Макроскопические модели фильтрации жидкости из водоема в грунт Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 74F10

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ

ИЗ ВОДОЕМА В ГРУНТ

Н.С. Ерыгина

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, 308015, г. Белгород, e-mail: [email protected]

Аннотация. Статья посвящена математической модели фильтрации жидкости из водоема в упругий пористый грунт под действием силы тяжести. Динамика жидкости описывается системой нестационарных уравнений Стокса для несжимаемой жидкости, а перемещение упругого скелета - уравнениями Ламе.

Ключевые слова: фильтрация жидкостей, уравнения Ламе и Стокса, усреднение периодических структур.

Введение. В настоящей работе выводятся макроскопические математические модели фильтрации жидкости из водоема в грунт, полученные усреднением точной математической модели описывающей данный процесс на микроскопическом уровне. Этот подход был раннее использован В. Ягером и А. Микеличем [1]- [3] для специальной геометрии порового пространства (несвязный твердый скелет) в пространстве К2 (плоский случай).

Задача решается в пространстве К3 для произвольной геометрии порового пространства используя методы, предложенные в работах А.М. Мейрманова [4]- [7].

В этих работах были введены безразмерные критерии физических процессов т0, ^0, и Ао, характеризующие конкретный физический процесс. Так, например, медленной фильтрации жидкости в пористом упругом грунте соответствуют параметры т0 = 0, ^0 = 0 и А0 > 0, а фильтрации жидкости в абсолютно твердом пористом грунте соответствуют параметры т0 = 0, ^0 = 0 и А0 = 0.

В настоящей статье выводятся усредненные уравнения для случая ^0 = 0, т0 > 0 и А0 > 0, после чего осуществляется предельный переход при т0 ^ 0.

1. Постановка задачи. Исследуемая область Q включает в себя область О,0 - водоем, область О - пористый грунт и их общую границу Б0: Q = О0 и О и Б0. Область Q лежит в полупространстве {х3 < 0}. Предполагается, что область О есть периодическое повторение элементарной ячейки У£ = еУ, где У = (0,1)3, подобласть У3 С У моделирует твердый скелет в У, подобласть У/ С У поровое пространство, а поверхность 7 = дУ/ Р| ЗУ3 границу «твердый скелет - поровое пространство». Твердый скелет О^ есть периодическое повторение элементарной ячейки еУ3, поровое пространство О/ -элементарной ячейки еУ/, а граница Г — периодическое повторение в О границы е7.

Рис. 1. Фильтрация из водоема в грунт.

Предполагается также, что часть Б1 внешней границы Б области Q принадлежит плоскости {х3 = 0}, е = —е3,Б2 = Б\Б1 является поверхностью класса С2.

Движение жидкости в области О0 при £ > 0 описывается нестационарной системой уравнений Стокса

V- = 0, (1)

товг

д2ює

V ■ Pf + Qf Є

(2)

где

а совместное движение упругого скелета и жидкости в О при £ > 0 описывается уравнением неразрывности (1) и уравнением сохранения моментов

.д'2ги ~д¥

V ■ Р + дєє

(3)

где

и

р = \ м/;+ (і - хє)^оЩх,гиє)-рі.

в = в/х£ + в«(1 — х£) • (4)

На общей границе Б0 = дО П дО0 при £ > 0 выполняются условия непрерывности

Иш ^£(ж,£) = Иш ^£(ж,£)

є л0

х — х х Є Л

(5)

Иш Р^(ж,£) ■ п(ж0) = Пт Р(ж, І) ■ п(ж0)

(6)

х є Л0

! Є Л

х —— х

■

х —— х

х — х

для перемещений и нормальных напряжений. Здесь 0(х, ю) - симметрическая часть градиента Vw, I - единичный тензор, п(х0) — вектор внешней нормали к границе Б0

в точке ж0 Є 5°, є = —є3.

На границе Б1 при £ > 0 задается условие Неймана

Р/(х, £) ■ п = — р0(х, £)п , а на границе Б2 при £ > 0 — условие Дирихле

ю£(х, £) = 0 • Задача замыкается начальными условиями

и!є(х, 0)

дгиє

~дГ

(7)

(8)

(9)

Характеристическая функция хє(ж) области определяется выражением

Xе(®) = (1 - Ох (7)

где £ = С(х) — характеристическая функция области О0 в Q, х(у) ская функция У/ (жидкой части элементарной ячейки) [8]. Предполагается, что существуют предельные значения

характеристиче-

Ит {є) = іі0 , Ит

є^0

є^0

2. Основные результаты.

Определение. Будем говорить, что функции |^є, рє} такие, что

р‘ є ысм, «>', В(г,«>'), (< + (і - С)х')в(;г,^) є ь2(дт),

являются обобщенным решением задачи (1)-(9), если они удовлетворяют уравнению неразрывности (1) почти всюду в области Q х (0,Т), граничному условию (8), начальному условию (9) для функции ^є и интегральному тождеству

^ ^ + (СР/ + (1 - С)Р) : 0(^, ч>)^с1хсИ+

J ! ^£єє ■ р — V- (рр0)^ = 0 • (10)

для любых гладких функций р таких, что р(ж,і) = 0 на границе 5^ и <^(ж,Т) = 0, ж Є Q.

Здесь ()е = (С + (і— С)хє)^/ +(1 — С)(1 — хє)^.

Теорема 1. Пусть

Р0 = Р0(£) •

Тогда для любого е > 0 и произвольного промежутка времени [0; Т] существует единственное обобщенное решение задачи (1)-(9) и справедлива оценка

max

0<t<T

Q

d2w£ 2 dw£

dt2 + Т0 dt

+ Ао(1 - С)(1 - X£)|D(x . w)|2)dx+

cT

(\рєї2 + + і1 ~ 0хє) 'jdxdt^Co, (11)

Jо ¿я

где С0 - произвольная константа, не зависящая от т0 и є.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1,

^0 = 0, 0 < Л0, т0 < то , ^1 = то ,

функции |^є,рє} являются обобщенным решением задачи (1)-(9) и ^ (^є) яв-

ляется продолжением из области П в область П .

Тогда последовательности {w£}, L2(Qt) и L2(Qt) к функциям v, w,

(dw£

- Z)

ö2w

3t2

и {p} сходятся слабо в

ность {wS} сходится слабо в W^’^Qt) к функции ws при є ^ 0. Предельное давление

d ws

~w

и p соответственно при є ^ 0. Последователь-

p и предельная скорость жидкости v удовлетворяет системе

V ■ v = 0 .

dv ^

ToQf~Q^ + Vp= Qfe

(12)

в области О0 при £ > 0. В области О при £ > 0 предельные функции и р являются решением усредненной системы, состоящей из усредненного уравнения баланса

ToQ-

ß2

w

dt2

V ■ P0s) + Q , e ,

P0s) = AoNO : D(x, w) - p I

и уравнения неразрывности

V • ws = 0 .

Это решение удовлетворяет условию непрерывности

lim ws(x,t) • n(x0) = lim w(x,t) • n(x0),

ж —— x0 G S0 ж —— x0 G S0

ж G П x G Hq

lim P0s)(x,t) • n(x0) = — lim p(x,t) • n(x0)

ж ^ жи Є Su ж Є П

ж ^ жи Є Su

' Є Пи

(13)

(14)

(15)

(16) (17)

2

на общей границе S0, граничному условию

ws = 0, (18)

на границе S2, граничному условию

p(x,t)= p0(t), (19)

на границе Sq = S1 Г\ Qo п граничному условию

P0s)(x,t) ■ n(x0) = —p0(t) ■ n(x0), (20)

на границе S} = S1 П П.

В (13)-(20) n(x0) — единичный вектор номали к S0 ( или SJ) в точке х0 Є S0 ( или SJ),

Q = m/ + (1 — m), m = J x(y)dy,

N0 — симметричный положительно определенный тензор четвертого порядка, который определяется из решения вспомогательной задачи на элементарной ячейке.

Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 2 т0 = 1/n и p(n), w(n) и w^ — обобщенное

решение задачи (12)-(20). Тогда последовательность {pn} сходится слабо в L2(QT) к функции p и последовательность {w^} сходится слабо в W1,0(nT) к функции ws при n ^ то. Предельное давление жидкости p в области П0 при t > 0 равно гидростатическому давлению

p(x,t)= p0(t) — Хз = p0(x,t) , (21)

Предельные функции являются решением усредненной системы в области П при t > 0, состоящей из усредненного уравнения баланса

V ■ P0s) + Q e = 0 , (22)

и уравнения неразрывности (15). Это решение удовлетворяет граничному условию (18) на границе

S2,

граничному условию (20) на границе SJ и граничному условию

lim P0s)(x,t) ■ n(x0) = —p0(x0,t) ■ n(x0), (23)

X —— x x Є П

на общей границе Б0. При этом тензор Р0^(х,£) определяется как и в формулировке предыдущей теоремы.

3. Доказательство теоремы 1. Доказательство теоремы основывается на энергетических тождествах

Q

/ діиє 2 \

(г0дє -Qj-(x,t) + Ао(1 - 0(1 - xe)|B(:r,we(a^i))|2JdaH-

Г ^ Г / \ 2

+ aß (С + (1 - С)х£) r)J dardr

Ґ Г öw£

I J дєе- ^ (x,T)dxdr, (24)

'Я

Т0 д

д2

ю£

2 / дю£ \ 2\

д12 (х^) + V1 - С)(! - Xе)

д2ю£ . \ 2

(ж,^

а,

0Я

(С + (1 - с)х£)|»(х,

дт2

1

2

^ж^т

т0 д

Я

д2

ю£

д£2

(х, 0)^ж = 10 • (25)

Для нахождения решения задачи (1)-(9) используем метод Галеркина. Этот метод показывает, что при любом £ ^ 0 и произвольной соленоидальной функции ^ Е (^), равной нулю при х Е Б2, выполняется равенство

г д2 1ю£ ['

тод£^^~(х^) ■ (р(х)ёх + (<Р/ + (1 - <)Р)(ж,£) : О (ж, (р(х))ёх

IЯ ./я

д£е ■ ^(х)^ж.

Я

При £ = 0 £Р/ + (1 — С)Р = 0 в силу начального условия. В итоге получим

д2

т0д£ (х, 0) • (р(х)с1х = дЕе-(р{х)(1х.

Я

д£2

Я

д2ю£

Согласно (1), (ж, 0) является соленоидальной функцией в С}. Возьмем в качестве

д£2

пробной функции функцию

д2ю£

Т0 д

Я

д2ю£

д£2

(х,0)

^ж

д е ■

д2

ю£

Я

д£2

(х, 0)^ж.

Тогда

Я

£| д2ю£. 2 С0

г0д Нтг(ж>°) ^ж ^ — •

д£2 Т0

д2

ю£

Последнее отношение и (25) доказывает оценку для производной в (11).

д£2

Для оценки правой части (24) используется представление

д£ = д/ + (1 — С)(1 — х£)( д«— д/ )> е = жз

1

2

£

2

формула интегрирования по частям и уравнение неразрывности (1)

Г дю£ , Г дю£

о* е • —-—аж = —«/• (V хз) ■ ——аж = 0 .

' ]Я дЬ ^ дЬ

Тогда

д е

Я

ди)е

~т

Г дю£ Г

сЫт = I (V хз) ■ + (&> ~ £/) / (! “ Х£)е

Я

ди)е

~Ж

^ж

дю£

(& - £/) у (1 - Х£)е • ■

Используя неравенства Гельдера и Коши

К{ I (вз- 0/)2^)5( / (1 - Xе) ^

дю£

дю£

Пусть ю« = Еп| (ю£) — продолжение функции ю£ из области О« в область О (Здесь используются результаты о продолжении полученные С. Сопса [9]). Тогда из неравенства Пуанкаре-Фридрихса

дю£

(1 - Xе) Лх= И1 - х£)

дю

¿ж ^ С / (1 — х£) Jп

V

дю

и неравенства Корна дю«

дю° 2 I / дю£\ 2 I / дюс л

(1-х£)У^ ¿^¿7 £■: 1 \ ) ::(ж- ™') с1х = с у и \ )(1 о ::(ж. )

дю£

получаем соотношение

которое вместе с (25) доказывает (11).

Для получения оценки на давление р£ интегральное тождество (10) записывается в виде:

I p£V■<fdxdt = J ^(( + (1 - +

+ (1 — С)(1 — Х£)^0®(ж, ю£) : 0(ж, ^)^ж^£ — / р£е ■ р^ж^£ — / р^р^ж^£.

/ ,/ Ят ,/ Ят

Такое представление и оценка (11) позволяют записать неравенство

' р£ V ■ р ^ж

'Ят

^ С( / |V^| ^ж^

Ят

(26)

п

п

п

2

2

п

п

2

п

2

Далее в качестве пробной функции выбирается функция р(ж, ¿), удовлетворяющая условиям:

V- р = рє и / |Ур|2^ж^ ^ / |рє|2^х^і.

и Ят и

Для этого представим ее в виде суммы р = р0 + V'0, где

AV' = р£, х Є Q; ф\s2 = 0

0X3

= 0; (27)

Si

V • р0 = 0 , x е Q ; р0 + V-0 = 0 , x е S2. (28)

Согласно результатам, изложенным в монографиях О.А. Ладыженской [10] и [11], каждая из задач (27), (28) имеет единственное решение, причем справедливы оценки

ф Є І2<(0,Г); W|(Q)), I (IlV'Ilf)2* « с/ (p')2dx<ii

IQt

^0 Є L2((0,T); W(Q)), Г (»P0«21))2di < C f (IWl22))2Ä.

«/ 0 J Qt

Тогда неравенство (26) примет вид

(jf)2dxdt. {p£)2dxdt^ ,

Ят

и, окончательно, получим

[ {p£)2dxdt\ ^С.

Ят

Доказательство теоремы 2. Основываясь на оценках (11) заключаем, что при е ^ 0 имеет место:

р£ ^ р слабо в Ь2(От) ,

ю£ ^ ю(х,£) слабо и двухмасштабно в Ь2(^т) , ю« ^ ю«(х,£) слабо и двухмасштабно в Ь2(^т) , дю£ дю

----> слабо и двухмасштабно в Ь2(<5г) ,

дю£ дю«

а —>■ (ж, ¿) слабо и двухмасштабно в Ь2(<5г) ,

д2ю£ дю2

—> (ж, ¿) слабо и двухмасштабно в L2(Qy)

3t2 3t2

ö2wS öw2

S

—>• g (ж, ¿) слабо и двухмасштабно в L2(Qy)

öt2 öt2

w(x,t) = ws(x,t), x Є П, t> 0 .

D(x, wS) ^ D(x, ws) + Dy, U(x, y,t)) двухмасштабно в L2 (Qt )

Переходя к пределу при е ^ 0 в интегральном тождестве (10) с пробной функцией ^ = ^(х, £), равной нулю при £ = Т и на Б2, мы получаем макроскопическое уравнение баланса моментов в форме интегрального тождества

J ! V • ((¿>р°)с1хсИ — ! J {т0д^^- ■ + де ■ (¿>)с1хсИ+

гТ

4 \0((1 — т /0 Jп '

г Т

^\0((1 — т)Р(ж, ю«) + (0(ж, и))у) — р : 0(ж, ^)^ж^£

I J о (тод/^- • ^ + д/е ■ <р + р(У • <р))<1х<И.

Можно показать, что

(1 — т)Р(ж, ю«) + (0(ж, и))у = N0 : 0(ж, ю«) • Таким образом, последнее тождество примет вид

Ст Г Гт г д^ю д

V • ((¿>р°)с1хсИ — (т0д-^- ■ + де ■ (¿>)с1хсИ+

,/0 ./я «^0 ./п д£ д£

Т(

1 {\ N0 '0 Лп

г Т

(\оN0 : 0(ж, ю«) — р I) : 0(ж, ^)^ж^£

J J o(rogf^■^- +gfe■(p+p{V ■(p))dxdt. (29)

Уравнение неразрывности (1) для ю£ преобразуется в уравнение неразрывности в форме интегрального тождества

[ ( V £ ■ ю^ж^£ = 0 (30)

0Я

для любой гладкой функции £ равной нулю на Б1 х (0, Т). Это тождество предполагает уравнение неразрывности в (12), уравнение неразрывности (15), и условие непрерывности (16) на общей границе Б0.

Интегральное тождество (29) включает динамическое уравнение (12), динамическое уравнение (13), условие непрерывности (17) на общей границе Б0, граничное условие (20) на границе Б11 и граничное условие (19) на границе Б01 .

Получим формулу для нахождения тензора N0. Пусть Е Ш2(К.) решение задачи

V, ■ ((1 — х)(В(„, и0У)) + .Г — Р0У,1)) =0, (1 — х)^ ■ и0‘"я =0 , у Е У

такое, что (и0г,Я)у =0 и пусть

з

и = £ и0,')(у)В„.(х,(),

*,.7=1

где

і) = ^ ) (ж, і) , У)8 = (иЬ Н2, Из),

Р(ж, адв) = Д,- І.

і?=і

Таким образом,

3 3

Р(у, и) = ^] Р(у, И')Д,- = ^ Р(у, И)(1 : Р(ж, ю*)) і?=і і?=і

(^ Р(у, И) 0 І) : Р(ж, адв) = В0(у) : Р(ж, адв) і?=і

и

N0 = (1 — т) ^ 1 0 1 ^ (Р(у, и0г’^)))у3 0 1•

*,^'=1 *,^'=1

Свойства тензора N0 следуют из интегрального тождества

>Уе

Р(у, И) : Р(у, И0к1) + і : Р(у, И0Ы) Ыу = 0

Доказательство теоремы 3. Заметим, что оценки (11) справедливы для функций р(п) и ю«п). Тогда из (11) и (12) следует, что Vр(п) € Ь2((0,Т); Ь2(О0)) и справедливы следующие оценки

шах [ (1С 0<*<Т \ п2

З2 ^(га)

Зі2

шах [ (-( 0<*<т,/д V п

2 1

+ ^(1-0 п2

З2™іга)

Зі2

Зги (™) 21 дws^

Зі + -(1-0 п Зі

+ Л0(1 - С)|Ю(ж, ^п))|2)^ж+

(|р(га)|2 + С IVр(га)|2)гіжгіі ^ С0 . (31)

Переписывая (29) в виде

/ / V • (<£р°)сіхсіі — І I (—д—+ де ■ (р)с1хсИ+

І0 Л Зп' п Зі Зі )

¡- т л

(Л0№ : 0(ж, ^га)) — р(п) I) : Ю(ж, ^)^ж^і

0п

т

/1 З?і?(п) З^ \

\~Sf~Qf~ ' ~ої + е ' ^ +Р(,г) (V • (¿>)^с1хсЫ , (32)

/0 ./по V п Зі

2

2

заключаем, что

р(га)(х,£) = р0(£) , X Е 50 , ¿> 0, (33)

как след функции из Ь2((0,Т); Ж2(О0)).

Из оценок (31) следует, что из последовательности {п} можно выделить такие номера, что подпоследовательности (для простоты оставим старое обозначение) сходятся

1 д?л(га)

^-----У 0 сильно Ь2((0,Т); Ь2(П)) ,

п т 47

1 Зад(п)

^-------0 сильно £2((0,Т); Ь2{П0)) ,

Vр(п) ^ Vр0 , р(п) ^р0 слабо ¿2((0,Т); ¿2(О0)) ,

р(п) ^р, ад(га) ^ , V^(га) ^Vад* слабо ¿2((0,Т); ¿2(О))

и

при n ^ то.

Переходя к пределу в (32) и в (30) при n ^ то, получим интегральное тождество

I I V^ (^p0)dxdt — I I ( ßf e • ^ + po (V • ^)) dxdt +

./0 JQ Jo ,/п0

J j (^(AoN0 : D(x, ws) — p I) : D(x, ^) — £ e • ^ dxdt = 0 , (34)

и уравнение неразрывности (15).

Интегральное тождество (34) очевидно, содержит (20)-(23).

Литература

1. Jäger W., Mikelic A. On the flow conditions at the boundary between a porous medium and an impervious solid //in "Progress in PDE: the Metz surveys 3", eds. M. Chipot, J. Saint Jean Paulin et I. Shafrir, Pitman reseach Notes in Mathematics / London: Longman Scintific and Technical, 1994. - №314. - P.145-161.

2. Jäger W., Mikelic A. On the boundary conditions at the contact interface between a porous medium and a free fluid // Ann. Sc. norm. Super. Pisa, Cl, Sci.-Ser. IV. - 1996. - XXIII, Fasc. 3. - P.403-465.

3. Jäger W., Mikelic A. On the boundary conditions at the contact interface between two porous media //in "PDE, Theory and numerical solution", eds. W. Jäger, J. Necas, O. John, K. Najzar and J. Stara, Chapman and Hall/CRC Research notes in Math. / London: CRS Press, 1999. - №406. - P.175-186.

4. Meirmanov A. Nguetseng’s two-scale convergence Method for filtration and seismic acoustic problems in elastic porous media // Siberian Mathematical Journal 2007. - 48. -№. 3. -P.519-538.

5. Meirmanov A. Homogenized models for filtration and for acoustic wave propagation in thermoelastic porous media // Euro. Jnl. of Applied Mathematics. - 2008. - 19. - P.259-284.

6. Meirmanov A. Double porosity models in incompressible poroelastic media // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 2010. - 20. - №4. - P.635-659.

7. Meirmanov A. A description of seismic acoustic wave propagation in porous media via homogenization // SIAM J. Math. Anal. - 2008. - 40. - №3. - P.1272-1289.

8. Гриценко С.А. Ерыгина Н.С. О корректности задачи фильтрации из водоема в грунт: случай вязкоупругой фильтрации // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. -2013. - №5;(148). - Вып.30. - С.142-153.

9. Conca C. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics // Math. Pures et Appl. - 1985. - 64. - P.31-75.

10. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / М.: Наука, 1970. - 288 c.

11. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики / М.: Наука, 1973. - 408 с.

MACROSCOPIC MODELS OF LIQUID FILTRATION FROM RESERVOIR INTO POROUS MEDIUM

N.S. Erygina

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. Filtration from reservoir into porous medium under gravity is investigated. The motion of the liquid is governed by the non-stationary Stokes’ system and the joint motion of the poroelastic medium is governed by the Lame system.

Key words: filtration of liquids, homogenization, Lame’s and Stokes’ equations.