Моделирование двумерной задачи теплопроводности для однородного тела в программном пакете Comsol Multiphysics Текст научной статьи по специальности «Математика»

Time=0 Surface: Temperature (K Max/Min Surface: pn.sxy (Pa)

0 10 20

Рис. 2. Изображение деформированного при нагревании образца горной породы

Литература

1. Вознесенский А. С. Компьютерные методы в научных исследованиях. Часть 2. Компьютерное моделирование физических объектов и процессов горного производства: Учебник для студентов специальности 130401 «Физические процессы горного или нефтегазового производства». М.: МГГУ, 2011. 107 с.

2. Сайт компании разработчика пакета COMSOL Multiphysics. [Электронный ресурс]. www.comsol.com. Режим доступа: http://www.comsol.com/, свободный.

Моделирование двумерной задачи теплопроводности для однородного тела в программном пакете COMSOL Multiphysics

Зарипова Ф. Ф.

Зарипова Фания Фаритовна / Zaripova Еатуа ЕапОпа - студент магистратуры, факультет математики и информационных технологий, Стерлитамакский филиал, Башкирский государственный университет, г. Стерлитамак

Аннотация: численное моделирование различных механизмов переноса теплоты -это удобный и мощный инструмент анализа теплового состояния элементов оборудования, температурных режимов его работы и общей энергетической эффективности.

Ключевые слова: моделирование, метод прогонки, процесс, анализ.

С0М80Ь МиШрЬуБЮБ - это мощная интерактивная среда для моделирования и расчетов большинства научных и инженерных задач основанных на дифференциальных уравнениях в частных производных методом конечных элементов. С этим программным пакетом можно расширять стандартные модели, использующие одно дифференциальное уравнение (прикладной режим) в мультифизические модели для расчета связанных между собой физических явлений [3].

Проанализируем процесс теплопереноса в пластине (рис. 1).

Рис. 1. Область решения Медная пластина с размерами Ь = Н = 0.5 м.

Горизонтальные границы являются адиабатическими, а на вертикальных границах поддерживаются постоянные температуры Т^ = 80 °С и Тс = 30 °С. Начальная температура области решения Т0 = 5 °С.

Математическая постановка задачи будет иметь вид:

рс

дТ дЬ

^ Сх2 + ду2) '

10 < х < |о < у < Н.

(1)

Начальные и граничные условия запишутся следующим образом:

£ = 0: Г = Г,,, 0 < х < 0 < у < Я; х = 0: Г = 7^, £: > 0;

х = Ь: Т = Тс, £ > 0; у = 0: — = 0, £ > 0; у = Я: — = 0, £ > 0.

с' ' дt ' ' дt

(2)

Зададим геометрию, все свойства и граничные условия модели в COMSOL Multiphysics (рис. 2).

Рис. 2. Начальное состояние модели

А в результате решения задачи модель будет выглядеть следующим образом (рис. 3).

Time=600 Surface: Temperature (К)

Рис. 3. Результат решения задачи

Сравним результаты моделирования в С0М80Ь МиШрИуБЮБ с решением задачи методом прогонки.

Для аппроксимации дифференциального уравнения (1) введем пространственно -временную сетку с координатами

X; = ([ - 1) ■ кх, у; = (/-!)■ Ьу, £„ = п ■ т,

(fJ +1)

(i-1 m

(ij -1)

(U) (Aft)

Рис. 4. Разностная сетка области решения

где Ах, Иу - шаги сетки по координатам х, у соответственно; т - шаг по времени;

I = 1 , Nх ; ] = 1 , Иу ;п = 0 , К ; т.е. вся расчетная область (рис.1) покрывается сеткой (рис. 4).

Шк-

200-

100

О 200 t 400 600

Рис. 5. График изменения температуры в зависимости от времени

Дискретизацию уравнения (1) будем проводить на основе локально одномерной схемы А. А. Самарского [2], которая является абсолютно устойчивой и обладает свойством суммарной аппроксимации. Сущность этого подхода состоит в том, что шаг по времени реализуется в два этапа - на промежуточном временном шаге проводим дискретизацию двумерного уравнения (1) только сначала в направлении оси х, а затем в направлении оси у и, решая полученные одномерные уравнения, определяем поле температуры на целом шаге по времени.

Разностные уравнения сводятся к стандартному трехдиагональному виду и решаются последовательно методом прогонки.

Решив исходную задачу на языке программирования Pascal, получим график изменения температуры в зависимости от времени (рис. 5).

Литература

1. Кузнецов Г. В. Разностные методы решения теплопроводности. Томск.: Изд-во ТПУ, 2007. 172 с.

2. Самарский А. А. Теория разностных схем. М: Наука, 1977. 656 с.

3. Бирюлин Г. В. Теплофизические расчеты в конечно-элементном пакете COMSOL/FEMLAB. СПб.: СПбГУИТМО, 2006.