Моделирование быстропротекающих процессов фильтрации несжимаемой жидкости через усреднение периодических структур: односкоростной континуум Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:531.72, 517.958:539.3(4)

МОДЕЛИРОВАНИЕ БЫСТРОПРОТЕКАЮЩИХ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ УСРЕДНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР: ОДНОСКОРОСТНОЙ КОНТИНУУМ3)

И.В. Некрасова

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. В работе рассматривается линейная система дифференциальных уравнений, описывающая совместное движение упругого пористого тела и вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей поры. В предположении периодичности структуры порового пространства и малости характерного времени процесса предлагается строгий вывод усредненных уравнений, которыми являются анизотропные уравнения Стокса для односкоростного континуума. Доказательство основано на методе Нгуетсенга двухмасштабной сходимости усреднения периодических структур.

Ключевые слова: уравнения Стокса, гидравлический разрыв, двухмасштабная сходимость, усреднение периодических структур.

1. Введение

В настоящей статье рассматривается задача о совместном движении деформируемого упругого тела, перфорированного системой каналов (пор), заполненных жидкостью. Такие среды называются упругими пористыми средами и являются достаточно хорошим приближением реальных консолидированных грунтов. Твёрдая компонента такой среды называется скелетом грунта, а область занятая жидкостью - поровым пространством. В безразмерных (не отмеченных штрихами) переменных

А2

9Т

х' = Lx, t' = rt, w' = —-го, p's = pops, p'f = PoPf, F' = gF

дифференциальные уравнения модели для безразмерного вектора перемещений ю в области П € И3 имеют вид:

д2ю

Р = сИуР + РР ’

/ дю \

Р = \М;,^ + (1 - ;\')а'Л0(^, го) - р! , (2)

div ю = 0 , (3)

3Работа поддержана РФФИ (грант 03-01-11111).

Р = ХР/ + (1 - х)Рв. (4)

Здесь и далее мы будем обозначать

0(ж, и) = (1/2) (Уи + (Уи)Т) , р = хр/ + (1 - x)Ps,

I - единичный тензор, р/ - давление жидкости, рз - давление в твердом скелете, Ь -характерный макроскопический размер (размер рассматриваемой области), т - характерное время процесса, р/ и рз - средние безразмерные плотности жидкой и твердой фаз (отнесенные плотности воды р0) соответственно, д - величина ускорения силы тяжести. Характеристическая функция порового пространства х(х) и вектор удельных массовых сил Р(х,£) считаются известными.

Заметим, что предположение о несжимаемости жидкости автоматически влечет несжимаемость твёрдого скелета, поскольку скорость звука в твёрдой среде в несколько раз больше скорости звука в жидкости. А как известно, мерой несжимаемости (сжимаемости) является скорость звука - менее сжимаемая среда обладает большей скоростью звука. В силу этого уравнения неразрывности для жидкой и твердой компонент среды

можно записать в виде одного уравнения (1.3), справедливого всюду в области П.

Дифференциальные уравнения (1)-(4) означают, что скорость V = дю/д£ удовлетворяет уравнениям Стокса в поровом пространстве П/, а вектор перемещений ю удовлетворяет уравнениям Ламэ в твёрдом скелете Пз.

На границе Г 11 твёрдый скелет - поровое пространство” вектор перемещений ю и давление жидкости Р/ удовлетворяют условиям непрерывности перемещений

[ю](х0,£) = 0 , х0 € Г, £ > 0 (5)

и нормальных напряжений

[Р ■ п](х0,£) = 0, х0 € Г, £ > 0, (6)

где п(х0) - вектор единичной нормали к границе в точке х0 € Г и

[<^](хо,г) = ^(з)(хо,£) - <£(/)(хо,£),

P(s)(x0,t) = lim <^(x,t), = lim <^(x,t).

x —— xq x —— xq

x Є x Є

Для простоты изложения считаем, что область П есть единичный куб (0,1) х (0,1) х (0,1) С R3.

Задача замыкается однородными начальными и граничными условиями

dw

w(x, 0) = 0, -^-(ж,0) = 0, х Є П, (7)

w(x, t) = 0, x Є S1, (8)

(P ■ n)(x,t) = 0, x Є S2, (9)

где

S2 = {0 < x < 1, 0 < x2 < 1, x3 = 1},

Sl U ^2 = S = Ш.

Безразмерные постоянные ам и ал определяются формулами

2^т 2Лг2

Т9 ? г 9 ?

L ро L ро

где ^ - вязкость жидкости, Л - упругая постоянная Ламэ.

Математическая модель (1)-(9) общепринята и содержит естественный малый параметр е, которым является отношение среднего размера пор I к характерному размеру Ь рассматриваемой области:

I

£~ь'

Пусть выполнено следующее

Предположение 1.1. Область П = (0,1)3 есть периодическое повторение элементарной ячейки У£ = еУ, где У = (0,1)3 и величина 1/е есть целое число так, что П всегда содержит целое число элементарных ячеек У£. Пусть Уз есть ”твёрдая” часть У, и ее ”жидкая ” часть У/ есть открытое дополнение Уз в У и граница 7 = дУ/ Р| дУЗ между ”жидкой” и ”твёрдой” компонентами есть липшицева поверхность.

Поровое пространство П^ есть периодическое повторение элементарной ячейки еУ/, твёрдый скелет ПЗ есть периодическое повторение элементарной ячейки еУЗ а граница Г£ = дПЗ Р| дП/ есть периодическое повторение в П границы е7. Твёрдый скелет П и "поровое пространство” П^ являются связными множествами.

Х(х) = Х£(х) = X (х/е), р = р£(х) = Х£(х)р/ + (1 - Х^^

где х(у) - характеристическая функция У/ в У.

Нашей целью является нахождение предельного режима (усредненных уравнений) точной модели (1.1)-(1.9) при е \ 0 в случае, когда

0 < ^0 < то, Л0 = 0, Л1 = то ,

где

ßo = lim olu(e) , Ло = lim сил(е), Ai = lim — .

е\0 е\0 е\0 £2

Отметим, что данный случай возникает при описании быстро протекающих физических процессов таких, например, как гидро-разрыв нефтяного пласта, когда длительность процесса исчисляется долями секунд. Случай условий Дирихле был рассмотрен в [1]. Там же можно найти соответствующую библиографию.

2. Формулировка основных результатов

Существуют различные эквивалентные в смысле теории распределений формы записи уравнений (1) в каждой из областей П^ и П и краевых условий (5)-(6) на границе Г£ между поровым пространством П/ и твёрдым скелетом П^. Для нас будет удобной запись в виде интеграл(ьных т) ождеств.

Назовём функции (ю£, р£) обобщённым решением задачи (1)-(9), если они удовлетворяют условиям регулярности

0(ж, ^є),рє Є Ь2(ПТ) (10)

в области Пт = П х (0,Т), граничному условию (8), уравнению неразрывности

и>є = 0 (11)

почти всюду в области Пу, интегральному тождеству

(рЄ<и}Є ' ^Уг ~ Хє®і№{х, w£) : 0(ж, ^) - peF ■ ip +

dt dt (12)

+ ((! — Х£)аЛ0(ж, w£) — : D(x, ^)jdxdt = 0 ,

для всех гладких вектор-функций ^ = ^(x,t) таких, что

ip(x,t) = 0, х Е Si, t > 0; ip(x, Т) = ~^~(х, Т) = 0, х G П .

Очевидно, что давление p определяется с точностью до аддитивной постоянной. Фиксируем эту постоянную условием

/ p dx = 0 . (13)

В (12) через А : В обозначена свертка двух тензоров второго ранга по обоим индек-[, т.е. А : В = 1г (В* о А) = ^3а=1 А*,-В^.

Теорема 1. Пусть функции Р, дР/д£ ограничены в Ь2(ПТ):

. |F|2 +

^ Пт

5РІ2

dt

dxdt < F2 .

Тогда при всех е > 0 на произвольном интервале времени [0, Т] существует единственное обобщенное решение задачи (1)—(9) и справедливы оценки

П

■a; X'D (*.^гЮ) + v'SI (1-x')d(*.^w) < Coi12, (14)

V / 2,П V / 2,П

/а,

д2^є

+

2,Пт

д2

ді2

(і)

+ ІЬЄ(І)|І2.П < СаР

2,П

где Со не зависит от малого параметра є и і Є [0, Т].

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы теоремы 1. Тогда:

1) для функций д^є/ді существует продолжение -иє из Пє х (0, Т) в ПТ и

2,П < Со

X

.Зги6

Ж

(і)

2,П

д^Є

ді

(і)

< Со

2,П

.<92™£ Ж

X

-(*)

2,П

(15)

х, ^є)| дьх < Со / хє ип

О х

д^є

ді

' Пт

Ш х

<9г>£

Ж

^х^і < хє

«/ Пт

Ш х

д2

ді2

¿хсіі.

где С0 не зависит от малого параметра е и £ £ [0, Т];

2)существует подпоследовательность из {е > 0} и 1 -периодические по переменной у функции и(х, у, £) и Р(х, у, £), такие что последовательности {Vе} и {д^£/д£} сходятся сильно в Ь2(Пт) и слабо в Ь2((0,Т); ^^(П)) к функциям v и д^/д£ соответственно, а последовательности {0(я, Vе)} и {0(ж, дvе/дí)} сходятся двухмасштабно в Ь2(Пт) к функциям 0(я, V) + 0(у, и) и 0(я, дv/дt) + 0(у, ди/д£) соответственно;

3)последовательности {дэде/д£} и {д2эде/д£2} сходятся двухмасштабно в Ь2(Пт) к функциям v(x,t) и дv/дt(x,t) соответственно;

4) последовательности {ре} {хере} и {(1-Хе)ре} сходятся слабо в Ь2(Пт) к функциям р = р/ + рз, р/ и рз соответственно и двухмасштабно в Ь2(Пу) к функциям Р, х(у)Р и (1/(1 - т^1 - хЫ)рз(х,£) соответственно;

5) функция v обращается в ноль на части границы Б, то есть

гТ

./0

где п - вектор единичной нормали к границе Б1 в точке х.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда слабые и сильные пределы р/, рз и v удовлетворяют в Пт начально-краевой задаче

= сііуР + рР,

ді

Р = рХ : 0(х, V) — р I, &У V = 0 ,

где р = тр/ + (1 — т)р5 , т = /у х^у - пористость среды.

(16)

(17)

(18)

П

2

2

Симметричный строго положительно определенный постоянный тензор четвертого ранга АО дается ниже формулой (45).

Дифференциальные уравнения (16) замыкаются однородными краевыми и начальными условиями

v(x, 0) = 0, х € П;

v(x,t) = 0, х € Б1, (Р ■ п)(х,£) = 0, х € Б2, £> 0. (19)

3. Доказательство теоремы 1

Оценки (14) и (15) для перемещений следуют из энергетического тождества в форме

л \ ./„ЬИ *+ алуп(1 ■ *')п г ;; ® Vе- ~эг | *

Г ™ ( д2^е \ ( д2^е \ Г дР д2^е

+ Iх в г ~ж~) /п эГ“«5“ • ( }

Последнее получается после дифференцирования уравнения для по времени, умножения на д2эде/д£2 и интегрирования по частям. Заметим, что все слагаемые не границе Ге «твёрдый скелет - поровое пространство» исчезают, благодаря граничным условиям (5)-(6). Используя неравенства Гёльдера и Гронуолла в (20), получаем требуемые оценки (14) и (15) для перемещений. Эти же оценки гарантирует существование и единственность обобщенного решения задачи (1)-(9). Для этого достаточно воспользоваться методом Галеркина, рассмотрев в качестве базового пространство соленоидаль-ных функций из Ж2(П), удовлетворяющих условию (8), а в качестве базиса - любой базис, ортонормированный в скалярном произведении пространства Ь2(П).

Для оценки давлений мы используем интегральное тождество (12) в форме

рМгу

'П

'П

Р£ ( ~ -Ф + Г\ ) + (! “ Х£)а'лО (ж, IVе) ) : Щх, ф) ) Лх,

Рассматривая давление ре как линейный функционал на пространстве Ж2 (П), мы получаем

ре^у

ге

П

где С0 не зависит от малого параметра е.

Выбирая функцию ф такой, что divф = ре, мы получаем

0тах ф(£)^П = 0т4ахТ Пре(*)ПП - С0тах ЦФСОЦ^П) • (21)

О

Такой выбор ф всегда возможен (см. [2]), если положить

ф = Ур + фо ,

где

Др = ре, х € П , р = 0, х € Б, (22)

divф0 = 0, х € П , ф0 = -Ур, х € Б. (23)

Продолжая решение р задачи (22) как нечетную функцию на границе Б мы получаем

О

р €^22 (П) и 0таГ 11УР(£)И^2х(п) - С0т<т ^^п •

Далее, рассматриваем решение ф0 задачи (23) как решение системы Стокса:

Дф0 + Уд = 0, div ф0 = 0, х € П с неоднородным граничным условием

фо = —Ур, х € Б.

Задача имеет единственное решение, такое что

тах ||ф0С01к2х(п) - стах ||ур(£) ||^2х(п) , тогда и только тогда, когда

/ div(Ур)dж = Др^ж = ре^ж = 0.

,/П ./п ./П

Справедливость последнего следует из условия (13). Используя все оценки, мы получим желаемые ограничения для давления ре. В итоге, благодаря тому, что произведение двух функций ре и (1 - Хе)ре равно нулю, приходим к ограниченности каждого из давлений.

4. Доказательство теоремы 2

Первое утверждение теоремы есть результат работы [3].

Оценки (14) и (15) Теоремы 1 и теорема Нгуетсенга [4] доказывают второе утверждение теоремы.

Третье утверждение теоремы вытекает из следующей леммы.

Лемма 4.1. Слабые и двухмасштабные пределы последовательностей ^е} и {д^е/д£} совпадают.

□ Пусть Ф(х,£, у) - произвольная гладкая функция периодическая по у. Последовательность {а- }, где

[ д2и>£

°\з = J ^(ж,£) Ф(ж, ж/е)с£г, гое = (и^, «>2, «)д)

равномерно ограничена по е. Следовательно,

£^:--7г{х, ¿) Ф(ж, х/е)(1х = —— (Т% —> 0

Уп дх3д^ 71 11 ^/а\ 3

при е \ 0, что эквивалентно следующему:

Г Г дЖ дФ

-т— (ж,*,у) т^— {х,1,у)(1х(1у = 0 , = (И^1,И^2,И^з),

./П ./ У д£ ду^'

или

д^ дад

—Ом, У) = _<*,().

Переходя к двухмасштабному пределу при е \ 0 в равенстве

е ( е д^е \

^Г-вг) = 0

мы приходим к утверждению леммы. В

Пятое утверждение теоремы есть следствие леммы:

Лемма 4.2. Пусть функции

vе € Ь2(0,Т; Ж1(П))

и vе = 0 в части ае = Б0 П Б- С Б/- = дП/ П дП границы Б = дП, последовательность ^е} сходится слабо в Ь2(0, Т; Ж^П)) к функции v.

Тогда v = 0 в части Б0 границы Б, то есть

/ / |v(x + 5п,£)| ^ 0 при 5 ^ 0 ,

./0 ./ЙО

где п - вектор единичной нормали к границе Б в точке х.

□ В качестве упрощающего допущения примем Б0 = Б П {ж3 = 0}. Пусть ^(х;, £) = ^(ж1,ж2,£) - гладкая финитная в Б0 вектор-функция. Утверждение леммы эквивалентно тождеству

Г [ „ + ,/*) 11хЛ = о (24)

./0 Jп V аж3 а^э/

для некоторой гладкой функции ф = ф(ж3), такой что

ф = 1 при ж3 = 0 и ф = 0 при ж3 = 1.

Это следует из очевидного тождества

[ [ (р (ъ£Р- + ¿хШ = - [ [ ¿(кИ = Г,

Jо Jп \ аж3 аж3/ Л ./50

83 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ К.'Д Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21 если мы покажем, что

^ 0 при е ^ 0.

Для этого рассмотрим все подобласти П-^ = еУ + х(к), прилегающие к границе Б0. Пусть

V(y,t) = vе(x,í), где х = еу + х(к).

По условию леммы существует прямоугольник

а = {у' : «1 < у1 < в1, «2 < У2 < Аз}, такой что V = 0 на а0. Пусть Q = {у : а < У1 < в1, «2 < У2 < в , 0 < У3 < 1}.

Тогда действует неравенство Пуанкаре-Фридрихса

I \г>\2 ау — I |ууг;|2 ау. (25)

<5 V Q

Далее мы рассматриваем параллелепипед

С = {у : а1 < У1 < в1, 0 < У2 < 1, 0 < У3 < 1} .

Интегрируя равенство

г £ дV

Н2(у) = м2(уъ^уз)+ 2 Ъ(у1,з,у3) — (у1,8,у3)(18

о у2 дУ2

по переменной £ в интервале (а2, в2), затем по переменной у1 в интервале (а1, в1), затем по переменным у2 и у3 в интервале (0,1) и оценивая правую часть с использованием неравенства Гёльдера и (25) получим

/ |;|2 ау - с |Уу;|2 ау.

•Ус ./с

Повторяя последнюю процедуру еще раз для переменной у1, получим

J |;|2 ау - с J |Уу;|2 ау . (26)

Возвращаясь к исходным переменным, имеем

|V| ах — Се / |УхV| ах . (27)

£ /П£

(к) П(к)

Пусть Qе - объединение всех П-к), прилегающих к границе Б0. Тогда

[ |V|2 ах — Се2 [ ах . (28)

Как и в предыдущем случае, рассматривая представление

ГХ 3

|і^ег|2(ж/, 0) = |і^ег|2(ж/, а^з) -|- 2 v(x',s)--—(х1, в) сів

./о дхз

покажем, что

є |vє|2 ^х' < / ^є|2 ^х + 2є ( / |vє|2 ^х

|У^є|2 ^х

или, учитывая (28),

Следовательно

/ |vє| ^х < Сє / ^^є| ^х.

'5о .Аз£

|/е| < ( [ ( |г>£|2 сіхсіі\ ( ( [ \ір\2 сіхсіі\ < С (є [ ( \'Vxvє\2 сіхсіі\

V и а и я0 ) \3о и я0 ) V и а )

и

3е ^ 0 при е ^ 0 .

Далее покажем, что тождество (24) заключает в себе утверждение леммы. Полагаем

г т г

Тогда имеем

и(х3) = / ^(х',ф(х,і) ах'^і.

иа ия0

Ф)^-(з) + Ф^в)] с1з = 0.

(29)

Заметим, что функция и непрерывна. Следовательно, выбирая в качестве ф кусочнолинейную функцию, такую что ф(в) = 1 при 0 < в < ж3 , и ф(в) = 0 при в > ж3 + 5, переходя к пределу при 5 ^ 0, получаем следующее равенство

сХ3 аи

и(х з) = —(в) ¿в,

0 ав

[ [ (¿>(х!,t)v(x,t) с1х!сЫ = [ [ [ ^р{х')^-{х', 3,1) с1хсЫ. (30)

Jо Js0 Jо Jо Js0 дв

или

Далее, для фиксированного ж3 принимаем ^ = sgn v(x,í)• Тогда

гТ

^(х', х3, і)| ^х'^і < Сх3

Iо .У^о

о

Наконец, четвертое утверждение теоремы доказывается, наряду с другими утверждениями в нижеследующей лемме.

Лемма 4.3 Для почти всех (х, £) € Пт и у € У слабые и двухмасштабные пределы последовательностей {хере}, {(1 - Хе)ре}, {^е} и {Vе} удовлетворяют соотношениям

р-Р’ = ХР> div V = 0,

X divy V = 0 .

(31)

(32)

(33)

□ Для доказательства (31), в интегральное тождество (12) подставим пробную функцию вида фе = еф (х,£,х/е), где ф(х,£,у) - произвольная 1-периодическая, финитная в области У функция от у. Переходя к пределу при е \ 0, мы получим

У у Рв(х,£, у) = 0 , у € У5. (34)

Далее, осуществляя двухмасштабный предельный переход в равенстве

хе ((1 - хе)ре) = 0,

получим

Хр = °

что вместе с (34) доказывает (31).

Для доказательства (32) достаточно рассмотреть уравнение неразрывности в виде

[ [ • Уу?(ж, 1)с1хсЫ = 0 ,

./о ./П д£

справедливое для всякой гладкой финитной в Пт функции р, и перейти к пределу при е \ 0. Для доказательства (33), достаточно рассмотреть двухмасштабный предел в уравнении (11) при е \ 0 с пробными функциями вида еф (х/е) Н(х,£), где ф и Н -произвольные гладкие функции и учесть (32). В

5. Доказательство теоремы 3

Доказательство теоремы разобьем на ряд независимых утверждений. Лемма 4.4. Для всех (х,£) € Пт выполняется соотношение

сИу, ^0Х(О(у, V) + Ю>(я, V)) - Р/ + ^ рв) Д=0. (35)

(1-х)

(1 - т)

□ Подставляя пробную функцию вида фе = еф (х, £, х/е), где ф(х, £, у) - произвольная 1-периодическая в у функция, исчезающая на границе Б1, в интегральное тождество

(12), и переходя к пределу при е \ 0, получим уравнение (35), которое можно также переписать в виде

^ (^о (Щу, V) + В(х, V)) - ^ = 0. ■ (36)

Лемма 4.5. Пусть р = тр/ + (1 - т)р8. Тогда функции V и р удовлетворяют в Пт системе макроскопических уравнений

чдv

Ж

р— — рР = сИу {р0(тО(ж, г») + (©(у, V) )У/) — р ■ 1} , (37)

и однородному начальному условию

v(x, 0) = 0, х € П. (38)

□ Уравнения (37) и начальное условие (38) есть результат предельного перехода в

тождестве (12) с пробными функциями, не зависящими от е в Пт. В

Лемма 4.6. Слабые пределы V, р/ ир5 удовлетворяют в Пт начально-краевой задаче

дv

р— = сИуР + рР , (39)

Р = роА;0 : 0(ж, V) - р I, (40)

div V = 0 , (41)

-е

где симметричный строго положительно определенный тензор четвертого ранга А0 определён ниже формулой (45).

Дифференциальные уравнения (39) дополняются однородными начальными и краевыми условиями

v(x, 0) = 0 , х € П; v(x,t) = 0, х € Б1, (Р ■ п)(х,£) = 0, х € Б2, ¿> 0. (42)

□ Усредненные уравнения (39) следуют из макроскопических уравнений (36), после подстановки в них выражения

ро(0(у, V))у/ = роА{ : Р(ж, V).

В свою очередь, последняя формула есть результат решения уравнений (33) и (36) на элементарной ячейке У/.

Действительно, полагая

3

V =£ V(-'){у)С,г,

¿,.7=1

1 \ 3

¿,.7 = 1

где

°^хл)=1{^іхл)+Шіхл)

получим следующую периодическую краевую задачу в У:

аіуу (х (о(у, V(у)) - р(у)і + Iу)) = о, (43)

х аіУу V(у) = 0 . (44)

Как следует из предположения о геометрии "жидкой” части ячейки У^, задача (43)-(44) имеет единственное решение, с точностью до постоянного вектора. С целью исключения произвола потребуем, чтобы

(V (у))у, = 0.

Таким образом

3

Ао = т 1 + Л{ , Л{ = ^ (Р(у, V(у)) )У/ 0 1у, (45)

¿,7=1

Симметричность тензора А^ следует из симметричности тензора А{. Симметричность последнего следует из равенства

(Р(у, V(у)) )У/ : 1Ы = -(Р(у, V(у)) : Р(у, V(ы)) )У/ (46)

которое, в свою очередь, является результатом умножения уравнения (43) для функции

V(і7) на V(ы) и интегрирования по частям.

-Є

Это же равенство доставляет нам положительную определенность тензора Ао. Действительно, пусть Z = (^у) есть произвольная симметричная матрица. Полагая

г = х; V (у%

¿,7=1

и учитывая (46) получаем

3

(Р(у, г) )у/ : Z = -(о(у, г): о(у, г) )у/.

-1-І- f Последнее равенство и определение тензора Ао дают

(А : Z) : Z = ((Р(у, г) + Z) : (Р(у, г) + Z))y/

-е

Строгая положительная определенность тензора А0 следует теперь из вышеприведенного равенства и геометрии элементарной ячейки У/. А именно, положим (А0 : ^) : Z = 0 для некоторой матрицы Z, такой что Z : Z =1. Тогда (Ю(у, Z) + Z) = 0, что возможно если, и только если Z - линейная функция переменной у. С другой стороны, все линейные периодические функции в У/ исчерпываются постоянными. Наконец, нормировка (V ^ Yf = 0 влечет равенство Z = 0. Последнее невозможно, поскольку функции V(г^') линейно независимы. В

Литература

1. Meirmanov А. Homogenized models for a short-time filtration in elastic porous media // EJDE. - 2007. - 18. - P.481-496.

2. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - М.: Наука,1970.

3. Conca C. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics // J. math. pures et appl. - 1985. - 64. - P.31-75.

4. Nguetseng G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization // SIAM J. Math. Anal. - 1989. - 20. - P.608-623.

MATHEMATICAL MODELING OF SHORT-TIME FILTRATION OF IMCOMPRESSIBLE FLUID. THE AVERAGE OF PERIODIC STRUCTURES AND THE ONE-VELOCITY CONTINUUM I.V. Nekrasova

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The linear system of differential equations describing the joint motion of elastic porous body and the viscous imcompressible fluid that occupies its porous space. We suppose that the porous space is periodical and the characteristic time of process is small enough. It is proposed the deduction of averaged equations which are non-isotropic Stokes equations in the one-velocity continuum. Our proof is based on Nguetseng’s two-scale convergence method at the average in periodic structures.

Key words: Stokes equations, hydraulic discontinuity, two-scale convergence, homogenization of periodic structures.