Модели надежности межоперационной передачи предметов обработки в роторных машинах Текст научной статьи по специальности «Прочие технологии»

Mishin Alexey Vladimirovich, postgraduate, alexeymishin89@gmail. com, Russia, Moscow, Moscow State University of Railway Communications (MIIT),

Sorokin PavelAlexeevich, doctor of technical science, professor, Russia, Moscow, Moscow State University of Railway Communications (MIIT)

УДК 621.9:664

МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ МЕЖОПЕРАЦИОННОЙ ПЕРЕДАЧИ

ПРЕДМЕТОВ ОБРАБОТКИ В РОТОРНЫХ МАШИНАХ

В.В. Прейс, Д.Н. Семенов, Е.Н. Фролович

Рассматривается надежность межоперационной передачи штучных предметов обработки транспортными роторами в роторных машинах. Случайный процесс потери предметов обработки при межоперационной передаче подчиняется определенным закономерностям, выявление которых позволяет оценить и прогнозировать вероятность случайных потерь штучных предметов обработки в пределах определенного промежутка времени.

Ключевые слова: надежность, межоперационная передача, случайный процесс, роторная машина.

На современном этапе развития промышленного производства в различных отраслях мировой экономики технологические системы роторных машин (РМ) стали одним из признанных эффективных технических средств создания автоматизированных непрерывно-поточных производств массовой продукции, базирующихся преимущественно на технологических процессах сборки многоэлементных и многокомпонентных изделий. К таким технологическим процессам можно отнести не только процессы автоматизированной сборки изделий машино- и приборостроения, но и процессы фасовки и укупорки продукции химической, пищевой и перерабатывающей промышленности [1-6].

Разнообразие форм, размеров и материалов штучных предметов обработки, передаваемых внутри технологических систем РМ между технологическими роторами с одной операции на другую, предопределило и многообразие конструкций межоперационных транспортных устройств [7], надежность работы которых оказывает существенное влияние на надежность технологической системы РМ в целом, особенно при высокопроизводительной сборке многоэлементных изделий [8].

Определение законов перемещения предметов обработки [9] в про-

194

цессе межоперационной передачи дает основные предпосылки для расчета элементов межоперационных транспортных устройств, позволяет выявить необходимые условия для обеспечения надежного захвата предметов обработки и предупреждения возможной их деформации в период передачи при превышении критических значений допустимых скоростей и ускорений. Но в процессе межоперационной передачи предметов обработки возможны отклонения от нормальной работы транспортных устройств, приводящие к нарушению плотности потока предметов обработки внутри технологической системы РМ, вызванного возможными случайными потерями предметов обработки при передаче.

Случайные потери предметов обработки различными типами меж-операционных транспортных устройств могут быть вызваны различными факторами (ослаблением пружины в захватных органах, появлением рывков при вращении роторов, расцентровкой позиций сопрягаемых роторов, дефектностью передаваемых предметов обработки и т.п.).

Определение закономерностей появления при определенных факторах случайных потерь предметов обработки в период стабильной работы РМ позволяет наметить профилактические меры по отбору и дальнейшей переработке «потерянных» предметов обработки.

Рассматривая потери предметов обработки в РМ в период их транспортирования и передачи из одного ротора в другой как случайный процесс, используем для его описания методы теории вероятностей. При описании процесса случайных потерь примем ряд основных допущений.

Событие, состоящее в том, что число выпавших штучный предмет обработки за промежуток времени от t до t + & равно у, обозначим

А+А ()). Относительно осуществления этого события предположим сле-

1. Случайный процесс (потеря предмета обработки) стационарен, т.е. не зависит от момента отсчета t, а зависит от интервала времени. Обозначим

где 1 - интенсивность потерь штучных предметов обработки (число «потерянных» предметов обработки в единицу времени).

дующее.

I I

Ру (А) = 0(А), у > 2, Р1 (А ) = 1^) + 0(А), Р0 (Аt ) = 1 -1(А)+0(Аt).

(2)

(3)

(4)

Вероятность случайной потери одного предмета обработки пропорционально 1Аг.

Выведем систему дифференциальных уравнений, связывающих

Р ().

Событие, состоящее в том, что за промежуток времени от 0 до t + Аt, произошло у потерь, может быть осуществлено как

А+А (у )= 14 (, к+А (у - ,)

,=0

или

А+А'(у)=А(0)л?+А'(у)+Л(1)А+А‘(] -1)+А(2)л;+А'(у -2)+ (5) +... + А (у - 2)Л+А (2) + А (у - 1)А+А (1) + Л0 (у )А+А (0).

Опираясь на ранее приведенные допущения, можем пренебречь рядом, входящим в выражение (5), за исключением двух последних членов, вследствие их бесконечно малых величин. В соответствии с этим событие

А+А (у) может быть ограничено одним из двух способов его осуществления.

1. За промежуток времени от 0 до t происходит (у -1) потерь предметов обработки, а за промежуток времени от t до t + Аt происходит еще одна потеря предмета обработки.

2. За промежуток времени от 0 до t происходит у потерь предметов обработки, а за промежуток времени от t до t + Аt не происходит ни одной потери.

Тогда

А+А (у)=А (у -1)А+А (1)+л0(у)л+А (0).

Пользуясь основными допущениями (1)-(4) и переходя в равенстве к вероятностям, будем иметь

Ру (г + Аt) = Ру-1 (г )[1А + 0(Аt)] + Ру (г )[1 - 1Аг + 0(Аt)].

Или после элементарных преобразований, получим

Р (< + АА)~ Р (<) = -1Ру (г )+1Р,-1(г)+^.

Аt J -1 Аг

Переходя к пределу при Аг ® 0, получим АРу

--— = -1Р/ + 1Ру-1, для у > 1.

А

Событие, состоящее в том, что за промежуток времени от 0 до г + Аг произошло 0 потерь может осуществляться единственным образом: за промежуток времени от 0 до г нет потерь и за промежуток времени от г до г + Аг также нет потерь предметов обработки.

Записывая этот в виде осуществления событий А+Аг (0), получим

196

А0+А (0) = А (0) А{+А (0) .

Переходя в этом равенстве к вероятностям и используя основные допущения, будем иметь

Р0 (г + Аг) = Р0 (г )[1 - 1Аг + 0(Аг)].

Откуда при Аг ® 0

АР

А

0 _

= -1Р0

Таким образом, окончательно система дифференциальных уравнений будет выглядеть следующим образом

Аг

0 =

АРу

= -1Р] + АР,-1.

(6)

А 3 3

При начальных условиях: Р0 (0) = 1, Р- (0) = 0, у > 1.

Для решения системы дифференциальных уравнений (6), воспользуемся производящей функцией / (£, г )

/ (5, г) = 5 0Р0 + 51Р1 + 52 Р2 + 5 3Р3 +... + S-P- +...,

= 5 0Р0 + 51Р1 + 52 Р2 + 5 3Р3 +... + S-Pj +....

дг

Систему дифференциальных уравнений (6) запишем в виде:

Г АР0

(7)

(8)

А

АР

-1Р0

Аг

Р

А1

1 = -1Р + 1Р0; -1Р2 + 1Р

(9)

= -АР7- + 1Р/-1.

Умножив обе части каждого уравнения на (где , = 0,1, 2,3,..., у), сложим левую и правую части уравнений, получим

5 о АР0 + 51 ^ + 5 2 АР2 +... + 5-АР. = - 5 0ХР0 - 5*ЯР +

Аг Аг Аг А (10)

+ 511Р0 - 5 21Р2 + 5 21Р1 -... - S-1Р- + S-1Р--1.

Используя выражения (7), (8), преобразуем уравнение (10) к сле-

дующему виду:

д/ = -1 Г + 51Г = 1Г (5 -1) или д/ = 1(5 - 1)дг. (11)

дг дг

Интегрируя выражение (11), получим

1п(/) = 1(5 - 1)г + С. (12)

Сумма вероятностей всегда равна единице. Поэтому, как следует из уравнения (4), для этого необходимы начальные условия, при которых 5 = 1. Тогда, подставляя значение 5 в уравнение (12), получим С = 0 . Таким образом

/ = е_1(1-5)г = в~ХгвШ. (13)

Разложим функцию (13) в ряд Маклорена по £

У

х 2 і

є — По + аіх + ^2 х +... + а іХ +.... (14)

где х = .

Положив х = 0, получим из выражения (14) «0 = 1. Затем последовательно дифференцируя тождество (14):

х -_1

е = «1 + 2«2х +... + -а-х +...,

х

єХ — 2а2 +... + (і — 1)а іХ 2 +....

и т.д., полагая х = 0, получим значения коэффициентов «1, «2,..., aJ

Л 1 1

ал = 1, а2 = —,..., ау = —.

1 ’ 2 2!’ ’ 1 -!

Тогда очевидно, что

\2

/ — є"1'

, 1'£ (1'£)2 (1'£)7

1 + — + -—— +... + -—— + 1! 2! 7

(15)

Сравнивая правые части уравнений (7) и (15), можем записать решение системы дифференциальных уравнений (6) в виде:

Р0 = е-1', Р е -1,

1 1!

Р2 = М е-1',

2 2!

р м^-1',

- -!

Приведенные выражения показывают, что вероятности случайных

198

потерь предметов обработки подчинены закону Пуассона, т.е.

Р- ^7- е, для - > 0,

—!

учитывая, что 0!=1 по определению Гамма-функции Эйлера

1.

0!= | е ~ Хйх = е о

0

Как было рассмотрено выше, передача штучных предметов обработки в РМ из одного технологического ротора в другой может осуществляться различными типами межоперационных транспортных устройств. Поэтому общее решение задачи должно быть сведено к определению вероятности случайных потерь предметов обработки при совместном способе передачи предметов различными типами устройств.

При решении этой задачи будем иметь в виду, что если случайная функция X принимает различные значения Х1, х2,..., хп и вероятности, соответствующие этим значениям Д, Р2,..., Рп, то математическое ожидание

п

^МХ = ^ х-Р- = Х1Р + Х2 Р2 +... + ХпРп.

-

Тогда, при различных значениях X, принимая во внимание оговоренные выше условия, что X = Х1, Х2,..., Хп и Р1, Р2,..., Рп, будем иметь:

е^, е*1, е^,..., е1- ,

е(Х£)еМе-Ь М-е-^... и т.д.

1! 2! —

Тогда очевидно

Ме1Х = е^е-1 + еи ^ е“Ь + е^ ^ е-Ь/ +... + е— ^ е-Ь +.. =

1! 2! —!

1teu

= e-1t £ (1t)^ elJt = ^ £ (ite' ^ . j=0 j! j=0 j!

~ (lte7t)

^ Л------z - тождественно разложенному в ряд выражению e

j=0 j!

Тогда

MeX' = e-1/e1e" = e1 (e" -l) = /x(t). т.е. /x(t) будет являться характеристической функцией, соответствующей

(it )j —1t

закону Пуассона Pj = -—— e .

J j!

При сложении двух независимых случайных процессов их характеристические функции перемножаются

Эта функция является характеристической функцией для некоторого закона Пуассона с параметрами (1 + 12 +... + 1 п),. Очевидно выражение этого закона может быть записано в виде

п

Таким образом, очевидно, что случайные потери предметов обработки для одного конкретного типа межоперационного транспортного устройства распределяются по закону Пуассона, также как при различных типах межоперационных транспортных устройств в РМ.

Из вышеизложенного следует, что случайный процесс потерь предметов обработки подчиняется определенным закономерностям. В пределах определенного промежутка времени всегда можно определить вероятность случайных потерь штучных предметов обработки.

1. Крюков В. А., Прейс В.В. Комплексная автоматизация производства на базе роторных и роторно-конвейерных линий // Вестник машиностроения, 2002. № 11. С. 35-39.

2. Прейс В.В., Бондаренко Д.С. Автоматические роторные и роторно-конвейерные машины и линии в пищевых производствах // Вестник машиностроения, 2003. № 7. С. 37-43.

3. Цфасман В.Ю., Савельев Н.И., Прейс В.В. Роторные и роторноконвейерные линии в производствах массовых деталей сельскохозяйственного и автотракторного машиностроения // Вестник машиностроения, 2003. № 9. С. 40-43.

4. Быстров В.А., Прейс В.В., Фролович Е.Н. Роторные технологии, машины и линии на современном этапе промышленного развития // Вестник машиностроения, 2003. № 10. С. 43-47.

5. Прейс В.В., Усенко Н.А. Эволюция Тульской научной школы автоматизации патроно-гильзового производства // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. Вып. 3. С. 186-193.

6. Прейс В.В., Фролович Е.Н. Эпоха роторных технологий (к 100 -летию со дня рождения академика Льва Николаевича Кошкина) // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 3-8.

7. Прейс В.В. Надежность автоматических роторно-конвейерных

Список литературы

линий для сборки многоэлементных изделий // Сборка в машиностроении, приборостроении, 2003. № 10. С. 17-22.

8. Прейс В.В., Фролович Е.Н. Компоновка, производительность и надежность роторных машин для розлива жидких продуктов // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 4: в 2-х ч. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010.

Ч. 1.С. 3-14.

9. Александрова М.Н., Прейс В.В., Фролович Е.Н. Кинематика процесса межоперационной передачи штучных предметов обработки в роторных машинах // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 7: в 2-х ч. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. Ч.1. С. 60-70.

Прейс Владимир Викторович, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, preysaklax. tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Семенов Дмитрий Николаевич, асп., mr nekto xamail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Фролович Евгений Николаевич, д-р техн. наук, советник генерального директора, Россия, Климовск, ОАО «Конструкторское бюро автоматических линий имени Л.Н. Кошкина»

MODELS OF RELIABILITY OF MACHINING SUBJECTS IN-PROCESS TRANSFER

IN ROTOR MACHINES

V. V. Prejs, D.N. Semenov, E.N. Frolovich

Reliability o/ in-process trans/er o/ machining peace subjects by transport rotors in rotor machines is considered. Stochastic process o/ loss o/ machining subjects by in-process trans/er is subject to certain legitimacies which one detection allows to estimate and/orecast probability o/casual losses o/peace machining subjects within certain period.

Key words: reliability, in-process trans/er, stochastic process, the rotor machine.

Prejs Vladimir Viktorovich, doctor o/ technical sciences, pro/essor, the chie/ o/ the cathedra, preysaklax. tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Semenov Dmitry Nikolaevich, postgraduate, mr nekto xa mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Frolovich Evgenie Nikolaevich, doctor o/ technical sciences, the adviser o/ the general director, Russia, Klimovsk, Design bureau o/ automatic trans/er lines o/ a name o/ L.N.Koshkina, O.S.