CC BY
14
-Ф-
■Ф-
_МЕТАЛЛУРГИЯ ГРАНУЛ__
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Научный редактор раздела докт. техн. наук, профессор Г. С. Гарибов
УДК 621.762
МОДЕЛИРОВАНИЕ АЭРОДИНАМИКИ ПОЛЕТА ЧАСТИЦЫ В ПРОЦЕССЕ ПОЛУЧЕНИЯ ГРАНУЛ
Ю.А. Соколов, канд. техн. наук, В.Н. Копаев
(ОАО «Электромеханика», г. Ржев, e-mail: sklvfi@inbox.ru)
Рассмотрен вопрос построения математической модели динамики полета частицы в процессе получения гранул методом PREP Задача моделирования -получение зависимостей, связывающих скорость, время и координаты частицы с момента ее отрыва от венца до окончания полета.
Ключевые слова: математическое моделирование, гранулы, метод PREP, аэродинамика полета, дифференциальное уравнение, время полета.
Simulation of Particle Flight Aerodynamics in the Powder Production Process.
Yu.A. Sokolov, V.N. Kopayev.
Construction of a mathematical model for powder flight dynamics in the process of powder production by the PREP technique is discussed. The task of simulation is to obtain relationships connecting speed, time and position of a particle from the moment of its separation from the crown till termination of the flight.
Key words: mathematical simulation, powders, PREP technique, aerodynamics of flight, differential equation, flight time.
Введение
Для разработки новых композиционных материалов, нанесения защитных покрытий, изготовления катодов и припоев необходимо технологическое оборудование, обеспечивающее получение сферических гранул химически активных металлов (титан, цирконий, ниобий, молибден, тантал, сплавы на их основе, интер-металлиды). Среди различных методов получения гранул в РФ наиболее широкое распространение получил метод вращающейся заготовки с плазменным нагревом (PREP).
На сегодняшний день к актуальным задачам, решение которых предоставляют новые механизмы управления процессом охлаждения частиц,относятся:
- исследование воздействия дополнительного конвективного встречного потока газовой среды на частицу;
- взаимодействие факела плазмы с заготовкой (диаметр факела в месте встречи с торцем заготовки, эксцентриситет воздействие факела на торец);
- исследование состояния газовой среды в районах плазматрона и в пространстве полета частицы (температура, состав газовой смеси, скорость подачи газовой среды);
- определение оптимальных значений параметров процесса (зазор между срезом плазматрона и заготовкой,состав газовой смеси, диаметра камеры распыления);
- расчет системы охлаждения газовой среды;
- подача смеси инертных газов непосредственно в область плавления заготовки.
Для определения технологических режимов распыления и кристаллизации жидких частиц в процессе полета необходимо разработать
-Ф-
ряд математических моделей (ММ) процесса распыления:
1. Аэродинамическое и тепловое взаимодействие частицы с охлаждающей газовой инертной средой.
2. Влияние плазменной дуги на температурное поле вблизи венца.
3. Исследование деформаций вследствие взаимодействия частицы со стенкой камеры.
В настоящей статье рассматривается вопрос построения ММ динамики полета частицы в процессе получения гранул методом PREP. Задачей моделирования является получение зависимостей, связывающих скорость, время и координаты частицы от момента ее отрыва от венца до окончания полета. Среди исследований, посвященных данному вопросу, особо следует отметить работу В.К. Орлова [1].
Для определения начальной скорости частицы необходимо определить взаимосвязь между частотой вращения заготовки п и диаметром частицы d^ При отрыве частицы от венца на нее действуют две силы: удерживающая сила натяжения Гнат на перемычке размером (п = 0,8-1,0) и отрывающая центробежная сила Гц [2, 3]. Схема образования частицы представлена на рис. 1. Для отрыва частицы необходимо выполнение условия:
^ц 1 Fнат.
Определим силу натяжения:
FHaT = ст%ndч,
(1)
(2)
где dч - диаметр частицы;
ст - коэффициент поверхностного натяжения расплава.
Коэффициент поверхностного натяжения частицы ст равен работе, необходимой для увеличения поверхности жидкости на единицу площади при постоянной температуре.
Венец
Рис. 1. Схема образования частицы
Коэффициент ст зависит от свойств расплава и охлаждаемой среды.
Сила центробежного ускорения:
Гц = тч<Яц, (3)
где тч - масса частицы;
a
ц
центробежное ускорение.
После выполнения ряда преобразований получаем следующее неравенство для прогнозирования частоты вращения заготовки п для получения гранул диаметром dч;
(
n 1 23,39
ст n
Л 0,5
/d ч,
(4)
чРч^з J
где Яз - радиус заготовки; рч - плотность частицы. Или при заданной частоте вращения заго товки п можно прогнозировать диаметр по лучаемых частиц:
(
d.^ 1 23,39
стп
чрч Нз
Л
0,5
/п.
(5)
Полученные формулы (4 и 5) позволяют в зависимости от подхода определить частоту вращения заготовки при заданном диаметре или, наоборот, прогнозировать диаметр частиц при заданной частоте вращения заготовки. Однако следует отметить, что формулы (4 и 5) не учитывают мощности, подводимой к заготовке от плазматрона. В то же время для титанового сплава ВТ6, используя экспериментальные данные, после аппроксимации была получена следующая зависимость:
у = 2,0978479 • 106х-0,97293427, (6)
где х- частота вращения, об/мин; у - диаметр гранулы, мкм.
Преобразуем неравенство (5) к следующему виду:
(
dч 1 С
ст п чрч Нз
Л 0,5
(7)
После обработки статистических данных получаем:
dч 1 2,098п-0,973.
По аналитической модели имеем:
d4 1 2,064п-1.
(8)
(9)
Таким образом, формула (5) может быть использована для ориентировочной оценки диаметра частиц. Более точно необходимую частоту вращения заготовки можно рассчитать, учитывая поправочный коэффициент, который можно получить после обработки статистических данных для частиц заданного химического состава.
Математическая модель динамики полета частицы
Для определения параметров динамики полета частицы необходимо решить дифференциальное уравнение движения. На частицу в полете действует сила аэродинамического сопротивления, направленная в сторону, противоположную скорости движения, сила тяжести и сила Архимеда, которой можно пренебречь. Считаем, что частицы вылетают из центра камеры, представляющей собой цилиндр (¿заг « dкaм).
Силу аэродинамического сопротивления всегда можно представить в виде:
F,
2
сопр
сеч " ч Рг/2,
(10)
Для расчета Сх в модели используется известная интерполяционная формула Л.С. Клячко [4]:
Сх = 24(1 + Ре2/3/6)/Ре.
(11
К несомненным достоинствам формулы Клячко относится высокая точность вычисления коэффициента аэродинамического сопротивления: при Ре < 400 отклонение от экспериментального значения не превышает 2-3%. Недостаток формулы Клячко - нелинейность, при числовом методе решения дифференциальных уравнений,нивелируется.
Число Рейнольдса рассчитывается по следующей формуле [5]:
Ре
_ Рг^чI _ Vdч
Ц
(12)
где р -V -l -
Итак,
где Cx - коэффициент аэродинамического сопротивления, зависящий от числа Рейнольдса; рг - плотность газовой среды; Vч- скорость полета частицы; всеч - площадь миделевого (среднего) сечения.
В работе [4] О.Н. Нейков и И.Н. Логачев дали достаточно подробный анализ аэродинамических характеристик порошков и пылевидных частиц. В частности, были систематизированы расчетные формулы для определения коэффициента аэродинамического сопротивления частиц сферической формы в зависимости от числа Рейнольдса.
Полет частиц в газовой среде происходит не в ламинарном или турбулентном режимах, а в переходной области, которая характеризуется диапазоном изменения числа Рейнольдса от 1 до 1000.
плотность газовой среды; скорость движение частицы; характерный линейный размер (принимаем диаметр частицы dч); коэффициент динамической вязкости;
коэффициент кинематической вязкости.
принимаем, сила сопротивления
при полете пропорциональна квадрату ско-
2
рости V2:
р = C S Ргаз V2 ' сопр сеч г) 4 ч ■
(13)
Используя формулы для расчета площади сечения частицы и массы сферической частицы, после ряда преобразований имеем:
рсопр = ктч Vч
(14)
где к - коэффициент, определяемый по формуле :
к =
3 СхР г
8 гчрч '
(15)
Считаем, что частицы в процессе распыления перемещаются в радиальном направлении. Для исследования динамики полета частиц рассмотрим два крайних случая: движение частицы вверх и движение частицы вниз.
Ц
V
-Ф-
Считаем, что все остальные случаи промежуточные, их решение находится в диапазоне крайних значений.
Расчет параметров динамики частицы при движении вверх
Рассмотрим перемещение частицы по оси Х. При движении частицы вверх на нее действуют две силы: тяжести и сопротивления, причем обе силы направлены в одну сторону, противоположную направлению движения частицы (рис. 2).
Дифференциальное уравнение движения частицы вверх в газовой среде можно записать в следующем виде:
,2
d x 2
тч —- = -m4g - km4V2,
dt
(16)
где g - коэффициент гравитации. После преобразований получаем:
dV
= -kdt.
+ V
2
(17)
После интегрирования уравнения (17) определим скорость полета частицы:
V = lgtg(C- Jk~gt).
(18)
Постоянная интегрирования С определяется из начального условия V(0) = V0:
C=arctg L/gVoJ.
(19)
X
V Ь
0(«0)
V
1 сопр
Р = mg
Рис. 2. Векторы скорости и сил при движении частицы вверх
^сопр ^ g
0(t = 0)
Р = mg
X
Рис. 3. Векторы скорости и сил при движении частицы вниз
После интегрирования уравнения dx = dVdt получаем следующую зависимость для определения координаты частицы во время полета:
х^) = /2 t
J tg(C - 4kgx)dx =
о
-1
4kg
C - Jkgt
ggc -V
Jk J
tg xdx
= -1 f-in cosx|C - ^ = 1|nC os (C - Jkgt) k V C
.(20)
k cos (C) Рассчитаем время и высоту максимального подъема частицы в пространстве камеры:
(21)
4kg
arctg V-gVo 4kg
x(t,
max) = ¿IncOSO- = -1 incos(C).
(22)
к" сое(С) к
Если задана предельная величина подъема частицы Х||т (порог подъема), определяемая радиусом камеры распыления
xlir
= 1 |n cos ( С - -kgt) 1 k cos(C)
(23)
то время достижения порогового значения частицей можно представить следующим образом:
кхц.
C - arccos e
tiim =
lim
cos (C)
4kg
Предыдущие выражения при выполнении условия:
t m n
(24)
4kg
справедливы
(25)
Расчет параметров динамики частицы при движении вниз
При движении частицы вниз на нее действуют две силы: тяжести и сопротивления. Причем силы действуют в разные стороны: сила тяжести вниз, сила сопротивления вверх (рис. 3).
Запишем дифференциальное уравнение движения частицы вниз в смеси охлаждающих газов:
d2x
тчd-2x = P - F = mg - km^V2 dt2
(26)
t
о
или
dV
= к
1У - V2
dt
при Ц0) = Vo.
Из физических соображений V(t) > 0, t е [0, да]. Поэтому рассмотрим два случая:
1. Скорость частицы V< ^ или < 1.
При ес = С1 получаем:
V(t) =
С1 е2^ - 1
д ^_
к 'с1 е2^ + 1
Постоянную интегрирования С1 найдем из начального условия (Ц0) = Vo):
с1 =
1 +
д
1 - ки
д
2. Скорость частицы V> д или V к > 1
д
41 = С1 е2^ ^ V= Л с 1 е 2 ^ + 1
V - д
С1 е2^ - 1
С1 = Ч
kVo + 1
-1
Так как д V > 1, то С1 > 1.
Анализ полученных результатов
Найдем предельную скорость, при которой сила тяжести уравновешена силой сопротив-
с12х
ления движения, т. е. = 0 - движение
dt2
инерционное:
Ит V(t) = д .
t ^ « ык
При Vo < д скорость монотонно вырастает
(27)
от Vo до Jg , при ^ > Jg скорость монотонно
убывает от Vo до (рис. 4). При Vo = ^ -скорость не меняется.
Для случая Vo > после ряда преобразований получаем выражение для расчета скорости движения частицы вниз:
(28)
дс1 е2^ + 1 ыд
т = д 1 _ и с1 = Ш
с1 е2^ - 1
Ч + 1
^0 - 1
> 1.(32)
В дальнейшем работаем только со случаем Vo > ^
,(29)
0 > к , который соответствует рассматриваемому процессу получения гранул. Полет частицы вверх не рассматриваем, так как менее критичен по сравнению с полетом частицы вниз.
Найдем для этого случая х(^ и ^р - соответственно путь и время достижения стенок камеры.
V(t)
, 2,Jkgt + 2а .
= д е + 1
к e2Jkgt + 2а 1
(30)
Г~ Jkqt + а -(Jkqt + а) = д е у + е у у ;
Чк e>Jkgt + а - + а)
= Iд c\h(„[gkt + а).
(33)
I "
(31)
-Уп =
Г
Рис. 4. Характер изменения скорости полета частицы
Уо>
о
Уо<
о
г
-Ф-
-Ф-
МЕТАЛЛУРГИЯ ГРАНУЛ. КОМПОЗИЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ
После интегрирования получаем следующее выражение для определения длины пути x(t) при полете часты вниз:
1 С1 в2^ - 1 x(t) = 1|п—1-— .
к (С1 - 1)в4*2
(34)
Время t достижения стенки камеры определяем по формуле:
t =
1 вХк(Сн - 1 ) +^Сн -1) 2в2Х + 4С
4дк
-|П-
2С
1 .(35)
Скорость и температура частицы в момент времени t (столкновение со стенкой камеры) определяют характер деформации: упругая, пластическая.
Расчет динамики полета частиц для титановых сплавов
На базе разработанной математической модели было проведено исследование процесса центробежного распыления быстро-вращающейся заготовки из титана.
Исходные данные модели:
- диаметр камеры Окам = 2,0 м;
- диаметр заготовки Оз = 0,08 м;
- плотность материала частицы рч = = 4500 кг/м3;
- плотность аргона рАг = 1,5595 кг/м3;
- плотность гелия рНе = 0,1502 кг/м3;
- диаметр частицы dч = 100 • 10-6 м;
- поверхностное натяжение расплава ст = = 1,558 Н/м;
- динамическая вязкость аргона цдг = = 2,35- 10-5 Па-с;
- динамическая вязкость гелия цНе = = 1,96- 10-5 Па-с.
Частота вращения заготовки, обеспечивающая получение частиц диаметром 125 мкм, определяется по формуле:
п 1 23,39 05= 17410 об/мин. (36)
Для дальнейших расчетов с учетом формулы (8) принимаем частоту вращения заготовки равной 22000 об/мин.
Тогда начальная скорость слета частицы с венца:
2пdзяг п V. = —-заг П- = 92,15338 м/с.
и 2 60
Примем следующее допущение: число Рей-нольдса является постоянным в течение всего полета частицы. Следовательно, и коэффициент аэродинамического сопротивления также является постоянной величиной.
При расчете числа Яе учитываем следующие соображения: меньшее значение силы Гсопр позволяет частице быстрее достигнуть стенки камеры распыления с более высокой скоростью соударения. Время отвода тепла уменьшается, но коэффициент теплоотдачи при большей скорости больше, чем при меньшей. Поэтому считаем, что количество теплоты, отведенное от частицы не зависит от Гсопр. При расчете числа Яе принимаем температуру газовой среды по основному потоку (Т = 40 °С) и скорость частицы V, равную максимальной, т. е. V = Vи.
Число Рейнольдса при полете частицы в среде аргона имеем:
Яе(Дг) =
Ргаз^' _ ^ч
= —^ = 732,6.
V
Число Рейнольдса при полете частицы в среде гелия: Яе(Не) = 84,6.
Коэффициент аэродинамического сопротивления рассчитывается по формуле Клячко. После подстановки численных значений получаем: Сх(Дг) = 0,47645 (для аргона) и Сх(Не) = = 1,1949 (для гелия).
Результаты расчета
Графические зависимости скорости полета и координат частицы от времени при охлаждении частицы в аргоне и гелии приведены на рис. 5, 6.
Из рис. 6 следует, что частица, летящая в среде аргона, достигает стенки камеры за время в 2 раза большее, чем в гелии.
У, м/с
X, м
90' 80 70 60 50 40 30 20 10
90' 80 70 60 50 40 30 20 10
- УИ\
-*- У(г\ У(г%\
-Г"
0 0,02 0,04 0,06 0,0 а
У, м/с
0 0,01 0,02 0,08 0,04 0,05 0,06 0,07
г, с
б
Рис. 5. Графическая зависимость скорости полета частицы в среде аргона (а) и гелия (б) от времени
1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2
0
0,1 0,12 г, с
X, м
1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2
0,005
0,01
0,015 0,02 0,025
г, с
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 б г, С
Рис. 6. Графическая зависимость длины пути частицы при движении вниз в среде аргона (а) и гелия (б) от времени
Выводы
1. Разработанная ММ позволяет определить:
- зависимость длины пути частицы в полете от времени х(^;
- зависимость скорости частицы от времени V(t);
- максимальное время полета частицы, время достижения стенки камеры.
2. На основе разработанной модели получены численные и графические зависимости координат и скорости титановых частиц в среде аргона и гелия.
3. Математическая модель динамики полета частиц имеет большое прикладное значение:
- при проектировании специализированного оборудования можно определить оптимальные геометрические размеры камеры распыления;
- на основе расчетных данных (время и путь полета частицы) можно вводить в конструкцию установок дополнительные устройства охлаждения.
4. Зависимость числа Рейнольдса и коэффициента аэродинамического сопротивления от температуры показывает, что для более точного моделирования процесса получения гранул необходимо совместное решение уравнений движения и теплопроводности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Орлов В.К. К инженерному расчету аэродинамики частицы при центробежном распылении расплава // В кн.: Металлургия гранул. - М.: ВИЛС, 1984. Вып. 2. С. 33-40.
2. Мусиенко В.Т. Особенности распыления вращающейся заготовки // В кн.: Металлургия гранул. - М.: ВИЛС, 1986. Вып. 3. С. 23-33.
3. Мусиенко В.Т. Закономерности образования гранул при центробежном распылении вращаю-
щейся заготовки // В кн.: Металлургия гранул. -М.: ВИЛС, 1883. Вып. 1. С. 41-48.
4. Нейков О.Д., Логачев И.Н. Аспирация и обеспыливание воздуха при производстве порошков. -М.: Металлургия, 1981. - 192 с.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Б.М. Гидродинамика. Теоретическая физика. Т. VI. - М.: Наука, 1986. -736 с.
а
