Моделирование быстропротекающих процессов фильтрации несжимаемой жидкости через усреднение периодических структур: двухскоростной континуум Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:531.72

МОДЕЛИРОВАНИЕ БЫСТРОПРОТЕКАЮЩИХ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ УСРЕДНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР: ДВУХСКОРОСТНОЙ КОНТИНУУМ2)

И.В. Некрасова

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: Nekrasova_i@bsu.edu.ru

Аннотация. В работе рассматривается линейная система дифференциальных уравнений, описывающая совместное движение упругого пористого тела и вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей поры. В предположении периодичности структуры порового пространства и малости характерного времени процесса на основе метода двухмасштабной сходимости Нгу-етсенга предлагается строгий вывод усредненных уравнений, которыми будут: система анизотропных уравнений Стокса для скорости жидкой компоненты, связанная с уравнениями акустики для перемещений твёрдой компоненты, описывающая двухскоростной континуум.

Ключевые слова: уравнения Стокса, гидравлический разрыв, двухмасштабная сходимость, усреднение периодических структур.

Введение

В настоящей работе рассматривается задача о совместном движении деформируемого упругого тела, перфорированного системой каналов (пор), заполненных жидкостью. Такие среды называются упругими пористыми средами и являются достаточно хорошим приближением реальных консолидированных грунтов. Твёрдая компонента такой среды называется скелетом грунта, а область занятая жидкостью - поровым пространством. В безразмерных (не отмеченных штрихами) переменных

А2

9Т

х' = Lx, t' = ті, w' = —-w, p's = pops, p'f = PoPf, F' = g

дифференциальные уравнения модели для безразмерного вектора перемещений ю в области П € И3 имеют вид:

д2ю

= сНуР + р^, (0.1)

/ дю \

Р = (^-7^) + (1 - X') «лО(^, го) -рI, (0.2)

ю = 0, (0.3)

V = XV/ + (1 - X) Рз. (°.4)

2Работа выполнена в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной Рос-

сии" на 2009-2013 годы (контракт № 02.740.11.0613)

Здесь и далее мы будем обозначать

0(ж, и) = (1/2) (Vй + (Уи)Т) , р = х Р/ + (1 - Х) Рз,

I - единичный тензор, р/ - давление жидкости, рз - давление в твёрдом скелете, Ь -характерный макроскопический размер (размер рассматриваемой области), т - характерное время процесса, р/ и рз - средние безразмерные плотности жидкой и твёрдой фаз (отнесенные плотности воды р0) соответственно, д - величина ускорения силы тяжести. Характеристическая функция порового пространства х(х) и вектор удельных массовых сил ^(х,Ь) считаются известными.

Заметим, что предположение о несжимаемости жидкости автоматически влечет несжимаемость твёрдого скелета, поскольку скорость звука в твёрдой среде в несколько раз больше скорости звука в жидкости. А как известно, мерой несжимаемости (сжимаемости) является скорость звука - менее сжимаемая среда обладает большей скоростью звука. В силу этого уравнения неразрывности для жидкой и твёрдой компонент среды можно записать в виде одного уравнения (0.3), справедливого всюду в области П.

Дифференциальные уравнения (0.1)-(0.4) означают, что скорость V = дю/дЬ удовлетворяет уравнениям Стокса в поровом пространстве П/, а вектор перемещений ю удовлетворяет уравнениям Ламэ в твёрдом скелете Пз.

На границе Г "твёрдый скелет - поровое пространство” вектор перемещений ю и давление жидкости Р/ удовлетворяют условиям непрерывности перемещений

[ю](х0,Ь) = 0, х0 € Г, Ь > 0 (0.5)

и нормальных напряжений

[Р ■ п](х0,Ь) = 0 , х0 € Г, Ь > 0, (0.6)

где п(х0) - вектор единичной нормали к границе в точке х0 € Г и

[<^](хо,г) = <Р(з)(хо,Ь) - У(/)(хо,Ь),

<^(8)(жо,і)= Ііт <^(ж,і), ^(/)(жо,і}= Ііт <^(ж,і).

х —— хо х —— хо

х Є П5 х Є

Для простоты изложения считаем, что область П есть единичный куб (0,1) х (0,1) х (0,1) С К3.

Задача замыкается однородными начальными и граничными условиями

В'ш

ги(ж,0) = 0, -^-(ж,0) = 0, ж Є П, (0.7)

ад(ж,і)=0 , ж Є Бі, (0.8)

(Р ■ п)(ж,і) = 0 , ж Є Б2 , (0.9)

где

52 = {0 < х < 1, 0 < х2 < 1, х3 = 1},

5 = дП.

Безразмерные постоянные ам и ал определяются формулами

2^т 2Лт2

^111 г 2 ’ Г 2 ’

Ь2р0 Ь2р0

где ^ - вязкость жидкости, Л - упругая постоянная Ламэ.

Математическая модель (0.1)—(0.9) общепринята и содержит естественный малый параметр е, которым является отношение среднего размера пор I к характерному размеру Ь рассматриваемой области:

I

£~ь"

Пусть выполнено следующее

Предположение. Область П = (0,1)3 есть периодическое повторение элементарной ячейки У£ = еУ, где У = (0,1)3 и величина 1/е есть целое число так, что П всегда содержит целое число элементарных ячеек У£. Пусть Уз есть "твёрдая " часть У, и ее "жидкая " часть У/ есть открытое дополнение Уз в У и граница 7 = дУ/ Р| дУз между "жидкой" и "твёрдой" компонентами есть липшицева поверхность.

Поровое пространство П/ есть периодическое повторение элементарной ячейки еУ/, твёрдый скелет П3 есть периодическое повторение элементарной ячейки еУз а граница Г£ = дПЗ Р| дП/ есть периодическое повторение в П границы е^. Твёрдый скелет П и "поровое пространство " П / являются связными множествами.

Х(х) = Х£(х) = X (х/е) ,

Р = Р£(х) = Х£(х)Р/ + (1 - Х£(х))Рз,

где х(у) - характеристическая функция У/ в У.

Пусть безразмерные параметры зависят от малого параметра задачи е и существуют пределы (конечные или бесконечные)

ц,0 = Ита',,(е), А0 = Итад(е) , А1 = Ит ^ .

^ е\о м " 0 е\о м ' ’ 1 е\о е2

В настоящей работе, посредством метода двухмасштабной сходимости Нгуетсенга [4], мы исследуем предельный режим задачи (0.1)-(0.9) в случае, когда

0 < ^0 < то, Л0 = 0, 0 < Л1 < то ,

Отметим, что данный случай возникает при описании быстро протекающих физических процессов таких, например, как гидро-разрыв нефтяного пласта, когда длительность процесса исчисляется долями секунд. Случай условий Дирихле был рассмотрен в [1]. Там же можно найти соответствующую библиографию.

1. Формулировка основных результатов

Существуют различные эквивалентные в смысле теории распределений формы записи уравнений (0.1) в каждой из областей П/ и ПЗ и краевых условий (0.5)-(0.6) на

границе Г£ между поровым пространством П£ и твёрдым скелетом П3. Для нас будет удобной запись в виде интегральных тождеств.

Назовем функции (ю£, р£) обобщенным решением задачи (0.1)-(0.9), если они удовлетворяют условиям регулярности - являются элементами Ь2(Пт) -

ю£, 0(х,ю£),р£ € Ь2(ПТ) (1.1)

с областью Пт = П х (0,Т), граничному условию (0.8), уравнению неразрывности

^ую£ = 0 (1.2)

почти всюду в области ПТ, интегральному тождеству

^ (р*™* ' “ Х£а^(х, ги£) : В(х, - р£Р • (р +

+ {(1 — Х£)ал0(х, ю£) — р£1} : 0(х, ^)^дьхАЬ = 0 для всех гладких вектор-функций ^ = ^(х,Ь) таких, что

(1.3)

<^(х,Ь) = 0, х € 51, Ь > 0;

д^

(р(х, Т) = Т) = 0, жбО.

Очевидно, что давление р£ определяется с точностью до аддитивной постоянной. Фиксируем эту постоянную условием

р£ ^х = 0.

(1.4)

В (1.3) через А : В обозначено скалярное произведение двух тензоров второго ранга, А : В = и (В* о А)=£3^=1 А,,В,,.

Теорема 1. Пусть функции Р, дР/дЬ ограничены в Ь2(ПТ):

|Р |2 +

' Пт

дР

дЬ

Тогда при всех е > 0 на произвольном интервале времени [0, Т] существует единственное обобщённое решение задачи (0.1)-(0.9) и справедливы оценки

/а

дю£

2,П

(1 - х£

X,

дю£

дЬ

(Ь)

< 2 ,

(1.5)

2,П

П

2

/а,

х£ О ж

д2

ді2

+

2,Пт

д2

ді2

(*)

+ |ЬЄ(І)|І2,П < 2

2,П

где С0 не зависит от малого параметра є и і Є [0, Т].

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда:

1) Для функций дэд£/д£ существует продолжение Vе из П/ х (0, Т) в ПТ и

д-и£ . . ^ е д2^е

• -^(0 <с„ г

2,П

V

2,П < С0

X

дт6

~Ж

(і)

2,П

ді2

■(і)

2,П

(1.6)

ж, V

е\ 12

^ж < Xе

Jп

О(ж.

<9го£

^ж,

' Пт

О ж

<9г>£

“5Ї"

^жЛ; < С0 / Xе

«/ Пт

О ж,

д2

ді2

где Со не зависит от малого параметра е и Ь € [0, Т].

2) Существует подпоследовательность из {е> 0} и1 - периодические по переменной

у функции и(х, у,Ь) и Р(х, у,Ь) такие, что последовательности ^£} и {дv£/д^} сходятся сильно в Ь2(ПТ) и слабо в Ь2((0, Т); (П)) к функциям V и дv/дЬ соответствен-

но, последовательности {0(х, v£)} и {0(х, дv£/д^)} сходятся двухмасштабно в Ь2(ПТ) к функциям0(х, v)+D(y, и) и 0(х, дv/д^)+D(y, ди/дЬ) соответственно, а последовательности {ю£} и {(1 - х£)ю£} сходятся слабо в Ь2(ПТ) к функциям ю и и3 соответственно.

3) Последовательности {р£} {х£р£} и {(1- Х£)р£} сходятся слабо в Ь2(ПТ) к функциям р = р/ + р3, р/ и р3 соответственно и двухмасштабно в Ь2(Пт) к функциям Р, х(у)Р и (1/(1 - т^1 - хЫ)рз(х,Ь) соответственно.

4) функция v обращается в ноль на части 51 границы 5, то есть

|^(ж + 8п, і)| ^ 0 при 8 ^ 0,

.70 .7^1

где п - вектор единичной нормали к границе 51 в точке х.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда слабые и сильные пределы и3, р, р3 и v удовлетворяют в области Пт начально-краевой задаче, которая состоит из анизотропной системы уравнений Стокса

дv

ІН

д2

div Р + ДР ,

^оА;0 : О(ж, V) + В( div V — р1,

для жидкой компоненты, связанной с уравнением неразрывности

div

ди.

+ т div V = 0

(1.7)

(1.8)

(1.9)

)

П

2

2

соотношением

ди

= (1 — т)ь(х,1) + В 1(1 — т) ■ г(х,т)(1т , (1-10)

дЬ ио

1 дv

г(х, г) = —------Чр8(х, г) + р8р(х, г) - р3^-(ж, *)

1 - т дЬ

для твёрдой компоненты.

Дифференциальные уравнения (1.7)-(1.10) замыкаются однородными краевыми и начальными условиями

v(x, 0) = 0, х € П;

v(x,^) = 0, х € 51; (Р ■ п)(х,Ь) = 0, х € 52, Ь> 0 (1.11)

для скорости v жидкой компоненты, однородным начальным условием

и3(х, 0) = 0, х € П (1.12)

и однородными граничными условиями

р3(х, Ь) = 0, х € 52 , Ь > 0,,

и3(х,Ь) ■ п(х) = 0 , х € 51, Ь> 0 , (1.13)

для давления р3 и вектора перемещений и3 твёрдой компоненты.

В уравнениях (1.7)-(1.10) т = /у - пористость среды. Симметричный строго положительно определенный постоянный тензор четвертого ранга АО, матрицы В{ и В1(Ь) даются ниже формулами (4.18),(4.21).

2. Доказательство теоремы 1

Оценки (1.5) и (1.6) для перемещений следуют из энергетического тождества в форме

5 ( // (^) + “Л 1(1~ Х‘)Ш (;г’ ^г) : ® (;г’ 1 *

д2ю£ \ _ / д2ю£ \ , [' дР д2ю£

+ аЧах'к{х'^):В{х'~йг)'1х' = (2Л)

Последнее получается после дифференцирования уравнения для ю£ по времени, умножения на д2ю£/дЬ2 и интегрирования по частям. Заметим, что все слагаемые не границе Г£ "твёрдый скелет-поровое пространство” исчезают, благодаря граничным условиям (0.5)-(0.6). Используя неравенства Гёльдера и Гронуолла в (2.1), получаем требуемые оценки (1.5) и (1.6) для перемещений. Эти же оценки гарантирует существование и единственность обобщенного решения задачи (0.1)—(0.9). Для этого достаточно воспользоваться методом Галеркина, рассмотрев в качестве базового пространство со-леноидальных функций из Ж2(П), удовлетворяющих условию (0.8), а в качестве базиса

- любой базис, ортонормированный в скалярном произведении пространства Ь2(П).

Для оценки давлений мы используем интегральное тождество (1.3) в форме

/ рМгу^ж = ип

(р£ (^~ -ф+ п/;:: + (1 - ;\£)а'лО {х, ю£)^ : 0(ж, Лх,

о

рассматривая давление р£ как линейный функционал на пространстве (П) (см. [1], [2]).

3. Доказательство теоремы 2

Первое утверждение теоремы есть результат работы [3].

Оценки (1.5) и (1.6) Теоремы ?? и теорема Нгуетсенга [4] доказывают второе утверждение теоремы. Четвертое утверждение теоремы есть следствие леммы, которую приведём без доказательства.

Лемма 1. Пусть функции

v£ € Ь2(0,Т; Ж1(П))

и v£ = 0 в части а£ = 50 П 5/ С 5/ = дП/ П дП границы 5 = дП, последовательность {v£; е> 0} сходится слабо в Ь2(0,Т; Ж21(П)) к функции v.

Тогда v = 0 в части 50 границы 5. То есть

/ / |v(x + 5п, Ь)| ^ 0 при 5 ^ 0 ,

и0 и я0

где п - вектор единичной нормали к границе 5 в точке х.

Наконец, третье утверждение теоремы доказывается, наряду с другими утверждениями, в нижеследующей лемме.

Лемма 2. Для почти всех (х, Ь) € Пт и у € У слабые и двухмасштабные пределы последовательностей {х£р£}, {(1 - Х£)р£}, {ю£} и ^£}, упорядоченные числом е > 0, удовлетворяют соотношениям

'’--'-гйй

*>($)-•• «» X (divv + divy V) = 0 , (3.3)

div ю = 0 , (3.4)

ю(х,Ь) ■ п(х) = 0 , х € 5, (3.5)

divy Ш = 0, (3.6)

дШ N дШ

т = Х'о + (1 X) т , (3.7)

д\¥ N дШ

т = X'« + (1 \) .ц ■ (3.7)

□ Для доказательства (3.1), в интегральное тождество (1.3) подставим пробную функцию вида = є^ (ж, і, ж/є), где ^(ж,і, у) - произвольная 1-периодическая, финитная в области У*. функция от у. Переходя к пределу при є \ 0, мы получим

Уу Р(ж,і, у) = 0 , у Є . (3.8)

Далее, осуществляя двухмасштабный предельный переход в равенстве

Х*((1 - х>*) =0,

получим

= 0 ,

что, вместе с (3.8), доказывает (3.1).

Для доказательства (3.2) достаточно рассмотреть уравнение неразрывности в виде

[ / Ур(сМ)<М= 0,

]о ]п ді

справедливое для всякой гладкой финитной в Пу функции р, и перейти к пределу при є \ 0.

Для доказательства (3.3), достаточно рассмотреть двухмасштабный предел в уравнении неразрывности (1.2) при є \ 0 с пробными функциями вида ф (ж/є) к(ж, і), где ф и к - произвольные гладкие функции. Равенства (3.4), (3.5) получатся, если уравнение (1.2) умножить на произвольную функцию, не зависящую от "быстрой" переменной ж/є, и перейти к пределу при є \ 0. Для доказательства (3.6) достаточно рассмотреть двухмасштабный предел в уравнении (1.2) при є \ 0 с пробными функциями вида єф (ж/є) к(ж,і), где ф и к - произвольные гладкие функции. Для доказательства (3.7) необходимо рассмотреть двухмасштабные пределы в тождестве

*'(ж-в') = 0- в

Доказательство теоремы 3

Доказательство теоремы разобьем на ряд независимых утверждений.

Лемма 3. Для всех (ж, і) Є Пу выполняется соотношение

СІІУ, р0Х (»(у, V) + Щх, V)) - Р/ + ±I = 0 . (4.1)

(1-Х) (1 — т)1

□ Подставляя пробную функцию вида = є^ (ж, і, ж/є), где ^(ж,і, у) - произвольная 1-периодическая по у функция, исчезающая на границе $1, в интегральное тождество (1.3), и переходя к пределу при є \ 0, получим уравнение (4.1), которое можно также переписать в виде

с1Ч (х(»о№(У, у) + V)) ~ ^Р/ - ^ ^ Р^ 1)^ = 0 . ■ (4.2)

Лемма 4. Пусть р = тр/ + (1 — ш)р8. Тогда функции и = (Ш)ув, V, и р удовлетворяют в Пт системе макроскопических уравнений

д^ д2 и

Р/т - Рг = с1іуЬИ(ї, ^) + (0(у, - Р • 1} , (4.3)

и однородным начальным условиям

ди

„,(а:,0) = ^т«(а:,0)+Л-^(а:,0) = 0, «П. (4.4)

□ Уравнения (4.3) и начальные условия (4.4) есть результат предельного перехода в тождестве (1.3) с пробными функциями, не зависящими от є в Пт. В

Лемма 5. Слабые и двухмасштабные пределы р и Ш удовлетворяют микроскопическим уравнениям

д2Ш 1

— = А, Д,1У - У,Р - — ді2 1 — т

дШ

Ре г),2 — АіДуИ^" — — ------Урв + р^і*1, у Є , (4-5)

ді

и однородным начальным условиям

V, у Є 7 (4.6)

д№

И%,0) = —(у,0) = 0, ц£Ув. (4.7)

□ Дифференциальные уравнения (4.5) и начальные условия (4.7) следуют при е \ 0 из интегрального тождества (1.3) с пробной функцией вида ф = ^(же-1) ■ Л,(х,£), где ^

- соленоидальная, финитная в У, функция.

Краевое условие (4.6) есть следствие двухмасштабной сходимости последовательности {^/a\ Уги^е > 0} к функции \/Х\ \7у'\¥(х,1,у). В силу этой сходимости, функция Уу№(ж,£, у) является Ь2-интегрируемой в У. ■

Лемма 6. Слабые и сильные пределы и,, р, р, и V являются решениями начальнокраевой задачи в области Пт, состоящей из закона сохранения количества движения

дv д2 и, . ~ _ .Л .

р/?в—+ р5-^-= сЬуР + р^, (4.8)

Р = ^0^0 : Ю(ж, V) + В{divv — р1, (4.9)

для жидкой компоненты, уравнения неразрывности

(ди \

\ тс^¥ г) = ’ (4-Ю)

соотношения

ди

(1 — т)ь(х,1) + В 1(1 — т) ■ г(х,т)(1т , (4-11)

0

1 дv

г(х, г) = —-----Чр8(х, г) + р8Р(х, г) - рв—(ж, г)

1 — т дг

для твёрдой компоненты.

Дифференциальные уравнения (4.8)-(4.11) дополняются однородными краевыми и начальными условиями

v(x, 0) = 0 , х € П;

v(x,^)=0 , х € 51, (Р ■ п)(х,Г) = 0, х € 52, Г> 0 (4.12)

для скорости v жидкой компоненты, однородным начальным условием

и,(х, 0) = 0, х € П (4.13)

и однородными граничными условиями

р,(х,Г) = 0, х € 52, Г > 0,

и,(х,Г) ■ п(х) = 0 , х € 51, Г> 0 , (4.14)

для давления р, и вектора перемещений и, твёрдой компоненты.

□ Усредненные уравнения (4.8) следуют из макроскопических уравнений (4.3) после подстановки в них выражения

^0(О(у, V))у/ = ^0А{ : 0(ж, v) + В{ divv .

В свою очередь, последняя формула есть результат решения уравнений (3.3) и (4.2) на элементарной ячейке У/.

Действительно, полагая

3

V =£ V < ч)(у)А? + V (1)(у^™,

?=1

13

Рг - 7]-----тРз = Ро ^ Рг\у)Щ + Р{1)(у) сИ™,

(1 — т)

*,?=1

где

= I (1^- (ж,()+|^-(ж,о),

получим следующие периодические краевые задачи в У:

divy (х (Р(у, V(*?)) — Р(*?)1 + 1?)) =0 , хdivy V(? = 0 , (4.15)

divy|^оХ ^(у, V(1)) — хР(1)1} = 0, х V(1) + 1) = 0 . (4.16)

Как следует из предположения о геометрии "жидкой” части ячейки У/, задачи

(4.15)-(4.16) имеют единственное решение, с точностью до постоянного вектора. С целью исключения произвола потребуем, чтобы

(V (*?))У/ = (V (1))у, = 0.

Таким образом,

3

АО = т1 + Л{ , Л{ = ^ (Р(у, V(г?)))У/ 0 1*?, (4.17)

*,?=1

В{ = ^о(Ю>(у, V(1))}У/ . (4.18)

Симметричность тензора А0 следует из симметричности тензора А1 . Симметричность последнего следует из равенства

(Р(у, V(*?))}У/ : 1Ы = — (Р(у, V(*?)) : Р(у, V(к1)))У/ , (4.19)

которое, в свою очередь, является результатом умножения уравнения (4.15) для функ-

ции V(? на V(ы) и интегрирования по частям. Это же равенство доставляет нам положительную определенность тензора АО. Действительно, пусть Z = (^?) есть произвольная симметричная матрица. Полагая

3

г = £ V(?%

*,?=1

и, учитывая (4.19), получаем

(Р(у, г))у/ : Z = — (Р(у, г): о(у, г))у,.

т—г /

Последнее равенство и определение тензора АО дают

(АО : Z) : Z = ((Р(у, г) + Z) : (Р(у, г) + Z))y/ .

Строгая положительная определенность тензора АО следует теперь из вышеприведенного равенства и геометрии элементарной ячейки У/. А именно, положим (АО : Z) : Z = 0 для некоторой матрицы Z, такой что Z : Z =1. Тогда (0(у, г) + Z) = 0, что возможно, если и только если г - линейная функция переменной у. С другой стороны, все линейные периодические функции в У/ исчерпываются постоянными. Наконец,

нормировка (V(*?))у/ = 0 влечет равенство г = 0. Последнее невозможно, поскольку функции V(*?) линейно независимы.

Получим усредненные уравнения движения для перемещений и, твёрдой компоненты.

Решение системы микроскопических уравнений (4.5), (4.6) и (3.6), дополненной однородными начальными условиями (4.7), даётся формулой

р Ь 3

Ш = Нх,т) + Ш*(у,Г — т) 0 е* ■ г(х,т))^т,

^ *=1

г*Ь 3

Я = I Я*(у,Г —т)е,- -г(х,т)^т.

f ^ - т)ei ■ z(x,r)d7

i=1

в которой функции Ш*(у, Г), Я*(у, Г) - решения периодических начально-краевых задач д2Ш*

р*~д#~ ~ Д1Л1¥г + = °> сИуу!¥г = 0, 1/е У,, * > 0,

Ш* = 0, у € 7, Г> 0 , (4.20)

дШ*

1¥г(у,0) = 0, р, — (у,0) = ег, ц£Ув.

Здесь е* (г = 1, 2, 3) - единичные векторы декартовой системы координат. Тогда

/ дШ * \

В№> = Е(—),°е‘<(^ <421)

Заметим, что дифференциальные уравнения (4.20) следует понимать в смысле теории распределений (согласованность условий на границе 7 при Г = 0 не имеет места), а следовательно функции дШ*/дГ не дифференцируемы при Г = 0. Граничное условие (4.14) следует из уравнения (3.5), равенства

дад ди,

аГ = 1Г + ”ю'

и однородных граничных условий для скорости жидкой компоненты v. Это же равенство и уравнение (3.2) доказывают (4.11). В

Литература

1. Meirmanov А. Homogenized models for a short-time filtration in elastic porous media // EJDE. - 2007. - 18. - P.481-496.

2. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - М.: Наука,1970.

3. Conca C. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics // J. math. pures et appl. - 1985. - 64. - P.31-75.

4. Nguetseng G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization // SIAM J. Math. Anal. - 1989. - 20. - P.608-623.

MATHEMATICAL MODELING OF SHORT-TIME FILTRATION OF IMCOMPRESSIBLE LIQUID.

THE AVERAGE OF PERIODIC STRUCTURES AND THE TWO-VELOCITY CONTINUUM

I.V. Nekrasova

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: Nekrasova_i@bsu.edu.ru

Abstract. The paper deals with the linear system of differential equations describing the joint motion of elastic porous body and fluid occupying porous space. It is supposed the periodical structure of porous space and state that the characteristic time of process is small enough. We suggest a conclusion of homogenized equations which are non-isotropic Stokes equations for fluid velocity coupled with acoustic equations for the solid component for two-velocity continuum. The proofs are based on Nguetseng's two-scale convergence method of homogenization in periodic structures.

Keywords: Stokes equations, hydraulic fracturing, two-scale convergence, homogenization of periodic structures.