CC BY
18
TFYHfl ППГИИ MA ШИНЫ И ПКПРУППЛй ППЯ ЛГРППРПМЫШПРННПГП КПМППРКГА
4.3.1 ТЕХНОЛОГИИ, МАШИНЫ И ОБОРУДОВАНИЕ _ДЛЯ АГРОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА_
Научная статья УДК 637.116-83
Б01: 10.24412/2227-9407-2023-5-7-19
Моделирование динамики молочной продуктивности с использованием методов математической статистики
Татьяна Сергеевна Бородина1, Сергей Николаевич Стребуляев2, Оксана Александровна Тареева3^
12Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского, Нижний Новгород, Россия 3 Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Княгинино, Россия
1 ^.260980@тсп1.ги, https://orcid.org/0009-0004-4605-8344
2 sstrebuliaev@mail.ru, https://orcid.org/0000-0002-3152-3168 3oksya-kn@mail.тив, https://orcid.org/0000-0002-2682-1216
Аннотация
Введение. Статья посвящена моделированию динамики молочной продуктивности крупного рогатого скота с использованием компьютерных технологий анализа данных. Одним из основных показателей экономической эффективности хозяйства в животноводстве является молочная продуктивность, поэтому так важно проводить ее оценку как в отношении каждой коровы, так и всего стада в целом. Изменения в удоях отражаются на лактационной кривой. В данной работе строятся модели лактационных кривых, что позволяет оценить текущую продуктивность, а также прогнозировать на их основе молочную продуктивность крупного рогатого скота. Материалы и методы. В представленной работе использованы массивы статистических данных об удоях группы коров второго лактационного периода за утреннюю, дневную и вечернюю дойки, а также суммарную дойку за сутки, полученные в одном из хозяйств Нижегородской области. При построении и анализе математической модели динамики молочной продуктивности использованы методы математической статистики. Для рассматриваемых статистических данных применен аппарат временных рядов. Выделены систематические компоненты временного ряда, проведен анализ остатков и проверка модели на адекватность, что дает возможность делать прогнозы молочной продуктивности коров. При проведении вычислительного эксперимента на ЭВМ использованы система аналитических вычислений Maple, версия 10, и табличный процессор MS Excel с совокупностью их стандартных библиотек и функций.
Результаты. На основе анализа массивов данных об удоях группы коров сделан вывод о целесообразности использования модели Вуда для моделирования рассматриваемого процесса.
Обсуждение. Анализ результатов вычислительного эксперимента показал, что модель Вуда адекватна и ее можно использовать для оценки молочной продуктивности коров, что позволит также получить рекомендации по улучшению процесса доения. Полученные результаты и программное обеспечение могут быть применены для моделирования указанных процессов коров с иным лактационным периодом.
Заключение. Предлагаемая модель также может быть внедрена в автоматизированные системы управления стадом сельскохозяйственных животных на фермах и доильных установках.
Ключевые слова: временные ряды, лактационная кривая, модель Вуда, молочная продуктивность коров, полиномиальная модель, швицкая порода коров, экспоненциальная модель
© Бородина Т. С., Стребуляев С. Н., Тареева О. А., 2023
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License. The content is available under Creative Commons Attribution 4.0 License.
Вестник НГИЭИ. 2023. № 5 (144). C. 7-19. ISSN2227-9407 (Print) Bulletin NGIEI. 2023. № 5 (144). P. 7-19. ISSN2227-9407 (Print)
ТРГНМП! nniFS МЛГШМРЯ Л МП
F/ll? THF IMTWIGTBIAI mMDI ry'^^^WWWWW
run 1 agru-u\uus lnirtl,
Для цитирования: Бородина Т. С., Стребуляев С. Н., Тареева О. А. Моделирование динамики молочной продуктивности с использованием методов математической статистики // Вестник НГИЭИ. 2023. № 5 (144). С. 7-19. DOI: 10.24412/2227-9407-2023-5-7-19
Modeling of milk productivity dynamics using mathematical statistics methods
Tatiana S. Borodina1, Sergey N. Strebulyaev2, Oksana A. Tareeva3B
12 Lobachevsky Nizhny Novgorod State University, Nizhny Novgorod, Russia 3 Nizhegorodsky State University of Engineering and Economics, Knyaginino, Russia
1 zhts.260980@mail. ru, https://orcid.org/0009-0004-4605-8344
2 sstrebuliaev@mail.ru, https://orcid.org/0000-0002-3152-3168 3oksya-kn@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0002-2682-1216
Abstract
Introduction. The article is devoted to modeling the dynamics of dairy productivity of cattle using computer technologies of data analysis. One of the main indicators of the economic efficiency of the farm in animal husbandry is milk productivity, which is why it is so important to evaluate it both for each cow and the entire herd as a whole. Changes in milk yields are reflected in the lactation curve. In this paper, models of lactation curves are constructed, which allows us to assess current productivity, as well as predict dairy productivity of cattle based on them. Materials and methods. The presented work uses arrays of statistical data on the milk yields of a group of cows of the second lactation period for morning, afternoon and evening milking, as well as total milking per day, obtained in one of the farms of the Nizhny Novgorod region. Methods of mathematical statistics were used in the construction and analysis of a mathematical model of the dynamics of milk productivity. The time series apparatus is used for the statistical data under consideration. The systematic components of the time series are identified, the residues are analyzed and the model is checked for adequacy, which makes it possible to make forecasts of dairy productivity of cows. When conducting a computational experiment on a computer, the Maple analytical computing system, version 10, and the MS Excel spreadsheet processor with a set of their standard libraries and functions were used. Results. Based on the analysis of data arrays on milk yields of a group of cows, it is concluded that it is advisable to use the Wood model to model the process under consideration. Discussion: The analysis of the results of the computational experiment showed that Wood's model is adequate and can be used to assess the dairy productivity of cows, which will also provide recommendations for improving the milking process. The results obtained and the software can be used to simulate these processes of cows with a different lactation period. Conclusion: the proposed model can also be implemented in automated systems for managing a herd of farm animals on farms and milking plants.
Keywords: dairy productivity of cows, lactation curve, time series, Wood model, polynomial model, exponential model, Swiss breed of cows
For citation: Borodina T. S., Strebulyaev S. N., Tareeva O. A. Modeling of milk productivity dynamics using mathematical statistics methods // Bulletin NGIEI. 2023. № 5 (144). P. 7-19. DOI: 10.24412/2227-9407-2023-5-7-19
Введение
Важной составляющей сельскохозяйственного производства является увеличение молочной продуктивности скота и анализ этой характеристики для каждой конкретной особи, что способствует повышению эффективности сельского хозяйства и, как следствие, развитию сельскохозяйственных территорий. Удой коровы в период лактации непрерывно меняется, поэтому данную характеристику необходимо рассматривать как случайную величину. Все это отражается на кривой лактации. Лактационная
кривая обусловлена уровнем молочной продуктивности, типом нервной системы, физиологическим состоянием, условиями кормления, содержания и другими факторами, которые необходимо учитывать для создания адекватной статистической модели.
На сегодняшний день существует достаточно большое число работ, посвященных моделированию лактационных кривых. Предложено уже более двух десятков моделей: эмпирических, логических и полуэмпирических [1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9]. Это свидетельствует об актуальности темы. Наиболее полный
технологии, машины и оборудование для агропромышленного комплекса
обзор существующих на данный момент математических моделей лактации крупного рогатого скота приведен в статье Mikailsoy F. [2].
В данной работе строятся модели лактационных кривых для швицкой породы коров, причем моделирование производилось отдельно по данным за утреннюю, дневную, вечернюю дойки, а также суммарную дойку за сутки. Изначально мы исходим из предположения, что математические модели лактации за утро, день и вечер могут быть различными. В настоящем исследовании были применены модели временных рядов, так как приходится работать с данными, которые меняются во времени, а удой коровы предполагается случайной величиной.
Математическое описание кривой лактации дает возможность прогнозировать суточные и годовые удои коров с целью планирования товарной массы молока, корректировки условий содержания и рациона питания, движения денежной наличности, а также оптимизации процесса машинного доения.
Следует также отметить, что новейшие системы доения, включая роторно-конвейерные доильные установки, оснащены современной вычислительной техникой, что позволяет использовать ее не только для получения данных о параметрах дое-
ния: времени, скорости выдаивания и количества молока для каждой коровы, но и оснастить программное обеспечение алгоритмами адаптивного управления с учетом результатов статистического анализа, полученных ранее [10; 11] и приведенных в данной работе.
Материалы и методы
Для проведения исследований были использованы массивы статистических данных об удоях группы коров, полученные в одном из хозяйств Нижегородской области. Следует отметить, что для исследования отобраны коровы второго лактационного периода, с приблизительно одинаковой продуктивностью. Условия кормления и содержания животных были одинаковыми. Коровам скармливали корма по принятым в хозяйстве структурам рационов, составленных с учетом молочной продуктивности, живой массы и физиологического состояния. Данные об удоях каждой коровы анализировались за утреннюю, дневную и вечернюю дойки, а также суммарную дойку за сутки. При этом использовались различные виды моделей.
На рис. 1 приведен, в качестве примера, график динамики суточных удоев коровы № 1 за весь лактационный период.
Дни лактации, t / Lactation days, t Рис. 1. График динамики суточных удоев коровы № 1 Fig. 1. Graph of dynamics of daily milk yields of cow No. 1 Источник: разработано авторами
Для рассматриваемых статистических данных применен аппарат временных рядов, включающий следующие этапы:
- предварительный анализ данных;
- построение моделей: формирование набора аппроксимирующих функций (кривых роста) и численное оценивание параметров моделей;
- проверка адекватности моделей и оценка их точности;
- выбор лучшей модели.
Сначала был выполнен предварительный анализ временного ряда. Для каждого временного ряда проводился визуальный анализ графика (рис. 1), проверялась гипотеза о наличии аномальных
technologies, machines and equipment
' for the agro-industrial complex
наблюдений и строились коррелограммы для выявления структуры временного ряда.
Анализ на аномальные наблюдения был проведен с помощью метода Ирвина [12; 13; 14; 15; 16], который заключается в следующем.
На первом этапе выдвигаются статистические гипотезы:
Н0: 7-е наблюдение не является аномальным;
Н\: ^е наблюдение является аномальным.
Далее вычисляется значение критерия
L =
У " У-i
где
=
1
t (У - yf - 1п
, y=-t у .
n -1
(1)
i=1
Если вычисленная величина I превышает предельное значение 1кр (попадает в критическую область), то с вероятностью а ошибки первого рода отвергается гипотеза Н0 и принимается альтернативная гипотеза Нь В этом случае наблюдение у7 является аномальным.
Коррелограмма отражает изменение величины выборочной оценки коэффициента автокорреляции р{1) в зависимости от значений сдвига I, где
^ п-1 ___
7 X ~ У)(У+1 ~ У)
1 г=1
Р(1 ) =
П - i
1
11 (y, - y)2
n
, (2)
где п - длина временного рядау1, у2, ..., уь ... уп, I -временной сдвиг (I = 1,п-1), у - оценка среднего значения, приведенная в (1).
Известно [12; 13; 14; 15; 16], что если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции р(1), то исследуемый ряд содержит только трендо-вую составляющую; если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции р(1), то ряд содержит колебания с периодичностью I моментов времени. Таким образом, по коррелограмме целесообразнее определять наличие трендовой, периодической и сезонной составляющих временного ряда. Однако для достоверности результатов исследования мы будем использовать еще и соответствующие статистические критерии.
Для проверки гипотезы о наличии неслучайной составляющей временного ряда в теории математической статистики используются различные
критерии [12; 13; 14; 15; 16], которые, по существу, проверяют гипотезу о постоянстве среднего значения временного ряда. Мы используем критерий, состоящий из следующих шагов:
- временной ряд разбивают на две примерно равные по числу значений части;
- по каждой из частей определяются выборочные средние ( у , у ) и выборочные дисперсии (s2I , 5^) по следующим формулам:
_ 1 п1 _ 1 пи
У1 =—X Уг, Уп = —X я,
n
'I i=1
s2 =
n
II i=n +1
■Ц-Z (yl - У1f,
-1 i=1
• t (y - У11f ;
1 i=nj +1
- рассчитываем значение критерия:
Уг - Уп lni ■ nii (ni + nii ~2f
K = ~T-
V( n -11 s2+( nn-11 s
щ + nn
(3)
. (4)
Если
выполняется
неравенство
К > г(1 -а, Щ + па — I), то гипотеза о постоянстве математического ожидания отклоняется с уровнем значимости а, где г(1 -а,п + пц -1) есть значение ^критерия с соответствующей вероятностью и числом степеней свободы.
Отметим, что для использования описанного выше критерия необходимо убедиться, что дисперсии обеих частей ряда одинаковы. При этом применяется критерий Фишера:
F =
max(s/2, s2 )
s - ^d'
(5 )
где s2 и s2n вычисляются по формуле (3).
Если не выполняется неравенство
F„
< F < F
а , 1 _ s — а
то гипотеза о посто-
янстве дисперсии отвергается с уровнем значимости a.
Проверка гипотезы о стационарности временного ряда сводится к проверке следующей пары статистических гипотез:
H0 :M (7 (*,)) = const;]
H :M (7 (i,))^ const. матического ожидания;
постоянство мате-
s
У
2
siI =
n
технологии, машины и оборудование для агропромышленного комплекса
H0 :D (7 (t )) = const; H : D (7 (t ))* const.
постоянство диспер-
сии.
С использованием критерия Фишера (5) проверяется гипотеза о постоянстве дисперсий. Если эта гипотеза принимается, то на следующем шаге проверяется гипотеза о постоянстве математического ожидания (4). Если принимается гипотеза о постоянстве математического ожидания, то принимается гипотеза о стационарности (в широком смысле) временного ряда. Также и по виду коррелограммы можно определить, будет ли ряд стационарным или нет: коррелограмма стационарного ряда достаточно быстро затухает с ростом лага I. Если же коррело-грамма убывает медленно, то есть основания предполагать нестационарность.
На следующем этапе выделяется трендовая составляющая временного ряда. В данной работе используются методы регрессионного анализа. Анализ массивов исходных данных и рассматриваемых процессов показал, что целесообразно рассмотреть следующие модели тренда: полиномиальную, экспоненциальную и модель Вуда.
Полиномиальная модель представляется в виде:
у {г) = Ро + Р' +... + рргр. (6)
При применении модели (6) для определения степени полинома был использован метод последовательных разностей [17; 18; 19; 20].
Экспоненциальная модель:
у (' . (7)
Модель Вуда:
у (*) = & ■ ' Р. вР'. (8)
При вычислении неизвестных коэффициентов Р\, I = 0, р в указанных выше моделях (7) - (8)
осуществляется линеаризация уравнения регрессии, к которому в дальнейшем применяется метод наименьших квадратов. Затем выделяется тригонометрическая составляющая временного ряда [12; 13]. Данный этап анализа опущен в статье, так как в построенных нами моделях отсутствует сезонная составляющая.
В дальнейшем при проверке значимости построенных моделей (6) - (8) используется ^-критерий Фишера [17; 18; 19; 20]. Для этого вычисляется индекс детерминации Я' в виде:
К = 1 - у, £ =1(у,-у,)2,
у 1=1
Q = 1 (y - y }■
(9)
i=1
При выборе уравнения регрессии надо учитывать не только величину В*, но и «сложность» уравнения тренда, определяемую количеством коэффициентов уравнения. По этой причине необходимо для каждой модели рассчитать приведенный индекс детерминации
К =1 -тЦ%=1 -—■(' - К2) • (10)
(п - т). у п - т где т - количество коэффициентов регрессии.
Адекватность модели и выбор лучшей определяется степенью близости величины К* к единице, а также анализом свойств и числовых характеристик ряда остатков по каждой из моделей (6) -(8). Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания ряда остатков нулю проводится с использованием критерия Стьюдента, проверка случайности ряда остатков выполнена по критерию «поворотных точек», а проверка независимости значений ряда остатков - с использованием теста Дарбина-Уотсона. Проверка данных критериев осуществлялась согласно методике, подробно описанной в [12; 13].
Положительные результаты описанных выше проверок свойств ряда остатков дают уверенность в полноте и адекватности построенной модели и в успешном использовании модели для решения задач прогнозирования временного ряда в рассматриваемой задаче.
Результаты
Остановимся более подробно на основных этапах, изложенных выше. Для коровы № 1 (рис. 2) приведена коррелограмма временного ряда, рассчитанная по данным для суммарной за день дойки.
technologies, machines and equipment
' for the agro-industrial complex
Рис. 2. Коррелограмма по данным для суммарной за день дойки Fig. 2. Correlogram according to the data for the total milking per day Источник: разработано авторами
Коррелограмма (рис. 2) рассчитывается для значений лага I = 100, так как рекомендуется, чтобы выполнялось соотношение I < п/4, где п - длина временного ряда. Аналогичные виды коррелограмм были получены для утренней, дневной и вечерней доек.
Из анализа коррелограмм можно сделать вывод, что присутствует только трендовая составляющая, так как наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции р(1). Раз предполагается наличие тренда, то исследуемый ряд нестационарный, тем более что коррелограмма (рис. 2) медленно убывает. Сделанные предварительные выводы подтверждаются после проверки соответствующих статистических тестов.
С использованием приведенного выше критерия Ирвина значения, признанные аномальными, были заменены средним значением соседних наблюдений.
Для выбранного массива данных проверка гипотезы о постоянстве математического ожидания отклоняется с уровнем значимости а = 0,05, так как полученное расчетное значение определяемое по формуле (4), равно 9,65. Это значение больше теоретического значения, взятого из таблиц Стью-дента [20], и равного 1,97. При этом гипотеза о постоянстве дисперсии принимается. Это еще раз подтверждает тот факт, что ряд нестационарный.
Далее мы выделяем трендовую составляющую, используя модели (6) - (8), описанные выше: полиномиальная, степенная и Вуда.
Для полиномиальной модели получены следующие регрессионные зависимости количества молока от дней лактации для утренней, дневной, вечерней доек и суммарной за день дойки соответственно:
- утренняя дойка:
у(') := 4,079391254.10(-7) ■'3 - 0,0003144135127 ■'2 + + 0,00055732040 ■' + 9,995959900;
- дневная дойка:
у(') := 3,319197287 ■ 10(-7) ■'3 - 0,0002744089512 ■'2 + + 0,05010030510 ■' + 7,535077900;
- вечерняя дойка:
у(') := 2,917158457 ■ 10(-7) ■'3 - 0,0002339235845 ■'2 + + 0,04502787571 ■' + 7,171839102;
- итог за весь день:
у(') := 1,031575200.10(-0) ■'3 - 0,0008228004010■'2 + + 0,1017450208.' + 24,70287487.
Для случая экспоненциальной модели эти зависимости имеют вид:
- утренняя дойка:
у(') := 13,13770171. ехр(- 0,0005571025448 -');
технологии, машины и оборудование для агропромышленного комплекса
- дневная дойка:
у (г) := 10,51413355- ехр(- 0,0006167881914 • г)
- вечерняя дойка;
у (г) := 9,543571095- ехр(- 0,0007608865055 • г);
- итог за весь день:
у (г) := 33,51184999 • ехр(- 0,0006577503609 • г), а для случая модели Вуда:
- утренняя дойка:
у(г) := 6,876891891- г0 1839487749 • ехр(- 0,001916858804 • г)
- дневная дойка:
,0,2474956906
У (,):= 4,404950077• t0
вечерняя дойка:
,0,2211521775
• exp(- 0,002456205014 • t f
• exp(- 0,002395579581 • t f
у(г):= 4,381541116 • г0
- итог за весь день: у (г) := 15,67077900 • г0-2160065351 • ехр(- 0,001154408333 • г). Графическое отображение построенных моделей (6) - (8) для утренней дойки приведено на рис. 3.
■ Полиномиальная моделъ/Т1ю polynomial model
Рис. 3. Регрессионные зависимости количества молока от дней лактации для утренней дойки Fig. 3. Regression dependences of milk quantity on lactation days for morning milking
Источник: разработано авторами
По визуальному анализу (рис. 3) можно сказать, что наилучшая аппроксимация статистических данных достигается на модели Вуда.
Значения индексов детерминации Я, приведенного индекса детерминации Я для утренней, дневной, вечерней доек и суммарной за день дойки, соответственно, для каждой из моделей (6) - (8) приведены в табл. 1; расчетные значения статистики ^-критерия расч) - в табл. 2, а значение
средней относительной ошибки аппроксимации А - в табл. 3.
Сравнение значений приведенных индексов детерминации показало, что самое низкое значение наблюдается для экспоненциальной модели, а для моделей Вуда и полиномиальной эти значения практически совпадают. Общеизвестно, что чем ближе рассматриваемые индексы детерминации к единице, тем лучше модель описывает изучаемый процесс.
technologies, machines and equipment
' for the agro-industrial complex
Таблица 1. Значения индексов детерминации и приведенных индексов детерминации Table 1. Values of determination indices and reduced determination indices
Утренняя дойка / Morning milking Дневная дойка / Day milking Вечерняя дойка / Evening milking Суммарная за день дойка / Total milking per day
Модель Вуда / Wood 's model
R2 = 0,5668 Ri = 0,5646
R2 = 0,5039 R2 = 0,5014
Полиномиальная модель / The polynomial model Экспоненциальная модель /
Exponential model Источник: составлено авторами на основании исследований
R2 = 0,5697
R2 = 0,5664
R2 = 0,2003 R 2 = 0,1983
R2 = 0,5091
R2 = 0,5054
R2 = 0,1458 R2 = 0,1437
R2 = 0,5296 R2 = 0,5272
R2 = 0,5284
R2 = 0,5248
R2 = 0,2295 R2 = 0,2276
R2 = 0,7246 R2 = 0,7232
R2 = 0,7230
R2 = 0,7209
R2 = 0,2609 R2 = 0,2590
Таблица 2. Расчетные значения статистики F-критерия Table 2. Calculated values of the F-criterion statistics
Утренняя дойка / Morning milking
Дневная дойка / Day milking
Вечерняя дойка / Evening milking
Суммарная за день дойка / Total milking per day
F,
расч = 259,7212
F
расч = 201,6351
F,
расч = 174,7468
F
расч = 136,9040
Модель Вуда / Wood 's model Полиномиальная модель / The polynomial model Экспоненциальная модель / Exponential model Источник: составлено авторами на основании исследований
F
расч = 99,6767
F
расч = 67,9552
F
расч = 201,5205
F
расч = 147,9235
Fpасч = 118,5157
Fpac4 = 522,2509
Fpасч = 344,4564
Fpасч = 140,5209
Для уровня значимости а = 0,05 табличное значения ^-критерия (ртабЛ) с числом степеней свободы к и п - к - 1, где к - число коэффициентов уравнения тренда при переменной t, следующие: - для модели Вуда Етабл = 3,0185;
- для полиномиальной модели Ртабл = 2,6274;
- для экспоненциальной модели Ртабл = 3,8649. Все модели (6) - (8) значимы по критерию
Фишер^ так как Ррасч > Ртабл ■
Таблица 3. Значение средней относительной ошибки аппроксимации Table 3. The value of the average relative approximation error
Утренняя дойка / Morning milking
Дневная дойка / Day milking
Вечерняя дойка / Evening milking
Суммарная за день дойка / Total milking per day
Модель Вуда / Wood 's model Полиномиальная модель / The polynomial model Экспоненциальная модель / Exponential model Источник: составлено авторами на основании исследований
A = 6,4430 A = 6,4551
A = 9,2372
A = 9,2475 A = 9,4213
A = 12,4911
A = 13,5459 A = 13,5882
A = 16,7216
A = 5,5566 A = 5,6236
A = 9,2350
технологии, машины и оборудование для агропромышленного комплекса
— 1 " A =11
n i=i
У," У,
У
Сравнивая значения средней относительной ошибки аппроксимации по моделям, получаем, что наиболее точной является модель Вуда.
Известно [17; 18; 19; 20], что допустимый предел средней относительной ошибки аппроксимации составляет не более 8-15 %, что свидетельствует о высокой точности модели. Средняя ошибка аппроксимации (среднее отклонение расчетных
значений зависимой переменной y от фактических значений у) рассчитывалась по формуле:
> # Модель Вуда;
> lnyy-= list[\.m}\
> j2 ■■= 0 :
> for ¿from 1 by 1 to N1 Aoj2 ~ j2 + 1 : lnyy[j2] ~ In {AYZ33[j2]) : end do:
> Inyy ■= evalf{convert{lnyy, list), 3) :
> f-= fit[leastsquare[[x,y,z],z = a + b-x+ c-y, {a,b,c}\\([lntt,tt,lnyy])',
/:= z= 0.1839487749x - 0.001916858804^ + 1.928166790
> /:=rMZ);
/== 0.1839487749л; — 0.001916858804^ 4- 1.928166790
> gx ■= coeff{f,x);
■ 100%.
(11)
gx ■■= 0.1839487749 gy := -0.001916858804 gO ■= 1.928166790 sO ■= 6.876891892
y.= t^sO-F-^
zh ■= 11.86575000 Q ■= 1046.600777
> # Ряд остатков, Модель Вуда;
>
> Qe ~ sum{{AA[l4])2,l4= 1 jw);
Qe ~ 453.3842134
> RR1.= 1 - "^p
> gy-= coeff(f,y);
> g0 :=f-x-gx-y-gy;
> s0 ■■= exp(gO);
> Y-= (^-»sO-^-expigy-O; (AYZ33\121)
>
>
zh '•= sum ^ ■
N1
,12=\.Ж
Q ■■= sum{ СAYZ33[13] - zh)2,13=I.N1);
RR1 ~ 0.5668030988
> FF1:= ™ (Щ-2-1).
1 — RR1 2 '
FF1 ~ 259.7211910
> # Средняя относительная ошибка аппроксимации, Модель Вуда;
6.443021972
Рис. 4. Фрагмент программного обеспечения Fig. 4. Software fragment Источник: разработано авторами
15
technologies, machines and equipment
' for the agro-industrial complex
На рис. 4 приведен фрагмент программного обеспечения для случая модели Вуда, которое было использовано в процессе статистического моделирования. На первом этапе строятся математические модели, приведенные выше, рассчитываются остатки по модели, индекс детерминации, расчетное значение статистики р-критерия и средняя относительная ошибка аппроксимации.
Обсуждение
В данной работе показано, что все рассматриваемые модели значимы по р-критерию Фишера. Однако наилучшая аппроксимация по всему массиву экспериментальных точек достигается для модели Вуда. Данная модель позволяет достаточно хорошо описать не только фазу снижения лактации, но и смоделировать начальный подъем до пика продуктивности. Для экспоненциальной модели получен самый низкий приведенный индекс детерминации и самая высокая средняя относительная ошибка аппроксимации для всех стадий дойки. С помощью такой модели не удается смоделировать начальную фазу лактации. Наиболее близкой к модели Вуда по значениям приведенных индексов детерминации и относительной ошибки аппроксимации для всех стадий дойки является полиномиальная модель.
Следует отметить, что при выборе моделей тренда возможно использование и других моделей
2 h ftt+ftÎ +—
[2], например, моделей вида у(/) = Д, -е
которые по сути являются некоторой модификацией модели Вуда. Однако приведенный индекс детерминации, рассчитанный по таким моделям, практически совпадает с приведенным индексом детерминации в модели Вуда, а некоторые коэффициенты модели становятся статистически незначимыми по критерию Стьюдента. Не удалось также увеличить
(по сравнению с моделью Вуда) индекс детерминации, используя модели, основанные на логистической кривой [2].
Лактационную модель Вуда можно применять для всех стадий доек: утренней, дневной, вечерней и суммарной за день дойки. Показатели качества и точности этой модели для утренней и суммарной доек лучше (индекс детерминации выше, средняя относительная ошибка аппроксимации меньше), чем для дневной и вечерней доек, поэтому не исключено использование других моделей в этих случаях.
Учитывая все вышесказанное, авторы работы считают, что для рассматриваемого процесса целесообразнее применять модель Вуда как наиболее адекватную, точную и простую. Данную модель можно использовать для оценки молочной продуктивности крупного рогатого скота, что позволит также получить рекомендации по улучшению процесса доения.
Проведенные исследования и разработанные программные средства могут быть применены для моделирования указанных процессов коров с иным лактационным периодом.
Заключение
Выбор адекватной математической модели рассматриваемого процесса позволит в дальнейшем более точно охарактеризовать специфику дойного стада коров и получить рекомендации по их содержанию.
Авторы работы полагают необходимым проведение дальнейших исследований в плане усовершенствования моделей, учитывающих большее количество факторов, влияющих на лактацию, с применением аппарата многомерных временных рядов и панельных данных.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Куценко А. И. Моделирование динамики молочной продуктивности крупного рогатого скота на основе логистической функции Ферхюльста // Известия ТСХА. 2012. № 2. С. 147-155.
2. Mikailsoy F. Mathematical modeling of lactation curves of dairy animais // Живые и биокосные системы. 2020. № 34. DOI: 10.18522/2308-9709-2020-34-1.
3. Трубилин А. И., Бершицкий Ю. И., Шибанихин Е. А. Математическая модель прогнозирования молочной продуктивности и эффективного формирования молочного стада // Труды Кубанского государственного аграрного университета. 2009. № 17. С. 48-51.
4. Кузякина Л. И., Киселев И. А. Прогнозирование молочной продуктивности коров черно-пестрой породы // Инновации и достижения в сельском хозяйстве. 2022. С. 82-85.
5. Тернов Е. В. Математическое моделирование индивидуальных лактаций коров по фактическим значениям суточных надоев и их применение в компьютерной системе управления стадом // Сборник научных докладов ВИМ. 2008. Т. 1. С. 409-414.
ХХХХХХХХХХХ технологии, машины и оборудование ХХХХХХХХХХХ
VWWVWVW ППЯ ЛГРППРПМЫШПРННПГП КПМППРКГА
6. Amin A. A., Alhur F. S. Random Regression Animal Model for Genetic Evaluation of Milking Duration in Holstein Friesian Cows. International Journal of Dairy Science. 2013. V. 8. P. 30-35. DOI: 10.3923/ijds.2013.30.35.
7. Keskin I., Ilhan F., Mikail N., Dag B., Mikayilov F. Comparison of Eleven Mathematical Models for describing the firstLactation Curve of Holstein Cattle in Turkey // Conference: 2nd International Symposium on Sustainable Development. June 8-9. 2010. Sarajevo.
8. Чучунов В. А., Злепкин В. А., Плотников В. П., Радзиевский Е. Б. Прогнозирование молочной продуктивности коров // Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: Наука и высшее профессиональное образование. 2021. № 3 (63). С. 262-274. DOI 10.32786/2071-9485-2021-03-27.
9. Сеньков А. Г., Гируцкий И. И., Грищенко А. Б. Математическая модель накопления молока в вымени коровы // Системный анализ и прикладная информатика. 2019. № 1. С. 9-14. DOI: 10.21122/2309-4923-2019-1-9-14.
10. Кирсанов В. В., Тареева О. А., Стребуляев С. Н. Математическое моделирование процесса доения на установках «Карусель» // Техника и оборудование для села. 2014. № 12. С. 10-13.
11. Зорин В. А., Стребуляев С. Н., Тареева О. А. О выборе типа распределения для характеристик процесса роторно-конвейерного доения // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2019). 2019. С. 341-346.
12. Кильдишев Г. С., Френкель А. А. Анализ временных рядов и прогнозирование. М. : Финансы и статистика. 2021. 228 с.
13. Садовникова Н. А., Шмойлова Р. А. Анализ временных рядов и прогнозирование. М. : Университет «Синергия». 2016. 152 с.
14. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. М. : Физматлит, 2012. 813 с.
15. Харин Ю. С., Зуев Н. М., Жук Е. Е. Теория вероятностей, математическая и прикладная статистика : учебник. Минск : БГУ. 2011. 464 с.
16. Орлов А. И. Прикладной статистический анализ. Учебное пособие. М. : Ай Пи Ар Медиа. 2022. 812 с.
17. Доугерти К. Введение в эконометрику : учебник. М. : Инфра-М. 2009. 465 с.
18. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: учебник. М. : Издательский дом «Дело» РАНХиГС. 2021. 504 с.
19. Кремер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика. Учебник для студентов вузов. М. : ЮНИТИ-ДАНА. 2017.
328 с.
20. Яковлев В. Б. Эконометрика в Excel и Statistica. Ч. 1. Регресионный анализ. М. : Эдитус. 2018. 168 с.
Статья поступила в редакцию 17.02.2023; одобрена после рецензирования 20.03.2023;
принята к публикации 22.03.2023.
Информация об авторах: Т. С. Бородина - к.ф.-м.н., доцент, Spin-код: 2401-9013; С. Н. Стребуляев - к.т.н., доцент, Spin-код: 9626-6664; О. А. Тареева - к.т.н., доцент, Spin-код: 1242-4318.
Заявленный вклад авторов:
Бородина Т. С. - подготовка текста статьи, проведение анализа и подготовка первоначальных выводов, анализ полученных результатов, подготовка первоначального варианта текста, написание основной части текста, участие в обсуждении материалов статьи, представление данных в тексте, компьютерные работы. Стребуляев С. Н. - проведение критического анализа материалов и формирование выводов, подготовка текста статьи, проведение анализа и подготовка первоначальных выводов, анализ полученных результатов, подготовка первоначального варианта текста, написание основной части текста, создание проекта исследовательской модели. Тареева О. А. - поиск аналитических материалов в отечественных и зарубежных источниках, сбор и обработка материалов, участие в обсуждении материалов статьи, анализ и дополнение текста статьи, сбор данных и доказательств, обеспечение ресурсами, подготовка литературного обзора.
Авторы заявляют об отсутствии конфликтов интересов.
ТРГНМП! nniFS МЛГШМРЯ Л МП
technologies, machines and equipment
F/ll? THF IMTWIGTBIAI mMDI ry'^^^WWWWW
for the agro-industrial complex
REFERENCES
1. Kucenko A. I. Modelirovanie dinamiki molochnoj produktivnosti krupnogo rogatogo skota na osnove logisticheskoj funkcii Ferhyul'sta [Modeling the dynamics of dairy productivity of cattle based on the logistics function of Ferhulst], Izvestiya TSKHA [News of the TLC], 2012, No. 2, pp. 147-155.
2. Mikailsoy F. Mathematical modeling of lactation curves of dairy animals, Zhivye i biokosnye sistemy [Living and biocosal systems], 2020, No. 34, DOI: 10.18522/2308-9709-2020-34-1.
3. Trubilin A. I., Bershickij Yu. I., Shibanihin E. A. Matematicheskaya model' prognozirovaniya molochnoj produktivnosti i effektivnogo formirovaniya molochnogo stada [Mathematical model of forecasting milk productivity and effective formation of dairy herd], Trudy Kubanskogo gosu-darstvennogo agrarnogo universiteta [Proceedings of the Kuban State Agrarian University], 2009, No. 17, pp. 48-51.
4. Kuzyakina L. I., Kiselev I. A. Prognozirovanie molochnoj produktivnosti korov cherno-pestroj porody [Forecasting milk productivity of black-and-white cows], Innovacii i dostizheniya v sel'skom hozyajstve [Innovations and achievements in agriculture], 2022, pp. 82-85.
5. Ternov E. V. Matematicheskoe modelirovanie individual'nyh laktacij korov po fakticheskim znacheniyam sutochnyh nadoev i ih primenenie v komp'yuternoj sisteme upravleniya stadom [Mathematical modeling of individual lactation of cows according to the actual values of daily milk yields and their application in a computer herd management system], Sbornik nauchnyh dokladov VIM [Collection of scientific reports of VIM], 2008, Vol. 1, pp.409-414.
6. Amin A. A., Alhur F. S. Random Regression Animal Model for Genetic Evaluation of Milking Duration in Holstein Friesian Cows, International Journal of Dairy Science, 2013, Vol. 8, pp. 30-35. DOI: 10.3923/ijds.2013.30.35
7. Keskin I., Ilhan F., Mikail N., Dag B., Mikayilov F. Comparison of Eleven Mathematical Models for describing the first Lactation Curve of Holstein Cattle in Turkey, 2nd International Symposium on Sustainable Development, June 8-9, 2010, Sarajevo.
8. Chuchunov V. A., Zlepkin V. A., Plotnikov V. P., Radzievskij E. B. Prognozirovanie molochnoj produktivnosti korov [Forecasting dairy productivity of cows], Izvestiya Nizhnevolzhskogo agrouniversitetskogo kompleksa: Nauka i vysshee professional'noe obrazovanie [Proceedings of the Nizhnevolzhsky Agro-university complex: Science and higher professional education], 2021, No. 3 (63), pp. 262-274, DOI 10.32786/2071-9485-2021-03-27.
9. Sen'kov A. G., Giruckij I. I., Grishchenko A. B. Matematicheskaya model' nakopleniya moloka v vymeni ko-rovy [Mathematical model of milk accumulation in cow udder], Sistemnyj analiz i prikladnaya informatika [System analysis and applied computer science], 2019, No. 1, pp. 9-14. DOI: 10.21122/2309-4923-2019-1-9-14.
10. Kirsanov V. V., Tareeva O. A., Strebulyaev S. N. Matematicheskoe modelirovanie processa doeniya na ustanovkah «Karusel'» [Mathematical modeling of the milking process at the «Carousel» installations], Tekhnika i oborudovanie dlya sela [Machinery and equipment for the village], 2014, No. 12, pp. 10-13.
11. Zorin V. A., Strebulyaev S. N., Tareeva O. A. O vybore tipa raspredeleniya dlya harakteristik processa ro-torno-konvejernogo doeniya [On the choice of the distribution type for the characteristics of the rotary conveyor milking process], Informacionnye tekhnologii i matematicheskoe modelirovanie (ITMM-2019) [Information technologies and mathematical modeling (ITMM-2019)], 2019, pp. 341-346.
12. Kil'dishev G. S., Frenkel' A. A. Analiz vremennyh ryadov i prognozirovanie [Time series analysis and forecasting], Moscow: Finansy i statistika, 2021, 228 p.
13. Sadovnikova N. A., Shmojlova R. A. Analiz vremennyh ryadov i prognozirovanie [Time series analysis and forecasting], Moscow: University «Sinergiya». 2016, 152 p.
14. Kobzar' A. I. Prikladnaya matematicheskaya statistika. Dlya inzhenerov i nauchnyh rabotnikov [Applied mathematical statistics. For engineers and scientists], Moscow: Fizmatlit, 2012, 813 p.
15. Harin Yu. S., Zuev N. M., ZHuk E. E. Teoriya veroyatnostej, matematicheskaya i prikladnaya statistika [Probability theory, mathematical and applied statistics], textbook, Minsk: BGU, 2011, 464 p.
16. Orlov A. I. Prikladnoj statisticheskij analiz [Applied statistical analysis], Study guide, Moscow: Aj Pi Ar Media. 2022, 812 p.
17. Dougerti K. Vvedenie v ekonometriku [Introduction to Econometrics], Textbook, Moscow: Infra-M. 2009,
465 p.
ХХХХХХХХХХХ технологии, машины и оборудование ХХХХХХХХХХХ
'^VWWVV^V ППЯ ЛГРППРПМЫШ ПРННПГП КПМППРКГА V¥WW¥¥¥¥¥
18. Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Pereseckij A. A. Ekonometrika. Nachal'nyj kurs [Econometrics. Initial course], textbook, Moscow: Publ. «Delo» RANHiGS, 2021, 504 p.
19. Kremer N. Sh., Putko B. A. Ekonometrika [Econometrics], Textbook for university students, Moscow: YUNITI-DANA. 2017. 328 s.
20. Yakovlev V. B. Ekonometrika v Excel i Statistica. CH. 1. Regresionnyj analiz [Econometrics in Excel and Statistica. Part 1. Regression analysis], Moscow: Editus. 2018, 168 p.
The article was submitted 17.02.2023; approved after reviewing 20.03.2023; accepted for publication 22.03.2023.
Information about the authors: T. S. Borodina - Ph. D. (Phisics and Mathematics), Associate Professor, Spin-code: 2401-9013; S. S. Strebulyaev - Ph. D. (Engineering), Associate Professor, Spin-code: 9626-6664; O. A. Tareeva - Ph. D. (Engineering), Associate Professor, Spin-code: 1242-4318.
The declared contribution of the authors: Borodina T. S. - preparation of the text of the article, analysis and the preparation of the initial findings, analysis of findings, preparation of the initial version of the text, writing the main body of text, participation in the discussion of the article, the presentation of data in text, computer work.
Strebulyaev S. S. - critical evaluation of materials and formation of conclusions, preparation of the text of the article, analysis and the preparation of the initial findings, analysis of findings, preparation of the initial version of the text, writing the main body of text, the presentation of data in text, computer work, project creation and research models. Tareeva O. A. - search for analytical materials in domestic and foreign sources, collection and processing of materials, participation in the discussion of the article materials, analysis and addition of the text of the article, collection of data and evidence, provision of resources, preparation of a literary review.
The authors declare that there is no conflict of interest.
