CC BY
17Математические заметки СВФУ Январь—март, 2018. Том 25, № 1
УДК 532.5.031
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ В ВИНТОВОМ ПНЕВМОСЕПАРАТОРЕ СТАТИСТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ
С. Р. Крылатова, А. И. Матвеев, И. Ф. Лебедев, Б. В. Яковлев
Аннотация. При математическом моделировании процессов, происходящих в устройствах обогащения полезных ископаемых, появляются задачи определения вероятности местонахождения частицы на рабочих поверхностях устройств. В настоящей работе для решения подобной задачи предлагается статистический подход, т. е. при определении вероятности используется идея метода Гиббса. Рассмотрены проблемы моделирования процессов, происходящих в воздушном винтовом сепараторе. Разработаны математическая модель винтовой поверхности пневмо-сепаратора, модели движения частицы, потока невзаимодействующих частиц по рабочей поверхности сепаратора и алгоритм определения концентрации потока частиц. Рассчитанное распределение концентрации невзаимодействующих частиц на рабочей поверхности устройства отождествляется с распределением вероятности местонахождения одной частицы. Разработанный алгоритм определения вероятности положения частицы на рабочей поверхности пневмосепаратора может быть использован как элемент более сложной математической модели, например модели, где учитываются взаимодействия между частицами.
БС! 10.25587/SVFU.2018ЛЛ2771
Ключевые слова: винтовой сепаратор, концентрация, статистический метод, уравнение движения, поток частиц, обогащение, математическая модель.
Для определения оптимальных параметров [1], и усовершенствования рабочей поверхности [2] винтового пневмосепаратора необходима разработка математической модели процессов, происходящих внутри сепаратора [3,4]. Пнев-мосепаратор продувается воздухом с нижней части устройства [5]. Частицы песка, совершая под действием потока воздуха вращательное движение, уходят наверх и выбрасываются из сепаратора. Из-за наклона рабочей поверхности тяжелая частица смещается в центральную часть сепаратора и отделяется [6]. В [7, 8] представлены математические модели движения частицы в винтовом сепараторе. В [9] исследованы процессы сепарации в винтовом сепараторе методом дискретных элементов. В этих исследованиях появляется задача определения вероятности положения частицы на рабочей поверхности в процессе работы устройства. Такая задача может быть использована как основной элемент математической модели коллективного движения частиц в пневмосепараторе [10].
© 2018 Крылатова С. Р., Матвеев А. И., Лебедев И. Ф., Яковлев Б. В.
Рис. 1. Рабочая поверхность винтового пневмосепаратора
В настоящей работе для описания движения частицы используется идея метода Гиббса [11,12], т. е. вместо последовательных (по времени) состояний системы вводится ансамбль, который представляет собой совокупность состояний многих систем с определенными начальными условиями. На первом этапе работы определяется движение одной частицы внутри пневмосепаратора под действием направленного потока воздуха [13]. В качестве рабочей поверхности выбрана винтовая поверхность с определенным углом раствора и аксиальным углом наклона. Математическая модель рабочей поверхности винтового сепаратора получена обобщением модели конической поверхности [14], т. е. добавляется третья аксиальная компонента нормали к поверхности (рис. 1).
Уравнение движения частицы имеет вид [15]
тЯ = + тд + ^Тр + IV, где Я = гёг + гсг — радиус-вектор частицы, т — ее масса,
Ръ = а(уо сое(/3) - Уф)ёф + а (у0 вт(/3) - ] уг - ) е
(15)
— сила действия потока воздуха, а — коэффициент сопротивления при движении тела в воздушной среде, зависящий от характеристики среды, формы и свойств тела, у0 — скорость потока воздуха, Уф — аксиальная составляющая скорости движения тела, д = — дег — ускорение свободного падения, .Ртр = — N— сила трения о поверхность, г — расстояние от оси модели до частицы, *ф — угол цилиндрической системы координат, ег, ёф ,ег — базисные векторы цилиндрической системы координат.
Нормаль к рабочей поверхности сепаратора определяется соотношением
ём = — соБ(а) соБ(в)ег — вт(а) вт(в)ёф + вт(а) сов(в)ёг
92 С. Р. Крылатова, А. И. Матвеев, И. Ф. Лебедев, Б. В. Яковлев
где ¡3 = ^(^(^гд) — угол наклона рабочей поверхности по азимутальному направлению, а — угол полураствора конусной поверхности, т. е. угол наклона нормали рабочей поверхности по радиальному направлению.
Нормаль к рабочей поверхности относительно вертикальной оси можно написать в следующем виде:
= - 8т(7х) С08(72)ег - БШ^) БШ^)вф + 003(71)4,
где 71 — угол между нормалью и вертикальной осью, 72 — азимут проекции нормали на горизонтальную плоскость,
003(71) = 8ш(а) соз(в), tg(72) = - 1я(а)
-> ( \
N = М(уф,г) = 1тд003(71) Н---^003(72) эт^) I е„
— сила реакции поверхности.
Из (1) получена система дифференциальных уравнений с начальными условиями
г(0) = го, Ф(0) = Фо, ¿(0) = Уг(0) = 0, уф(0) = 0, уг(0) = 0,
r
Z = —7-T«r +tg (13)уф, tg(a)
vl N < \ <Я\ fNv- , < \ vr = —--cos(a) eos(p) — j--tg(a),
r m m v
N ■ í \ ■ ía\ , a í ía\ \ VrV-Ф fNv^ Уф = — sm a sm Д H--(u0cos(/3) - Уф)---/--,
m m r m v
iz = ~9 + — [v o sin(/3) - ( —+ tg (¡3)уф m \ \tg(a)
N N1 f 1
H--sin a eos ¡3 - /--———-vr + tg(13)уф
m m v ytg(a)
Эта система решается методом Рунге — Кутты, тем самым определяется закон движения частицы по рабочей поверхности. Используя полученный результат, можно определить траектории и законы движения и для системы невзаимодействующих частиц. Совокупность состояний невзаимодействующих частиц принимаем за статистический ансамбль. Ясно, что в начальный момент времени вдоль радиуса винтовой поверхности распределение вероятности положения частицы однородно. Зная начальные условия для невзаимодействующих частиц, можно определить концентрацию частиц на винтовой поверхности в последующие моменты времени. При стационарном случае получается определенное не зависящее от времени распределение плотности частиц на поверхности. Согласно методу Гиббса это распределение отождествляется с распределением
r = v
r
Рис. 2. Распределение концентрации невзаимодействующих частиц
Рис. 3. Распределение частиц на модельной плоскости для трех витков
вероятности местонахождения одной частицы. В качестве примера в работе рассмотрен поток из 30 частиц с равномерным начальным распределением по радиусу (рис. 2). Вероятность местонахождения частицы на рабочей поверхности определяется как концентрация этого потока.
С целью определения концентрации потока частиц рабочую поверхность каждого витка отображаем на плоскость (рис. 3), которую назовем модельной плоскостью. Имеем некоторый поток частиц в модельной плоскости с заданными координатами и скоростями в начальный момент времени. Законы движения для каждой частицы известны. Для решения задачи используем вычислительные свойства компьютера. На компьютере строим положение частицы в плоскости за равные промежутки времени (потому что в начальный момент времени поток однородный). В окрестности точки наблюдения (X, У) выделяем физически бесконечно малую область, например, для плоской задачи окружность радиуса К с центром в точке наблюдения. Относительно этой точки наблюдения определяем расстояние всех точек потока по формуле Ьг = ^(Х -хгу2 + (Г - Угу2.
Следующий шаг: создаем программу, определяющую расстояния до точек,
94 С. Р. Крылатова, А. И. Матвеев, И. Ф. Лебедев, Б. В. Яковлев
Рис. 4. Распределение концентрации на модельной плоскости. а — вид сверху, Ь — вид сбоку
ьи
которые лежат только внутри этой окружности:
0, если Ь^к > К, Ь^к, иначе.
Расстояния до тех точек, которые лежат вне окружности, зануляются программой. Таким образом получается двухмерная матрица данных, определяющая расстояния от центра окружности до точек, лежащих внутри него. Элементы матрицы делятся на значение самих элементов:
1и,к = у-,— • Ыгк
Тогда элементами матрицы являются только 0 и 1. Следовательно, суммируя все элементы матрицы
п / п \
к = Е ,
г=о \к=0 )
получаем количество частиц внутри окружности с физически бесконечно малым объемом. Выбирая координаты точек наблюдения и введя соответственно физически бесконечно малые области, определяем количество частиц внутри такой «подвижной» окружности на всей плоскости. Концентрация частиц определяется отношением количества частиц к площади окружности. На рис. 4 представлен график концентрации частиц на модельной плоскости. Согласно модели вероятность нахождения частицы на этой плоскости пропорциональна концентрации.
Изложенный статистический метод определения вероятности положения частицы может быть использован и для других устройств.
ЛИТЕРАТУРА
1. Матвеев А. И., Филиппов В. Е., Федоров Ф. М., Григорьев А. Н., Яковлев В. Б., Еремеева Н. Г., Слепцова Е. С., Гладышев А. М., Винокуров В. П. Патент № 2167005, 7 В 07 В 7/08. Пневмосепаратор / ИГДС СО РАН; Заявл. 11.06.99; Опубл. 20.05.2001 // Изобретения. Полезные модели. 2001. № 14. Ч. 2. С. 346.
2. Hasankhoeil A. R., Banisi S., Mozafari P. Designing a spiral splitter at the Zarand coal washing plant // Indian J. Sci. Res. 2014. V. 2, N 1. P. 151-156.
3. Шувалов С. И., Андреев А. А. Математическое описание движения частиц в динамическом сепараторе // Вестн. Иван. гос. энерг. ун-та. Вып. 1. Иваново: ИГЭУ, 2005. C. 25-28.
4. Матвеев А. И., Лебедев И. Ф., Никифорова Л. В., Яковлев Б.В. Моделирование движения частиц в винтовом пневмосепараторе // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2014. № 10. C. 172-178.
5. Барский М. Д., Ревнивцев В. И., Соколкин Ю. В. Гравитационная классификация зернистых материалов. М.: Недра, 1974.
6. Филиппов В. Е., Лебедев И. Ф., Матвеев А. И., Григорьев А. Н. Винтовой пневмосепаратор. Патент на изобретение № 2194581, 2002.
7. Kapur P. C., Meloy T. P. Spirals observed // Int. J. Mineral Process. 1998. V. 53. P. 15-28.
8. Das S. K., Godivalla K. M., Panda L., Bhattacharya K. K., Singh R., Mehrotra S. P. Mathematical modeling of separation characteristics of coal-washing spiral // Int. J. Mineral Process. 2007. V. 84. P. 118-132.
9. Mishra B. K., Alok Tripathy. A preliminary study of particle separation in spiral concentrators using DEM // Int. J. Mineral Process. 2010. V. 94. P. 192-195.
10. Германюк Г. Ю. Математическое моделирование движения ансамбля частиц с использованием канонического метода интегрирования: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ижевск, 2010.
11. Гиббс Дж. В. Основные принципы статистической механики. М.; Л.: Гостехиздат, 1946.
12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая физика. М.: Наука, 1976.
13. Karman T. Aerodynamics: Selected topics in the light of their historical development. Ithaca, NY: Cornell Univ. Press, 1954.
14. Фролов С. А. Начертательная геометрия: Учеб. для втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1983.
15. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М.: Наука, 1979.
Статья поступила 15 декабря 2017 г. Крылатова Сардаана Романовна
Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова,
физико-технический институт,
ул. Кулаковского 48, Якутск 677891
tsubasasardaana@mail. ru
Матвеев Андрей Иннокентьевич, Лебедев Иван Феликсович Институт горного дела Севера им. Н. В. Черского СО РАН, пр. Ленина, 43, Якутск 678980 [email protected], [email protected] Яковлев Борис Васильевич
Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова,
физико-технический институт,
ул. Кулаковского 48, Якутск 677891
Математические заметки СВФУ Январь—март, 2018. Том 25, № 1
UDC 532.5.031
MODELING OF PARTICLE MOTION IN SPIRAL PNEUMOSEPARATOR BY STATISTICAL METHODS
S. R. Krylatova, A. I. Matveev, I. F. Lebedev, and B. V. Yakovlev
Abstract: In mathematical modeling of mineral processing, there arise problems of determining the probability of the particle presence on the working surfaces of devices. In the paper, we propose a statistical approach to solving such problem, i. e., the idea of the Gibbs method is used. We consider problems of modeling processes in an air spiral separator. A mathematical model of the spiral surface of a pneumoseparator, a model of particle motion, a flux of noninteracting particles along the separator working surface, and an algorithm for determining the particle flux concentration are developed. The calculated distribution of the noninteracting particles concentration on the working surface of the device is identified with the probability distribution of the location of one particle. The developed algorithm for determining the probability of position of a particle on the working surface of the pneumoseparator can be used as an element of a more complex mathematical model, for example, a model where interactions between particles are taken into account.
DOI: 10.25587/SVFU.2018.1.12771
Keywords: spiral separator, concentration, statistical method, motion equation, particle flow, enrichment, mathematical model.
REFERENCES
1. Matveev A. I., Filippov V. E., Fedorov F. M., Grigoriev A. N., Yakovlev V. B., Eremeeva N. G., Slepsova E. S., Gladyshev A. M., and Vinokurov V. P., Patent No. 2167005. 20.05.2001.
2. Hasankhoei A. R., Banisi S., and Mozafari P., "Designing a spiral splitter at the Zarand coal washing plant," Indian J. Sci. Res., 1, No. 2, 151-156 (2014).
3. Shuvalov S. I. and Andreev A. A., "Mathematical description of motion of particles in a dynamic separator," Vestn. Ivanovsk. Gos. Energ. Univ., 1, 25-28 (2005).
4. Matveev A. I., Lebedev I. F., Nikiforova L. V., and Yakolev B. V., "Modeling of motion of particles in a spiral pneumoseparator," Mining Inform. Anal. Bull., 10, 172-178 (2014).
5. Barskii M. D., Revnivtsev V. I., and Sokolkin Y. V., Gravitatsionnaya Klassifikatsiya Zerni-stykh Materialov [in Russian], Nedra, Moscow (1974).
6. Filippov V. E., Lebedev I. F., Matveev A. I., and Grigoriev A. N., Patent No. 2194581 (2002).
7. Kapur P. C. and Meloy T. P., "Spirals observed," Int. J. Mineral Process., 53, 15-28 (1998).
8. Das S. K., Godivalla K. M., Panda L., Bhattacharya K. K., Singh R., and Mehrotra S. P., "Mathematical modeling of separation characteristics of coal-washing spiral," Int. J. Mineral Process., 84, 118-132 (2007).
9. Mishra B. K. and Alok Tripathy, "A preliminary study of particle separation in spiral concentrators using DEM," Int. J. Mineral Process., 94, 192- 195 (2010).
10. Germanyuk G. Y., Mathematical Modeling of Particle Set Movement Using Canonical Method of Integration [in Russian], Diss. Kand. Fiz.-Mat. Nauk, Izhevsk (2010).
11. Gibbs J. W., Elementary Principles in Statistical Mechanics, Developed with Especial Reference to the Rational Foundation of Thermodynamics, Dover Publ., New York (1902).
© 2018 S. R. Krylatova, A. I. Matveev, I. F. Lebedev, B. V. Yakovlev
12. Landau L. D. and Lifshitz E. M., Theoretical Physics. Vol. 5. Statistical Physics [in Russian], Nauka, Moscow (1976).
13. Karman T., Aerodynamics: Selected Topics in the Light of Their Historical Development, Cornell Univ. Press, Ithaca, NY (1954).
14. Frolov S. A., Nachertatelnaya Geometriya [in Russian], Mashinostroenie, Moscow (1983).
15. Sivukhin D. V., General Course of Physics. Vol. 1. Mechanics, Nauka, Moscow (1979).
Submitted December 15, 2017 Sardaana R. Krylatova
M. K. Ammosov North-Eastern Federal University Institute of Physics and Technologies, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891, Russia [email protected]
Andrey I. Matveev, Ivan F. Lebedev Chersky Mining Institute of the North, 43 Lenin Avenue, Yakutsk 677980, Russia [email protected], [email protected]
Boris V. Yakovlev
M. K. Ammosov North-Eastern Federal University Institute of Physics and Technologies, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891, Russia [email protected]
