CC BY
2Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 77 www.mai.ru/science/trudy/
УДК 533.6.011.8
Модели первого приближения для неравновесных течений
многоатомных газов
Никитченко Ю.А.
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия
e-mail: nikitchenko7@yandex. ru
Аннотация
Рассмотрены модели первого приближения, содержащие 5 и 6 моментных уравнений. Модели предназначены для расчета неравновесных, преимущественно сверх- и гиперзвуковых, течений. Энергообмен между поступательными и внутренними степенями свободы в 5-моментой модели учтен коэффициентом объемной вязкости, в 6-моментной - двумя самостоятельными уравнениями энергии. На примере решения задачи о профиле ударной волны показано, что 5-моментная модель дает качественно неверные значения энергий поступательных и внутренних степеней свободы. Погрешности 6-моментной модели носят количественный характер.
Ключевые слова: моментные уравнения, первое приближение, объемная вязкость, двухтемпературная модель, профиль ударной волны.
Введение
Характерной особенностью поля течения, возникающего при обтекании гиперзвукового летательного аппарата, является образование областей с высокой динамической неравновесностью. В этих областях энергия теплового движения существенно неравномерно распределена между степенями свободы молекул, как поступательными, так и внутренними (вращательными и колебательными). Тестовые расчеты плоских ударных волн показывают, что количество энергии теплового движения, сосредоточенной на продольной поступательной степени свободы, при М= 5 может почти вдвое превосходить значение средней энергии теплового движения и более чем втрое превышать энергию внутренних степеней свободы.
Вместе с тем, пороговые значения энергий многих физико-химических процессов, протекающих в газе и на поверхности летательного аппарата, определены энергией (температурой) поступательного движения молекул. Из кинетической теории известно, что коэффициенты переноса (вязкости, теплопроводности, диффузии) определяются поступательной температурой (температурой поступательных степеней свободы). В этой связи становится актуальной разработка физико-математических моделей неравновесных течений.
Методы прямого статистического моделирования и кинетические модели течения газовой среды используются, как правило, в задачах с относительно простой геометрией в силу своей низкой экономичности.
Моментные методы, базирующиеся на кинетическом уравнении, но позволяющие описывать течение в газодинамических переменных, не достаточно хорошо разработаны для практического использования в гиперзвуковой области течений. Основным препятствием является коротковолновая неустойчивость системы моментных уравнений.
В практических расчетах широко распространена феноменологическая модель Навье-Стокса-Фурье (НСФ). В случае течения одноатомного газа эта модель является строгим первым приближением (в смысле процедуры Чепмена-Энскога) кинетического уравнения. Применительно к течениям многоатомных газов модель НСФ носит скорее эвристический характер. Это связано с тем, что энергообмен между поступательными и внутренними степенями свободы молекул учитывается на основании представлений общего характера. Уточним, что модель НСФ базируется на теории сплошной среды, из которой не следует объемная вязкость в каком-либо конкретном выражении.
Строгие соотношения для коэффициента объемной вязкости, следующие из молекулярно кинетической теории, получены рядом авторов, см. например [1]. В удобной для газодинамических задач форме коэффициент объемной вязкости получен из первого приближения системы моментных уравнений многоатомных газов [2].
Сразу оговоримся, что коэффициент объемной вязкости имеет очень специфическое назначение. В модели НСФ этот коэффициент предназначен для связи термодинамического давления (давления в традиционном понимании) с
механическим давлением, представляющим собой треть следа тензора напряжений. В более информативных моделях, например кинетических или моментных, необходимость в коэффициенте объемной вязкости отпадает, так как процессы энергообмена между поступательными и внутренними степенями свободы в таких моделях описаны явно.
Модель первого приближения с коэффициентом объемной вязкости в форме [2] будет рассматриваться как 5-моментная модель, так как представляет собой первое приближение 24-моментной системы [3] и содержит ее первые пять уравнений. Коэффициент объемной вязкости в рамках этой модели позволяет формально определять энергии поступательных и внутренних степеней свободы. В работе [2] показана несостоятельность 5-моментной модели в данном приложении. В работе [4] предложена 6-моментная модель первого приближения. Энергии теплового движения поступательных и внутренних степеней свободы представлены двумя самостоятельными уравнениями. Коэффициент объемной вязкости в этой модели не используется. Вопрос адекватности получаемых значений энергий реальным значениям в работе [4] не рассматривался. Выяснению этого вопроса посвящена настоящая работа.
1. Система 24-х моментных уравнений
Система моментных уравнений многоатомных газов (24-моментная система) была получена в работе [3]. В работах [2] и [4] используются различные, эквивалентные
формы записи этой системы. При получении моделей первого приближения различные формы 24-моментной системы приводят к неэквивалентным системам уравнений. Причины этого будут пояснены ниже.
Одна из форм 24-моментной системы, используемая в работе [2], записана относительно термодинамических величин давления и температуры. Уравнения этой системы:
др дри
+ = 0; (1) д? дх
а
ди. ди. 1 дР .
д?
1 + и —- + ■
а
дх р дх
0; (2)
дТ дТ
+ и„ Т~ + (7_ 1)Та^ +
ди 1 дд
д? а дх
ав дх п с р дх
в V а
= 0; (3)
дв
дв 2 ди а 1 д
с
+ -Т
а
+ ■
-+ и - . . .
д? а дх 3 ав дх п р дх
а в
а
а
\
21
-Р--Ю
3Я а а
V о. у
в
Нт
(4)
д т д
р +
(и Рт)"
V аг и /
ди
2
ди
1т )+ Р — 2Р Д
дГ У дх у а 1 у ' *а дх у 3 ав дх
+
+ 2-
д
дх
а
р.. _3..-р и а Ч 3 а
Р
(5)
. д (
+_. )+ +рр дТ**=_2(к • (6)
д? дх у а
а
*а дх 2 а дх 3 т
а а р
дЮ д
ди.
дР Ю
(и ю)+ю ^ + сР~-^ =--^. (7)
д? дх у а г' а дх п а дх т
а а а р
+
а
а
а
а
Т
Здесь использована аппроксимация Эйкена Рг = 4у1 (9у- 5). При этом время релаксации момента сс совпадает с временем релаксации напряжений т.
Повторяющиеся греческие подстрочные индексы в одночленах подразумевают суммирование от 1 до 3, например: Paa = Pll + P22 + Р33.
Подстрочные звездочки в одночлене обозначают операцию симметрирования тензора с исключением повторений тождественных по величине членов (компактное симметрирование). Например:
—. Здесь М(3) - симметричный тензор
а дx ча дx дx №а дx
а а а а
третьего ранга.
Основные символы. т с, е - масса, тепловая скорость и внутренняя энергия молекулы;
f = f (t, x1, x2, x с1, с се) - одночастичная функция распределения; р, ui, T - плотность, скорость и термодинамическая температура газа; Еп - энергия внутренних степеней свободы молекул в единице объема; Г, = Еп/(спр), 0 = Г - Тп - температуры поступательных и внутренних
степеней свободы молекул и разность температур;
Р. = т01 cicjfdcdе, Г.. = Р.^ (рЯ) - полное и удельное напряжения;
рт = Р^!3 = рЯГ{, р = рЯГ - механическое и термодинамическое давления;
р = Р -8 р , р = Р -8 р - механическое и термодинамическое неравновесные
у и и и и и
напряжения;
Фук = т01cicjckfdcds - момент 3-го порядка;
- вектор теплового потока, обусловленный переносом энергии
\ i аа
поступательного движения молекул;
щ =|cisfdcds - вектор теплового потока, обусловленный переносом внутренней энергии молекул;
qi = ф + щ - полный тепловой поток.
cv, у, к, Я = к!т0 - изохорная теплоемкость, показатель адиабаты, постоянная Больцмана и газовая постоянная;
c^= cv - 3/2 Я - теплоемкость внутренних степеней свободы; тр, тв - времена релаксации напряжений и разности температур;
к = тотр ■
В настоящей работе величина к определена в соответствии с работой [5]:
к = 2 (7 - 2*><5 - . (8) 30
Здесь 1/7 представляет долю неупругих столкновений по отношению к общему числу столкновений молекул; я - показатель степени температуры в аппроксимации коэффициента вязкости ¡и = ).
Приведем некоторые полезные в дальнейшем соотношения. Энергия теплового движения молекул может быть разложена на поступательную и внутреннюю составляющие следующим образом:
3
' 3 ^
срТ = -ЯрТ + с, _-Я рТо. (9)
V 2 У
о
Простейшие преобразования позволяют выразить термодинамическую температуру как средневзвешенное значение поступательной и внутренней температур, а также получить соотношения этих температур с использованием разности температур в:
Т = 3 (г- 1)Т? + ; (10)
5 _ 3у Тг = Т + —^в; (11)
3
То= Т _ 3 (у_ 1)в. (12)
Тензор напряжений может быть разложен на сферическую и бездивергентную части двумя способами:
р = рт +3. рт = р.. + £.. р. (13)
у У У У У
С учетом определений механического и термодинамического давлений из (11) и (13) следует связь между термодинамическим и механическим неравновесными напряжениями:
ру = рт + ^ркв. (14)
В работе [4] уравнение энергии (3) 24-моментной системы представлено в виде двух уравнений: уравнения поступательной энергии и уравнения внутренней энергии теплового движения:
дТ дТ 2 ди 2 др 5 - 3уТ - Т
+ и + 2 Т + —--^ = - ^^ ^-п; (15)
дг а дх 3 ав дх 3рЯ дх 2к т
а а ' а р
дТ дТ 1 да 3(у-1) Tt - Т
+ и + —--«=А/ 1 )л-п . (16)
дг а дх с^ р дх 2И т
а П' а р
Уравнение разноси температур (4) становится избыточным и исключается из системы. Остальные уравнения остаются неизменными. Подчеркнем, что обе 24-моментные системы эквивалентны и представляют собой единую физико-математическую модель течения, называемую в работе [2] 24-моментной моделью.
2. Модель первого приближения в термодинамических переменных
Порядок приближения в смысле процедуры Чепмена-Энскога определяется показателем степени малых величин, удерживаемых в уравнениях системы. Выберем в качестве единиц измерения времени, геометрического размера, массы, энергии и температуры такие единицы, в которых макроскопические величины, включая характерное время и геометрический размер, будут иметь порядок единицы. Константы, входящие в уравнения 24-моментных систем, изменят свои значения, но также будут иметь порядок величины - единица.
В умеренно разреженном газе средняя длина и среднее время свободного пробега молекулы будут малыми величинами. Примем в качестве малой величины среднее
время свободного пробега т или совпадающее с ним по порядку величины время релаксации напряжений тр.
Уточним, что даже в плотных газах могут возникать области высокой неравновесности, размер которых соизмерим с длиной свободного пробега молекул. Физико-математические модели первого приближения для таких течений теоретически не обоснованы и требуют дополнительного тестирования. В частности, ударная волна является областью высокой неравновесности независимо от степени разреженности газа. Это обстоятельство делает задачу о профиле плоской ударной волны основным тестом пригодности модели того или иного приближения для описания неравновесного течения.
Считая время свободного пробега молекулы т малым, оценим порядок малости неравновесных величин, входящих в 24-моментную систему. Нетрудно заметить, что в левых частях моментных уравнений (4) ... (7) содержатся члены порядка
ди ди дТ
единицы. Эти члены имеют вид выражений Т——, р——, р-. Различие между
дх... дх... дх...
р и рт, Т и или То в данном случае несущественно. Правые части указанных
уравнений, т.е. релаксационные члены, также должны иметь порядок единицы. Так как релаксационные члены содержат неравновесную величину, отнесенную к времени релаксации, то неравновесная величина должна иметь порядок малости т .
Исключение составляют моменты р с несовпадающими значениями индексов, но
ик
такие моменты в моделях первого приближения не используются.
Оставим в левых частях уравнений (4) ... (7) только старшие члены. Перепишем уравнения относительно неравновесных величин, фигурирующих в релаксационных членах. В результате получим выражения неравновесных величин в первом (т1) приближении. Номер приближения обозначен надстрочным индексом в квадратных скобках:
в[1] = _ 2 н^диа; (17)
3 Яр дха
рт М = _и
^ ди ди 2 ди ^
+
]
_8.
дх дх \ 3 дх
V ] 1 а
; (18)
рМ=_ 3 Яи
1]к 4 ^
' дТ . дТ . дТЛ 8. — + 8 -+ 3 —
\ дх, 1 к дх ]к дх
к]
Ы=рМ =_ I- ЯМ— ; (19)
Р11=(
/ та
4
дТ дх
■и-^!. (20)
В этих выражениях учтено, что для выполнения закона трения Стокса необходимо: трр = ¡и. Для перехода к термодинамическим переменным используем (14) и
соотношение д = р + ш
Т г г
[1]
р =_и
^1] г
ди ди.
дх дх
V ] 1
х 2
+ 8.. —и \ 3
1 _
5 _ 3^ 2
Н
ди
а
дх
. (21)
[1] [1] [1] ср дТ , д\] = рУ + юИ = _Р-• (22)
В уравнении (21) коэффициент объемной вязкости представлен как
2 5 _ 3у ¡и = ^ -^Ни. (23)
а
Уравнения (1), (2), (3) в совокупности с (21), (22) образуют 5-моментную модель первого приближения или модель НСФ с явно выраженным коэффициентом объемной вязкости:
др дРис
+
дг дх
0
а
ди.
ди 1 дР .
■ + ■
—- + и дг дх р дх
= 0
(24)
а
дТ
а
дТ
--+ и —
дг дх
■ +
(г- 1)Т
ди
а
+ ■
1 дд_
а
ав дх п с р дх
в V с
= 0
р = -и
ди ди.
дх дх V ] ' У
л 2 + 8.. —и и 3^
5-3/
к
ди
с
дТ
——; (ц =—р¡и—
дх ' 1 Рг дх
Здесь Р = р +8 р, М = М[Г).
Система (24) определяет только поступательную температуру, но зависимости (11) и (12) в совокупности с (17) позволяют определить поступательную и внутреннюю температуры в первом приближении:
Т[ = Т + ^ ¿М = Т - ^ к^-^а; (25)
2
3 Яр дх
а
гМ = Т - 3 (у- 1)#М = Т + (у- 1)к . (26)
п 2 й 7 4 ; Яр дх
Насколько эти выражения адекватны описываемым физическим процессам будет показано в последнем разделе.
а
а
3. Двухтемпературная модель первого приближения
Двухтемпературная или 6-моментная модель первого приближения может быть построена аналогичным образом. Система дифференциальных уравнений этой модели содержит уравнения сохранения массы и импульса, а также два уравнения сохранения энергии в форме (15), (16). Для замыкания системы достаточно уравнений (18), (19), (20).
др , дриа
- +
д? дх
= 0
а
ди ди 1 дР -\- + и —1- + ±—а = 0 д? а дх р дх
ГV ' >
а
а
дТ _?
д?
+ и
дТ 2
а
+ -Т
див+ 2 дРа_ 5 _ 3Г Т _ То
; (27)
дх 3 ав дх 3рЯ дх
2Н
т
р
дТ
о
дТ
о+ = Ы ТсТо
+ и
д? а дх с^ р дх
а о' I
2Н
т
р
т
р ■■ = _и
ди ди 2 ди __] _8 а
дх дх \ 3 дх
V ] 1 а
15 дТ дТо
р. = — Яи—-; ю = _сои—— 1 4 дх. ' о дх.
Здесь Р.. = рт + 8..рт, и = ). Коэффициент объемной вязкости не используется.
Термодинамическая температура не является системной величиной. При необходимости она может быть вычислена по уравнению (20).
Если формально следовать порядку приближения неравновесных величин, то в релаксационных членах уравнений (15) и (16) разность температур должна быть заменена своим первым приближением, т.е.
дТ дТ 2 ди
+ и + 2 Т „ + д? а
2 др
[1]
а
дх 3 ав дх 3рЯ дх
а а ' а
5 _ 3^ в 2Н т
[1]
д1а+и £001 = Ы(29)
дг а дх с^ р дх 2к т
а 1У а р
Здесь в обозначениях тепловых потоков сохранен значок первого приближения, опущенный в системах (24) и (27).
Нетрудно показать, что (28) и (29) представляют собой внепорядковые выражения. Левые части этих уравнений помимо старших членов (порядок единица), содержат величины порядка т. Таким образом, левые части определены в «навье-стоксовом» приближении, т.е. уточнены до величин порядка т. Релаксационные члены уравнений (28), (29) имеют порядок единица и не содержат членов порядка т, что соответствует «эйлерову» приближению.
С феноменологической точки зрения левые, дифференциальные части моментных уравнений определяют процессы переноса и наработки неравновесных величин. Правые части описывают процесс релаксации этой величины. Моментные уравнения (28) и (29) описывают указанные процессы в разном приближении, что и делает их несостоятельными с точки зрения феноменологии. Формальная сторона этого вопроса разобрана в работе [2]. В настоящей работе двухтемпературная модель с уравнениями энергии в форме (28), (29) рассматриваться не будет.
4. Тестовый расчет
В качестве предварительного теста для разработанных моделей рассмотрена задача о профиле ударной волны. Эта задача решалась в традиционной постановке. На верхней по потоку границе расчетной области задавались условия невозмущенного
потока. На нижней границе - условия Ренкина-Гюгонио. На обеих границах значения неравновесных величин р.., <, а. принимались равными нулю, т.е. состояние газа
Ч У к '
считалось равновесным. Средняя длина свободного пробега молекул в
невозмущенном потоке определена как Яж = ^^л/ЯТЖ .
рж
Для качественного анализа результатов тестирования применялись профили, рассчитанные по модельному кинетическому уравнению, предложенному в работе [2] для анализа системы моментных уравнений и "настроенному" на рассматриваемую задачу по экспериментальным профилям работы [6]. На приведенных ниже графиках показаны результаты расчета профилей плоской ударной волны в двухатомном газе. Все графики построены при М = 5. На рис. 1 показаны профили, рассчитанные по 5-моментной модели. Профили поступательной и внутренней температур построены с использованием зависимостей (25), (26) и заимствованы из работы [2]. В этом тесте принято И = 1, т.е. поступательные и внутренние степени свободы равноценны с точки зрения скорости протекания релаксационных процессов. Вместе с тем, экспериментально установлено, что внутренние (вращательные) степени свободы релаксируют в несколько раз медленнее поступательных.
Рис. 1. Профили температур в плоской ударной волне двухатомного газа. 5-моментная модель первого приближения (24), ^ = 1, И = 1.
При значениях И > 1 на профиле Т^, рассчитанном по 5-моментной модели,
возникает физически неадекватный участок, на котором в процессе релаксации энергия теплового движения передается от «холодных» внутренних степеней свободы к «горячим» поступательным степеням.
На рис. 2 показаны профили, рассчитанные при И = 2.5. Это значение соответствует зависимости (8) при ^ = 1 и 2 = 5. Если учесть, что 5-моментная модель явным образом требует выполнения закона сохранения энергии в виде уравнения (3), то можно утверждать, что занижение температуры Т^ влечет за собой завышение
температуры Т в соответствии с соотношением (10).
— Т/Гоо
/ / /- ТпЛ",
//Т/т /
1 | ! | 1 | 1 | 1 |
20 22 24 26 28 30
Рис. 2. Профили температур в плоской ударной волне двухатомного газа. 5-моментная модель первого приближения (24), ^ = 1, И = 2.5.
8 12 16 20
Рис. 3. Профили температур в плоской ударной волне двухатомного газа.
Двухтемпературная (6-моментная) модель первого приближения (27), ^ = 1, И = 2.5.
Профили рис. 3 построены при тех же значениях параметров, что и профили рис. 2. Расчеты проведены по 6-моментной двухтемпературной модели. Поступательная и внутренняя температуры определены непосредственно системой (27). На графиках отсутствует физически неадекватная область.
На рис. 4 совмещены профили, даваемые кинетической моделью (сплошные линии), и профили 6-моментной модели (пунктирные линии). Параметры s и И 6-моментной модели подобраны таким образом, чтобы наклон профиля плотности соответствовал экспериментальным данным работы [6]. Наблюдается количественное расхождение между профилями кинетической и 6-моментной моделей. В частности, размер возмущенной области, даваемый 6-моментной моделью, существенно меньше. Причины такого заужения профилей ударных волн, характерного для всех моделей первого приближения, подробно рассмотрены в работе [2]. Качественные несоответствия профилей отсутствуют.
20 24 28 32 36 40
Рис. 4. Профили температур в плоской ударной волне двухатомного газа. Сплошные линии - кинетическая модель [2]; пунктирные линии - двухтемпературная (6-моментная) модель первого приближения (27), £ = 1, И = 3.1.
На рис. 5 совмещены профили, даваемые 6-моментной моделью (сплошные линии), и профили 5-моментной модели (пунктирные линии). Профили 6-моментной модели соответствуют рис.4. Параметры s и И 5-моментной модели подобраны из указанных выше соображений. Помимо отмеченных выше качественных несоответствий, 5-моментная модель дает более узкую область возмущений, чем 6-моментная модель.
- / /
- / /
- Т/Т ' / / X * X ТЛХ/ /У ; /
- /х '
-
- ^¿У!
- " ч / \ /
- х/Х 1 1 [ 1 1 1
28 32 36 40
Рис. 5. Профили температур в плоской ударной волне двухатомного газа. Сплошные линии - двухтемпературная (6-моментная) модель первого приближения (27), £ = 1, И = 3.1; пунктирные линии - 5-моментная модель первого приближения (24), £ = 1, И = 4.
4. Обсуждение результатов
Расчетные данные, приведенные на рис. 4 и рис. 5, подтверждают известное свойство моделей первого приближения давать зауженную область возмущений в случае торможения сверх- и гиперзвуковых потоков, см. например [2]. Более широкая область возмущения 6-моментной модели обусловлена, по-видимому, использованием в аппроксимации коэффициента вязкости поступательной температуры, что повышает вязкие свойства модели в течениях торможения. В 5-моментной модели такая аппроксимация привела бы к физически неадекватным решениям, так как Т^ и, следовательно, Т определены этой моделью качественно
неверно.
Проанализируем причины такой физической неадекватности с феноменологической точки зрения. Система уравнений (24) содержит только уравнения сохранения массы, импульса и энергии. Эти уравнения представляют собой моментные уравнения, не содержащие релаксационных членов. Отсутствие релаксационных членов, очевидно, связано с тем, что уравнения сохранения записаны для моментов, являющихся инвариантами межмолекулярных столкновений. Таким образом, 5-мометная модель явным образом требует выполнения только законов сохранения. Диссипативные процессы описаны в данной модели неявно.
Во всех моделях первого приближения необратимый переход энергии группового движения молекул в энергию их теплового движения сводится к равенству
быстроты релаксации и быстроты динамической наработки неравновесного напряжения в первом приближении. В 6-моментной модели это:
Р
т
ди] 2 дыаЛ
— + — - --а
дх,- дх 3 дх
V а
а
Р]
. (30)
В 5-моментной модели:
Р
ди ди]
— + —- - 8 -дх,- дх 3
V ']
I
V
5-3/
~2Г
к
ди
а
;дха
Р]
Т
. (31)
Принципиально важно, что зависимость (30) описывает перераспределение энергии только между поступательными степенями свободы, а зависимость (31) - еще и между поступательными и внутренними степенями свободы. В выражении (31) эти функции выполняет коэффициент объемной вязкости (23). В 6-моментной модели энергообмен между поступательными и внутренними степенями свободы описан явно и представлен релаксационными членами уравнений энергии системы (27) или (15), (16).
Принципиальное отличие описания процессов энергообмена между поступательными и внутренними степенями свободы двумя рассматриваемыми моделями обнаруживается и с формальной точки зрения. Если считать время релаксации известной функцией, то бесконечная система моментных уравнений является прямым следствием кинетического уравнения.
Для кинетического уравнения справедлива Я-теорема Больцмана, представляющая собой молекулярно-кинетическую трактовку второго закона термодинамики. Таким
т
1
образом, модели течений, базирующиеся на системе моментных уравнений, явным образом требуют выполнения указанного закона.
Численное тестирование моментных моделей (см. например [2]) показывает, что даже в условиях сильно неравновесных течений процесс энергообмена между поступательными и внутренними степенями свободы описывается качественно верно. Отметим, что коротковолновая неустойчивость моментных систем не связана с процессом указанного энергообмена, так как в равной степени проявляется в течениях как многоатомных, так и одноатомных газов, не имеющих внутренних степеней свободы.
Обе модели первого приближения получены из 24-моментной системы уравнений. Использование термодинамических величин р и Т, т.е. величин осредненных по всем степеням свободы, приводит к 5-моментной модели. В результате такого осреднения из уравнения энергии исчезают релаксационные члены, т.е. члены, выражающие второй закон термодинамики в явной форме. Профиль Т^ рис.2 на
интервале х = (20 + 22)Л00 очевидно противоречит этому закону. Уравнения энергий поступательных и внутренних степеней свободы не могут быть записаны без релаксационных членов, так как эти энергии не являются инвариантами межмолекулярных столкновений. Таким образом, 6-моментная модель наследует свойства 24-моментной системы уравнений в отношении строгого выполнения второго закона термодинамики. Проведенные тесты позволяют сделать следующие выводы:
- 5-моментная модель или модель НСФ с подобранным коэффициентом объемной вязкости, не позволяет, покрасней мере в области неравновесных течений, физически адекватно определять температуры поступательных и внутренних степеней свободы;
- для расчета неравновесных течений, связанных с химическими реакциями, эрозией поверхности и подобными физико-химическими процессами, следует использовать двухтемпературные модели, аналогичные описанной 6-моментной модели.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, проект №865.
Библиографический список
1. Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. - М.: Наука, 1989. - 336 с.
2. Никитченко Ю.А. Модели неравновесных течений. - М.: Изд-во МАИ, 2013. -160с.
3. Никитченко Ю.А., Система моментных уравнений многоатомных газов // Полет. 2010. №11. С. 43-51.
4. Никитченко Ю.А. Модели первого и второго приближений для течений многоатомных газов. // Вестник Московского авиационного института, т.19, №2, 2012, С. 11-17.
5. Bird G.A. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows. Oxford: Clarendon Press, 1994.
6. Alsmeyer H. Density profiles in argon and nitrogen shock waves measured by the absorption of an electron beam // J. Fluid Mech. 1976. V. 74. Pt.3. Pp. 497-513.
