CC BY
19
------------------------------ © А.И. Матвеев, И.Ф. Лебедев,
Л.В. Никифорова, Б.В. Яковлев, 2014
УДК 622.7:51(001.57)
А.И. Матвеев, И.Ф. Лебедев, Л.В. Никифорова, Б.В. Яковлев
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ В ВИНТОВОМ ПНЕВМОСЕПАТАТОРЕ*
Теоретически рассмотрено движение частиц внутри винтового пневмосепаратора. На начальной стадии рассматривается вспомогательная модель: движение частицы по конической поверхности с данным углом полураствора под действием аксиального потока воздуха. В этом случае нормаль к поверхности конуса имеет две компоненты: радиальную и вертикальную. Разработанная модель позволяет найти закон движения частицы по конической поверхности. Чтобы получить винтовую поверхность усложняем модель, а именно, к компонентам нормали поверхности добавляем аксиальную третью компоненту. Тогда созданная нормаль будет описывать винтовую поверхность. В качестве рабочей поверхности пневмосепаратора выбрана винтовая поверхность с определенным углом раствора и аксиальным углом наклона. Движение частиц происходит только по рабочей поверхности. Зная закон движение для одной частицы, можно определить траектории и для системы невзаимодействующих частиц. Таким образом, в первом приближении для невзаимодействующих частиц можно определить концентрацию частиц на винтовой поверхности, как и в радиальном направлении, так и в вертикальной плоскости.
Ключевые слова: частица, движение, модель, траектория, винтовая поверхность, пневмосепаратор, концентрация.
В условиях Крайнего Севера, где продолжительность зимнего периода занимает достаточно большую часть рабочего времени при добыче полезных ископаемых целесообразно использовать методы сухого обогащения. Одним из основных методов сухого обогащения является пневматический метод, который основан на принципе разделения полезных ископаемых по крупности (пневматическая классификация) и плотности (пневматическая концентрация) в восходящей или пульсирующей струе воздуха [1]. В лаборатории полезных ископаемых ИГДС СО РАН разрабатываются пневмосепараторы [2, 3, 4]. Для улучшения качеств разрабатываемых устройств, например винтового пневмосепата-тора [4], необходимы оценочные расчеты характеристик физических процессов происходящих в них. В известных работах [5] делаются оценки миграционных способностей частиц, введя понятие скорости витания их в воздушном потоке. Получаемые оценочные формулы имеют в основном эмпирический характер. Но для более глубокого изучения физических процессов происходящих внутри пневмосепаратора, необходимы математические модели основанные на фундаментальные законы физики. В данной работе теоретически рассматриваются движение частиц внутри винтового пневмосепаратора. В начале рассматривается вспомогательная модель: движение частицы по конической поверхности с данным углом полураствора под действием аксиального потока воздуха. В этом случае нормаль к поверхности конуса имеет две компоненты: радиальную и
* Статья подготовлена при поддержке РФФИ № 12-05-98536-р_восток_а. 172
вертикальную. Разработанная модель позволяет найти закон движения частицы по конической поверхности. Чтобы получить винтовую поверхность усложняем модель, а именно, к компонентам нормали поверхности добавляем аксиальную третью компоненту. Тогда созданная нормаль будет описывать винтовую поверхность. В качестве рабочей поверхности пневмосепаратора выбрана винтовая поверхность с определенным углом раствора и аксиальным углом наклона. Движение частиц происходит только по рабочей поверхности. Зная закон движение для одной частицы, можно определить траектории и для системы невзаимодействующих частиц. Таким образом, в первом приближении для невзаимодействующих частиц можно определить концентрацию частиц на винтовой поверхности, как и в радиальном направлении, так и в вертикальной плоскости.
Рассмотрим движение тел под потоком воздуха на внутренней стороне конической поверхности.
В данной задаче вихревой поток воздуха направлен вокруг оси симметрии системы. Ось симметрии конуса расположена вертикально. Начало координат совпадает с вершиной конуса (рис. 1).
Согласно классическому уравнению движения имеем:
Рис. 1. Физическая модель
mR = FB + mg + FTp + N
где R - радиус вектор тела, m - его масса, FB = FBev = a (v0 - vv) ev - сила действия потока воздуха, a - коэффициент сопротивления при движении тела в воздушной среде, зависящая от характеристики среды, формы и свойств тела, v0 - скорость потока воздуха, vy - аксиальная составляющая скорости движения тела, ey - направление движения потока воздуха, g = -gez - ускорение
свободного падения,
Ftp = Nfv v
сила трения о поверхность,
N = N (v ш, r) = m
g • sin (a) + —- • cos (a)
e -
сила реакции поверхности,
en =-cos (a) er + sin (a) ez - внутренняя к конической поверхности нормаль, a - угол раствора конуса, г - расстояние от оси конуса до тела, у - угол цилиндрической системы координат, er, ey, ez - базисные вектора цилиндрической системы координат. Сделаем первое приближение: коэффициент трения при движении тела о поверхность ничтожно мал, т.е. f^0.
Итак, имеем
(
v
\
g • sma + — cosa г
v у
(-
cosa • e + sma • e
(1)
Будем работать в цилиндрических координатах г, у, z.
x = r■cosa
y = r ■ sma
2 2 2 r2 = X + y
— = tga x
er = cosy ■ ex + siny ■ ey
e„ = -siny ■ ex + cosy ■ e—
er = -siny ■y ■ex + cosy ■y ■ey = y ■ ey ey = -cosy ■y ■ex - siny ■ y ■ey = -y ■ er
Г = dt (rer ) = Г ■ er + Г ■ er = Г ■ er + Г ■'y ■ ey
r = (r - ry2) ■ er + (2ry + ry) ■ ey R = r + z ■ e
z
R = r + Z ■ ez R = r + z ■ ez
R = (r - ry2) ■ er + (2ry + ry) ■ ey + Z ■ ez
(2)
Сравнивая (1) и (2) получаем систему из трех уравнений второго порядка
(
r - ry2 = -
Л
y
g ■ sina + — cosa r
V У
cosa
2ry + ry = — (v0 - vy)
z = - g +
g ■ sina +--cosa
r
sina
Понижая порядок уравнений системы, получаем систему из шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями г(0) = г0, у(0) = у0, 40) = zQ, v(0) = v, vy(0) = vy, vz(0) = vz, т.е. задачу Коши: r = v.
y = ■
z = v.
( v2 y
Л
■ sina - g ■ cosa
sina
У
К = — (v0 - vy)-mv '
v v
ry
Рис. 2. Траектории частицы по поверхности конуса: а) вид сверху
v
y
r
Vr =
Рис. 2. Траектории частицы по поверхности конуса: б) вид сбоку
У =
(v Л
— • sina - g • cosa cosa r
v J
Система уравнений решается методом Рунге-Кутты, например в пакете Mathcad.
На рис. 2 представлены траектории частицы по поверхности конуса с углом раствора 63° при заданных значениях скорости потока воздуха v0 = 15 м/с, при коэффициенте сопротивления а = 0,0002 Н с/м, массы частицы m = 2 г, при начальных значениях координат г0 = 0,5 м, у0 = 0, z0 = 0,25 м и скорости
v0 = 0.
Как видно из рис. 2 после начала движения частица движется вниз. Это связано с тем, что она еще не набрала достаточную скорость после движения из состояния покоя. Со временем она набирает скорость под действием воздушного потока, при этом увеличивается сила реакции на поверхность, обусловленная центробежной силой, что заставляет частицу двигаться наверх.
А теперь рассмотрим движение частицы в винтовом сепараторе под действием потока воздуха. Будем считать, что движение тела происходит только по нижней т.е. рабочей поверхности сепаратора. На рис. 3 представлена рабочая поверхность винтового сепаратора с внутренним диаметром 5 см, внешний диаметр - 20 см, величина шага витков - 22 см, угол подъема по внутренней трубе 55°, по внешней стенке 16°, угол наклона винтовой поверхности к внутренней трубе относительной вери-кальной линии 70°.
Рис. 3. Рабочая поверхность винтового сепаратора
Геометрическая модель трубы состоит из уравнений x = R ■ соэ(ф) y = R ■ эт(ф)
h R
z =----ф +----
2 ■ п tan а
Нормаль к рабочей поверхности сепаратора определяется соотношениями eN = - cos(a) ■ cos(P) ■ er - sin(a) ■ sin(P) ■ + sin(a) ■ cos(P) ■ ez
где P = arctan
2 ■ п ■ R sin (а)
- угол наклона рабочей поверхности по азиму-
тальному направлению, а - угол полураствора конусной поверхности, т.е. угол наклона нормали рабочей поверхности по радиальному направлению.
Нормаль к рабочей поверхности относительно вертикальной оси можно написать в следующем виде:
eN = - sin(Yj) ■ cos(Y2) ■ er - sin(yj ■ sin(Y2) ■ ew + cos(yj ■ ez
где у - угол между нормалью и вертикальной осью, у2 - азимут проекции нормали на горизонтальную плоскость,
cos(Yj) = sin (а) cos (р)
tan(y2) = tan (а) ■ tan (p)
На рис. 4 представлены нормали к поверхности в точках прилежащих к внутренней и внешней стенкам трубы. Как видно из геометрической модели рабочая поверхность сепаратора имеет переменный наклон в радиальном направлении.
Рис. 4. Нормали к поверхности в точках прилежащих к внутренней и внешней стенкам трубы
Рис. 5. Траектория частицы в продольном череп ось симметрии разрезе винтового пневмо- рис. 6. Траектория частицы: вид
сепаратора
сверху
Математическая модель процесса основана на уравнении Ньютона.
mR = FB + mg + FTp + N
FB = a (v0 cos(p) - ) ev + a (v0 sin(p) - vz) ez
N =
mg ■ cos (yj )
mv„.
■ cos
(Y2) sin (Yi ) - 2vr у ■ sin (yj ) sin (y2)
Первый член справа в уравнении для силы реакции обусловлен силой тяжести, второй и третий члены - силами центробежной и кориолисовой.
Подставляя эти данные, в уравнение Ньютона получаем систему уравнений в цилиндрических координатах:
V = v,
W = -
z = v.
v. = - cos
N v2
(aV cos (р) — + —
mr
vw =-sin(<*)■sin№)■N +—(v0 ■cos(Р)-vw)
ч' m mv r
v v
r w
vz =-g + — (v0 ■ sin (p)- vw ■ tan (p)) + sin (aV cos (p) ■N mv ’ m
N
v
w
r
Полученная задача Коши решается методои Рунге-Кутты.
На рис. 5 представлена траектория частицы в продольном через ось симметрии разрезе винтового пневмосепаратора. На рис. 6 вид сверху траектории частицы.
________________________________________________ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шохин В.Н., Лопатин А.Г. Гравитационные методы обогащения. - М: Недра, 1980. -С. 370.
2. Матвеев А.И., Филиппов В.Е., Федоров Ф.М., Григорьев А.Н., Яковлев В.Б., Еремеева Н.Г., Слепцова Е.С., Гладышев А.М., Винокуров В.П. Патент № 2167005, 7 В 07 В 7/08.
Пневмосепаратор. ИГДС СО РАН; Заявл. 11.06.99; Опубл. 20.05.2001 // Изобретения. Полезные модели. - 2001. - № 14. - Ч. 2. - С. 346.
3. Филиппов В.Е., Лебедев И.Ф. Винтовой пневмосепаратор / Материалы Межд. Научно-тех. Конф. Научные основы и практика переработки руд и техногенного сырья. - Екатеринбург: Изд. АМБ, 2004. - 326 с.
4. Филиппов В.Е., Григорьев А.Н., Лебедев И.Ф. Патент № 2194581. Винтовой пневмосепаратор / // Изобретения. Полезные модели. - 2002.
5. Смышляев Г.К. Воздушная классификация в технологии переработки полезных ископаемых. - М.: Недра, 1969. iiim
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ__________________________________________________________________
Матвеев Андрей Иннокентьевич - доктор технических наук, зав. лабораторией, старший научный сотрудник, e-mail: [email protected],
Лебедев Иван Феликсович - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: [email protected],
Институт горного дела Севера им. Н.В. Черского СО РАН;
Никифорова Людмила Владимировна - ведущий инженер, e-mail: [email protected],
Яковлев Борис Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: [email protected],
Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,
Физико-технический институт.
UDC 622.7:51(001.57)
MODELING OF MOTION OF PARTICLES IN THE SCREWED VERSION OF AIR SEPATATORE
Matveev A.I., Doctor of Technical Sciences, Head of Laboratory, Senior Researcher, e-mail: [email protected],
Lebedev I.F., Candidate of Technical Sciences, Senior Researcher, e-mail: [email protected],
N.V. Chersky Institute of Mining of the North, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences. Nikiforova L.V., Leading Engineer, e-mail: [email protected],
Yakovlev B.V., Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, e-mail: [email protected],
M.K. Ammosov North-East Federal University, Physical and Technical Institute.
In this paper theoretically discusses the motion of particles inside the screw air separator. At the initial stage auxiliary model is considered: particle motion along a conical surface with a given angle under the action of the axiales flow of air. In this case the normal to the surface of the cone has two components: vertical and radial. Model allows to find the law of motion of a particle along a conical surface. To get the screw surface sophisticate model, namely, the components of the surface normal axial add a third component. Then set up will describe the normal helical surface. As the working surface of the spiral air separator is chosen with a specific surface of angle and axial angles. The particle motion occurs only at the working surface. Knowing the law of motion of a single particle, we can determine the trajectory for the system of non-interacting particles. Thus, in a first approximation for non-interacting particles the particle concentration can be determined on a screw surface, as well as in the radial direction and in the vertical plane.
Key words: particle, motion, model, trajectory, helical surface, air separator, concentration.
REFERENCES
1. Shohin V.N., Lopatin A.G. Gravitacionnye metody obogashhenija (Gravitational enrichment methods), Moscow, Nedra, 1980. - 370 p.
2. Matveev A.I., Filippov V.E., Fedorov F.M., Grigor'ev A.N., Jakovlev V.B., Eremeeva N.G., Slepcova E.S., Gladyshev A.M., Vinokurov V.P Patent RU 2167005, 7 V 07 V 7/08, 20.05.2001.
3. Filippov V.E., Lebedev I.F. Materialy Mezhd. Nauchno-tekh. Konf. Nauchnye osnovy i praktika pererabotki rud i tekhnogennogo syr'ya (Proceedings of International Scientific-Technical Conference on Theory and Practice of Ore and Mine Waste Processing), Ekaterinburg: Izd. AMB, 2004. 326 p.
4. Filippov V.E. Lebedev I.F. Grigoriev A.N. Patent RU 2194581, 2002.
5. Smyshljaev G.K. Vozdushnaja klassifikacija v tehnologii pererabotki poleznyh iskopaemyh (Air separation technology in minerals processing), Moscow, Nedra, 1969.
