Time=0 Surface: Temperature (K Max/Min Surface: pn.sxy (Pa)
0 10 20
Рис. 2. Изображение деформированного при нагревании образца горной породы
Литература
1. Вознесенский А. С. Компьютерные методы в научных исследованиях. Часть 2. Компьютерное моделирование физических объектов и процессов горного производства: Учебник для студентов специальности 130401 «Физические процессы горного или нефтегазового производства». М.: МГГУ, 2011. 107 с.
2. Сайт компании разработчика пакета COMSOL Multiphysics. [Электронный ресурс]. www.comsol.com. Режим доступа: http://www.comsol.com/, свободный.
Моделирование двумерной задачи теплопроводности для однородного тела в программном пакете COMSOL Multiphysics
Зарипова Ф. Ф.
Зарипова Фания Фаритовна / Zaripova Еатуа ЕапОпа - студент магистратуры, факультет математики и информационных технологий, Стерлитамакский филиал, Башкирский государственный университет, г. Стерлитамак
Аннотация: численное моделирование различных механизмов переноса теплоты -это удобный и мощный инструмент анализа теплового состояния элементов оборудования, температурных режимов его работы и общей энергетической эффективности.
Ключевые слова: моделирование, метод прогонки, процесс, анализ.
С0М80Ь МиШрЬуБЮБ - это мощная интерактивная среда для моделирования и расчетов большинства научных и инженерных задач основанных на дифференциальных уравнениях в частных производных методом конечных элементов. С этим программным пакетом можно расширять стандартные модели, использующие одно дифференциальное уравнение (прикладной режим) в мультифизические модели для расчета связанных между собой физических явлений [3].
Проанализируем процесс теплопереноса в пластине (рис. 1).
Рис. 1. Область решения Медная пластина с размерами Ь = Н = 0.5 м.
Горизонтальные границы являются адиабатическими, а на вертикальных границах поддерживаются постоянные температуры Т^ = 80 °С и Тс = 30 °С. Начальная температура области решения Т0 = 5 °С.
Математическая постановка задачи будет иметь вид:
рс
дТ дЬ
^ Сх2 + ду2) '
10 < х < |о < у < Н.
(1)
Начальные и граничные условия запишутся следующим образом:
£ = 0: Г = Г,,, 0 < х < 0 < у < Я; х = 0: Г = 7^, £: > 0;
х = Ь: Т = Тс, £ > 0; у = 0: — = 0, £ > 0; у = Я: — = 0, £ > 0.
с' ' дt ' ' дt
(2)
Зададим геометрию, все свойства и граничные условия модели в COMSOL Multiphysics (рис. 2).
Рис. 2. Начальное состояние модели
А в результате решения задачи модель будет выглядеть следующим образом (рис. 3).
Time=600 Surface: Temperature (К)
Рис. 3. Результат решения задачи
Сравним результаты моделирования в С0М80Ь МиШрИуБЮБ с решением задачи методом прогонки.
Для аппроксимации дифференциального уравнения (1) введем пространственно -временную сетку с координатами
X; = ([ - 1) ■ кх, у; = (/-!)■ Ьу, £„ = п ■ т,
(fJ +1)
(i-1 m
(ij -1)
(U) (Aft)
Рис. 4. Разностная сетка области решения
где Ах, Иу - шаги сетки по координатам х, у соответственно; т - шаг по времени;
I = 1 , Nх ; ] = 1 , Иу ;п = 0 , К ; т.е. вся расчетная область (рис.1) покрывается сеткой (рис. 4).
Шк-
200-
100
О 200 t 400 600
Рис. 5. График изменения температуры в зависимости от времени
Дискретизацию уравнения (1) будем проводить на основе локально одномерной схемы А. А. Самарского [2], которая является абсолютно устойчивой и обладает свойством суммарной аппроксимации. Сущность этого подхода состоит в том, что шаг по времени реализуется в два этапа - на промежуточном временном шаге проводим дискретизацию двумерного уравнения (1) только сначала в направлении оси х, а затем в направлении оси у и, решая полученные одномерные уравнения, определяем поле температуры на целом шаге по времени.
Разностные уравнения сводятся к стандартному трехдиагональному виду и решаются последовательно методом прогонки.
Решив исходную задачу на языке программирования Pascal, получим график изменения температуры в зависимости от времени (рис. 5).
Литература
1. Кузнецов Г. В. Разностные методы решения теплопроводности. Томск.: Изд-во ТПУ, 2007. 172 с.
2. Самарский А. А. Теория разностных схем. М: Наука, 1977. 656 с.
3. Бирюлин Г. В. Теплофизические расчеты в конечно-элементном пакете COMSOL/FEMLAB. СПб.: СПбГУИТМО, 2006.