Моделирование алгоритмов управления при использовании случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Кухарев Г.А. Биометрические системы: Методы и средства идентификации личности человека. СПб.: Политехника, 2001. 240 с.

2. Даминов О.А. и др. Выделение признаков изображений отпечатков пальцев при идентификации личности // Прикладная информатика и компьютерное моделирование: мат. Всероссийской научно-практ. конф. Уфа, 2012. Т.2. С.46-48.

3. Журавлев Ю.И. Избранные научные труды. -М.: Магистр, 1998. 420 с.

4. Абдугаффаров И.А. Системы обработки, анализа и идентификации отпечатков пальцев: автореф. дис. ... канд. техн. наук. Ташкент: НТЦ "Современные информационные технологии" АН РУз, 2002. 18 с.

5. Шапиро Л., Стокман Дж. Компьютерное зрение. М.: Бином, 2006. 752 с.

6. Вуде Р., Гонзалес Р. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2005. 752 с.

7. Яне Б. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2007. 583 с.

8. Эсонтурдиев М.Н., Аширханов А.К. Алго-ритмы предварительной обработки изображений отпечатков пальцев // Интеллектуальные системы принятия решений и проблемы вычислительного интеллекта: мат. междунар. научн. конф. Херсон: ХНТУ, 2012. С.443-444.

УДК 676

МОДЕЛИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

© В.К. Соломина1

Иркутский государственный технический университет, 664007, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрена задача моделирования алгоритмов адаптивного управления с использованием случайных величин. Для моделирования разработан алгоритм адаптивного управления процессом обжига извести с использованием разностного динамического уравнения прогнозирования выходной координаты объекта. Параметры модели корректируются по мере поступления информации о входах и выходе объекта. Полученные результаты позволяют оценивать работу алгоритма в режиме управления. Ил. 2. Табл. 1. Библиогр. 1 назв.

Ключевые слова: алгоритм; моделирование; случайные величины; обжиг извести.

CONTROL ALGORITHMS MODELING WHEN USING STOCHASTIC VARIABLES V.K. Solomina

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074.

The paper deals with the problem of adaptive control algorithm modeling with the use of stochastic variables. The algorithm of adaptive control of lime burning has been developed with the use of dynamic difference equation for predicting the object output coordinate. Model parameters are adjusted with the information on the object inputs and outputs. The obtained results allow to assess the algorithm performance in the control mode. 2 figures. 1 source.

Key words: algorithm; modeling; stochastic variables; lime burning.

Создание автоматизированных систем в отраслях народного хозяйства потребовало разработки сравнительно простых, но высокоэффективных (по точности, быстродействию, приспособлению к изменяющимся условиям) алгоритмов управления. Для достижения этих целей создана и развивается теория и практика адаптивного управления. Все работы этого направления можно условно разделить на две группы. Для первой группы характерно использование регуляторов фиксированной структуры с адаптивной (по мере поступления новой информации) коррекцией их параметров (рис. 1). Особенностью второй группы [63] является использование адаптивной модели (с переменными непрерывно корректируемыми параметрами) для непрерывного синтеза (на основе модели и локальных критериев оптимальности) управляющих воз-

действий (рис. 2). Через х* обозначена желаемая траектория движения объекта. Преимущества второго подхода наиболее сильно проявляются при управлении распределенными в пространстве технологическими процессами. Именно этот класс объектов рассматривается в работе. Так как датчики для основных переменных процесса находятся в определенных точках распределенного технологического процесса, то динамику его удобно описывать разностными уравнениями с чистыми запаздываниями по возмущающим и управляющим входным воздействиям. На каждом такте управления во времени по текущим (и, естественно, предшествующим) измерениям входов и выходов объекта производится коррекция параметров (из-за этого параметры модели становятся переменными).

1Соломина Вера Константиновна, кандидат технических наук, доцент кафедры информатики, тел.: (3952) 405183, 89641268859.

Solomina Vera, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Computer Science, tel.: (3952) 405183, 89641268859.

х

Рис. 1

Рис. 2

Затем при расчете управлений производится (на основе той же модели) прогнозирование выходных переменных объекта с учетом чистых запаздываний по управляющим входным переменным. А при первом подходе для учета запаздываний надо в регулятор включать упредители. Сложность их синтеза и реализации намного превышает сложность всех алгоритмов адаптивного управления (с идентификацией), получаемых при реализации второго подхода. Здесь подчеркнуто только одно из преимуществ второго подхода, хотя имеются и другие. Реализация адаптивных систем с идентификатором (АСИ) позволяет осуществлять достаточно эффективное управление малоизученными объектами, для которых не были известны ни структура, ни параметры их моделей. В процессе реализации АСИ выяснилось также, что одни и те же алгоритмы работы АСИ можно применять для широкого спектра объектов различной природы. Это обстоятельство позволяет решать задачу автоматизированного проектирования математического обеспечения АСИ. Включение идентификатора в цепь обратной связи приводит к тому, что идентификация происходит в замкнутом контуре управления в реальном масштабе времени и главная цель идентификации направлена только на достижение цели управления (например, осуществление движения выходных

координат системы (объект-устройство управления)

*

по заданной траектории х с минимальными уклонениями от нее).

В отличие от работ, основанных на использовании разностных аналогов соответствующих уравнений в частных производных, в работе промышленные распределенные динамические объекты описываются существенно более простыми разностными уравнени-

ями с различными чистыми запаздываниями по входным воздействиям (управляющим и наблюдаемым неуправляющим), и для этого подхода необходимо строить новые алгоритмы адаптивного управления. Они должны быть просты в реализации и достаточно эффективны.

Обжиговые вращающиеся печи являются объектом с распределенными параметрами. В процессе обжига извести во вращающихся печах изменяются условия протекания технологического процесса. Из-за этого возникают пережог материала и значительные колебания качества извести. Необходимо так управлять процессом, чтобы, несмотря на изменяющиеся условия, обеспечивать заданное качество продукта.

Указанные выше сложные задачи управления потребовали включения в алгоритмическое и программное обеспечение АСУ ТП новых алгоритмов адаптивного управления с идентификацией.

Решена задача управления обжигом извести во вращающихся печах. Показателем качества извести является х(1) [СаО%]. Собраны экспериментальные данные в процессе эксплуатации печи и методом статистического анализа построена адекватная дискретно-временная динамическая модель с чистыми запаздываниями во входных (управляемом и наблюдаемом) воздействиях:

у(1) = а0+ а х(1 -1) + а2 z2 (1 -1) + + а3щ (1-1) + а4и2 (1-1) + а5щ (1 -1) + (1) +а Zз (1 - 2)+а щ (1 - з)+а8 z5 (1 - з).

Здесь х (СаО%) - качество конечного продукта; щ - расход мазута; и2 - расход воздуха I; щ -

*

*

расход воздуха II; и4 - расход шлама; г1 - температура в зоне обжига, измеряемая термопарой; г2 -температура в зоне обжига, измеряемая пирометром;

- температура (измеряемая с помощью термопары) в зоне сушки; г4 - разрежение в зоне сушки; г5 -

плотность шлама.

Модель (1) положена в основу динамической модели с перестраиваемыми параметрами

у(к | а(Г)) = а0 (£) + ах (г)х(к -1) + а2 (к -1) +

+ а (£ )и (к -1) + а4 (г)и2 (к -1) + а5 (0и3 (к -1) + + а6 (£)^ (к - 2) + а (£)и4 (к - 3) + а8 (г)гъ (к - 3) ,(2)

используемой при синтезе алгоритма адаптивного управления (с текущей идентификацией (на £ -ом такте) вектора параметров а(£)). Аргумент к этой модели принимает значения к = £-1, ••• при идентификации параметров а(£). При этом за счет наилучшего подбора параметров а(£) минимизируются невязки выходов объекта х(к) и модели у(к | )) на одном или нескольких тактах работы системы. При синтезе управлений их(£) ^и4(£) производится прогноз выхода модели (обычно на несколько тактов вперед). Индекс к модели принимает значения £< к . Сама последовательность операций при расчете управляющих воздействий представляет собой основную новизну результатов работы (для вышеуказанного процесса обжига извести, а также для всех рассматриваемых в дальнейшем технологических процессов).

Цель управления состоит в наилучшем приближении выхода объекта х к желаемому значению х* в каждый текущий момент времени. В работе приводятся результаты численных исследований алгоритма адаптивного управления с идентификацией.

Осуществлен анализ использования проекционного алгоритма идентификации и рекуррентного алгоритма наименьших квадратов в контуре управления. По результатам испытаний делается вывод, что при наличии плохих начальных приближений параметров лучше использовать рекуррентный алгоритм наименьших квадратов. Этот алгоритм также более устойчив к помехам. При работе алгоритмов в окрестности "оптимального" режима (при решении типичной задачи стабилизации) и при сравнительно малом уровне помех оба алгоритма обеспечивают получение примерно одинаковых итоговых результатов, но проекционный алгоритм более прост в вычислительном отношении.

Любая исследовательская, проектная деятельность связана с моделированием. При описании сложных объектов, на работу которых влияют случайно действующие факторы, применяют процедуру идентификации, когда модель строится по результа-

там наблюдений за входными и выходными переменными объекта. Идентификация связана с методами статистической обработки результатов наблюдений.

Разработаны лабораторные работы, в которых предлагается исследовать методы первичной статистической обработки информации. Работа состоит из двух частей, в первой рассматриваются методы имитационного моделирования случайных величин, процессов, во второй - соответствующие процедуры оценивания.

Случайные величины, их распределение и числовые характеристики. Случайной величиной называется такая переменная, которая в результате испытаний принимает то или иное заранее непредсказуемое значение. Для количественного описания случайной величины необходимо задать область ее существования и способ количественного определения вероятности попадания величины в произвольную часть области существования, то есть установить связь между значением случайной величины и вероятностью появления этого значения. Последнее задается с помощью закона распределения случайной величины.

Законы распределения могут быть дискретными (для дискретных случайных величин) и непрерывными (для непрерывных случайных величин). Случайная величина имеет дискретное распределение, если может принимать конечное число значений х,X,--Х„ с

вероятностями р(х:),р(х2),....р(хи) и дискретный закон полностью определяется совокупностью х и Р(х,) ■

Для непрерывных случайных величин вопрос: какова вероятность того, что данная величина примет точно значение х - лишен смысла, и закон характеризуется плотностью вероятности:

\ л. р(х < х < х + Ах)

/(х)=Ьш —--

Ах^-0

Ах

Функция Г (х), характеризующая вероятность того, что случайная величина не превзойдет значения х, называется интегральной функцией распределения (интегральным законом):

х

Г (х)= | / (х

-х

Тогда / (х) называется дифференциальной функцией распределения (дифференциальным законом). Кроме формул (1) и (2) связь между /(х) и Г (х) определяется так:

/ (х ) = ±Р (X ).

ах

Законы распределения характеризуются следующими свойствами:

I (х)> 0; р(х1 < х < Х2 ) =

Х2 ОТ

= | I (х )&; | / (х) dх = 1

Е х )> Е (х ),

если

х2 > х1;

Р(х1 < х < х2) = Е(х2 )- Е(х1); .

Е (от) = 1; Е (-от)

Закон распределения в интегральной или дифференциальной формах задается с помощью таблиц, аналитически или графически.

Закон распределения является исчерпывающей характеристикой одномерной случайной величины. Однако в большинстве случаев достаточно указать лишь некоторые числовые характеристики этого распределения, среди которых наиболее часто используются моменты, определяемые выражениями: для непрерывного распределения

ОТ

МУ(х)}= |g(х)f(х)dх;

для дискретного

М {g (х)}=2 g (х, )р(х,).

1=1

Для заданного вида распределения I (х) момент М^(х)} является неслучайным числом и для g(х) = хк называется начальным моментом к - го порядка и обозначается тк (х), а для

g(х) = (х -т)к - центральным моментом к - го порядка Мк (х). Наиболее

важными числовыми ха-

рактеристиками являются следующие (для непрерывных величин):

математическое ожидание (среднее значение)

т =

| х1 (х )& ;

дисперсия

ю(х ) = М2 = ¡(х - т )21 (х^х

асимметрия

М 5 (х)

у=—^;

М 2 (х )

эксцесс

У2 =

_М4 (х )

М22 (х)'

Математическое ожидание и дисперсия обладают следующими свойствами:

т (с)=с; т (Сх)=Ст (х);

т (а+ Ьх ) = а + Ьщ (х);

в(с ) = 0;

Б(Сх ) = С2 В(х);

П(а + Ьх ) = Ь2 п(х).

Центральные моменты могут вычисляться через начальные, например:

М2 (х)=о(х)=т (х) - т2 (х).

Моменты связаны с параметрами законов распределения.

Моменты имеют физический смысл. Математическое ожидание щ(х) определяет среднее значение случайной величины и является абсциссой центра тяжести фигуры, ограниченной кривой /(х). Центральный момент второго порядка (дисперсия) является характеристикой разбросов (вариации, оси) случайной величины относительно среднего значения. Показатель у характеризует симметрию кривой I(х) относительно среднего значения. Если у у 0, то асимметрия правосторонняя, если у ^ 0, - то левосторонняя. Коэффициент аксцесса (крутость) у2 = 0 у нормального закона распределения дает возможность сравнивать вершину симметричной кривой I(х) с нормальным законом. Если у у 0, то вершина данного закона более острая и высокая, чем у нормального с тем же средним значением и дисперсией.

Среди немоментных характеристик наибольшее распространение получили:

медиана М , определяемая как такое значение х , для которого

МЕ от

¡I(х)& = | f (х)& = 0,5 ;

-от МЕ

мода М0 , равная такому х, при котором I(х) достигает максимального значения.

Для нормального закона распределения справедливо соотношение щ = М0 = Ме.

При моделировании работы различных объектов управления необходимо искусственно получать случайные величины, распределенные по заданным законам распределения. Это достигается с помощью применения таблиц случайных чисел или построения специальных генераторов, которые реализуются либо физически, либо программно на ЭВМ. В последнем случае величины, генерируемые с помощью рекуррентных алгоритмов, называются псевдослучайными, так как в отличие от случайных получаются по определенным правилам. Псевдослучайные числа можно получать различными способами, например путем деления одного числа на другое и использования остатков возведения двух п - значных чисел в квадрат и выбора п средних цифр (метод Неймана), ис-

ОТ

х

-ОТ

п

ОТ

ОТ

пользования разложения иррациональных чисел и т.п. Полученные псевдослучайные числа проверяются на случайность с помощью специальных критериев.

Чаще всего на ЭВМ реализуется генератор (датчик) равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных чисел хог.. В состав стандартного математического обеспечения входит процедура генерации хог. с именем RND(x).

Моделирование псевдослучайных чисел, распределенных по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, осуществляется по алгоритму

х

N

= Vх - 6 .

/ : Qi

Формула следует из центральной предельной теоремы Ляпунова, согласно которой случайная величина, состоящая из суммы однородных случайных величин, распределена по нормальному закону.

Для получения (из равномерной хы) случайной

величины х с заданной плотностью распределения / (х) обычно используют обратную функцию Е— (х) к интегральному закону Е(х), задаваемому формулой, и х вычисляют в соответствии с соотношением

X = Е 1 (х01) .

Вычисление Е(хш) для некоторых законов

осуществляется достаточно легко, однако во многих случаях формула не дает аналитического решения, поэтому используют механизм появления того или иного закона распределения. Например, величина х,

равная сумме двух независимых равномерно распределенных случайных чисел, распределена по закону Симпсона, следовательно, для получения х может быть использована формула

х1 = х01-1х01 .

Формулы для получения псевдослучайных чисел, распределенных по ряду законов, приведены в таблице.

Обработка и анализ выборки случайной величины, полученной экспериментально или путем моделирования работы объектов, сводятся к вычислению оценок моментных характеристик, определению вида закона распределения и числовых значений его параметров. Вычисление моментов производится с учетом дискретного характера выборки, например:

для оценки среднего значения

= m, (х ) = — V X,

N

х

для дисперсии

л , ч 1 N

S 2 = D(x ) = _L_ V W N -1V

х, - х

где N - объем выборки; х - значения случайной величины. Для определения закона распределения строится эмпирическая гистограмма, которая представляет собой графическое изображение интегрального вариационного ряда в виде прямоугольников.

Способы получения случайных величин

Наименование закона Способ получения случайной величины

Нормальный х = M + вхн

Равномерный х = M + (S - M )хс

Релея х = SiJ - 2 ln хо

Односторонний нормальный х = S^ |

Коши х = Stgж(xo - 0,5)

Арксинуса х = S sin ж(х0 - 0,5)

После построения гистограммы вычисляют моменты по сгруппированным данным: по виду гистограммы или из теоретических соображений (иногда используют специальные диаграммы Ринда) выбирают тип распределения. По формулам, связывающим моменты с параметрами, вычисляют оценки параметров закона распределения.

Для проверки гипотезы о близости теоретического закона распределения к эмпирической гистограмме применяют специальные критерии согласия, которые отвечают на вопрос: вызвано ли расхождение распределений случайными причинами, связанными с недостаточным объемом выборки, или оно существенно и выбранный теоретический закон не соответствует реальному распределению. Наиболее распространенными являются следующие критерии.

Критерий согласия Пирсона (%-квадрат). Вычисляется оценка

ж2 =

j=i

nj - nj

n.

где n. - эмпирические частоты (из гистограммы); n. -

теоретические,

которые определяются

как

nj =

f (х; )Дх; х. - середина интервала.

Затем по таблице вероятностей для % при данном числе степеней свободы г находится р[%2\, и если она значительно отлична от нуля, то расхождение считается случайным и гипотеза о соответствии теоретического закона выполняется. Число степеней свободы

г = к -1-1,

где \ - число параметров закона распределения.

2

i=1

2

Л

Л

Критерий Пирсона применяют, если

N > 50 и к > 5.

Критерий согласия Колмогорова Л оценивает близость теоретического и эмпирического законов.

Недостатком рассмотренных критериев является отсутствие прямого ответа на вопрос о применимости к эмпирической гистограмме выбранного закона распределения. Этот недостаток устраняется при исполь-

зовании критерия Б.С. Ястремского, который базируется на - критерии Пирсона:

- к\

I =

л/2к + 40 '

где 0 при к < 20 принимается равным 0.6.

Если !<3, то гипотеза о близости законов распределения принимается.

Библиографический список

1. Рубан А.И., Соломина В.К. Адаптивное управление обжигом извести // Бумажная промышленность.1991. №12. С.21 -23.