Модели с детерминированными и неопределенными параметрами применительно к оптимизации сельскохозяйственных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

АНР-метод, предложенный Т.Л. Саа-ти, используется при декомпозиции проблемы на отдельные части. Он предусматривает выделение иерархии, содержащей различные главные цели, подцели, критерии или уровни мероприятий, подлежащие оценке. Относительная значимость различных количественных и качественных критериев определяется в отдельности для каждого вышестоящего элемента путем сопоставления пар. В этом методе учитывается выгодность мероприятий. Трудоемкость этого метода очень высока. Результат АНР-метода пригоден только для множества стоящих на выбор альтернатив.

Кроме этих методов на практике часто применяют методы теории полезности с многими признаками. Многоцелевая проблема решается с помощью функций полезности, выраженных в количественном отношении и основывающихся на нормах замены между признаками. По сравнению с методом анализа полезности и АНР-методом при нахождении решения при нескольких целевых функциях обеспечивается стабильный ранговый порядок.

Наряду с рассмотренными выше существуют методы принятия инвестиционнофинансовых программных решений в услови-

ях определенности ситуаций, когда учитывается не только инвестиционная программа, но и финансовая, производственная и социальноэкономическая деятельность предприятия. Известно множество групп моделей синхронного планирования, связывающих воедино с инвестициями политику сбыта, управления персоналом, производством, налогообложением, размещением производственных мощностей и др. [1]. Они применяются ЛИР, когда ставится задача исследования взаимосвязи инвестиций с другими сферами и прежде всего с финансированием и производством.

Библиографический список

1. Шелобаев, С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах и бизнесе / С.И. Шелобаев. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 367 с.

2. Хачатрян, С.Р. Методы и модели решения экономических задач / С.Р. Хачатрян, М.В. Иинегина, В.И. Буянов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 384 с.

3. Блех, Ю. Инвестиционные расчеты / Ю. Блех, У Гетце; пер. с нем. - Калининград: Янтар. сказ, 1997. - 578 с.

4. Meyhak H. Simultane Gesamtplanung im mehrtufigen Mehrproduktuntemehmen. Ein Modell der dynamischen linearen Planungsprechnung. -Mannheim, 1968.

5. Schinweis C. Planung, Systemanalytische und entsch-eidungstheoretische Grundlagen.- Berlin u.a., 1991.

МОДЕЛИ С ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ОПТИМИЗАЦИИ

сельскохозяйственных процессов

Я.М. ИВАНЬО, проф. Иркутской ГСХА, д-р техн. наук,

М.Н. БАРСУКОВА, асп. Иркутской ГСХА

Модели оптимизации производственных процессов являются весьма актуальными, поскольку позволяют определять наиболее эффективные варианты получения продукции при экономии затрат. При этом с их помощью можно моделировать различные ситуации для оценки перспектив развития предприятия.

В условиях усложнения управления, поддержания конкурентоспособной продукции, увеличения степени влияния внешних воздействий моделирование различных сторон деятельности промышленных и сельско-

хозяйственных объектов представляет собой мощный инструмент для снятия неопределенности при управлении производственными процессами. К особо сложным системам моделирования относятся сельскохозяйственные предприятия, которые характеризуются различными формами собственности, являются многоотраслевыми, подвержены влиянию природных факторов и испытывают жесткую конкуренцию со стороны иностранных товаропроизводителей.

Экономико-математические модели, используемые для оптимизации производства

156

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2007

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

сельскохозяйственной продукции, обычно не вкладываются в задачи линейного программирования. При разработке оптимального решения для сельскохозяйственного предприятия возникает проблема выбора адекватных математических методов и моделей, позволяющих отражать структуру производства, оперировать оценками экспертов, учитывать неясность, неточность данных. Другими словами, при решении практических задач можно использовать оптимизационные модели в условиях неопределенности.

В математической теории оптимизации создана совокупность методов, помогающих при компьютерной поддержке эффективно принимать решения при фиксированных и известных параметрах, характеризующих исследуемый процесс. Однако основные трудности возникают в том случае, когда параметры оказываются вероятностными и неопределенными и когда они в то же время сильно влияют на результаты решения. Такие ситуации могут возникать как вследствие недостаточной изученности процессов, так и из-за участия в управлении нескольких лиц, преследующих различные цели.

Согласно [2] неопределенность - это отсутствие, неполнота, недостаточность информации об объекте, процессе, явлении или неуверенность в достоверности информации. Причем неопределенные явления не поддаются анализу и измерению с большой точностью [4].

Неопределенность как характеристика внешней среды (природы), в которой принимается управленческое решение о развитии (или функционировании) экономического объекта вызвана отсутствием, недостатком информации о действительных условиях (факторах), при которых развивается объект управления.

В работе [5] приводится классификация различных видов неопределенностей, часть из которых связана с недостаточностью знаний о природных явлениях и процессах, например:

- неопределенности, связанные с недостаточными знаниями о природе (неизвестен точный объем полезных ископаемых в конкретном месторождении);

- неопределенности природных явлений, таких как погода, влияющая на урожайность, на затраты и др.;

- неопределенности, связанные с осуществлением действующих и проектируемых технологических процессов.

Анализ результатов работы множества сельскохозяйственных предприятий показывает, что они могут быть выделены в группы, в одной из которых преобладают детерминированные производственно-экономические показатели, а в другой - вероятностные и неопределенные характеристики [1]. Модели с детерминированными параметрами предпочтительнее для прогнозирования развития предприятия. В то же время модели в условиях неопределенности ближе к отображению реальной ситуации, но с их помощью получают многовариантные решения.

Соблюдение современных технологий получения сельскохозяйственной продукции, как правило, уменьшает пагубное влияние природных явлений на финансовое состояние предприятий, что в условиях резко континентального климата является крайне сложной задачей. Между тем хозяйств с устойчивым производством в регионах страны незначительное количество. Для этих хозяйств характерна неубывающая многолетняя динамика производственно-экономических показателей.

Статистические исследования многолетних рядов характеристик деятельности устойчивых сельскохозяйственных предприятий позволили выявить следующие закономерности отраслей растениеводства и скотоводства [1]. Во-первых, в большинстве рассматриваемых случаев имеют место значимые линейные тренды. Во-вторых, многолетние ряды, описывающие скотоводство, характеризуются высокими первыми коэффициентами автокорреляции и значимыми авторегрессионными уравнениями при сдвиге на величину 1 год.

Из всего этого следует, что для оптимизации продукции растениеводства, скотоводства и их сочетания применимы модели задачи параметрического программирования. При этом в качестве параметра предлагаются два показателя. Первым из них является

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2007

157

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

время, а вторым - предшествующие значения рядов производственно-экономических показателей. Задача линейного параметрического программирования для этих случаев представима в следующей редакции

F = £ (с/ + С")х, (1)

i (a + a”) X = bj + bj't, i G I, (2)

X ^ 0, j G J, (3)

где F - целевая функция; x. - переменная; t - параметр;

cj, cj', a', aj', bj, bj - заданные коэффициенты и свободные члены линейных уравнений.

В качестве параметра t используются годы или предшествующие значения многолетних рядов характеристик, входящих в целевую функцию, и ограничения.

На основе задачи (1-3) построены модели для растениеводства, скотоводства и их сочетания. Модели реализованы для известного хозяйства СХОАО «Белореченское» Иркутской области. При решении реальных задач коэффициенты при неизвестных в целевой функции и коэффициенты левых частей ограничений приняты как постоянные значения. Только правые части условий описаны в виде значимых линейных уравнений.

Полученные модели проверены на адекватность и точность. Исследования остатков рядов и оценка значимости уравнений и их коэффициентов позволяют считать модели качественными. Кроме того, результаты ретроспективного прогноза с помощью оптимизационной модели с упреждением 1 год показали удовлетворительную сходимость модельных значений с реальными данными. Наименьшее расхождение между фактическими и прогностическими затратами на производство оказались для скотоводства, составив 3-6 %. При этом предпочтительнее выглядит модель, включающая авторегрессионные уравнения. Максимальное расхождение между значением целевой функции и фактическими затратами получено для растениеводства (25 %), что вполне объяснимо, поскольку эта отрасль сельского хозяйства в наибольшей степени подвержена влиянию

климатических условий и факторов подстилающей поверхности. По результатам моделирования сочетания отраслей отличия прогностических и реальных значений затрат составили около 20 %.

Таким образом, моделирование производства продукции скотоводства на основе задачи линейного параметрического программирования позволяет прогнозировать производственно-экономические показатели с наиболее высокой точностью как с параметром время, так и с параметром в виде предшествующего значения ряда. Приемлемые результаты получены для растениеводства и сочетания отраслей - растениеводства и скотоводства. Однако ретроспективный прогноз показывает не столь высокое качество этих моделей по сравнению с моделью, описывающей скотоводство.

Добавим к сказанному, что наличие случайных составляющих в предложенных детерминированных моделях уменьшает точность полученных результатов. Поэтому, помимо точечного прогнозирования, выполнен интервальный ретроспективный прогноз при уровне значимости 5 %. Для отрасли скотоводства разности между верхним и нижним значением прогнозов составили 5-6 %. Этот показатель для растениеводства и скотоводства находится на уровне чисел, определенных при сравнении точечных прогностических значений с реальными данными.

Полученные результаты показывают, что для предприятий с неубывающими показателями производства приемлемо моделирование оптимальной структуры отраслей и их сочетания на основе задачи параметрического программирования. Вместе с тем приведенные модели несут в себе ряд допущений и упрощений, не учитывая многих факторов, касающихся как производственных, так и природных условий. В частности, даже устойчивые сельскохозяйственные предприятия не в состоянии предотвратить воздействие на производство продукции природных стихийных явлений. Так, засуха 2003 г. в Иркутской области отрицательно сказалась на урожайности зерновых культур. Последствия стихии для стабильно работающих организаций привели к уменьшению продукции на 25-30 %.

158

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2007

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Наряду со сложностью учета погодных факторов и изменений ландшафтов трудности при моделировании сельскохозяйственных процессов возникают при оценке некоторых производственно-экономических парамет-

ров, входящих в оптимизационные модели. Во многих случаях приведенные затраты, стоимостные показатели и коэффициенты, характеризующие трудовые и земельные ресурсы, не являются постоянными величинами. В лучшем случае они колеблются в незначительных пределах и могут усредняться, а в худшем - несут в себе неопределенность. Поэтому модели с детерминированными параметрами ограничены для практического использования.

Несмотря на то, что в большинстве устойчивых сельскохозяйственных предприятий наблюдаются значимые тенденции роста по основным производственно-экономическим показателям, многим из них свойственна неопределенность.

В работе [3] рассматриваются задачи планирования с учетом неопределенности применительно к сельскохозяйственному производству

min{ cTx : g(x, у) < 0, x e Rx, y e Ry, i = 1, m } = у(у), (4)

где Rx e En, Ry e Em - выпуклые ограниченные множеств;

x - вектор в распоряжении ЛПР; у - вектор исходных данных возмущений, поступающих извне в рассматриваемую систему.

Как правило, множество Ry задается верхними и нижними границами на компоненты y вектора y.

Компонентами (y ) вектора y могут быть урожайности j-ой сельскохозяйственной культуры на почве /-ого типа (а), сток рек, уровень зеркала водохранилища, трудовые и другие виды ресурсов.

Зачастую необходимо знать верхние и нижние оценки у(у) или лучший и худший варианты работы предприятия. Для этого нужно решить две следующие задачи

mm{V(y) : y e Ry}, (5)

тах{уу : У e Ry}. (6)

Обозначим решение этих задач у, у. При этом, если у - у < s (s - малое по-

ложительное число), то задача (5-6) устойчива к возмущениям, в противном случае (у - у >> s) эти возмущения могут привести к катастрофическим последствиям, и лицу, принимающему решение, следует использовать дополнительные меры для дальнейшего устойчивого функционирования системы.

Приведенная задача применена к определению оптимальной структуры производства отраслей сельского хозяйства и их сочетания в условиях неопределенности. Предложено минимизировать затраты на производство при неопределенных характеристиках в целевой функции и правой части ограничений. При этом использованы задачи как линейного, так и параметрического программирования.

Математическая модель сочетания отраслей с использованием неопределенных параметров записывается следующим образом. Критерий оптимальности имеет вид

Е Сxs + Е chxh ^ min, (7)

seS heH

при условии, что затраты на получение продукции c 1 га (cs) и 1 головы скота (ch) находятся в некоторых пределах

c < c > c , cu < c < С .

—sss> —h h h

Модель связана с рядом условий:

1) ограниченностью производственных ресурсов

Е Lx+ Е fmxb < F 1 eL; (8)

seS heH

2) использованием в животноводстве побочной продукции растениеводства

Е Р}Л > xj, je J; (9)

se S

3) ограниченностью размера отраслей

- по растениеводству

П <Е(1+ах)xs <П, r eR, (10)

seSr

- по скотоводству

xh = Vv h h'e H; (11)

4) производством конечной продукции не менее заданного объема, в том числе

- по растениеводству

Е va > V, я e qm (12)

se S

- по скотоводству

Е Vqhxh > Vq, Я e Q2 (13)

heH

при условии, что V < Vq < Vq;

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2007

159

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Таблица

Результаты решения задач с неопределенными параметрами, тыс. руб.

Неопределенность Верхняя оценка у Нижняя оценка у Разность у - у

Растениеводство (ЗЛП)

Целевая функция 153 914 153 100 814

Целевая функция и параметр правой части ограничений 156 632 155067 1565

Скотоводство (ЗЛП)

Целевая функция 80 922 76 106 4816

Целевая функция и параметр правой части ограничений 81256 78812 2444

Сочетание отраслей (ЗЛП)

Целевая функция 200 543 188 650 11893

Целевая функция и параметр правой части ограничений 220562 198564 21998

Растениеводство (ЗЛПП)

Целевая функция 194879 189918 4961

Скотоводство (ЗЛПП)

Целевая функция 139327 131877 8050

Сочетание отраслей (ЗЛПП)

Целевая функция 230112 220665 9447

5) увязкой растениеводства и скотоводства, в том числе

- по балансированию рационов животных по элементам питания

Z aisPsXs + Z j ^Z brhxh 1 G 1 , (14)

s<=S j<^J h&H

- по структуре производства кормов

Z dkhXh <Z aisPsXs +

HgH sGSk

+Zaijxj ^Zdkhxh, kgK; (15)

j^Jk h&H

6) неотрицательностью переменных

^ xh * 0, (16)

где x - искомая переменная площадь s-культуры или вида кормовых угодий;

f - расход /-ресурса на единицу площади s-культуры или вида кормовых угодий;

Ft - наличие ресурса /-вида;

V - гарантированный объем производства продукции q-вида;

Pjs - выход с единицы площади s-культу-ры j-вида корма;

Xj - количество кормов j-вида, используемое скотоводством;

nr, nr - максимально и минимально возможная площадь культур r-группы;

vqs - соответственно выход товарной продукции q-вида с единицы площади s-культуры;

ps - выход основной кормовой продукции с единицы площади s-культуры или вида кормовых угодий;

^, dkh - минимально и максимально допустимый нормативный размер потребности в кормах k-группы единицы поголовья h-вида (группы) животных, выраженный в кормовых единицах; as - содержание /-элемента питания в единице кормовой продукции, получаемое от s-культуры; a - содержание /-элемента питания вj-виде корма или компоненте кормосмеси; as - коэффициент, учитывающий площадь семенных посевов для s-культуры;

a.. - содержание /-элемента питания в j-виде корма или компоненте кормосмеси;

as - содержание кормовых единиц в единице корма, получаемого от s-культуры; xh - искомая переменная с h-видом скота; Bh - количество необходимого поголовья; flh - расход /-ресурса на единицу поголовья h-вида (группы) животных; vqh - выход товарной продукции q-вида с единицы поголовья h-вида; b/h - минимальная потребность в /-элементе питания единицы поголовья h-вида (группы).

160

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2007