CC BY
14
УДК 656.02:338.47 И.А. ГАВРИЛЕНКО
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ТРУБОПРОВОДНОЙ ТРАНСПОРТНОЙ СИСТЕМЫ С МОСТОВЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ
Рассматривается трубопроводная транспортная система с мостовым соединением элементов с точки зрения надежности. Предлагается способ оценки вероятности безотказной работы системы, который основан на математическом описании мостовой модели надежности трубопроводной системы.
1. Постановка задачи и цель исследования
Дублирование трубопроводов является одним из способов повышения надежности трубопроводного транспорта. В целях проведения аварийных работ и профилактических ремонтов между параллельными участками трубопроводов устанавливают перемычки. Такие конструкции приводят к мостовым моделям надежности и, следовательно, способствуют дальнейшему повышению надежности всей системы. Мостовые соединения являются достаточно эффективным способом повышения надежности трубопроводных транспортных систем (ТТС), поскольку сооружение дешевой короткой перемычки намного предпочтительнее, чем строительство дополнительной нити трубопровода.
Для рационального функционирования трубопроводной системы ее надежность должна быть не ниже некоторой допустимой. Чтобы обеспечить заданную надежность с наименьшими экономическими затратами, необходимо уметь адекватно оценивать надежность действующих или проектируемых систем по имеющимся оценкам надежности отдельных ее элементов.
Существующие подходы к решению проблемы оценки надежности ТТС с мостовыми соединениями элементов имеют ряд недостатков. Анализ работ [1-3] позволяет сделать вывод, что при увеличении числа перемычек (мостов) громоздкость формул для расчета надежности лавинообразно нарастает. Уже при числе перемычек, большем двух, расчетные формулы надежности становятся настолько громоздкими, что их практическое использование даже с применением современных вычислительных средств превращается в сложную рутинную процедуру. Поэтому возникает необходимость в разработке подхода, который позволит оценить надежность ТТС с мостовыми соединениями элементов любой размерности.
Цель работы состоит в повышении надежности проектируемых ТТС с мостовым соединением элементов на основе оценки вероятности безотказной работы, а также в уменьшении временных затрат на расчет надежности таких систем.
Для реализации поставленной цели сформулированы следующие задачи:
1. Составление расчетной модели системы, отражающей типы соединений элементов и мостов, а также их значения вероятностей безотказной работы.
2. Формулирование гипотез, учитывающих различные состояния работоспособности каждого моста в отдельности и их общий вклад.
3. Определение общей вероятности безотказной работы системы.
2. Решение задачи
Рассмотрим ТТС с произвольным числом элементов (п) и мостов (п-1). Расчетная схема такой системы представлена на рисунке.
Введем обозначения: А - событие, которое заключается в работоспособности системы в течение некоторого периода времени Т; - вероятность безотказной работы к-го элемента в ьй ветке за определенный период времени Т, где к = 1...п, { = 1,2; NM -вероятность безотказной работы моста за определенный период времени Т; Н0 - гипотеза, которая заключается в выходе из строя всех мостов в течение времени Т; Н - гипотеза,
которая заключается в работоспособности одного >го моста в течение времени Т; Н^''"'8 - гипотеза, которая заключается в работоспособности т мостов в течение времени Т, где ^ ) '.'8 - номера мостов, которые работают; Нп-1 - гипотеза, которая заключается в работоспособности всех (п-1) мостов в течение времени Т.
Пример ТТС с мостовыми соединениями элементов Ограничимся рассмотрением случая, когда значения надежностей всех мостов NM одинаковы. Тогда вероятности гипотез соответствуют величинам:
P(H 0 ) = (1 - NM)n-1 ; (1)
P(H) = NM • (1 - NM)n-2 ; (2)
P(Hm) = NMm • (1 - NM)n-m-1 ; (3)
P(Hn-1 ) = NMn-1. (4)
Вычислим условные вероятности события А в предположении, что осуществилась та или иная гипотеза.
При выходе из строя всех мостов вероятность безотказной работы системы будет равна
P(A/Ho) = ИР* + iW - ПР1к • iW . (5)
k=1 k=1 k=1 k=1 Если в системе работает один i-й мост, вероятность безотказной работы системы будет равна
P(A/H ) = ( П Pik + 11 P2k -II Pik II P2k) • ( II Pik + П P2k - II Pik • flP2k). (6)
k=1 k=1 k=1 k=1 k=i+1 k=i+1 k=i+1 k=i+1 При работающих 2-х мостах вероятность безотказной работы системы составит
i i i i l l l l P(A/H2!) = (ПPik + ПP2k - ПPik • ПP2k) • ( П Pik + П P2k - П Pik • ПP2k) X
k=1 k=1 k=1 k=1 k=i+1 k=i+1 k=i+1 k=i+1
n n n n
X ( П P1k + П P2k - П P1k • П P2k).
k=l+1 k=l+1 k=l+1 k=l+1
Вероятность безотказной работы системы при работе m мостов будет равна
P(A/Hm,,s) = ( П Pik + П P2k -II Pik II P2k) • ( II Pik + П P2k -II Pik • П P2k) X k=1 k=1 k=1 k=1 k=i+1 k=i+1 k=i+1 k=i+1
X ( nPik + flP2k - nPik • iW), (8)
k=s+1 k=s+1 k=s+1 k=s+1
где m = i,n -1.
Вероятность безотказной работы системы при условии, что все (n-i) мостов работают:
P(A/Hn-1) = П (Pik + P2k - Pik • P2k). (9)
k=1
Условные вероятности безотказной работы системы при выполнении соответствующей гипотезы позволяют определить общую надежность всей системы.
По формуле полной вероятности вычислим общую надежность системы при работе всех комбинаций из т мостов:
п-1
Р(А) = Е SP(A/Hm)P(Hm), (10)
т=0
где 8Р(Л/Нт) - суммы условных вероятностей при работе всех комбинаций из т мостов, которые соответствуют величинам:
п-1
SP(A/Hl) = Е Р(Л/Н1); (11)
1=1
п-2 п-1 ■ ■
SP(Л/H2) = е ЕР(Л/Н2). (12)
1=1 ]=2
n-3 n-2 n-1 ■ ■
SP(A/H3) = E E E P(A/H3'J s);
i=1 j=2 s=3 n-mn-m-1 n-1 ■ ■
SP(A/Hm) = E E •...• EP(A/Hmj'-s)
(13)
m)~ L L ••••• ) . (14)
i=1 j=2 s=m
3. Выводы
Представлено решение задачи оценки надежности трубопроводной системы с мостовыми соединениями элементов, которое в отличие от существующих методов охватывает любую размерность системы.
Научная новизна заключается в разработке подхода к оценке вероятности безотказной работы ТТС с мостовым соединением элементов любой размерности, т.е. системы с произвольным числом мостов и элементов, имеющих различные по величине показатели надежности. При таком подходе учитываются не только надежности отдельных элементов, но и состояния работоспособности каждого моста в отдельности, а также их общий вклад в работу всей системы.
Практическое значение. Предложенный подход может применяться для практического обоснования выбора структуры магистральных трубопроводов с наименьшими экономическими затратами при проектировании и реконструкции ТТС. Использование представленного математического аппарата позволит сократить временные и денежные затраты на расчет надежности проектируемых ТТС.
Список литературы: 1. Ильин Ю.А. Надежность водопроводных сооружений и оборудования. М.: Стройиздат, 1985. 240 с. 2. ИонинАА. Надежность систем тепловых сетей. М.: Стройиздат, 1989. 268с. 3. Рудь И.А. Расчет надежности технических систем с мостовым соединением элементов // Коммунальное хозяйство городов. Технические науки и архитектура. 1999. N° 20. С.37-42.
Поступила в редколлегию 15.03.2006 Гавриленко Ирина Александровна, ассистент кафедры ПМ и ИТ, ХНАГХ. Научные интересы: управление сложными системами. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Революции, 12, кв. 227, тел. 707-31-31.
