в стальной ферромагнитной оболочке, соединён с пружиной жёсткостью к ., Катушка внутри оболочки подключена к источнику постоянного напряжения.
10
Качественное описание принципа работы электромеханического устройства
Качественно рассмотрим процессы, протекающие в элетромехани-ческом устройстве при случайном внешнем силовом воздействии.
В результате протекания электрического тока по катушке электрическая энергия будет переходить в энергию магнитного поля. Электромагнитная сила будет перемещать поршень в положительном направлении координаты, что, в свою очередь, будет приводить к изменению индуктивности катушки, так как сокращается дистанция для магнитного потока через воздушный зазор. В конце этого процесса наступит момент, когда электромагнитная сила будет уравновешена упругой силой пружины и поступательное движение поршня прекратится.
В случае внешнего механического воздействия F0 изменится положение поршня, что, в свою очередь, отразится на значении индуктивности электромеханического устройства. Энергетическое равновесие нарушится, и в системе появятся силы, стремящиеся восстановить энергетическое равновесие. Возникнет точка нового равновесного состояния системы с учётом внешнего воздействия .
При исчезновении внешней силы ^ часть механической энергии,
аккумулированной в пружине в результате электромагнитной индукции, превратится в энергию магнитного поля, остальная часть рассеется в электрической цепи во время переходных процессов и вследствие потерь на трение.
Энергетический баланс рассматриваемой системы представлен на рисунке 2.
Рис. 2. Элементарный энергетический баланс в электромеханическом устройстве:
— элементарная порция энергии электрического тока в катушке; ЗШ^ — элементарная порция энергии магнитного поля в катушке и магнитопроводе устройства; — элементарная порция упругой механической энергии пружины
11
Двойными стрелками акцентирована взаимная направленность энергетических потоков в рассматриваемом устройстве.
Математическая модель
Рассмотрим влияние положения поршня магнитопровода электромеханической системы на индуктивность устройства.
Электрическая составляющая описывается на основе II закона Кирхгофа. Предполагая линейную зависимость потокосцепления от величины тока, протекающего по катушке, получим:
. ЛА
ип = к ■ 1 н--,
0 Л
где
А = Ь(х) ■ 1,
здесь и — напряжение на клеммах электромагнита, К и 1 сопротивление и ток, протекающий по катушке, А — потокосцепление.
Учитывая, что индуктивность Ь(х) является функцией координаты поршня, и выполняя дифференцирование, получим следующее выражение для напряжения на клеммах электромагнита:
т, ч Л Ь(х) Лх и0 = К ■ 1 + Ь(х) ■ — +1 —.
Л Лх Л
Считая ток 1 в качестве первой переменной состояния рассматриваемой системы, получим выражение, описывающее процесс изменения данной переменной, т. е. уравнение эволюции электрической части устройства:
di 1
dt L( x)
L(x) dx
U _ R ■ i ~ i----
dx dt
(1).
Второй переменной состояния системы определим координату поршня — х .
Реакция механической части системы определяется II законом Ньютона:
V F = M ■ a =M ■ ,
V dt2
V F -
где ^1 — суммарное силовое воздействие на систему.
12
Представляя каждый компонент X ^ в виде явного выражения, получим:
ffld - к (* - xo) - - fo = M • ^ ' f dt dt
здесь — электромагнитная сила, обусловленная изменением индуктивности Ь(х), к (х - х0) — упругая сила пружины, соединённой с порш-, dx
нем, Ь— — сила сопротивления, пропорциональная скорости переме-
йх
щения поршня, / — внешнее силовое воздействие на поршень.
Принимая скорость перемещения поршня в качестве третьей переменной состояния системы, выведем уравнение эволюции данной переменной в следующем виде:
й2 х 1 "
dt2 M
ffld Ь ^ i, k ^ (X X0) f0
(2)
Зависимость индуктивности от положения поршня Ь = Ь(х) получим из выражения для магнитного сопротивления магнитному потоку в магнитопроводе и поршне:
RM =
g
g
g
^^ л • x • d л • a • d ju0 • л • a • d
a + x
отсюда
T/ . N2 a• d• N2 L( x) =-= —'
g
a + x
= L
a + x
(3)
здесь
, Мо'ж'а' й • N2
g
Как указывалось ранее, электромагнитные силы могут быть выведены из предположения линейности рассматриваемой системы, т. е., предполагая неизменность тока / в течение времени, когда поршень переместится на элементарное расстояние йх, получим:
ffld =
dW/ j2 dL(x) i2 a • L
dx 2 dx 2 (a + x)
(4)
x
x
13
Модель системы в Б1ти1тк
На основании уравнений (1 — 4) была составлена Simulink-модель [3; 4], в которой выделены механическая и электрическая подсистемы. На рисунке 3 представлена блочная структура данной модели.
Рис. 3. Simulink модель рассматриваемой системы
В имитационном эксперименте для электромагнита были использованы следующие параметры:
1. Число витков соленоида — N = 200;
2. Толщина верхнего и нижнего основания магнитопровода а = 10 мм;
3. Диаметр расточки магнитопровода Л = 15 мм;
4. Ширина воздушного зазора и направляющих колец g = 1 мм;
5. Сопротивление обмотки электромагнита К = 1 Ом;
6. Масса поршня М = 0,3 кг;
7. Жёсткость пружины к = 2667 Н/м;
8. Коэффициент сопротивления Ь = 2 Нс/м
9. Напряжение на клеммах электромагнита и0 = 0 - 5 В;
10. Величина внешнего силового воздействия ^ = 0 —10 Н;
11. Начальное положение верхней кромки поршня х0 = 2 мм.
Результаты моделирования
На рисунках 4 — 7 показаны результаты имитационного моделирования рассматриваемой модели.
14
И осциллограмма напряжения источника питания | □ || Ы ||в
а® [CK1 & е й Ч
напряжение
5 4 3 2 1 0 : :
i
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 О.е 0.7 0.8 0.9 Time offset: 0
Рис. 4. Временная диаграмма напряжения, подаваемого на клеммы электромагнита
Рис. 5. Временная диаграмма внешнего силового воздействия
15
Рис. 6. Осциллограмма силы тока в катушке электромагнита
Рис. 7. Осциллограмма смещения металлического поршня
На временных диаграммах явным образом прослеживается инерционность реакции модели на внешнее воздействие. Переходные процессы имеют выраженную затухающую составляющую, что свидетельствует об устойчивости системы с данными параметрами при внешнем силовом воздействии.
16
Выводы
Сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными, полученными в ходе экспериментов с реальными устройствами [5], позволяет сделать вывод, что расхождение между результатами натурного эксперимента и данными, полученными с помощью имитационной Simulink модели, составляет не более 2%.
Таким образом, результаты имитационного эксперимента с достаточной степенью достоверности совпадают с выводами, полученными при использовании аналитических инструментов.
Динамика переходных механических и электромагнитных процессов соответствует экспериментальным данным, полученным при использовании реальных электромеханических компонентов.
Построенная модель может служить хорошей базой для построения более специализированных моделей устройств с обратной связью, используемых в различных областях техники.
Список литературы
1. Darula R., Stein G., Sorokin S. Numerical simulations of electromagnet exposed to vibration // Engineering MECHANICS, vol. 20, 2013, no. 6, pp. 439-448.
2. Furlani E. P. Permanent Magnet and Electromechanical Devices: Materials, Analysis and Applications. San Diego: Academic Press, 2001. 518 p.
3. Mathworks: web page of MATLAB Simulink Simscape, URL: http://www. mathworks.com/products/simscape/
4. Черных И. В. SIMULINK: среда создания инженерных приложений. М.: Диалог-МИФИ, 2004. 491 c.
5. Розанов Ю. К., Кравцов Д. В. Экспериментальное определение характеристик элементов электромеханических систем с использованием частотных
методов / / Электротехника. 2000. № 7. С. 9 — 13.
* * *
Afanasyev Aleksandr P., Borisova Svetlana Y.
MODELING AND ANALYSIS OF REACTION OF ELECTROMECHANICAL DEVICES TO RANDOM MECHANICAL ACTION
(Sholom-Aleichem Priamursky State University, Birobidzhan)
In this article the analysis of the mathematical and physical model of the electromagnetic solenoid is carried out. The research has obtained a mathematical and physical model of solenoid.
Keywords: electromagnetic solenoid, simulation in MATLAB, SIMULINK, mathematical and physical model.
References
1. Darula R., Stein G., Sorokin S. Numerical simulations of electromagnet exposed to vibration, Engineering MECHANICS, vol. 20, 2013, no. 6, pp. 439-448
2. Furlani E. P. Permanent Magnet and Electromechanical Devices: Materials, Analysis and Applications, San Diego, Academic Press, 2001. 518 p.
17
3. Mathworks: web page of MATLAB Simulink Simscape. Available at: http: //www. mathworks.com/ products/simscape/
4. Chernykh I. V. SIMULINK: sreda sozdaniya inzhenernykh prilozheniy (Black IV SIMULINK: creation environment engineering applications), Moscow, Dialog-MIFI Publ., 2004. 491 p.
5. Rozanov Yu. K., Kravtsov D. V. Experimental determination of the characteristics of the elements of electromechanical systems using frequency methods [Eksperimental'noe opredelenie kharakteristik elementov elektromekhanicheskikh sistem s ispol'zovaniem chastotnykh metodov], Elektrotekhnika, 2000, no. 7, pp. 9 — 13.
■k -k -k
18
