CC BY
19
10 (10) - 2008
Фондовый рынок
МОДЕЛИРОВАНИЕ БАНКОВСКОГО ПОРТФЕЛЯ ПРИ РАЗМЕЩЕНИИ РЕСУРСОВ НА ФОНДОВОМ РЫНКЕ
И.Н. РЫКОВА,
доктор экономических наук, профессор кафедры «Финансы и кредит» Академии труда и социальных отношений, г. Москва
Принятие решений в финансовом и банковском менеджменте опирается на точный расчет и количественную оценку последствий принимаемых решений. За последние 30 лет финансовая теория и практика все в большей степени опирается на математические (в частности, статистические и эконометрические) методы, используя количественные приемы, ранее применявшиеся в физике и технике. Развитие и адаптация техники количественного анализа к экономике уже составляют научную новизну, принося особенности в решение, которых принципиально не могло быть в технических приложениях, но которые характерны для современных финансовых рынков.
Конечно же, наиболее существенной целью любого финансового исследования является получение наилучших (в каком-то смысле) результатов. Поэтому основная часть работы посвящена оптимизации, в частности определению структуры оптимальных портфелей банков при работе на финансовых рынках, как в детерминированном, так и в стохастическом (оптимальный — как имеющий минимальную дисперсию при заданном уровне дохода) смыслах.
Большинство оптимизационных методов (например, методы линейного программирования) работает со статичной информацией (устано-
вившимися или асимптотическими значениями). Главным отличием финансовых расчетов является динамика всех процессов. Мы говорим о временной стоимости денег, о том, что будущая стоимость денег кредитора неопределенна и т. д.
Поэтому основным математическим инструментом должен стать один из методов динамической оптимизации (детерминированный или стохастический). Тяготение к стохастике легко объяснить природой экономических, финансовых процессов, хотя справедливости ради заметим, что в развитых странах со стабильной экономикой размеры и сроки выплат выдерживаются очень точно.
Оптимизационные по сути задачи диктуют необходимость разработки новых научно обоснованных адекватных методов управления финансовыми инструментами прогнозирования финансовых потрясений, что чрезвычайно актуально в современной динамичной и непредсказуемой общественной жизни страны.
В основе разделения явлений, процессов,
подходов на детерминированные и случайные лежит принцип причинной обусловленности всех явлений. Общим во всех детерминированных математических схемах реальных процессов является то, что, во-первых, состояние изучаемой системы считается исчерпы-
...основная часть работы посвящена оптимизации, в частности определению структуры оптимальных портфелей банков при работе на финансовых рынках, как в детерминированном, так и в стохастическом (оптимальный -как имеющий минимальную дисперсию при заданном уровне дохода) смыслах.
вающим образом, определенным посредством задания некоторого математического объекта ш (системы п действительных чисел, одной или нескольких функций и т. п.), во-вторых, последующие значения для моментов времени I > однозначно определяются по значению ш 0, соответствующему начальному моменту времени ¿0.
ш = F(0 ш0, /).
Описанная схема является точным и прямым выражением детерминированности реальных явлений — физического принципа причинности. Таким образом, поведение как детерминированной, так и стохастической системы прогнозируемо «по определению». Не будем забывать, что в детерминированной системе энтропия равна нулю, а объем информации максимален; с ростом неопределенности энтропия растет, а информационный запас падает, так что при полном хаосе информация равна нулю.
Философским дополнением, еще одним важным свойством детерминированности является непрерывность. Обширное применение непрерывных (аналитических) функций к изучению природы, общественных явлений, экономики и т. п. придает особый оттенок научно-философскому мировоззрению. Еще Н. В. Бугаев на I Международном конгрессе математиков (1898 г.) называл его аналитическим мировоззрением.
Первое философское размышление касается детерминированности и стохастичности в прогнозировании. Действительно, возможно ли детерминированное прогнозирование, если возможности прогнозирования или предсказания будущего многие относят только к стохастическим процессам?
Самым удивительным здесь является термин «детерминированное», который в переводе с латыни означает «предсказуемое» и в работе А. М. Кочкарова1 написано «... предсказуемая (детерминированная) структура», со ссылкой на С. П. Курдюмова2. Если греческое слово stochastikos означает «умеющий угадывать, проницательный», то и прогнозирование случайных процессов (экстраполирование — но к этому слову мы еще вернемся) определяется как предсказание значения случайного процесса в некоторый будущий момент времени по наблюденным значениям этого процесса в прошлом и настоящем.
1 КочкаровА. М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. Нижний Архыз. Изд. Центр «CYGNUS», 1998. - 170 с.
2 Курдюмов С. П., Малинецкий Р. Р., Потапов А. Б. Нестацио-
нарные структуры, динамический хаос. клеточные автоматы // Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. М.: Наука, 1996. С. 95 - 164.
Интересно, что в английском языке to determine среди многих смыслов («определить, вычислить, разрешать, оканчивать,...») имеет и такие: «предопределять, предначертать», а determination имеет в переводе и значения: «направление, стремление, тенденция». Такое аналитическое миросозерцание приводит «к полному детерминизму» (Н.В. Бугаев).
Если это так, то стохастическое прогнозирование, т. е. возможность предсказать поведение системы в будущем, опирается на «полный детерминизм». Синергетика родилась как результат попытки увидеть новый, более высокий уровень единства природы за уже необозримым количеством уравнений, задач. Казалось бы, что столь сложное и редкое проявление принципов самоорганизации не имеет никакого отношения к финансовому рынку. Но это не так. Например, в связи с возрастающей неустойчивостью финансовых рынков и растущим значением производных инструментов и деривативов в управлении рисками возрос интерес к нестационарности финансовых рисков.
Б. Мандлеброт3 отметил, что большие изменения цен активов влекут за собой большие изменения в сторону как возрастания, так и убывания, в то время как малые изменения влекут малые изменения. В частности, финансовые переменные имеют спокойные периоды, за которыми следуют периоды относительной нестабильности, т. е. нестабильность является не постоянной, а изменяющейся во времени. Разработаны эконометрические инструменты предсказания будущей нестабильности или волатильности финансовых временных рядов (модель GARCH, ACD, ARMA и др.).
Существо принятия решения коммерческими банками на финансовом рынке, конечно же, связано со случайными динамическими (т. е. во времени) изменениями рынка. Но если бы мы хотели определить дни, виды и объемы покупки и продажи разных финансовых инструментов, то нам пришлось бы обратиться к динамическому многоэтапному процессу моделирования, где этапы соответствовали бы дням (срокам) принятия решений.
Р. Беллман определяет динамическое планирования как многоэтапный процесс, состоящий из последовательности операций, в котором результат предыдущих операций можно использовать для управления ходом будущих операций. В этих задачах различаются два типа операций: операции, где
3 Mandelbort B. B. New methods in statistical economics// Journal of Political Economy, 1963, 71, 421 - 440.
результат полностью определен, и операции, где результат не определен, но может быть предсказан с помощью некоторого распределения вероятностей. Операции первого типа Беллман предлагает называть детерминистическими, операции второго типа — стохастическими.
Если на момент поиска оптимума и планирования покупок-продаж мы будем пользоваться известными (фиксированными) параметрами (спо-ты), само решение будет фиксировано во времени, по видам финансовых инструментов, по объему покупок-продаж — мы имеем детерминистическую операцию и детерминистский подход.
«Сложные явления современной жизни должны в большей или меньшей степени опираться на теорию динамического программирования»4. Задачи современной актуарной математики характеризуются следующими отличительными свойствами:
1. В любой момент времени I состояние процесса описывается набором немногих параметров. Портфель кредитной организации на финансовом рынке (по количеству типов бумаг) невелик, характеристики бумаг и их частей невелики по объему.
2. Операция выбора состоит в преобразовании этого набора параметров в такой же набор с другими численными значениями. Состав портфеля изменяется, некоторые активы исчезают, другие появляются, но модель его остается прежней формы.
3. Прошлая история системы не имеет значения при определении будущих действий (марковское свойство). Это свойство весьма помогает при поэтапной работе, параметры предыдущего этапа во время работы рассчитываемого этапа могут совершенно изменить свои значения (свойство квазистохастичности).
4. Последовательность выборов будем называть стратегией. Стратегии, наиболее желательные с точки зрения какого-либо заранее заданного критерия, будут называться оптимальными стратегиями.
5. Принцип оптимальности. Оптимальная стратегия имеет то свойство, что, каково бы ни было начальное состояние и начальный выбор, остальные выборы должны составлять оптимальную стратегию относительно состояния, возникшего вследствие первого выбора.
Задачи динамического программирования, с одной стороны, специфичны, ибо рассматривают, как правило, непрерывный процесс во времени; с
4 Современная математика для инженеров / Под ред. Э. Ф. Беккенбаха. М.: ИИЛ, 1958. 500 с.
другой стороны, они во многом универсальны.
Рассмотрим механизм комплексного решения задачи оптимального управления, механизм формирования информационной системы, в которой модель динамического программирования работает с математическими моделями финансовых инструментов. Для иллюстрации была выбрана модель, в которой оптимизируется доход к моменту времени Т.
Предлагаемая методика предусматривает ввод в начальный момент времени начального наполнения портфеля, тогда точка Е0 (рис. 1) будет однозначно определять всю область Ё0Г
Наглядное графическое представление о работе модели, взаимодействии всех его блоков, полученных результатах удобно иллюстрировать двумерными графиками, что сводит число финансовых инструментов в управляемом портфеле к двум. Хотя это далеко от возможностей компьютерной реализации, когда число инструментов может быть любым. Тем не менее все основные идеи и операции в этой демонстрации хорошо просматриваются. Тогда простейшая задача оптимизации банковского финансового портфеля, как задача распределения ресурсов, выглядит следующим образом: имеется заданное начальное количество средств Q0, которое надо распределить между двумя видами финансовых инструментов И и G.
Средства, будучи вложены в базисы двух видов, приносят определенный доход. Количество средств х, вложенное в бумаги И, за один этап приносит доход/ (х), а за произвольное время I—доход/(х, I). При этом количество 5-средств уменьшается, так что к концу этапа от количества средств х остается остаток, равный ф (х, I), ф (х, I) < х.
V
Рис. 1. Графическая модель начального состояния портфеля ценных бумаг
Аналогично количество средств у, вложенное в актив G, приносит за этап доход g (у) и уменьшается
до V (У, V (У, $ ^У.
По истечении какого-то интервала времени (или в любой текущий момент времени $ оставшиеся средства заново распределяются между активами. Новых средств не поступает, и в активы вкладываются все оставшиеся в наличии средства.
Требуется найти такой способ управления банковскими ресурсами — какие средства, в какие периоды и в какие активы вкладывать, — при котором суммарный доход за время Тк (L этапов) обращается в максимум.
Итак, портфель Е — активы с вложенными в них средствами, доход Z — В-форма всех активов за весь период. Задание — планировать на L периодов — дает естественное членение процесса на L шагов (этапов). Нет причин, вынуждающих не сделать длительность этапа в один день, что позволяет решать любую финансовую задачу наиболее точно. Искусственно будем разбивать каждый шаг на два полушага, на первом происходит перераспределение средств, на втором — средства только тратятся и происходит образование дохода.
Пусть перед началом 1-го этапа (до перераспределения средств) будем характеризовать количественно средства х'-1 У -1 оставшиеся в бумагах Fи G после предыдущего (I — 1) -го шага. На первом шаге нам просто дано некоторое количество средств
После первого полушага 1-го шага будем характеризовать количество средств х,,, у,, вкладываемых в базисные активы F и G на данном шаге. В результате второго полушага 1-го шага (расходования средств) эти значения уменьшатся и станут равными х', у',, после чего перейдем к (I + 1) -му шагу. Состояние портфеля отобразим точкой Е в фазовом пространстве Д АОВ (рис. 1). Вложения неотрицательны, т. е. х > 0, у > 0. Точка Е изображает состояние портфеля, гипотенуза АВ является областью Ё0 начальных состояний х + у =
Поскольку число варьируемых моделей велико, в качестве иллюстрации используем модель, в которой доход на каждом этапе (периоде) вкладывается в ценные бумаги вместе с основными средствами. Для банковского портфеля на финансовом рынке такое управление достаточно типично.
Обозначения компьютерного рабочего и иллюстративного вариантов несколько расходятся. Стоимости ценных бумаг рабочего варианта обозначаются х, х2,..., хп. Для сокращения числа индексов и упрощения понимания в иллюстрации они заменяются на х, у.
Итак, будем рассматривать задачу оптимального управления банковским портфелем на финансовом рынке как типичную задачу многоэтапного планирования.
Пусть на 1-м шаге выполнено распределение средств, т. е. выбрано определенное управление и,:
Ц = (х, (1), х, (2)'... х, (Ю)), где х, (1) — операция с первым активом на ,-м шаге;
(к)) — операция с k-м активом на l-м шаге
т. д.
На L шагах имеем совокупность управлений UPU2,.., ULи
Z = Z(U^U,,.., Uj) ^ max, где Z — суммарный доход за L периодов (лет, например).
Метод динамического программирования позволяет производить оптимальное управление поэтапно, оптимизируя на каждом этапе только один шаг.
В методе динамического программирования необходимо во всех случаях использовать принцип аддитивности:
Т = 11,;
И Т. Д..
Итак, имеем процесс управления портфелем Е банка, расчлененный на L шагов (этапов). На каждом ,-м шаге имеется управление и, посредством которого мы переводим портфель из состояния Е-1, достигнутого в результате (, — 1) -го шага, в новое состояние Е,, которое зависит от Е-1 и выбранного управления и. Эта зависимость имеет вид
Е = Е (Е-1, Ц),
где Е1 рассматривается как функция двух аргументов Е-1 и Ц.
Под влиянием управлений Ц1, Ц2,..., Ць портфель переходит из начального состояния Е0 в конечное Екдн. В результате всего процесса за L шагов получается «доход»
г = (к,и,),
I=1
где Zl (Е-1,Ц) — доход на ,-м шаге, зависящий, естественно, от предыдущего состояния портфеля Е-1 и выбранного управления Ц.
Задана область начальных состояний Ё0 и конечных состояний портфеля Ёкн. Требуется выбрать начальное состояние Е* е Ё0 и управление на каждом шаге ЦД К,*,..., К,* так, чтобы после L
x
и
i=1
i=i
шагов портфель перешел в область Ёкон и при этом доход 2 обратился в максимум.
Процесс динамического программирования разворачивается с конца, поэтому:
2Ь — доход за последний шаг;
21:1 Ь — доход за два последних шага;
211+1 Ь — доход за последние (Ь — /+1) шага, начиная с 1-го и кончая Ь-м.
Очевидно, 2Ь = ¿Ь,
2Ь-1,Ь = ¿Ь-1 +
21,1+1,..., Ь = ¿Ь-1 + 1Г
Процесс оптимизации управления начинается с Ь-го (последнего) шага. Пусть после (Ь — 1) -го шага портфель находится в состоянии Еь1. Так как последний Ь-й шаг должен перевести портфель в состояние Е, = Е е Ё , то в качестве Е г можно
Ь кон кон' Ь-1
брать не все в принципе возможные состояния портфеля, а только те, из которых за один шаг можно перейти в область Ё .
кон
Предположим, что состояние портфеля ЕЬ1 нам известно, и найдем при этом условное оптимальное управление на Ь-м шаге, обозначим его V-* (ЕЬ1). Это управление, которое, будучи примененным на Ь-м шаге, переводит портфель в конечное состояние Е е Ё , причем выигрыш
Ь кон
на этом последнем шаге 2Ь достигает своего максимального значения:
^ (Еь-1) = тах^ {Е1_1 ,иь)}
и ь
где 2Ь (Еь1 иЬ) — выигрыш на последнем шаге, он зависит как от результата предыдущего шага Еь1, так и от примененного на данном шаге управления иЬ. Из всех выигрышей 2Ь (Еь1 иЬ) при разных управлениях иь выбирается тот выигрыш 2^ (ЕЬ-1), который имеет максимальное значение, это и означает запись тах. В качестве управления иь необходимо брать только те, которые переводят портфель из заданного состояния ЕЬ1 в состояние Еь, принадлежащее области Ёкон.
Если условное максимальное значение выигрыша 2'* (ЕЬ-1), то тем самым найдено и условное оптимальное управление V* (ЕЬ 1).
2- (Еь-1) ~ VI Е-1).
Далее модель переходит к оптимизации предпоследнего (Ь — 1) -го шага в предположении, что в результате (Ь — 2) -го шага портфель перешел в состояние Е1Т
Если на (Ь — 1) -м шаге применено управление иь1, то полученный на (Ь — 1)-м шаге доход зависит как от состояния портфеля, так и от примененного управления
2Ь-1 = 2Ь-1(ЕЬ-2, иЬ-1),
а фондовый портфель банка перейдет в новое состояние ЕЬ1
ЕЬ-1 = ЕЬ-1(ЕЬ-2,иЬ-1).
Но для любого результата (Ь — 1) -го шага следующий, Ь-й, шаг уже оптимизирован, и максимальный выигрыш на нем равен
2Ь (ЕЬ-1) = 2Ь* (Е1-1 (ЕЬ-2,иЬ-1)).
Полный выигрыш на двух последних шагах при любом управлении на (Ь — 1) -м шаге и оптимальном управлении на Ь-м шаге равен
21-1,1 (ЕЬ-2,иЬ-1) = ^1-1(Е1-2,и1-1) +
2/ (Б-! (Еь^Ь).
На (Ь — 1) -м шаге оптимальное условное управление иь1" (ЕЬ-2), при котором величина 2+1_1Ь достигла бы максимума:
-1,Ь (ЕЬ-2 ) = тах{2+ь-1,ь (ЕЬ-2 ,иЬ-1)}.
и ь-1
Как и на предыдущем этапе оптимизации, в качестве состояний ЕЬ2 после двух шагов нужно брать не все возможные состояния портфеля, а только те, из которых можно перейти в Ёкон за два шага.
Тогда на двух последних шагах находится максимальный условный выигрыш и соответствующее ему оптимальное условное управление на (Ь — 1) -м шаге
2Ь-Ь (ЕЬ-2) ~ иь (ЕЬ-2).
Продолжая, можно найти условные максимальные выигрыши на различных шагах процесса и соответствующие им оптимальные условные управления
2*
(Е) ~ V ,+ ,(Е,)
,1+1,... ь
где 2+/, 1+1.., Ь (Е1-1и) = ¿1 (Е 1-1,и) + 2* 1+1,., Ь
Е (Е-1, Щ).
Так определяется условный максимальный выигрыш на последних шагах, начиная с -го, и соответствующее оптимальное условное управление на -м шаге
2и+1..,,ь (Еь-1) ~ и / (Е-1). Последовательное применение процедуры до
первого шага дает
2*
1,2.....Ь
(Е) ~ и*1(Ео),
где Е0 — одно из начальных состояний портфеля, принадлежащее к области Ё0 возможных начальных состояний: Е0 е Ё0.
Выбор оптимального начального состояния портфеля: если Е0 в точности задано и вся область 0 сводится к одной точке Е0, то выбора нет и Е*0 = Е(Г В простых задачах оптимизации управления банковскими портфелями это наиболее употребительный случай. Если же точка Е0 может свободно выбираться
в пределах области Ё, то нужно оптимизировать выбор начального состояния, т. е. найти абсолютный максимальный выигрыш за все шаги:
K...L = maX{Z*...L (E0 Ж
E0eE0
где запись max означает, что максимум берется по
E0eE0
всем состояниям Е, входящим в область Ё0Г Точку £"0, в которой достигается этот максимум, и следует взять в качестве начального состояния системы.
Таким образом, в результате последовательного прохождения всех этапов от конца и началу найдены:
максимальное значение выигрыша на всех L шагах и соответствующее ему оптимальное начальное состояние процесса
7* = 7* ~ р*
7 7 1,2,..., L E 0.
Для нахождения окончательного оптимального управления модель проходит всю последовательность шагов от начала к концу. В качестве начального состояния портфеля берется E*0, на первом шаге применяется оптимальное управление U*1
U*i = U*i (E*o), после чего портфель переходит в новое состояние
' E*i = E*i (E*, U*1).
На втором шаге известно U*2 (E) подставляя в него E*1, получаем U*2 = U*2 (E^) и т. д. до оптимального управления на последнем шаге
U*L = U*L (Ejj и конечного состояния портфеля
E*, = E* = E*, (E*L U*X
L кон L v L, L7
В результате всей этой процедуры находится, наконец, решение задачи: максимально возможный выигрыш Z* и оптимальное управление U*, состоящее из оптимальных управлений на отдельных шагах
U* = (U*1, U*2.. U*L).
Таким образом, в процессе динамического программирования последовательность этапов проходится дважды: первый раз — от конца к началу, в результате чего находится максимальное значение выигрыша Z*, оптимальное начальное состояние портфеля E*0 и условно-оптимальное управление на каждом шаге; второй раз — от начала к концу, в результате чего находится оптимальное управление U * на каждом шаге и конечное состояние портфеля при оптимальном управлении Е*кон.
Общая схема метода динамического программирования допускает большое число разновидностей моделей. Одной их них является модель распределения ресурса. Поясним отдельные шаги модели графически и более подробно. В треугольнике АОВ координаты: ха =0; yA = Q0, xB = Q0, yB =
0. Произвольная точка Е(х1,у1) на гипотенузе АВ является начальным состоянием портфеля, оси х и у соответствуют финансовым инструментам F и G.
Дискретность задачи переводит гладкую траекторию движения точки Е в ломаную линию. Так как на первом шаге происходит только трата 5-средств (покупка бумаг) и перераспределения между ними нет, то из точки Ес(х1,у1) переходим в точку М (х', у') (рис. 2).
Так как х'1 < х1 у'1 < у1, то это звено траектории представляет собой отрезок, направленный от Е0 вниз и влево. Следующий (второй) шаг разделяется на два полушага: 21 и 2,. На первом полушаге происходит перераспределение средств, при этом х + у остается постоянным и, значит, точка Е перемещается по прямой, параллельной АВ, в точку N (х2,у2).
На втором полушаге второго шага (22) снова происходит трата средств, и точка Е перемещается вниз и влево (рис. 3), и т. д., пока через , шагов не будет достигнуто конечное состояние Е (х ,,у',) —
кон ь, ,
рис. 4.
Рис. 2. Траектория состояния портфеля на первом шаге
Рис. 3. Траектория портфеля на полушагах
¿j и i2 l-го шага
Рис. 4. Последний шаг
Уточним, что при работе с математическими моделями финансовых инструментов / (х), g (у), ф (х) и у (х) управление осуществляется на первом полушаге каждого шага, на втором полушаге получается доход. Управление и1 на 1-м шаге (полушаг i) состоит в выборе неотрицательных значений х,, у1 таких, что
Х + >1 = + У'иг
После этого на втором полушаге 1-го шага получаем доход
г,=/(-) + g (у).
Точка Е, изображающая состояние портфеля, переходит в новое положение с координатами Х'1 =ф (х), у'= у (у).
Требуется найти такое положение Е*0 точки Е0 на прямой АВ и такую траекторию точки Е в фазовом пространстве, чтобы суммарный доход за все Ь шагов обращался в максимум.
Проводится основанный на современной научной парадигме, которую Г. Хакен назвал синергетикой, анализ детерминированной и стохастической концепций. Рассматривая процессы, влияющие на алгоритм управления портфелем банковских ресурсов, использовался тот факт, что для стран с устойчивой финансовой системой характерны стабильность процентных ставок, ставок дисконтирования, спот- и форвардных ставок и пр. на протяжении достаточно большого интервала времени. Новая концепция хаотических явлений состоит в том, что они «возникают согласно регулярным законам и за ними стоит не бесформенный хаос, а скрытый порядок — фрактальные структуры». Математическое понятие «фрактал» все шире входит в научный обиход. На финансовом рынке мы находим проявления фракталов всех масштабов: стратегические инвесторы, спекулятивные инвесторы, мелкие держатели акций.
Осуществлен выбор основного рабочего детерминированного алгоритма динамической оптимизации управления портфелем ресурсов банка — метода динамического программирования. Такие алгоритмы разработаны, проверены, в них найдены способы обойти детерминированные иррегулярности, что позволяет всегда получить конечное решение.
Во времена 10<1г<12<... производится изменение состава портфеля операциями и1, иг,... так, чтобы к концу периода планирования Тк суммарный доход от всей системы купли-продаж и начисления процентов был максимален. Задачу можно рассматривать во многих вариантах. Все они представляют собой типичную задачу многоэтапного планирования, распределение активов начального портфеля и поступление в каждый период 10<11<12<... доходов должно (тем или иным способом) обратить к моменту времени Тк стоимость портфеля в максимум.
Алгоритм детерминированной динамической оптимизации работает с некоторыми функциями G¡ (q2).., которые можно назвать функциями изменения средств в портфеле по каждому финансовому инструменту {И, G,...}на каждом временном шаге I(I = t0 + IА^ I = 1,Ь), где q1, q2,... — количество средств в финансовом инструменте (ценной бумаге) И, G,... соответственно. Для работы алгоритма вид этих функций должен быть известен, и он доставляется математической моделью финансового инструмента. Задача создания математических моделей (другими словами, определение вида функций [И, G,...]) и решается далее.
Моделировать можно либо каждый инструмент (моделей будет много и многие из них будут повторять друг друга), либо виды финансовых операций (их будет немного и каждый инструмент будет адресоваться и к подходящей финансовой операции). Далее рассмотрены модели финансовых операций, а модели инструментов будем извлекать уже из этих моделей.
Систематизируя все представления о финансовых инструментах, будем полагать, что финансовый актив существует одновременно как бы в двух формах. С одной стороны, он имеет собственную форму, непреходящую суть, к которой можно присоединить текущую (скрытую или латентную) стоимость. Будем говорить, что инструмент имеет ¿-форму. Текущая стоимость находится путем дисконтирования каждого из потоков платежей на процент, который мог бы быть заработан, если бы все средства были получены сегодня. Когда говорят,
(В, S) Инфляция
ВМ) В (0
(V
"в2(0
портфель
о
Рис. 5. Диадическая модель финансового инструмента, в момент ^ происходит продажа инструмента:
51(г),В1(?) — совместная кривая наращения;
Б2({) — кривая наращения, если бы инструмент не был
продан;
В2(^ — кривая инфляции; В(0 — стоимость продажи.
что текущая доходность финансового инструмента равна нулю, то имеют в виду его Б-форму. Некоторые финансовые инструменты, такие как фьючерсы и форварды, оцениваются исходя из будущей стоимости денег. Будущая стоимость находится наращением всех процентных платежей, которые можно было бы получить на данную сумму до наступления определенного момента в будущем.
Но главное в Б-форме — эта будущая стоимость не может быть немедленно переведена в денежный эквивалент. Если финансовый инструмент может быть заменен в момент времени I денежным эквивалентом (В-форма), то будем считать его теперь существующим в В-форме, этот эквивалент начинает изменяться не по моделям дисконтирования или наращения, а по модели инфляционного изменения (рис. 5).
Разность S2() — В(() идет на компенсацию риска из-за неопределенностей финансового рынка,
(В.ЭХОА
___________
о Ц
Рис. 7. Одновременная (в (1о) операция продажи актив
Рис. 6. Диадическая модель финансового инструмента, в момент 10 происходит покупка инструмента:
Б2({),В2({) — совместная кривая наращения; 51(!) — кривая наращения некоего финансового инструмента;
В1(1) — до момента 10 деньги не нужны, они подвержены инфляции.
невыполнения договорных обязательств и т. п.
На рис. 6 изображена покупка финансового инструмента в момент времени 0
Величина В (10) есть начальная стоимость инструмента. На левой части рис. 6 заметим, что финансовые активы с текущей доходностью, равной нулю, представляются именно такой графической моделью. Актив не дает денежных потоков в интервале [0,^, а соответствующая кривая В1(1), I е [0, I] есть кривая инфляции. В момент I = t0 его Б-форма соединится с В-формой S (I) ^ В (I) в точке В (0).
На рис. 7 покажем типичную операцию управления портфелем ценных бумаг — одновременную продажу актива А' и покупку актива А ".
Выручка определяется как АВ (¿0) = В\(1} — В"х(1}, и она далее подвергается инфляции (кривая АВ (I)). Затем мы переходим от менее доходного актива А'к активу А", получаем (одноразово) денежные средства в размере В (!0), «съедаемые» инфляцией А В (/), так что общая ожидаемая прибыль при I*
> 0 ав (о + в" 2 (*).
Можно сформулировать систему правил для работы с (В, Б)-образом базисного актива:
1. Б- и В-стоимости актива совпадают при ее нахождении в портфеле банковских ресурсов.
2. Б- и В-стоимости активов «разрываются»
^ ^ при ее продаже (выбыва-
нии из портфеля), после
А покупки актива А
д£(0 + 32(0
чего каждая составляющая подчиняется разным законам, В-частъ меняет стоимость в соответствии с инфляционными процессами, ¿-часть — в соответствии с наращением процентных платежей.
3. Базисный актив вне портфеля имеет только форму ¿, покупка актива означает восстановление ее диадичности (В, ¿).
Представим рассмотрение моделей управления портфелем коммерческих банков при размещении финансовых ресурсов на финансовых рынках методом динамического программирования.
Если определить множество моделей управления портфелем, то любой алгоритм должен обладать следующими пятью свойствами:
> конечность;
> определенность (точность);
> результативность;
> эффективность (вычислимость);
> массовость или алгоритмическая универсальность, позволяющая давать решение целой группы задач, задач одного класса, различающихся исходными данными, видом целевой функции, ограничений и т. д. Массовость, или алгоритмическая универсальность, если развивать это понятие, должна обеспечить наилучшие решения при существенной корректировке исходной информационной модели. К таким вариабельным моделям управляемого банковского портфеля на финансовых рынках отнесем:
1. Получение максимальной прибыли к фиксированному конечному моменту времени Тк, в качестве прибыли считаются В- и ¿-формы актива.
2. Портфель выступает как источник потока неравноценных денег, получение которых относится к разным моментам времени ^ (1 = 1,Ь), сюда относятся выплаты доходов, продажа активов, их покупка-продажа с положительным сальдо и т. д.
3. Получение максимального стабильного дохода в течение определенного срока с максимизацией времени этого срока или с максимизацией стационарного денежного потока за время Тк.
4. Использование реинвестирования или капитализации процентов.
5. Рациональное распределение по инструментам финансового рынка. Требуется найти такой способ управления ресурсами, чтобы суммарный доход в В-форме за Тк периодов превратился в максимум.
6. Та же задача, но разделена на Ь этапов и на каждом этапе доход и убыль средств с финансовых рынков неодинаковы, доход изымается.
7. Та же задача, но с резервированием ресурсов, когда они не тратятся, но и не дают дохода.
8. Задача, когда доход полностью или частично вкладывается на финансовых рынках, параллельно другим банковским инструментам, при этом ищется:
1) максимальный суммарный чистый доход от Ь этапов;
2) максимизация суммы всех средств после Ь-го этапа;
3) чистый доход на Ь-м этапе и др.
Эти и многие другие разновидности задачи легко реализуются алгоритмом динамического программирования, добавляя ему достоинств и универсальности. Из разновидностей этой модели остановимся на следующей:
> в базисные активы вкладывается весь доход;
> оптимальное управление обращает в максимум общую сумму средств (включая В-доход и ¿-стоимость активов) после Ь этапов;
В этой задаче доход (критерий 2) приобретается весь на последнем этапе, т. е. 2 = 2Ь, а на всех предыдущих этапах его приращения (1 = 1, Ь — 1) равны нулю. Вводятся две функции (функция изменения средств) на 1-м этапе:
F1(x) и G1(y), указывающие, сколько средств (остаток основных плюс доход) будет иметься в конце 1-го этапа, если вложения х в активы И и у — в активы G были произведены в начале этого этапа. Возможные любые варианты: И1(х) < х; (х) = х; (х) > х;
ед < у; а1 (у) = у; а (у) > у.
Фазовым пространством этой задачи будет весь первый квадрант ХОУ Фазовая траектория управления портфелем Е состоит из ряда полушагов, каждому этапу (кроме первого) соответствуют два полушага: перераспределение средств (и точка Е перемещается параллельно АВ), трата и приобретение средств (и точка Е движется в любом направлении). Доход Ъ приносится последним полушагом Ь2, он равен сумме абсциссы и ординаторы точки Екон.
Формулировка задачи: выбрать такую траекторию точки в фазовом пространстве, чтобы вывести ее в результате Ь-го шага на прямую А В , па-
г 1 Г 1 кон кон'
раллельную АВ и отстоящую от начала координат как можно дальше.
Алгоритм решения задачи следующий:
1. Фиксируется исход (, — 1) -го шага (сохранившиеся средства плюс доход) (Ь1. Условное оптимальное управление х*, ((,-1) — то, при котором будет максимальным суммарное количество средств после ,-го шага
ZL ((,-1) = ((,-1) или ^ ((,-1) = Е (х,) + GL ((,-1 - х,).
Условное оптимальное управление на ,-м шаге: х*, ((,-1) найдется из условия Т', ((,-1) = тах (х,) + GL ((^ — х,)}.
2. Фиксируется исход (, — 2) -го шага Условное оптимальное управление х*, ((,-2) находится из условия
^1-1,, ((Ь-) = тах {Z*Л-1 (х,) + — X(-1)},
и т. д. по шагам , — 3,.., +1, , — 1.
3. Фиксируется (ь_г Условное оптимальное управление х*, ((,-1) находится из условия
Z ((,-2) = тах {ГЛ-1 (х,) + ^^ — х,-1)} .
Следовательно, банковская система на любом финансовом рынке, особенно в условиях устойчивой финансовой системы, основные параметры каждого финансового инструмента должны быть постоянными во все время периода ссуды. Однако на финансовом рынке существует неопределенность получения дохода, периода действия договора, другие же могут изменяться на оговоренных условиях в определенные промежутки времени.
Количество эмитентов, ценные бумаги которых обращаются на Фондовой бирже ММВБ, выросло за
2005 г. с 255 до 400, торгуемых ценных бумаг — с 400 до 6455, а капитализация биржи достигла на февраль
2006 г. 51 млрд долл. США (на начало 2006 г. на долю ММВБ приходилось 85 % общего оборота на рынке ценных бумаг РФ) 6. Поэтому определим, что при оценке абсолютного риска, который характеризуется показателем стандартной девиации, инвестиция 1 кажется более рискованной, чем инвестиция 2. Однако, если учитывать относительный риск, т. е. риск на единицу ожидаемого дохода (через коэффициент вариации), то более рискованной окажется все-таки инвестиция 1 (табл. 1).
Кроме определения систематического риска, перед инвестором стоит еще одна задача — количественное измерение соотношения между уровнем риска и дохода. Прежде всего определим основные понятия, которые потребуются для решения данной задачи:
Таблица 1
Оценка ожидаемого дохода и риска
5 ФБ ММВБ ждет всплеска IPO, консолидацию биржевого рынка в 2006 году // Рейтер. 16.12.2006.
6 Потемкин А. И. ММВБ заинтересована в сотрудничестве с Узбекистаном // «UzReport. com». 09.02.2006.
Показатель Инвестиция 1 Инвестиция 2
Ожидаемая норма дохода 10,60 13,00
Вариация 19,64 27,00
Стандартная девиация 4,43 5,2
Коэффициент вариации 0,42 0,40
k — ожидаемая норма дохода, по i-й акции; kt — необходимая норма дохода по i-й акции; (если к < k, то инвестор не будет покупать эту акцию или продаст ее, если является ее держателем. Если же ki > k,, то инвестор захочет купить эту акцию, при к, = k — останется равнодушным);
KRF — ожидаемая норма дохода по облигации; ß;. — коэффициент бета по i-й акции (бета по средней акции равна 1,0);
Kh — необходимая норма дохода по рыночному портфелю (или по средней акции);
Rph= (Kh — KRp) — рыночная премия за доход по дополнительным рискам (по сравнению с доходом по нерисковой ценной бумаге);
Rpt = (Kh — KRp) ■ ßp — рыночная премия за риск по i-й акции (она будет меньше, равна или больше премии за риск по средней акции в зависимости от того, будет ли ß;. меньше, равна или больше ßa = 1,0. Если ßi = ßa = 1,0 то Rpi = Rp)
Допустим, что в настоящее время на фондовом рынке доход по облигациям Kp{ = 9 %, необходимая норма дохода по средней акции Kh = 15 %. Тогда RPh = Kh-KRF = 15 - 9 = 6 %.
Если ßi = 0,5, то Rpi = Rph ■ ß;. = 6 ■ 0,5 = 3 %. Если ßi = 1,5, то Rp= Rph ■ ßi = 6 ■ 1,5 = 9 %. Таким образом, чем больше ßтем больше должна быть и премия за риск — Kp{ и, наоборот, а ее уравнение будет иметь следующий вид:
K = KRF + (Kh — Krf) • ßi = KRF+ Rph • ßi.
В нашем случае
K = 9 + (15 — 9) • 0,5 = 9 + 6 • 0,5 = 12 %. Пусть другая акция — i — является более рискованной, чем акция j (ß;. = 1,5) тогда K = 9 + 6 • 1,5 = 18 %/ Для средней акции с ßa = 1,0 Ka = 9 + 6 • 1,0 = 15 % = Kh При этом надо учитывать, что премия по нерискованной ценной бумаге RpF слагается из двух элементов:
• реальной нормы дохода, т. е. нормы дохода без учета, инфляции — K*;
• инфляционной премии — / равной предполагаемому уровню инфляции.
Таким образом, RpF = K* + /
Таблица 2
Показатели доходности инвестиций
Бета Направление движения дохода Интерпретация
2,0 Такое же, как на рынке В 2 раза рискованнее по сравнению с рынком
1,0 То же Риск равен рыночному
0,5 То же Риск равен 1/2 рыночного
0 Не коррелируется с рыночным риском
-0,5 Противоположно рыночному Риск равен 1/2 рыночного
-2,0 То же В 2 раза рискованнее по сравнению с рыночным
Реальная норма дохода по облигациям сложилась на уровне 2 — 4 % (в среднем — 3 %). В связи с этим показанный выше Кр1 = 9 % включает в себя инфляционную премию 6 %. Если ожидаемый уровень инфляции вырастет на 2 %, то также соответственно на 2 % вырастет и необходимая норма дохода.
К^= К* + 1Р = 3 + 6 = 9 %.
Доходы от финансовых операций и коммерческих сделок имеют различную форму: проценты от выдачи ссуд, комиссионные, дисконт при учете векселей, доходы от облигаций и других ценных бумаг и т. д. Само понятие «доход» определяется конкретным содержанием операции. Причем в одной операции часто предусматриваются два, а то и три источника дохода. Степень финансовой эффективности обычно измеряется в виде годовой ставки (нормы) процентов, чаще — сложных, реже — простых (табл. 2). Искомые показатели получают исходя из общего принципа — все вложения и доходы с учетом конкретного их вида рассматриваются под углом зрения эквивалентной (равнодоходной) ссудной операции. Измерение доходности в виде годовой процентной ставки не является единственно возможным методом. В ряде стран для некоторых операций практикуются и иные сопоставимые измерители, например доходность трехмесячных депозитов, выпускаемых казначейством. Иначе говоря, все затраты и доходы конкретной сделки в этом случае «привязываются» к соответствующему финансовому инструменту.
Все это приводит к необходимости иметь в механизме оптимизации управления портфелем способ задания параметров i, d,... как явных функций времени i (t), d (t),...., т. е. сделать их переменными. Работа с переменными параметрами сильно осложняет оптимизацию, а во многих случаях и просто невозможна. Достоинство алгоритма динамического программирования состоит в том, что выбор величины At влияет только на размер и на время решения.
Литература
1. Кочкаров А. М. Распознавание фрактальных графов: Алгоритмический подход. Нижний Архыз: Изд. Центр «CYGNUS», 1998. 170 с.
2. Курдюмов С. П., Малинецкий Р. Р., Потапов А Б. Нестационарные структуры, динамический хаос. клеточные автоматы // Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. М.: Наука, 1996. С. 95 - 164.
3. Mandelbort B. B. New methods in statistical economics // Journal of Political Economy. 1963. 71. 421 - 440.
4. Современная математика для инженеров / Под ред. Э. Ф. Беккенбаха. М.: ИИЛ, 1958. 500 с.
5. ФБ ММВБ ждет всплеска IPO, консолидацию биржевого рынка в 2006 году // Рейтер. 16.12.2006.
6. Потемкин А. И. ММВБ заинтересована в сотрудничестве с Узбекистаном // «UzReport. com». 09.02.2006.
