CC BY
51
УДК 519.21
МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МОСТОВЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ
РУДЬ И.А.
Оцениваются вероятности работы системы с мостовым соединением элементов; описываются рекуррентные соотношения, позволяющие вычислить вероятность безотказной работы схем рассматриваемого типа.
При расчете надежности технических систем широко используются математические модели [1]:
P = П Pi (1)
i—1
при последовательном соединении цепочки из n элементов и
Р = 1 -ПI1 - Pi) (2)
i=1
— при параллельном. Здесь Pi — известные вероятности безотказной работы отдельных элементов системы в течение заданного периода времени.
Приведенные модели (1), (2) не охватывают все возможные типы соединений элементов в технических системах.
При проектировании и эксплуатации технических систем часто возникает необходимость в расчете надежности цепочки мостовых соединений [2]. Например, при расчете надежности магистральных напорных водоводов в системах водоснабжения, отводных коллекторов в системах канализации и водоотведения, в системах транспортировки газа (нефти) и других.
Рассмотрим получение математической модели для расчета надежности системы в виде цепочки мостовых соединений.
Определение. Обозначим вероятность того, что система с n мостовыми элементами (рис. 1) работоспособна, через Pn (p1,..., pn+1; pM).
Pi Р2 Рп+1
Lr^—1 J 1-й мост п ІГТ ' 2-й мост С „ n-и мост
Рм Рм 1 м
Pi P2 Pn+1
Рис 1. Графическая модель надежности системы из n мостовых соединений
Утверждение 1. Вероятности безотказной работы систем с n и с n+1 мостовыми элементами связаны рекуррентным соотношением:
Pn+1(P1,---,Pn+bPn+2;PM) =
+ PM1 _ (l _ Pn+2 )2 JPn (P1, ■ ■ ■,Pn+1; pm) +
+ C1 - PM)Pn(Pb--->Pn>Pn+1 • Pn+2;Pm) .
Доказательство. Обозначим через А событие, которое заключается в безотказной работе системы из (п+1)-го мостового соединения (рис. 2).
Pi Рп+1 Рп+2
ч ч -І
1-й мост n-и мост п+ 1-й мост
Рм J ,—и ґ 1 1
Pi Рп+1 Рп+2
Рис. 2. Графическая модель надежности системы из (п+1)-го мостового соединения
Рассмотрим гипотезы: Hi, состоящую в том, что (n+ 1)-е мостовое соединений работоспособно; H2, состоящую в том, что произошел отказ (п+1)-го мостового соединения. Тогда в соответствии с формулой полной вероятности получим
P(A) = P(A|H1)P(H1) + P(A|H2)P(H2), (3)
где P(A)— вероятность безотказной работы системы из (п+1)-го мостового соединения; P(H1) — вероятность гипотезы H1; P(H2) — вероятность гипотезы H2; P(A|H1) — условная вероятность события А при справедливости гипотезы H1; P(A|H2) — условная вероятность события А при справедливости гипотезы H2.
Выразим все составляющие формулы (3) через вероятности безотказной работы элементов системы.
Вероятность события А—это искомая вероятность безотказной работы системы из (n+ 1)-го мостового соединения:
P(A) = Pn+1 (Pb P2> -> Pn+1, Pn+2; P M ) . (4)
При справедливости гипотезы H1 исходная модель надежности (рис. 2) трансформируется в модель, изображенную на рис. 3:
P(A|H0=Pn(P1,^,Pn+1;PM) • 1 - (1 - Pn+2)2], (5)
PhO = Pm . (6)
Pi__ Pn+1 Pn+2
1 1 Ї 1-й мост : п-й мост L 1 1 1 1
Рм 1 г 1 1 , ,
Pi Pn+1 Pn+2
Рис. 3. Надежность системы из (п+1)-го мостового соединения при справедливости гипотезы H1
При справедливости гипотезы H2 исходная модель надежности (рис. 3) трансформируется в модель, изображенную на рис. 4:
Р(А 1 H2) = Pn(Pb---,Pn,Pn+1 • Pn+2;PM) , (7)
P(H2) = 1 - Pm . (8)
Pi____ Pn+1 Pn+2
г1 1-й мост ■ : п-й мост С 1 1
Рм 1, Рм ^ С 1 1
Pi Pn+1 Pn+2
Рис. 4. Надежность системы из (п+1)-го мостового соединения при справедливости гипотезы H2
РИ, 2000, № 3
86
Подставляя (4)-(8) в (3), получаем
Pn+l(Pb->Pn+ЬРп+2;Рм) =
= PM1 - С1 - Pn+2)2|Pn(Pb---,Pn+i;PM)+
+ С1 - Рм)Рп(Рь---^Pn.Pn+l • Pn+2Tm) • Утверждение доказано.
Рассмотрим разбиение множества {1,...,n+1} на m подмножеств {Ai }“i, удовлетворяющих следующим условиям:
m
U Ai = +1, (9)
i=i
Vi, Al *0 , (10)
Vli < І2, Va є Aii, є Ai2,a < b . (11)
Утверждение 2. Вероятность безотказной работы системы из n мостовых соединений определяется выражением
^(Рь-^Рп+ьРм) = I pM"1^ - PM^R-lCPb-^Pn+i)
i=0
Где R^Pi,_,Pn+0 = Z n+1—i Ґ л 2"
п 1 - 1 - П Pk
{AiJS1- i=i 1 keAi у
Здесь суммирование ведется по всем разбиениям {Ai}nJ"ii_i множества {1, n}, удовлетворяющим
(9) (11).
Доказательство. База индукции при n=1: Ro(PbP2) = i - (i - Pif\ • [i - (i - P2)2], Rl(PbP2) =1 - (ь - P1P2)2].
Покажем, что если формула справедлива для n, то она верна и для n+1:
Pn+l(Pb---,Pn+i,Pn+2;P^ =
= pm[i - (ь - Рп+2)2]рп(рь---,Рп+ьРм)+ + (i-РмНСрь-^РпТп+Ь • Pn+2;pM =
= ZPM+i i(i-PM^R^Pi.-.Pn.Pn+i 1=0
)[l - (i - Pn+02
+ ZPM i(i - PM)i+iR^Pi,-,Pn,Pn+i • Pn+2) =
1=0
= PM"iRo(Pb---,Pn,Pn+i)|1 - C1 - Pn+2)2]+
+ Z pM+1 i(1 _ pM)i[R^p1,-,pn,pn+0[1 _ l1 _ pn+2^ ]+
i=1
+ Ri-i(pb---,Pn,Pn+i • Pn+2)] +
+C1 - P^n+iR^Pi,-,Pn,Pn+1 • Pn+2) . Вместе с тем
R^Pi,^,Pn,Pn+01 - i1 - Pn+2)2] =
= [1 - (1 - Pi)2] ••••• [1 - (1 - Pn+bP] • [l - (1 - Pn+2)2] =
= Ro(Pb---,Pn,Pn+bPn+2); MPb-^PnTn+i • Pn+2) =
= 1 -11 - Pi ••••• Pn • (Pn+1 • Pn+2»2] =
= Rn+i(pb---,Pn,Pn+bPn+2);
Ri(Pb---,Pn,Pn+i)[1 - C1 - Pn+2^]+ + Ri-^Pi,^,Pn,Pn+i • Pn+2) =
n+1—i f 2" • [l “ l1 “ pn+^2 +
Z П 1 - 1 - П Pk
{A0n=+1i“i i=i 1 k^Ai J
f n+1-1 ґ 2' Л
+ M П 1 - 1 - П Pk
{Bi}n=+i2_i i=i 1 keBi J )
f l2
X * 1 - 1 - П Pk • Pn+2
V _keBn+2-i _ /
Здесь суммирование ведется по всевозможным разбиениям множества {1, n+1} на n+1—i и n+2—
i частей соответственно, удовлетворяющим условиям (9) (11): ЗД^1'1 и {BilnJi2-1.
Введем в рассмотрение разбиение множества {1,...,n+2} на n+2—i частей — {Ci}^2-1 и ^^Щ2-1 следующим образом:
Ci = Ai ,l = 1,n +1 — 1; Cn+2—1 = {n + 2},
Dl = Bl,i = i,n +1 _ i; Dn+2-i = Bn+1—i U (n + 2} .
Построенные наборы множеств {Ci^2-1 и {dJ^I2-1
представляют собой всевозможные варианты разбиения множества {1, ..., n+2} на n+2—i множеств, удовлетворяющие (10)-(12). Таким образом,
Ri(Pb---,Pn,Pn+i)[1 - (ь - Pn+2)2]+
+ Ri-^Pi,-,Pn,Pn+1 • Pn+2) =
n+2-i f 2"
I П 1 - 1 - П Pk
№2_i +1 1 keEi J
= Ri(Pb---,Pn,Pn+bPn+2) . Утверждение доказано.
РИ, 2000, № 3
87
Введем обозначение
Pn (р;рм )=P„ (pi, ■■ -, Pn+i ;pm ) |P1=_=pn+1=p.
Утверждение 3. Для вероятности безотказной работы системы с n мостовыми элементами верна оценка
рп(р;рм) ^ І1 -11 - р)2](! - pmD - р]2)" • Доказательство. Из утверждения 2 следует, что
р„(рь->Рп+ьРм) = Z РмТ1!1 - Рм)%(рь->Рп+і)>
i=0
• (12)
Суммирование в формуле (12) ведется по всем разбиениям множества {1, n+1} на n+1—i
подмножеств, таким, что
n+1-1 f 2"
R1(pb...,Pn+i) = Z П 1 - 1 - П Pk
{AllS1-1 l=1 1 k^Al J
Aj ^0,1 = 1,n +1 -1, (13)
Vlbl2, Va1 є Ai1,a2 є Aj2, a1 < a2 . (14) Число слагаемых в (12) совпадает с количеством
решений уравнения
n+1—1
Z mj = n +1. l=1
(15)
Действительно, если {Ai}n=+! 1 — разбиение множества {1, ..., n+1}, удовлетворяющее (13),(14), то
________ n+1—1
|Aj| > 1, l = 1,n +1 -1 и X|A^ = n +1.
l=1
n+1-1
Наоборот, если ml є N, l = 1,n +1 - 1и Z ml = n +1,
l=1
то A1 = {1,^,m1},^,An+1-1 ml +T-, Z ml
Il=1 l=1
является разбиением, удовлетворяющим (13), (14).
Известно, что число решений уравнения (15) в натуральных числах составляет С„ •
Рассмотрим функцию f (х) = (1 - х)2 • Она выпукла вниз и, следовательно,
f х1 + - + хр Л
^(f(x0+-+f(xJ).
Применив это неравенство к (16), получим:
n+1-1 f 2'
П 1 - 1 - П Pk <
l=1 1 keAl V
1 -
1 n+1-1
“ГГ- ^
П + 1 - 1 l=1
ч2
-in+1-1
1 - П Pk
. keAl .
(
1 -
1 n+1-1
1---------т Z П Pk
-|П+1-1
п + 1 - 1 l_
l=1keAl
Положив P1 =... = pn+1 = p, получим:
n+1-/ ґ 21
П 1 - 1 - П Pk
1=1 \ кєАї J
(
P1=---=Pn+1=P , nn+1-1
1 -
1 - -+-n f„W
П +1 -1 l=1
(17)
Так как |Aj| > 1, то plAll < p . Продолжим (17):
n+1-1 Ґ 21
П 1 - 1 - П Pk
l=1 1 k^Al J
P1=---=Pn+1=P
( 1 n+1-1 > 1 —— E p 2
< 1 -
+ 1 ТҐ
< cn[i - (1 - p2
n+1-1
n+1-1
Оценим выражение П l=1
ґ
1 -
Л
,исполь-
1 - П Pk
V keAl ,
зуя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:
n+1-1 r > 2
П 1 1 - П Pk <
l=1 V k^Al j
ґ 2 N
n+: -1
-7 2 1 1 - П Pk
-1 l= 1 'v keAl - )
= 1 - (1 - р)2 „+м
Из (12), (18) следует, что
к+1 рп+1Ии.....р„+1.р
Воспользовавшись (12), (19), получим:
р„(р;рм)=
= 1 рМ'Ч1 - Рм)1р-1(Рь-”,Рп+1)| ^
1=0 P1=--=Pn+1=P
(18)
•(19)
1 —
n+1-1
. 1 — £ П +1 -1 ы
■J
\2
пп+1-1
nn+1-1
1 - П Pk
keAl
(16)
ІЬрМг'Р - PM+ПІІ - (1 - p)2]"^' =
1=0
1-(1-р)2]і c„(1-pM1 [pm(1 - (1 - p)2)]11"1
1=0
= 1 - (Г -р)2](г -Рм + Рм - PmD -p]2)1 =
= I1 - (Г - р)2](г - pm[T - p]2)1.
Утверждение доказано.
P
1
88
РИ, 2000, № 3
Следствия.
1. Р„(р;рм)S [1 -(1 -ri2]e-"PM[l-rf2.;
1 - (1 - p)2](i - pm[i - р]2) < 1 - (1 - рД"'"(1_PM[1"PF <1 - (1 - ri2]e-"pM'1-p2
Здесь было использовано неравенство '"(1 - x) < -x .
рє[0,1)
2. Р"(р;р^ ^ 0
Утверждение 4. Для вероятности безотказной работы системы с n мостовыми элементами верна оценка
Р" (р; Р^ ^ 1 - С1 - р)2 Ы1+Рм С1 - p)F • Доказательство. Из утверждения 2 следует, что
Р"(р1>->р"+1;р^ =
= Ё рмі1!1 - рм)ІР-і(рь---,р"+1І
i=0
"+1-1
= П р
k=1
|Ak|
2 - р1
jAk|
"+1-1 г
р"+1 п
k=1
2 - р1
|Ak|
(20)
Поскольку < р, то 2 - рІ^І > 2 - р и, следовательно, (20) можно продолжить следующим образом:
р"+1"+П Г2 - р!Akl
k=1 L
р^іД - р] =
k=1
= р"+1[2 - рГ *И = р(2 - р)р"[2 - р]»"1
= [l - (1 - рР|р"[2 - р^.
Из соотношения (21) следует, что
ДЛр.рм) ^
(21)
^ Z рМ[1(1 _ рмУс"1
1=0
(1 - р2 ] р" (2 - р"-1 =
= р
1 -(1 -р№с"(1 -рМНрм[2 - рГ1 =
1=0
= р"1 - Г - p2]|l - рм + 2рм - ррмГ =
=р"[і - Г - р2]!1+рмГ - РГ =
= [1 -(1 -р)2][р(1+рм(1 -р))Г .
Утверждение доказано.
^(рь-.р^) =
"+1-1 Ґ 5 2"
Z п 1 - 1 - П Pk
{А'Г/-1 1=1 1 keA1 V
В последней сумме с" слагаемых. Оценим каждое
Литература: 1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Наука. 1988. 480 с. 2. Евдокимов А.Г., Коринько И.В., Кузнецов В.Н., Самойленко Н.И. Рациональная эксплуатация и развитие систем водоснабжения и водоотведения: Т. 2. Автоматизация процессов водоотведения: Учебное пособие / Под. ред. А. Г. Евдокимова и Н.И.Самойленко. Харьков: ХТУРЕ, 1998. 342 с.
Поступила в редколлегию 09.06.2000
из них снизу при р1 = ... = р"+1 = р:
"+1-1
п
k=1
1 -(1 - рН
2
"+1-1 -
п
2р! Akl
k=1 L
Рецензент: д-р техн. наук Левыкин В.М.
Рудь Игорь Александрович, аспирант Харьковской государственной академии городского хозяйства. Адрес: Украина, 61166. Харьков, ул. Ленина, 5, кв. 4. тел. 4375-95.
УДК 623.2.017
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОТОКА ОТКАЗОВ РЭА С ОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ МИНИМАЛЬНЫХ ВОССТАНОВЛЕНИЙ
ПИВНЕВ ДА.____________________________
Рассматривается математическая модель потока отказов с ограниченным числом минимальных восстановлений мгновенной и конечной продолжительности.
Из опыта эксплуатации сложной радиоэлектронной аппаратуры известно, что большая часть схемных позиций радиоэлектронной аппаратуры за
назначенный срок службы не отказывает, значительная часть отказывает от одного до двух раз, еще меньшая часть — от трех до четырех раз и т.д. Замена отказавшего (дефектного) комплектующего изделия на определенной схемной позиции может быть осуществлена новым комплектующим изделием, восстановленным или комплектующим изделием, израсходовавшим часть своего ресурса. В [1] показано, что процесс восстановлений радиоэлектронной аппаратуры сложных технических систем на интервалах между полными восстановлениями ресурса характеризуется, как правило, минимальными восстановлениями. В связи с этим возникает необходимость разработки моделей потоков отказов при ограниченном числе восстановлений (замен) и различной глубине восстанавливаемого ресурса. В научно-технической литературе математические модели таких потоков не исследованы в
РИ, 2000, № 3
89
