Моделирование деформирования поэтапной выемки грунта при строительстве подземных сооружений Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 539.3

Д. В. Бережной, А. В. Карамов, М. К. Сагдатуллин

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОЭТАПНОЙ ВЫЕМКИ ГРУНТА ПРИ СТРОИТЕЛЬСТВЕ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИЙ

Ключевые слова: метод конечных элементов, контактные задачи, конечные деформации, грунты.

Построена конечно-элементная методика расчета деформирования грунта, взаимодействующего с расположенными в нем упругими конструкциями. Расчет проводится на основе соотношений нелинейной теории упругости. Для моделирования взаимодействия между деформируемыми конструкциями и грунтовыми средами используется специальный «контактный» конечный элемент, позволяющий учесть все случаи взаимодействия контактирующих сред, включая сдвиг с проскальзыванием и отрыв. В качестве примера решена задача поэтапной выемки грунта из котлована с бетонными стенками. Показана необходимость решения контактной задачи для моделирования взаимодействия бетонных подконструкций и грунта.

Keywords: a method offinite elements, contact problems, finite strains, soils.

The finite-element calculation procedure of strain of the soil cooperating with elastic structures located in it is constructed. Calculation is spent on the basis ofparities of the nonlinear theory of elasticity. For modeling interaction between deformable structures and soil continuums the special "contact" finite element is used, allowing to consider all cases of interaction of contacting continuums, including shift with slipping and detachment. As an example the problem of stage-by-stage excavation from a foundation ditch with concrete walls is solved. Necessity of the decision of a contact problem for modeling interaction concrete constructions and a soil is shown.

Введение

В процессе моделирования поэтапного строительства сложных элементов конструкций, промышленных и транспортных сооружений при составлении силовых и расчетных схем для выявления формирующихся полей напряжений, деформаций и перемещений требуется введения понятия трансформирующихся конструкций (механических систем), которые на отдельных этапах

технологического процесса возведения переходят от одного класса к другому [1,2]. Математическое моделирование процесса формирования полей напряжений, деформаций и перемещений в элементах этой механической системы также требует постановки задачи механики трансформирующейся конструкции.

В описанной выше механической системе трансформация расчетной схемы происходит дискретно при переходе с одного этапа строительства на другой. На каждом шаге трансформирования необходимые расчеты приходится проводить с учетом поля напряжений, перемещений и деформаций, накапливающихся в системе на предыдущих шагах.

Зачастую такие расчеты требуют постановки соответствующих задач механики с учетом геометрической нелинейности, когда процесс деформирования представляется как

последовательность равновесных состояний, и переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки, изменением граничных условий или расчетной области и т.д.

Традиционно в механике деформируемого твердого тела для решения геометрически нелинейных задач получило распространение лагранжево описание среды, при этом хорошо формулируется краевая задача

в дифференциальной или вариационной формах [35], для решения которой возможно использование различных численных методов. В рамках современных численных методов получили развитие шаговые методы [6-12], в соответствии с которыми процесс деформирования представляется как последовательность равновесных состояний, и переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки, изменением граничных условий или расчетной области и т.д.

При моделировании взаимодействия элементов конструкций с грунтами в ряде случаев для адекватной оценки характера деформирования используются различные методики контактного взаимодействия элементов конструкций между собой и с грунтом [13-14].

1. Моделирование геометрической нелинейности

Обозначим радиус-вектор материальной частицы в деформированном и недеформированном состоянии через г и Я соответственно, а вектор перемещений точки тела из недеформированного состояния в деформированное через и, таким образом

и = х - X.

Тензор градиент деформаций определим как дх

Г =---,

дХ

причем Г может быть записан через вектор перемещений и в виде

т ди

Г = I +--,

дХ

где I - единичный тензор.

Градиент деформаций содержит в себе информацию об изменении объема, формы и вращении окрестности материальной точки деформируемого тела. Изменение объема определяется как

йУ

йУ

= det [Р],

где У0 - объем начальной конфигурации, V - объем текущей конфигурации.

Известно, что любой невырожденный тензор с вещественными компонентами представляется в виде полярного разложения - произведения ортогонального тензора и положительно определенного. Введем такое представление для градиента деформаций:

Г = Я • и,

где Я - тензор ротации (описывающий вращение бесконечно близкой окрестности материальной точки как твердого целого), и - правый тензор искажений (описывающий чистую деформацию этой

окрестности).

Через правый тензор искажений выражаются так называемые меры логарифмических (истинных) деформаций (меры Генки)

£ = 1п и.

Численно их можно определить интегрированием по пути нагружения

£ = | ^ ~ХД£ п ,

где

Л£п = 1п (ли п ).

Считаем, что справедливы соотношения Л¥п = ЛЯ„ •Ли,

где

ДР = Р • Р-1

п Ап Ап-1 •

Здесь Рп - градиент деформаций на текущем шаге нагружения, Рп-1 - на предыдущем шаге.

Для определения Деп используется

следующая методика. Д£п представляется в виде

Д£п = К[/2 ^ • ^1/2 ,

где И^2 определяется из полярного разложения Здесь

Р1/2 ^1/2 • иі/2 .

Р1/2 = 1 +■

9ц

1/2

:1 + 1 9(ц п + ц п-1 )

дЯ 2 дЯ

Компоненты Л£, определяются (в виде приведенного вектора)

{ЛеЛ = [В1/2 ] {Л«п }, где [Ву2 ] - матрица, связывающая деформации и перемещения, определенная в точке

Х1/2 = 2 (X, + Х,-1 ).

Вычисленные приращения деформаций Л£п должны быть прибавлены к деформациям, определенным после реализации предыдущих шагов нагружения

£п = £п-1 +Л£п .

Для определения Ли, на каждом шаге приращения по нагрузке используется следующая итерационная процедура. Находится решение уравнения

[ к,, ]{л«, } = {р }-{рГ},

где [КП, ] - тангенциальная матрица жесткости на

п -ном шаге нагружения для , -той итерации уточнения нелинейного решения.

Полученное значение приращения перемещений прибавляется к накопленному уровню перемещений для п -ного шага нагружения

и п,, = и п,,-1 +Ли, .

Итерационный процесс уточнения решения на каждом шаге по нагрузке заканчивается, когда будет выполнено условие сходимости вида

|{р, Ир™ }||<«Н\{р, !|| ■

[КГ )=ПВ, ]' №■'.

где ер^' выбиралось равным 0,01, {Рп} - вектор узловых сил, определяющий достигнутый уровень нагружения, {Р™} - вектор эквивалентных

массовых сил Ньютона-Рафсона. Тангенциальная матрица жесткости [ К‘п1 ] определяется в виде

[ кп, ] = [ к„, ]+[^, ].

Здесь [ Кп, ] - обычная матрица жесткости

[к,. ] = ПВ- Г [Д ][В №,

[ В, ] - матрица, связывающая деформации и

перемещения в текущей конфигурации (для {Хп}),

[Д ] - матрица упругих постоянных, \_Оп, ] -

матрица геометрической жесткости, определяемая в виде

[^, не г [г ]в ]^,

где [ ] - матрица производных от функций формы, [г,] - матрица текущих (истинных) напряжений Коши {а,} в глобальной декартовой системе координат.

2. Моделирование механического контакта

Механизм взаимодействия подконструкций между собой может быть проиллюстрирован на рисунке 1, где изображен один из вариантов деформирования контактного слоя, для большей наглядности образованного двумя накладками.

Н

] " ов1 ^ т

Рис. 1 - Деформирование контактного слоя

Для ситуации, когда в накладках возникает напряжение обжатия ан = аА = аВ и деформации ен =ан/Ен , где Ен - модуль упругости материала накладки. Геометрическим условием наличия этой ситуации является н < (нА + нВ), где нА, нВ -

первоначальные толщины накладок, н - расстояние между поверхностями, на которых они закреплены.

При наличии предварительного обжатия, т.е.

при н < (А + нВ) , и в этом случае тоже справедливо

ан = К = К, ен = ан1Ен .

Если силовое воздействие отсутствует или слишком мало и накладки свободно перемещаются, то

н >(нА + нВ), ан = 0.

Если реализуется свободное проскальзывание, при котором касательные напряжения не возникают,

что реализуется при н > (нА + нВ ), и в этом случае гн = °.

Упругое взаимодействие с обжатием и сдвигом без проскальзывания возможно при

н <(нА + нВ) и для напряжений и деформаций в

накладках можно записать

ан = аА =аВ, тн =тА =тВ,

ен = ан1Ен , Ун = ен =тн/&н .

Дополнительным условием здесь должно быть

условие

гн < / К1, (1)

где / - погонный коэффициент трения.

При невыполнении (1) возникает ситуация, когда происходит сдвиг накладок с проскальзыванием. В этом случае

ан = К = К,гн = Гпр = /Ы, ен = ан/Ен и имеется проскальзывание.

Все эти ситуации могут быть смоделированы в рамках механики сплошной среды, т.е. при представлении двух накладок в виде единого материала, обладающего специфическими свойствами. В частности, зависимость между нормальными напряжениями обжатия ан и поперечными деформациями

е = [н - (нА + нВ )]/(нА + нВ )

должна иметь вид, изображенный на рисунке 2.

Рис. 2 - Зависимость напряжений и деформаций

Предельные значения касательных

напряжений зависят от текущих напряжений обжатия в виде

т =

np

fY

ан <0

0, ан > 0

Полученная задача является нелинейной и требует применения специальных методик для ее решения. Характерной особенностью этой нелинейности является то, что для нормальных напряжений имеют место ограничения по деформации (н < нА + нВ, т.е. взаимная деформация накладок не может быть больше их общей толщины), а для касательных напряжений -по их предельным значениям, определяющим возможность проскальзывания.

Запишем общее разрешающее уравнение в вариационной форме исходя из принципа виртуальных перемещений

^ III {ст}г {8е}ё °+^ IIIК } {8ен }ё п =

(

= X |H^{g}T {V}d^ + ||{^}T }dS

(2)

где сумма по т - сумма по объемам блоков, по к обозначается сумма по накладкам, 0.т, 0.к, -

соответственно объемы блоков и накладок; К} ,{е} {V } - напряжения, деформации и

перемещения элементарных объемов блоков; {ан} ,{ен} - напряжения и деформации в

накладках, {я} - вектор ускорения свободного

падения (рЫ - сила тяжести), {Р} - граничная

нагрузка, действующая на части границы

sa

Будем считать, что первоначальное обжатие

накладок всегда существует, т.е. H0 <(HA + HB).

Таким образом, будем базовой считать ситуацию, изображенную на рисунке 1, или по диаграмме на рисунке 2 это участок -1 <еп < 0, а -Tnp <т <Tnp .

Далее, в процессе деформирования (прикладывания дополнительной нагрузки от веса грунта, дополнительного оборудования, подвижного

состава и т.д.) ситуация будет меняться.

Для решения сформулированной физически нелинейной задачи на базе уравнения (2) будем использовать итерационный метод, являющийся комбинацией метода начальных напряжений и метода дополнительной деформации. Базовым для определения к-ой итерации является следующее вариационное уравнение

X |||К }T {&} dQ + X |||{4Ен&н +

+ГнСн8Гн ) d^к = XI |||^ {g}T HSV)dQ + (3)

m \Qm

\

+|| {p}T {SV}ds + X ||| Нн ден + т 8гн у о к,

где ан определяется следующим образом:

S

при -1 < ен < 0

принимаем ан = 0 и решаем упругую задачу, реальные напряжения и деформации в накладках определяются как

_Р,к 77 к Р,к к .

ан = Енен, ен = ен;

ен > 0

к 7—’ к

при ен > 0 полагаем ан = Енен («начальные напряжения», фиктивно введенные в систему для ее линеаризации), реальные напряжения и деформации в накладках определяются как

_Р,к А Р,к к .

ан = 0, ен = ен.

- при екн <-1 считаем К = Ен не +1) (напряжения

от «дополнительных деформаций», тоже фиктивно введенные), реальные напряжения и деформации в накладках определяются как

аР,к = Е«е1, Н =-1;

н

к

деформации, определенные из решения уравнения (3).

Величины т напряжениями следующим образом:

- определяются деформации Унк из решения (3), которые являются реальными деформациями;

- определяются «пробные» касательные напряжения

-кг-' .,к

гн = ^нУн и сравниваются с предельно допустимыми

'н в (3) являются “начальными и их определение производится

Г =

А

н

к| <Г

полагаем

„-к ^ к а если \тн\ > т

гк - к к

Тн = Тн Тпр •

то

В практической реализации более предпочтительной является формулировка задачи в приращениях, когда на шаге итерации неизвестными являются не полные поля перемещений, которые в некоторых ситуациях являются фиктивными (при ен < -1), а их приращения. Опишем эту методику.

Пусть в начальный момент имеем некоторое

обжатие ен и, возможно,

удовлетворяют условию

-1 <еР

сдвиг

Р 0

Ун , которые

< 0, \ОнУРн°\<Гр = /|Енн

Р,0

н

Далее решается система уравнений (2) для нулевого приближения

х III {лК } {8е}с1 °+х III {Лан }т {н} °=

т °т к °к

(4)

IIIр{ё}Т 8)о+Ц{р}г 8)*

т \ О

V т Ьт )

Для каждой последующей итерации к=1,2,3,...вводится следующая последовательность вычислений.

Предварительно имеем {ек '},{ак '} в блоках

обделки, {еРн,к-1},{арнк-1},{уУ’к-1},{г0Рк-1} в накладках.

Из решения системы (4) на нулевой итерации и уравнения

XIII {лК } {8е}ё О+ХIII {Лан} {8ен }° =

т От к О

= ШЛК8ен +ЛТн8Ун )О

к О

(5)

на последующих итерациях, определяем {Лек },{Лак }, Лекн, ЛУ, ЛКн, Лткн и вычисляем

следующее приближение напряженно-

деформированного состояния блоков

{ек} = {ек-1} + {Лек-1}, {ак} = {ак-1} + {Лак-1}

и “пробные “ деформации в накладках

екн = ер/-1 +Лекн\укн =ур/-1 +ЛГ^н-1.

В зависимости от состояния накладок используется один из возможных вариантов их взаимодействия.

Алгоритм вычислений для напряжений и деформаций обжатия следующий:

1) если -1 < ер/-1 < 0, то

при -1 <ен < 0 реальные деформации ер

,Р,к н

Р к сс д -к

напряжения ан и начальные напряжения Ла

н

для очередной итерации определены в виде

Р,к к Р,к Р,к-1 . * к-1 А -к

ен = ен, ан = ан + Лан , Лан = 0;

к

- при ен > 0

Р,к к ^_Р,к г\ а ~к 77 к .

ен = ен, ан = 0, Лан = Енен;

при ен

е и < -1

Р, к Л Р,к Р,к-1 . л к-1 л -^гг/к.л

ен =-1, ан =ан +Лан , Лан = Ен не +1)

/-*4 Р ,к-1 ^ А ( —Р,к-1

2) если ен > 0, нан = 0)

то

при екн > 0

н

Р,к к —Р,къ а ~к а .—к-1 77 а к-1.

ен =ен, ан = 0, Лан = Лан = Лен ;

-1 <екн < 0

- при

Р,к к „_Р,к 77 Р,к а ~к л.

ен = Нн, ан = Енен , Лан = 0;

н к-1 ^

3) если ер = -1, то

к

- при Нн < -1 определяем

н,к л Р,к _Р,к-1 . А _к-1

Нн = -1, ан = ан + Лан ,

лакн = Ен Лен-1 =лан-1;

к -I Н к Н к-1 » к-1

- при Нн >-1 в^гчисляем ан -ан +Лан и

Н к т-т

если ан < -Ен

то

ер,к = -1, Лак = ЕнЛН 1 = Ла

Н к т-т

если ан > - Ен

н

то

Р,к к

ен =н

н, ла^ = 0.

Для сдвиговых деформаций и напряжений используется следующий алгоритм:

- вычисляются предельные и “пробные”

касательные напряжения

-к _ г\—Р,к\ к _ _Р,к . * к-1 тпр = А |ан |, тн =ан +Лтн ;

для реальных деформаций сдвига справедливо

р,к = 1 Далее:

у*/ = .

1) если \ткн 1 < Тк- ,

то

к = 0

н

- при Ткн | < ткпр выполняется

_Р,к _ —к\ ~к ____ гч .

Тн = Тн , Л Тн = 0 ;

- при Ткн | > ткпр выполняется

„■Р’к — л-~-к Л ^к _ „.к Р,к.

Тн =—Тпр, Лтн =Тн Тн ;

3) если |т-н-1| то

- при \ткн > тк справедливо

гр/ = ±тк , Дткн =4-1 = ОнДК

к-1. НД/ Н .

- при |гНН | < Г выполняется

_Р,к _ к Л ~к _ (Л

гн = гн, ДГн = О .

3. Контактный конечный элемент

Для реализации описанной в предыдущем разделе математической модели взаимодействия накладок в рамках МКЭ удобно определить так называемый контактный элемент.

В качестве исходной информации для него определяются радиусы - векторы точек, определяющих нижнюю (нечетные номера) и верхнюю (четные номера) поверхности, и первоначальная толщина н = нА + нВ , которая может быть постоянной на элементе, а может варьироваться (в этом случае задаются их узловые значения).

Вводятся аппроксимации лицевых

поверхностей

г<-) (#,г) = Хг2,-1 Л, X^,ч),

п (6)

г н+) н#,7)=(#,г,0,

,=1

где Л, (^,г) - известные функции формы для

двумерной аппроксимации Сирендипового семейства.

Определяются касательные плоскости этих поверхностей. Например, для нижней поверхности определяются вспомогательные векторы:

«-' = £4-д, в?.±г д

2і-1 ,=1 9

' 2 і-1 о

і=1 9

е(-) =

Є

(-)

по которым находятся ортогональные касательной плоскости в виде

е(-)

орты

е(-)

Р(-) =е

(-)

Рз(-)=1

5(-) = р(-).

(-)

Р^ = Р^

1 2 13

■(-)

і(+) 5(+) 5М

Аналогично определяются орты Р , Р2 , Р3

Для аппроксимации вектора перемещений будем использовать представление, аналогичное (6), т. е. введем

к «(Т = Х 1г2,-, N (Г ,

,=1

к <+>(£г) = £ 1Г2,л, (Г .

,=1

В процессе деформирования первоначально

г(-)

?(+)

параллельные лицевые поверхности г и г перестают быть таковыми и степень их относительных поворотов в процессе деформирования может

достигать большой величины. Поэтому все геометрические, кинематические и силовые характеристики будем определять на обеих лицевых поверхностях самостоятельно. Другими словами, напряженно-деформированное состояние будем определять самостоятельно в каждой накладке (примыкающих, соответственно, к поверхностям

г(-) и г (+)), что позволит более верно моделировать их состоянии при проскальзывании друг относительно друга.

Расстояния Н(-) и Н+ от одной лицевой поверхности по нормали к ней до другой определяются в виде

Н(-) = Р3(-) •[г(+) + У (+) - г(-) - У(-)], ні(+) = Рз(+) •[гг (+) + У (+) - г(-) - У(-)

]■

Эти значения являются базовыми в суждении о характере взаимодействия между накладками, т.к. деформации обжатия определяются в виде

Н+)= н.м- н Н-) = н><-)- н н н ’ н н '

Для варианта итерационного процесса в приращениях определяются начальные толщины

н0-) = Р3(-) •[гн+) - г(-)], н0+) = Н+] •[гн+) - г(-)],

по которым вычисляются начальные деформации

о(+) = н0 ) - н о(-) = н

ьн тт > ьн

н 0-)- н

нн

и приращения изменений толщин

лн(-) = Р3(-)-^ (+)-л^-)],

Лн{+] = Р3+) -[лк(+) -Л1г(-)],

необходимые для вычисления приращения деформации

+) +)

л4+>=^, ЛеН-]= ^. н н н н

Определение касательных деформаций и напряжений (для оценки сил трения) требует введения локальных систем координат X, у’, г’,

ориентированных вдоль ортов р, Н2, Н3 для каждой из лицевых поверхностей. Вычисление производных вдоль этих направлений удобно производить посредством коэф фициентов

А = р, В, = р, В2 = Р2

в виде

д = 1 д д = В1 д 1 д

дХ А д£ ’ ду’ В2 д£ В2 дг)

Соотношения для деформации сдвига удобнее взять в векторном виде

= г дV г д = г д г д

Уу 1' дг’+ 3 - дХ , Уу’ 2д’ + 3 - ду’,

где

дV Vм- Vй

дх' Н

Если использовать представления

Рт = + Рту ] + Рт,к, ут = ит1 + Ил + Штк,

где ,, ], к - орты глобальной декартовой системы координат, то для деформации сдвига,

ассоциированных с нижней лицевой поверхностью (накладкой, прилегающей к этой поверхности), справедливы выражения

г$ = Н р<;\р^Т

Н I=1

N (#,ц) +

+Х

. =1

( 1 дЫ> (#,ц) )Р(-) Р(-) рН

А

д#

1 N (#ц){

Р(_) pH рВ}_

^ 3 X 91 3 у ?■' 3 2 ]

Н

Р(-) Р(_) Р(_) 1 1х ? М у ? М2

и 2,

V,, _

^2,

/_) = А. V /р(_) р(_ pH}

' у'2' Н X 2У 22 )

и 2, ^2,-^2,

N (#) +

V I {Рз(х_ , РД Рз(_)}

В, дЫ, (#,7)

АВ,

1 дЫ, (#,ц) Ni (#,ц)

В

дц

Н

ч

д#

р(], р2(_, р2н

2 х ^ 2 у ^ 2 2

деформаций /Х^' и 7^1.

Для сокращения дальнейших выкладок введем вспомогательные векторные величины

В“} =

С } =

дЫ,.

Ад#

дЫ,.

Ад#

>з(;Г р(-У 1 1х р(-) 1 1х

/ \ ,_ N1. Н 1 \ •;{в;2 } = Ы^. Ч х^ н 1р - у _

р(_) з у Р(-) г:у

р(_) 1 з2 р(_) 1 12 р(_) 1 12

Рз(

Р

з у

Р.

А

Н

Р( + ) 1 1х ■ ;{Вх21} = _ Ы^- Ч х^ Н Р(+) 1 1х

Р( + ) :у Р(+) 1у

р(+) / 12 Р(+) . 12

в“Н_

В, дЫ. 1 дЫ.

1 ^ + - ,

АВ2 д# В2 дЦ

рз

В12 }= Ы у^ Н

р(-) 1 2 х

(_) 2 у

(_)

Р,

Р1

-* о

;{в21}=_

Ы.

Н

р(

1 з х

.(_ з у

Р (_

1 з 2

р(+ 1 2 х

■(+ 2 у

Р2

в22 Т = |_

В. дЫ. 1 дЫ,

1 ^ + - ,

АВ2 д# В2 дц

рз

рз

з у

А

Н

р(-) 1 2 х

(_) 2 у

(_)

Р,

Р1

А

Н

р

1 о

Р

Р1

■» о

(+)

(в")=_

ы.

Н

р(-) 1 з х р(-) з у = Ы. < Н 'Рз(_У РУ

Р(-) з 2 Р(-) _ з2

Р ( + ) 1 з х р (+) з у -,{в-1 =Н Н Р(+) 1 зх р(+) з у

р(+) Г з2

{в21} = _ А

I 2,( Н

С помощью этих величин деформации обжатия и сдвига записываются в виде

А#=!

{в"Г

а«Н*'=Е

{В'1}'

А/В=1

ВТ

А/х+)=Х

Аналогично можно выписать выражения для Ауу) = V

{в;:}7

Аи 2,. ау21 _1

А^.

Аи 2,. аи, _

А^2,. Аи 2,. А^2,._ А^2,. Аи 2, А^2, А^2,.

Аи 2,. А^2,._ А^2,. Аи 2, А^2, А^,.

К }т

-К Т

-Р* }т

К }т

Т

Аи 2, АГИ АW2

Аи 2, А^2,. А^2,. Аи 2,.

А^2,

А^2,.

'Аи 2, А^ А^2,

Аи 2,.

А^2,

аг21

'Аи 2, АК,

АW2

Далее определяется интеграл в левой части уравнения (5) для напряжений и деформаций в накладках (контактном слое)

ДО[&Н_)Ян Ае^-} +^^^ь)Ен Ае^-} +

□

^"СнАух) +5/^ Он А/£) +

+^г^_г)енА/^_2) +5/;^/;}] й □=

= {5и2,._1,5К2,._1,5Г2,._1,5и2,.5,5^2,.}•

,', >=1

• [ КН ] {Аи 2,_:, АК>,._1, АЩ,. _1, А и 2,., А И,,., АW2І }Т , где блоки матрицы жесткости вычисляются в виде следующих интегралов

Н :_'|(в:;}(в:;тг ,{в:;}(в:; }т'

[ КН1 ]=// е

[ КН2 ]=11 е

Н

(+)

(в:,2 !{в:;тг , {в, 2 }{в:? т

!в2‘!{в;'Т' ,(в”)(в,? } (в? }в;;)' ,(в? )(в” Т

/

т \

(38,

, =1

и

,=1

, =1

,=1

, =1

,=1

и

[кнз] гг0 +К:}К:}т,о'

[ * ] Н 2 [{в:? }{в1,:}т +{в;2 }{в;1}т ,о

+о^-^

2

[ КН4 ] =

=Я о

но-) Iо, юр2 }т+К:}К2 }т ^

т ( ~1Г ^ ^т

|0, К Ж} +К Ж }

йБ,

/

н о+) 1{вх1}{вх1Г+{ву;}{ву1Г ,о ^

т ( ^ ( ~Г1 т

о

2

л

К}(в”) +(в2Г}(:},°

+о,н

(+) о, (вГ'}(в?) +(в”}(в2г ) о, (в” }(в”)т +(ву? )(в2? )

т

}й8,

[ КН ]=[ КН' ]+[ КН2 ]+[ КН ‘ ]+[ КН4 ].

Вычислить аналитически интегралы в

представленном выражении невозможно. Поэтому для этого используются формулы численного интегрирования по формуле Гаусса-Лежандра третьего и пятого порядков по каждой координате.

Слагаемые в правой части уравнения (5) определяются по алгоритму, описанному в

предыдущем разделе, т.е. определяются

дополнительные (начальные) напряжения

АСТкн, Аткх,2,, Атку,2, и вычисляются их работы на

вариациях деформаций, т.е.

Я,

(_)

Ш!^Ад* 5е'н' +

,н

я,

(+)

-Аак 5е\_ +

я;

(_)

АГх'2'5г(л' +~-^ Атм^х!' +—Г" Ат*5гх2 +

Я,

(+)

(+)

я;

(_)

я;

(+)

-Атку,2,5у\

(+)

й П = ^{5и 2,._1,5V2,._1,5W2,._1,5U г,.,

И, } • {(_:, АРг^_: , АР22_:, АР?^, АР?^, АР2 }т ,

где для узловых сил справедливы представления в

виде интегралов

(аРх АРу АР2 }т =

2,-1 ? ^ 2/_1 ? ^ 2,_1 /

=Я[ Н- (АоН и+А^и+А^рв:,} +ИН (вГ') + АГ (В1:) + Атк,. (в?;}))й8,

{ , АР?у, ар?2, }т =

(_)

№ К (в,?)+а?‘,'(в;,2)+аг;.2.(в;2))■

(_)

-(Аст* {С}+Агх,2' {в?2Т + Агу'2' {вуг}))38.

Эти интегралы также вычисляются численно по квадратурной формуле Гаусса-Лежандра пятого порядка, что дает возможность более точно представить распределение контактных напряжений по площади накладок. При этом образуется и постоянно обновляется база данных о механизме

возможного взаимодействия между накладками в каждой квадратурной точке каждого контактного КЭ. Она представляет собой значения

Р, к _Р,к Р,к Р, к Р, к Р, к

£н ,стн У ,7у2' ,Тр2 ,ту2'

для обеих лицевых поверхностей и на каждой итерации анализируется и перевычисляется.

4. Моделирование поэтапной выемки грунта из котлована

Для примера приводится расчет напряженно-деформированного состояния

подпорных стенок котлована при поэтапной выемки грунта.

Так как котлован имеет форму параллелепипеда, его длина велика по сравнению с его шириной, то для выявления основных закономерностей деформирования расчет можно проводить в двумерной постановке, в условиях плоской деформации. Механические

характеристики дискретно расположенных объектов при проведении расчетов пересчитывались к средним величинам.

Грунт в котловане предполагается однородным (песок мелкий водонасыщенный) со следующими характеристиками: модуль упругости зз МПа, коэффициент Пуассона о,з , удельный вес 2о4о кг/мз. Для бетона модуль упругости зоооо МПа, коэффициент Пуассона о, 2, удельный вес 25оо кг/мз, толщина подпорных стенок 1 м, длина - 15 м, расстояние между ними 1о м,

максимальная глубина котлована - 1о м. Расчет проводится для случая плоской деформации.

Боковые и нижняя граница области задаются прямыми линиями, и на них задаются условия отсутствия смещения точек в направлении, перпендикулярном прямолинейным границам. Расстояния от подпорных стенок до границ области выбираются из условия малости влияния подпорных стенок на поле перемещений и напряженно-деформированное состояние грунта

(вычислительный эксперимент показал, что достаточно, чтобы это расстояние было не меньше десяти расстояний между стенками котлована). Дискретизация проводится квадратными конечными элементами сплошной среды, за базовый размер стороны элемента выбирается толщина бетонной стенки. При расчетах на первом этапе прикладывался собственный вес расчетной области. Далее, поэтапно и равными порциями проводится выемка грунта. Вычислительный эксперимент

показал, что в данной задаче достаточно провести выемку всего грунта за десять этапов.

Были проведены две серии расчетов. В первом случае контактная задача не решалась, во втором случае между грунтом и бетонными стенками вводился контактный элемент и

допускался отрыв и проскальзывание между стенками котлована и грунтом (с коэффициентом трения Т = 0,95). На рисунке з приводится распределение напряжений ау (Па) в подпорных стенках и в грунте для первого расчетного случая

14з

□

,=1

(без контакта), на рисунке 4 - для второго расчетного случая (с контактом).

Рис. 3 - Случай 1. Распределение напряжений (без контакта)

Рис. 4 - Случай 2. Распределение напряжений (с контактом)

В таблице 1 проводится исследование сходимости изгибных напряжений в подпорных стенках при сгущении конечно-элементной сетки. В таблице 2 приводятся изгибные напряжения в подпорных стенках в зависимости от коэффициента трения между стенками и грунтом.

Таблица 1 - Изгибные напряжения [МПа] в подпорных стенках в зависимости от степени дискретизации расчетной области.

Число элементов по толщине стенки і 2 3 4 5

Без учета контакта 3,89 4,01 4,08 4,12 4,14

-4,74 -5,06 -5,27 -5,43 -5,48

С учетом контакта 0,39 0,42 0,45 0,47 0,47

-1,07 -1,15 -1,20 -1,23 -1,24

Таблица 2. Изгибные напряжения в подпорных стенках в зависимости от коэффициента трения между

/ 0,95 0,8 0,6 0,4 0,2 0,05

0,473 0,558 0,620 0,542 0,436 0,478

-1,24 -1,27 -1,25 -1,12 -1,39 -1,57

Анализ результатов показывает, что эти варианты расчета принципиально отличаются. В первом случае стенки расходятся в стороны и максимальные изгибные (растягивающие) напряжения возникают на внутренней поверхности подпорных стенок. Это объясняется тем, что после выемки грунта между стенками, который (при отсутствии контакта)

как бы стягивал стенки, грунт, расположенный за подпорными стенками, начинает раздвигать их. Этого не происходит в случае учета контакта между стенками и грунтом, и в этом случае после выемки грунта под действием силы тяжести грунта за стенками они начинают изгибаться вовнутрь котлована. Кроме этого, уровень напряженного состояния в этом случае гораздо ниже.

Заключение

Предложенный метод решения задач механики с конкретными приложениями относится к современной технологии научного сопровождения, проектирования и строительства сложных объектов. Его использование позволяет проследить за изменением напряженно -

деформированного состояния и поля перемещений структурно изменяющейся расчетной области от начала и до конца строительства. Это позволяет более точно и технически грамотно принимать проектные решения для различных этапов строительных работ, что зачастую нельзя сделать, опираясь только на существующие СНиПы.

Работа выполнена при частичной

финансовой поддержке РФФИ в рамках научных

проектов № 12-01-00955, № 12-01-97026.

Литература

1. Бородай, В.Г. Математическое моделирование в мостостроении с приложениями к реконструкции моста через р. Казанку и проектированию и строительству моста через р. Кама у с. Сорочьи Горы / В.Г. Бородай, М.Ф. Гарифуллин, Н.В. Голубев, А.И. Голованов, Р.Ф. Закиров, В.Н. Паймушин, А.А. Пискунов, Н.В. Рогов,

В.А. Швецов - Казань, 2003. - 380 с.

2. Бережной, Д.В. Математическое моделирование этапов строительства сложных сооружений по трансформирующимся расчетным схемам / Д.В. Бережной, В.Н. Паймушин // Наукоемкие технологии.-№ 8-9. - 2005. - Т.6. - С. 59-64.

3. Каюмов, Р.А. Моделирование поведения и оценка несущей способности системы тонкостенная конструкция-грунт с учетом ползучести и деградации грунта / Р.А. Каюмов, Ф.Р. Шакирзянов // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2011. — Т.153.-№4. — С.67-75.

4. Шакирзянов, Ф.Р. Сравнительный анализ двух методик расчета системы “тонкостенная конструкция-грунт” с учетом выемки грунта и ползучести / Ф.Р. Шакирзянов // Научно-технический вестник Поволжья. — 2012. — №1. — С.44-47.

5. Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье

- М.: Наука, 1980. - 512 с.

6. Черных, К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах / К.Ф. Черных - Л.: Машиностроение, 1986. - 336 с.

7. Грин, А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А. Грин, Д. Адкинс - М.: Мир. - 1965. - 455 с.

8. Перелыгин, О.А. Исследование прочности цилиндрических оболочек с вмятинами в области радиальных соединений / О.А. Перелыгин, Ш.Ш. Галявиев, Р.Х. Зайнуллин, Д.В. Бережной // Вестник КГТУ, Казань, изд-во КГТУ, 2001. - №1-2. - С.75-77.

9. Перелыгин, О.А. Исследование прочности цилиндрических оболочек при наличии увода или смещения кромок сварных швов / О.А. Перелыгин, Н.М. Туйкин, Д.В. Бережной, М.Н. Серазутдинов // Вестник КГТУ, Казань, изд-во КГТУ. - 2оо1. - №1-2. - С.77-79.

10. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу - М.: Мир. - 1987. - 542 с.

11. Голованов, А.И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел / А.И. Голованов, Д.В. Бережной - Казань. - 2оо1. - зоо с.

12. Валиуллин, А.Х. Большие деформации и перемещения композитной цилиндрической оболочки / А.Х. Валиуллин // Вестник КГТУ, Казань, изд-во КГТУ. - 2о11. - №9. -

С.Ю9-117.

13. Бережной, Д.В. Моделирование поведения

железобетонной обделки тоннеля в деформируемом грунте с учетом одностороннего контактного взаимодействия ее блоков через упругие прокладки / Д.В. Бережной, А.И. Голованов, С.А. Луканкин, Л.Р. Секаева // Вестник Казанского государственного технического университета.- 2о1о. - №2. - С.4-9.

14. Бережной, Д.В. Моделирование пластического деформирования многослойного грунта в зоне опоры многопролетного моста / Д. В. Бережной, И. С. Кузнецова, А.А. Саченков // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2о1о. - Т. 152, кн. 1. - С. 116125.

© Д. В. Бережной - канд. физ.-мат. наук, доц. каф. теоретической механики КФУ, Dmitri.Berezhnoi@mail.ru; А. В. Карамов -асп. той же кафедры; М. К. Сагдатуллин - канд. физ.-мат. наук, ст. препод. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, ssmarat@mail.ru.