CC BY
24
^1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ (в строительстве)
УДК 539.3
Каюмов P.A. - доктор физико-математических наук, профессор
E-mail: kayumov@rambler.ru
Шакирзянов Ф.Р. - ассистент
E-mail: faritbox@mail.ru
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Адрес организации: 420043, Россия, г. Казань, Зеленая, д. 1
Шевченко С.Ю. - кандидат технических наук, доцент
E-mail: syshevchenko@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Адрес организации: 197376, Россия, Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, д. 5
Оценка несущей способности системы конструкция-грунт*
Аннотация
Предлагается методика определения предельной нагрузки и осадки системы конструкция-грунт с учетом пластичности, ползучести, нелинейной упругости, дилатансии, изменения пористости и прочностных характеристик грунта с течением времени, а также в зависимости от процесса выемки грунта. В качестве критерия прочности грунта принимается критерий Друккера-Прагера. В данной работе рассматривается задача постепенной выемки грунта при рытье котлована рядом с соседними сооружениями. Задача решается методом конечных элементов с использованием восьмиузлового изопараметрического трехмерного конечного элемента. Было исследовано влияние глубины выемки под котлован, параметров вязкости, пористости и дилатансии на предельную нагрузку.
Ключевые слова: механика грунтов, ползучесть, пластичность, предельная нагрузка, дилатансия, метод конечных элементов.
Оценка осадки и предельной нагрузки системы конструкция-грунт, изменяющихся с течением времени из-за пластичности, ползучести, деградации, изменения пористости и прочностных характеристик грунта (сцепления С и угла внутреннего трения /и), имеет важное значение, т.к. эти явления приводят к значительному изменению НДС и несущей способности системы.
В данной работе рассматривается один из вариантов решения этой проблемы применительно к задаче постепенной выемки грунта при рытье котлована рядом с соседними сооружениями. При этом рассматриваются грунты, у которых степень водонасыщенности /„,<0.7, индекс текучести // считаются малыми, процесс консолидационный фильтрации не учитывается. В качестве конструкционной части рассматриваются бетонные или железобетонные конструкции, работающие совместно с окружающим их грунтом.
Вариационное уравнение принципа возможных перемещений имеет вид:
Ш aüSeüdv=Ш +Я pfsii<ds' (1)
V vs
где Qi, Pni - объемные и поверхностные нагрузки.
Связь деформаций и перемещений считается линейной, используются соотношения Коши:
I,(2)
В качестве критерия прочности грунта принимается критерий Друккера-Прагера [1], записываемый в форме:
F = aJl + - К = 0, Jx =crr+crv+crs,
J2 = - M2 + К - er,)2 + (cts - crr)2] + r;, + 4 + r;r, ( )
*Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (проект 2012-1.4-12-000-1004-006).
где а и К - выражаются через сцепление С и угол внутреннего трения ¡л [2].
Для оценки прочности бетона также используется тот же критерий Друккера-Прагера (3), в котором параметры а и К зависят от пределов прочности бетона на растяжение Ны и сжатие Яь'.
а = ---—. К = - ь ы
л/3(^+^)' л/3 (Яь+Кы)
Ползучесть грунта учитывается на основе теории упрочнения, в которой тензор скорости деформаций ползучести имеет вид:
= 8 + Л£1_нта (4)
3 1 + 4&0 1 +
где /л, //, а, - реологические коэффициенты; А А2 - параметры упрочнения; Щц - тензор, связывающий компоненты тензора напряжений и девиатор скорости деформаций ползучести. Пластичность грунта описывается ассоциированным законом течения [3]:
• дР
£1=Л^ (5)
8а,}
где Л - вектор, коллинеарный к нормали поверхности текучести.
Оценка предельной нагрузки и осадки системы проводятся по теории упруго-вязко-пластического деформирования, где полная деформация определяется выражением:
£1} =£*+£?+£*, (6)
где скорости пластических деформаций ¿р, скорости деформаций ползучести ¿°
определяются из соотношений (4), (5), а упругие деформации ее из нелинейных
соотношений, записываемых в виде:
Б* = (^“¿)СТ°СТу' + СТ° = ^ + ^ + СТз)/3' (?)
Здесь К - объемный модуль, О - модуль сдвига, которые зависят от уровня
деформированного состояния. Эти зависимости в работе принимается в виде дробнолинейного соотношения, предложенного Тимошенко С.П.:
ет0 =ЗК(£п)£п. т1=в(у1)у1, (8)
£ _ ____Е0(Т,_____ ^
3(1 - 2у)сгх + Е0е0 т,+в0г,
гт, - механические характеристики, Е0 - начальный модуль сжатия, (¡,, - начальный модуль сдвига.
Так как уплотнение и разуплотнение грунта непосредственно связаны с изменением его пористости, то зависимость коэффициента пористости грунта от сжимающего напряжения принята в виде:
1 + -
(9)
где <?о, е\ - е2 - механические параметры, определяемые из компрессионной кривои.
При моделировании процессов деформирования грунта учитывается и дилатансия, т.е. изменение объема грунта от сдвига. В общем случае объемную деформацию грунта можно представить в виде суммы:
£о=4+4, (10)
где £{:{ - объемная деформация, вызванная всесторонним давлением; £,' - объемная дилатансионная часть деформации, вызванная сдвигом.
Тогда математическая модель дилатансии принимает вид:
0 _ 1 , ^ ’
1 + ^2 Г,
где ¿Д, - механические характеристики, у, - интенсивность сдвига.
(П)
Также в работе учитывается изменение коэффициента удельного сцепления С и угла внутреннего трения (р в зависимости от пористости е. Рядом авторов показано, что снижение прочности грунтов в процессе их ползучести приводит к разрушениям при нагрузках, составляющих до 40 % их кратковременной прочности. В этой работе зависимости С и (р от е приняты в виде:
(>-„„)
1 + с2(е-е„) * п ! + </•(£'-О ' '
где С\, С2, ср 1, (р 2 — механические параметры, определяемые из эксперимента.
Задача отыскания НДС системы грунт-конструкция решается методом последовательных догружений, в котором на всех шагах нагружения решается уравнение равновесия (1) в приращениях:
ДО {А ст}т {¿£}с1У = ДО {АО}т {8и}<1У + Л {АР}т (13)
V V £
Согласно (7), приращения напряжений {Аа} в уравнении (13) будут:
{Аа} = [П]{Аве}, (14)
где {Аее} - вектор приращений упругих деформаций, 11) \ - матрица упругих
характеристик.
Приращения упругих деформаций определяются так:
{Аее} = {Ае} - {Аер} - {Аес} - {Ае*}, (15)
где {Аер} определяется из соотношения (5), {Аг6} из соотношения (4), а {А£с1} из соотношения (11).
Тогда разрешающее уравнение расчета по упруго-вязко-пластической модели принимает вид:
ДО {А£}г [ Иер ] {8е}<1У = ДО {АО}т {ди}М +
’’ ’’ (16)
+ Л {АР}т + ДО {АесУ [£>] {ди}<1У + ДО {А ес’У [£>] {ди}<1У. ’
5 V V
в котором [О \ - упруго-пластическая матрица:
[Д.,] = [Р]- д°ВР ■
0(7 0(7
Из уравнения (16) определяются приращения перемещений {Ап}, а затем полные перемещения, деформации и напряжения:
{|/+1} = {и1} + {Ли}, {^+1} = {ек} + {Ае}, {^+1} = {<7*} + {Аст}, где к - номер шага нагружения.
В качестве критерия достижения системой предельного состояния принимается условие резкого увеличения приращения перемещений:
{А и
Аи°
»1.
(17)
а в качестве нормы в (17) используется выражение:
С у/и
|{Ам}| = ^ОЧ)"
V г
где п - заданное число, Агг - приращение перемещений на первом малом шаге нагружения при упругой деформации. Исследовались и другие варианты нормирования. Оказалось, что его влияние на предельную нагрузку мало при п > 2.
В качестве примера рассмотрена задача о выемке грунта из котлована, ограниченного подземными железобетонными стенками (рис. 1). Кроме собственного веса, действуют распределенные нагрузки с/ от находящихся рядом зданий.
Рис. 1. Модельная задача
Расчет проводился в несколько этапов. Вначале прикладывалась нагрузка от веса грунта и стенок, а затем - внешняя нагрузка от находящихся рядом зданий. После относительной стабилизации решения моделировался процесс постепенной выемки грунта. На каждом отрезке времени определялся коэффициент предельной нагрузки.
Таблица 1
Физико-механические характеристики грунта и железобетона
Вид материала Е (МПа) V Р (кг/мЗ) С (КПа) <Р (град) Кы (МПа) Яъ (МПа)
Грунт 9.18 0.42 2380 80.46 21 - -
Бетон 32500 0.2 2550 - - 1.35 16.9
Для решения поставленных задач разработан комплекс программ на языке программирования С++, позволяющих проводить различные варианты расчета с использованием восьмиузлового изопараметрического трехмерного конечного элемента.
Было исследовано влияние глубины выемки под котлован на предельную нагрузку. Как и ожидалось, чем глубже котлован, тем меньше предельная нагрузка (рис. 2). В данном случае при изменении глубины на 5 метров предельная нагрузка уменьшилась примерно на 50 %. На рис. 3 представлен результат исследования влияния дилатансии на предельную нагрузку.
500000
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Глубина котлована, м
350000 --------------1------------1------------1------------
0 0.005 0.01 0.015 0.02
Коэффициент дилатансии
1 .Зе+06
800000
£ 450000
Рис. 2. Влияние глубины выемки под котлован Рис. 3. Влияние дилатансии
на предельную нагрузку на предельную нагрузку
Влияние параметров вязкости на предельную нагрузку представлено на рис. 4. Также было исследовано влияние скорости выемки грунта на предельную нагрузку (рис. 5). В данной модельной задаче оказалось, что скорость выемки грунта почти не влияет на величину предельной нагрузки, если процесс выемки длится более 10 суток.
Рис. 4. Влияние параметров вязкости Рис. 5. Влияние скорости выемки грунта
на предельную нагрузку на предельную нагрузку
На рис. 6 представлено НДС, полученное по упруго-вязко-пластической модели деформирования, а на рис. 7 - соответствующая картина с учетом и других факторов (т.е. изменения пористости и прочностных характеристик, дилатансии, нелинейной упругости) одновременно. Изополями показаны значения функции напряженности.
Г“
2
1.2Є+06
700000
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
ВЯЗКОСТЬ, 1013
1.1е+06
1.05Є+06
ҐЧ
I
X ІЄ+06
£ 950000
о.
X 900000
и;
(О
5 850000
^ 800000 о.
С
750000
700000
0 5
10 15 20
Время выемки, t
Рис. 6. НДС, полученное по упруго-вязко-пластической модели деформирования
Рис. 7. НДС, полученное по упруго-вязко-пластической модели деформирования с учетом всех факторов
Таблица 2
Значения максимальных перемещений и напряжений, предельной наг іузки
Модели Перемещение (м) Напряжение (Н/м2) Предельная нагрузка (Н/м2)
Упругая модель 0,4648 6,902е+05 -
Упруго-вязкая модель 0,4945 5,818е+05 -
Упруго-вязко-пластическая модель 0,5293 2,627е+05 6,933е+05
Анализ результатов расчета позволяет сделать следующие выводы:
1. Выемка грунта ведет к существенному уменьшению предельной нагрузки с течением времени (рис. 2).
2. К моменту потери несущей способности сооружения поля перемещений могут существенно перестраиваться (рис. 3, 4).
3. Преимущество модели заключается в том, что можно проследить за процессом изменения механических характеристик системы с течением времени, но приходится проводить пошаговое по времени решение задачи при разных значениях нагрузки.
Список литературы
1. Drucker D.C., Prager W. Soil mechanics and plastic analysis or limit design, Q. Appl. Math., 10, 1952.-P. 157-165.
2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. — 271 с.
3. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. - 420 с.
Kayumov R.A. - doctor of physical and mathematical sciences, professor
E-mail: kayumov@rambler.ru
Shakirzyanov F.R. - assistant
E-mail: faritbox@mail.ru
Kazan State University of Architecture and Engineering
The organization address: 420043, Russia, Kazan, Zelenaya, 1
Shevchenko S.Y. - candidate of technical sciences, associate professor
E-mail: syshevchenko@mail.ru
Saint Petersburg Electrotechnical University «LETI»
The organization address: 197376, Russia, St. Petersburg, Professor Popov st., 5
Evaluation of bearing capacity of the soil-structure
Resume
It is offered a method of determining the limit load and settlement of structure-soil system within plasticity, creep, nonlinear elasticity, dilatancy, changes porosity and strength characteristics of the soil over time, and depending on the process of excavation. Drucker-Prager criterion used as a criterion of soil strength.
In this paper we consider the problem of gradual excavation for foundation pit near neighboring buildings. The calculation was performed in several stages. Initially, the weight of the soil and the wall applied, and then the external load from nearby buildings applied. After the relative stabilization of the solution the gradually excavation process simulated. The problem is solved by finite element method using isoparametric three dimensional finite element with eight nodes. The influence of the depth of the recess under the pit, viscosity parameters, porosity and dilatancy at maximum load was researched.
Keywords: soil mechanics, creep, plasticity, limit load, finite element method.
References
1. Drucker D.C., Prager W. Soil mechanics and plastic analysis or limit design, Q. Appl.
Math., 10, 1952.-P. 157-165.
2. Zienkiewicz O. The finite element method in engineering science. - M.: Mir, 1975. - 271 p.
3. Kachanov L.M. The basis of plasticity theory. - M.: Nauka, 1969. - 420 p.
