Моделирование деформирования железобетонной обделки тоннеля в грунте с учетом одностороннего контактного взаимодействия ее блоков Текст научной статьи по специальности «Физика»

И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ ОБДЕЛКИ ТОННЕЛЯ В ГРУНТЕ С УЧЕТОМ ОДНОСТОРОННЕГО КОНТАКТНОГО

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЕЕ БЛОКОВ

Представлена методика решения задач деформирования элементов конструкций, взаимодействующих между собой

и с окружающим их физически нелинейно-деформируемым грунтом.

Описан специальный контактный конечный элемент. В качестве примера приведен расчет напряженно-деформированного состояния футляра магистрального трубопровода высокого давления.

Пластическое деформирование грунта, контактный конечный элемент, метод конечных элементов

I.S. Balafendieva, D.V. Berezhnoi

THE MODELING OF DEFORMATION OF FERROCONCRETE LINER IN THE GROUND SUBJECT TO ONE-WAY CONTACT INTERACTION

OF HER BLOCKS

In the research the problem solving methodology for deformation of constructional elements interacting between themselves and with surrounding them physically nonlinearly deformable ground is presented. Special contact finite element is described. As an illustration, the estimate of stress strain behavior for sheath of high pressure major pipeline is given.

Plastic deformation of ground, contact finite element, finite element method

Введение

Целями настоящей работы являются разработка и численная реализация методики решения задач определения напряженно-деформированного состояния элементов конструкций подземных, промышленных и транспортных сооружений с учетом контактного взаимодействия с окружающим их физически нелинейно-деформируемым грунтовым массивом. В качестве примера приведен расчет напряженно-деформированного состояния футляра магистрального трубопровода высокого давления, проходящего под железнодорожным полотном и взаимодействующего с окружающим его грунтом сложной физической природы. Расчет проведен с учетом контактного взаимодействия футляра с грунтом и трубопроводом.

Грунты в зоне прокладки трубопровода являются физически нелинейными средами и подчиняются закону Гука лишь в небольшом диапазоне прикладываемых нагрузок. Существуют многочисленные математические модели [1-4], позволяющие описать процесс их деформирования, которые различаются сложностью разрешающих уравнений. В настоящей работе используется модель, аналогичная модели идеально пластического тела. В соответствии с ней предполагается, что до предельного состояния справедлив

закон Гука, а после его достижения среда начинает деформироваться без увеличения воспринимаемой нагрузки, что приводит к перераспределению напряжений во всем объеме. Построение вычислительного алгоритма основано на дискретизации расчетной области в рамках конечно-элементной методики [5-8].

1. Постановка задачи

Для уменьшения влияния на прочность трубопровода (при его проведении под железнодорожным полотном) проходящих железнодорожных составов трубопровод на опорах частично помещают в так называемый футляр (стальную трубу большего диаметра). В этом случае основная нагрузка от веса вышерасположенного грунта и веса проходящего железнодорожного состава (а также от веса самого трубопровода) приходится именно на него. Проводить расчет на прочность всего футляра, а его длина может составлять многие сотни метров, представляется нецелесообразным. Необходимо провести расчет для наиболее загруженной части трубопровода, а именно в том месте, где над ним располагаются железнодорожные пути. Кроме того, футляр с расположенным внутри него на опорах трубопроводом представляет собой периодическую структуру. Поэтому представляется возможным в качестве расчетной области выбрать только часть конструкции, а по краям реализовать условия периодичности.

Исходя из симметрии относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось футляра, сам футляр и проходящий через него трубопровод представлены в виде цилиндрических панелей (с углом раствора 1800). Футляр расположен в грунте, а внутри трубопровода транспортируется сжатый газ (этилен). На рис. 1 схематично приведен общий вид расчетной области (исходя из симметрии, приведена только ее четвертая часть) со следующими геометрическими размерами: L1 = 1 м , L2 = 1 м , L3 = 1 м , L4 = 3 м .

Рис. 1. Общий вид расчетной области

В расчете предполагается, что магистральный трубопровод представляет собой сплошную трубу внешнего диаметра тDвн = 0.219 м с толщиной стенки т 1ст = 0.008 м, материал которой является изотропным (сталь), для которого модуль Юнга Eст = 2• 105 МПа, плотность рст = 7860 кг/м3, коэффициент Пуассона /ист = 0.3 . Футляр -также сплошная труба внешнего диаметра фDвн = 0.530 м с толщиной стенки т^ = 0.012 м, материал которой - сталь. Опора представляет собой параллелепипед, составленный из

стальных листов толщиной °їст = 0.012м и имеющий габаритные размеры Н1 = 0.209 м , Н2 = 0.1 м, Н3 = 0.17 м.

2 3

Транспортируемая по трубопроводу среда (этилен) находится в газообразном состоянии, ее прочностные характеристики можно выбрать следующими: модуль Юнга Еэт = 2 МПа, плотность рэт = 356 кг/'м3, коэффициент Пуассона /иэт = 0, модуль сдвига

ст = 0.0001 Е ш Эт

Эт 2(1 + тэт)

Трубопровод находится под действием внутреннего давления Р = 12.5 МПа , а вес

проходящего железнодорожного состава моделируется равномерно распределенной по внешней поверхности грунта (верхней горизонтальной грани параллелепипеда) нагрузкой интенсивностью q = 0.28 МПа.

Механические характеристики грунтов, в которые помещен трубопровод,

представлены в табл. 1. Их расположение приведено на рис. 2.

Таблица 1

Механические характеристики грунтов

Основной грунт и его условное обозначение Ус [кг/м3] Е [МПа] т с [кПа] V [гр]

Глина полутвердая 1950 13 0.42 48 16

Песок мелкий водонасыщенный 2010 20 0.3 1.5 31

2 Нверх

грунт

^боК ^11 ^ Ьбок

і

этилен // \\ стальной х трубопровод

1 Нниж

Рис. 2. Поперечное сечение трубопровода

Расчет трубопровода на прочность необходимо проводить для случая его взаимодействия с грунтом [7, 9]. Предполагается, что размеры расчетной области грунта одинаковы для любого поперечного сечения трубопровода (схематично они приведены на рис. 2).

Величины Нниж и Ьбок определялись в процессе численного эксперимента по условию малости градиента НДС и поля перемещений грунта на границе расчетной области, для основного расчетного варианта Н выбиралась равной н = 1 м.

верх верх

Расчетная область представляет собой длинный искривленный (вдоль продольной оси трубопровода) параллелепипед. Во всех точках нижней горизонтальной грани искривленного параллелепипеда задано отсутствие вертикальных смещений, точки всех

четырех вертикальных граней искривленного параллелепипеда не могут смещаться из своих граней.

Грунты, в которых размещается трубопровод, представляют собой «слоеный пирог» из песков, глин, суглинков, известняка, песчаника и т.д. Для песков и глин предельное состояние хорошо описывается условием прочности Мизеса-Боткина [1], которое записывается в виде

* * Л /" л \

тг + о^Р - с = 0, (1)

* * где р - угол внутреннего трения на октаэдрических площадках, с - предельное сопротивление чистому сдвигу.

Эти параметры вычисляются через коэффициент сцепления с и угол внутреннего трения р следующими соотношениями:

* 2л/3зтр * 2\/3с соэр

#Р — ---—, с — --. (2)

3 - этр 3 -этр

В отличие от пластического течения классических конструкционных материалов пластическое деформирование грунтов сопровождается изменением объема, так как градиент к поверхности пластичности от функций вида (1) не полностью определяется девиатором напряжений

— - Вк]- + 8(3)

дак] 2т ' к] 3

После несложных преобразований получается выражение «упругопластической матрицы» в виде

„ — (] / т, + Кдк1цр*)( В „С / т, + Кд„Лр*) (4)

ч"" к‘“ с + К (р )2 ,

где С - модуль сдвига, К - модуль всестороннего сжатия.

2. Моделирование механического контакта

Механизм взаимодействия футляра с грунтом, опоры с футляром и трубопроводом

может быть проиллюстрирован на рис. 3, где изображены различные варианты

деформирования накладки в зависимости от усилий воздействия блоков друг на друга.

Для ситуации на рис. 3а имеем, что в накладках возникает напряжение обжатия

&Н — Ол — &в и деформации £ — & н, где ЕН - модуль упругости материала

ЕН

накладки. Геометрическим условием наличия этой ситуации является н < (Н л + Н в ),

где Нл, Нв - первоначальные толщины накладок, Н - расстояние между поверхностями, на которых они закреплены.

Ситуация на рис. 3б возникает при наличии предварительного обжатия, т.е. при

Н < (НА + Нв ), и в этом случае тоже справедливо &Н — & — &в, £Н — &-.

ЕН

Рис. 3. Механизм контактного взаимодействия На рис. 3в отсутствует силовое воздействие, и накладки свободно перемещаются. В этом случае Н >( НА + Н9), —Н = 0.

На рис. 3г изображено свободное проскальзывание, при котором касательные напряжения не возникают, что реализуется при Н > (НА + Нв), и в этом случае ТН = 0.

Рис. 3д иллюстрирует упругое взаимодействие с обжатием и сдвигом без проскальзывания. Подобная ситуация возможна при Н £ (НА + Нв ) и для напряжений и

деформаций в накладках можно записать —Н =—А = —в, ТН =Т4=Тв, £Н =——,

Е Н

Тн

7в~

Сн

Дополнительным условием здесь должно быть условие ТН £ / —Н |, где / -

погонный коэффициент трения.

При невыполнении этих условий возникает ситуация, изображенная на рис. 3е. В этом

случае — Н = —А = —в, ТН =Т.р = / —Н\, еН = —— и наблюдается проскальзывание.

Е Н

Все эти ситуации моделируются в рамках механики сплошной среды, т.е. при представлении двух накладок в виде единого материала, обладающего специфическими свойствами.

Полученная задача является нелинейной и требует применения специальных методик для ее решения. Характерной особенностью этой нелинейности является то, что для нормальных напряжений имеет место ограничение по деформации Н £ (НА + Нв), т.е. взаимная деформация накладок не может быть больше их общей толщины, а для касательных напряжений - по их предельным значениям, определяющим возможность проскальзывания.

Для решения сформулированной физически нелинейной задачи на базе уравнения виртуальных работ строится итерационный процесс, являющийся комбинацией метода начальных напряжений и метода дополнительной деформации. Базовым для определения А>й итерации является следующее вариационное уравнение

X Ш {а}Г{«є} а + Е Ш (£кнЕи и + Гн^н йУи У а к =

к а н

= ЕШр{«} («у )<<а + Я{р} {«у}°'

+

+ Е Ш (а И «є и + і И «г и У а,,

к а к

Л-к ±к

где и н и Тн определяются как разности между соответствующими значениями, полученными по линейным соотношениям теории упругости, и их реальными величинами, которые зависят от механизма контактного взаимодействия (рис. 3).

3. Контактный конечный элемент

Для реализации описанной в предыдущем параграфе математической модели взаимодействия накладок в рамках МКЭ определяется так называемый контактный элемент. Геометрически он представляет собой оболочечный четырехугольный элемент с 8 узлами. В качестве исходной информации для него задаются радиус-векторы точек, определяющих нижнюю (нечетные номера) и верхнюю (четные номера) поверхности, и

первоначальная толщина Н = НА + Нв, которая может быть постоянной на элементе, а может варьироваться (в этом случае задаются их узловые значения).

Вводятся аппроксимации лицевых поверхностей

г (-) (^) = £ Г2. Ni Хя), г{+) (x,h) = £ Г N (x,h, С),

і=1

і=1

(6)

где N. (Х, я)- известные функции формы для двумерной квадратичной аппроксимации

сирендипового семейства. Для аппроксимации вектора перемещений используется представление, аналогичное (6), т.е.

Vн(Хл) = ЕV.N. (Хя), V(+>(Хя) = Е V,N. (Хя).

і=1

і=1

Г( ) И

(7)

В процессе деформирования первоначально параллельные лицевые поверхности г ^ перестают быть таковыми. Иллюстрация этой ситуации представлена на

рис. 4, где видно, что орты нормалей Р3( ) и Р3[+1 существенно отличаются. Поэтому все

геометрические, кинематические и силовые характеристики будем определять на обеих лицевых поверхностях самостоятельно. Другими словами, напряженно-деформированное состояние будем определять самостоятельно в каждой накладке (примыкающих,

соответственно, к поверхностям Г( ) и Г ^), что позволит более верно моделировать их

(+)

состоянии при проскальзывании друг относительно друга.

т а

т

а т

Рис. 4. Проекции лицевых поверхностей контактного элемента в процессе деформирования

другой определяются в виде

(-) _ р(-)

H *(+) — P3(+)

r (+)+ V (+)- r (-)- V (-)

г (+)+ V (+)- r (-)- V (-)

(В)

Эти значения являются базовыми в суждении о характере взаимодействия между накладками (классификация представлена на рис. 3), т.к. деформации обжатия определяются в виде

Є(+) — CH

H w- H

є(_) —

CH

H (-)- H

(9)

H н H

Определение касательных деформаций и напряжений (для оценки сил трения) требует введения локальных систем координат x',у' , z', ориентированных вдоль ортов

Р, P2, P3 для каждой из лицевых поверхностей. Вычисление производных вдоль этих направлений производится известным образом, и соотношения для деформации сдвига принимаются в векторном виде

dV

dV

у,,— P-----------+ P3----------, у,,— P

/ z y 1 / 3 n / ? • y z 2

n

nV

nz

+ P •

nV

(10)

-)/’ > у z 2 т / 3 т / ■

дх дz ду

4. Результаты расчета

Вычислительный эксперимент показал, что для сходимости расчета трубопровода достаточно взять Нниж = 3 м и Ьбок = 3 м. Максимальные напряжения и смещения в трубопроводе приведены в табл. 2.

Таблица 2

Максимальные напряжения и смещения в трубопроводе

Нагружение max С [МПа] max С [МПа] max U [м]

Внутреннее давление в трубопроводе, грунта нет 139 161 0.121

Внутреннее давление в трубопроводе + собственный вес грунта, трубопровода и этилена 160 181 0.0091

Здесь

u

- модуль максимального смещения точек трубопровода, С™

максимальные главные напряжения.

Величина интенсивности напряжений и. определялась по формуле

С

, —-^УІС - С2)2 + С - С3)2 + (С3 - с1)2 ,

где ох, s2 и s3 - главные напряжения.

Результаты расчета футляра трубопровода, проведенного с учетом внутреннего давления в трубопроводе, собственного веса грунта, трубопровода и этилена, а также нагрузки от железнодорожного полотна и подвижного состава, приведены в табл. 3.

Для иллюстрации на рис. 5 приведено распределение интенсивности напряжений

_max л

S в футляре.

Максимальные напряжения и смещения в футляре

Таблица 3

Нагружение (Гтах [МПа] а1пах [МПа] £ 13 ^ [м]

Внутреннее давление в трубопроводе, собственный вес грунта, трубопровода и этилена, а также нагрузки от железнодорожного полотна и подвижного состава 170 193 0.0126

Здесь

и,

- модуль максимального смещения точек футляра.

Рис. 5. Распределение интенсивности напряжений 5. Выводы

Исходя из полученных результатов, следует отметить, что разработанная численная методика исследования напряженно-деформированного футляра

магистрального трубопровода с моделированием контактного взаимодействия элементов подконструкций между собой и с окружающим грунтом, проявляющим пластические свойства, дает результаты, хорошо согласующиеся с данными натурных испытаний. Следовательно, на ее основе можно рассчитывать подобные конструкции и получать достоверные результаты.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зарецкий Ю.К. Лекции по современной механике грунтов. Ростов н/Д.: РГУ, 1989. 607 с.

2. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. М.: Недра, 1996. 448 с.

3. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984. 232 с.

4. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. М.: Недра, 1987. 221 с.

5. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казань: Дас, 2001. 300 с.

6. Секаева Л.Р., Бережной Д.В., Коноплев Ю.Г. Исследование взаимодействия деформируемых конструкций с сухими и водонасыщенными грунтами // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов: тр. XX Междунар. конф. СПб., 2001. Т.111. С. 156-159.

7. Расчет напряженно-деформированного и предельного состояний железобетонных конструкций, взаимодействующих с грунтовым основанием / Д.В. Бережной, А.И. Голованов, В.Н. Паймушин, А. А. Пискунов // Проблемы прочности и пластичности: сб. науч. тр. Вып. 63. Н. Новгород, 2001. С. 170-179.

8. Исследование напряженно-деформированного и предельного состояния сухих и

водонасыщенных грунтов / Д.В. Бережной, А.И. Голованов, В.Н. Паймушин, И.Н.

Сидоров, Г.А. Клементьев // Математическое моделирование в механике сплошных сред.

Методы граничных и конечных элементов: тр. XIX Междунар. конф. СПб., 2001. Т.П. С. 8286.

9. Паймушин В.Н., Пискунов А.А., Голованов А.И. Численное моделирование общего напряженно-деформированного состояния трехмерных тел с дискретными нерегулярными включениями в виде стержней // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических процессов: сб. науч. тр. М., 1998. С. 3-10.

Бережной Дмитрий Валерьевич -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета

Berezhnoi Dmitri Valerjevich -

candidate of physical-mathematical science, associate professor, department of engineering mechanics Kazan (Volga region) federal university

Балафендиева Ирина Сергеевна -

аспирантка кафедры теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета

Balafendieva Irina Sergeevna -postgraduate student, department of engineering mechanics Kazan (Volga region) federal university

Статья поступила в редакцию 22.04.2011, принята к опубликованию 30.05.2011