Модели для расчета тоннелей, пересекающих активные разломы Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Зайнагабдинов Дамир Альфридович

Zaynagabdinov Damir

Иркутский государственный университет путей сообщения (ИрГУПС)

Irkutsk state transport university Ассистент/ Assi stant E-Mail: damirmt@mail.ru

05.23.11 «Проектирование и строительство дорог, аэродромов, мостов, метрополитенов и транспортных тоннелей»

Модели для расчета тоннелей, пересекающих активные разломы

Models for calculations crossing active faults tunnels

Аннотация: В статье рассматриваются вопросы моделирования и оценки напряженно-деформированного состояния обделки тоннеля, пересекающего активный тектонический разом. Предложены две математические модели: балка на упругом основании и численная конечно-элементная модель. Расчеты позволили определить зону влияния разлома и дополнительные усилия в обделке, возникающие при смещении берегов разлома. Сопоставление результатов расчета аналитической и численной модели тоннеля показывает близкие закономерности распределения перемещений, изгибающих моментов и поперечных сил. Исследование также показало, что даже небольшие смещения по разломам могут вызвать появление растягивающих напряжений, являющихся причиной трещин.

The Abstract: The article deals with the modeling and evaluation of the stress-strain state of tunnel lining. Some tunnels can cross the active tectonic faults. At displacement shores of the fault in the construction there are additional efforts. Proposed two mathematical models for calculations efforts. First model is beam on elastic foundation, second model is finite element model. The two models give similar results. Research also showed that even small movements along faults can cause tensile stresses that cause cracks in tunnel lining.

Ключевые слова: Тоннель, тектонический разлом, модель.

Keywords: Tunnel, tectonic fault, model.

***

Большое количество тоннелей пересекает активные тектонические разломы. Относительные смещения берегов разломов могут достигать значимых величин. В этих случаях возникают дополнительные усилия и напряжения в обделках тоннелей, которые могут превысить сопротивление исходных материалов, привести к образованию трещин, снизить условия обеспечения безопасности и долговечности сооружения. Для оценки напряжённо деформированного состояния обделок в зонах пересечения тектонических разломов необходимо рассмотреть механико-математические модели, описывающие работу конструкций с учетом смещений по разломам.

В нормах рекомендуется увеличивать толщину обделок тоннелей в местах пересечения активных разломов [1]. Следует отметить, что такие рекомендации не всегда приводят к положительному эффекту. Например, увеличение толщины обделки, а, следовательно, и увеличение её жёсткости приведёт к возрастанию усилий, передающихся на тоннельную обделку. Кроме того, предотвратить относительные смещения берегов разломов путём усиления тоннельной обделки не всегда представляется возможным.

Для оценки напряжённо-деформированного состояния тоннельной обделки в зоне разлома в статье рассматриваются две математических модели: с использованием

упрощенного аналитического подхода и численного метода.

В качестве первой модели используется модель балки на упругом основании. Тоннель пересекает зону разлома между двух вертикальных горных блоков с одинаковыми грунтами (рис.1). Рассматривается вариант, когда между блоками отсутствует заполнение грунтом, имеющим другие свойства. Тоннель рассматривается как балка постоянной жёсткости в упругой среде. Упругая среда (грунт) характеризуется коэффициентом упругого отпора к. Тоннель имеет постоянную изгибную жёсткость ЕІ. До начала подвижки ось тоннеля совпадает с горизонтальной осью Ох. При сдвиге горного блока по разлому часть тоннеля перемещаются на величину Ли. Направление плоскости разлома совпадает с направлением оси ординат у (рис 2).

Рис. 1. Тоннель, пересекающий зону разлома со смещением одного горного блока

относительно другого

У

Л-

и

ЕІ, к

¥ X

оо

Рис. 2. Расчётная схема тоннеля при сдвиге

Ввиду того, что зона влияния разлома на напряжённо-деформированное состояние тоннеля ограничена, для упрощения расчёта и получения аналитического решения в замкнутой форме рассматривается бесконечный тоннель (рис.3).

Если свойства соседних блоков породы и изгибная жёсткость тоннеля постоянные, тогда для правой части бесконечного тоннеля (при х > 0), можно использовать следующее граничное условие: при х = 0 и(0)=Ди/2. Учитывая, что в этом сечении угол наклона

„ ц(0) ,

касательной —— принимает экстремальное значение, вторая производная должна быть равна

нулю, из чего следует:

й2и(0)

йх2

к У

0

= 0 ^ М(0) = 0.

Е,1,к

х

Аи/2

Рис. 3. Расчётная схема полубесконечной балки

Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании в обобщённых функциях [2] имеет вид:

й 4и

Е1—- + кЪи = 0(0)д(х) + Е1и'(0)3"(х) + Е1и(0)д*'(х). йх

где: и(х) = и(х)в(х),

в(х) - функция Хевисайда (функция единичного скачка),

8( х) - функция Дирака,

Q(0) - поперечная сила в сечении х = 0 .

Применим преобразование Фурье к обеим частям уравнения:

0(0)

(1)

и(V) V4 + 4^4

Е1

■+и (0)(-/V) + и(0)(-/У)

(2)

где: Ь■■

кЬ 4 Е1

При определении изображения Фурье используются следующие свойства обобщённых функций:

{ / (х)Щ( х -/)Л = /(/), | /(х)Щ"’(х - 1)Ох = (-1)“/м(0.

(3)

Изображение Фурье функции прогиба балки имеет вид: 6(0)

и (V) = -Е-

- и (0)у + и(0)/У

(4)

V4 + 4Ь

Параметры иг(0) и 0(0) - аналогичны константам интегрирования, которые можно определить в области изображений. Для этой цели найдём корни знаменателя V4 + = 0 :

V = 42рЄ4 = Р(1 + і); IV = -42Ре'4 = -Ь(1 - /);

= -42Ре 4 = -Р(1 + /); у4 =42Ре14 = Р(1 - /).

(5)

Корни у, у находятся в верхней комплексной полуплоскости, а у, у - в нижней.

Учитывая, что функция и(х) ° 0 при х < 0, изображение Фурье этой функции М(у)

должно быть аналитической функцией во всех точках верхней полуплоскости, т.е. числитель должен быть равен нулю на корнях знаменателя, расположенных в верхней полуплоскости. Из этого следуют два уравнения:

и (0)у2 - 000 = и (0)/у3

и (0)у

Е1

0(0)

Е1

(6)

= и (0)у23

Подставляя в систему уравнений выражения корней знаменателя,

Р

и ------ -+1 / !~\и 4

у = 42.be 4 = 0(1 + 0 и у2 = —42.06 4 = — 0(1 — /) получим:

и' (0)20 — = и (0)/ 203(-1 + г)

Е1

-и (0)2.01 — = и(0)г203(1 + г)

(7)

Е1

Решение системы уравнений даст: и (0) = —0и(0)

0(0) = 2Е/03и(0)

Подставим найденные значения в изображение Фурье функции прогиба балки:

и (у) = 20 (0) + Ьи(0у2 + и(0)у3

(8)

(9)

V4 + 40

Для определения функции прогиба необходимо выполнить обратное преобразование

Фурье:

1 7 203м(0) + Ьи(0)у2 + и(0)у3

V4 + 404

е~УхУ

(10)

Для вычисления интеграла воспользуемся теорией вычетов [3]. Представим интеграл в виде суммы интегралов.

При х > 0 интегралы /2 и /3 равны сумме вычетов на корнях у и у

1 г 203м(0) е—уху= 203м(0)

1 2ж-'—¥у4 + 40

03м(0)

2ж •,—¥у + 40

-е~г№йу

ж

- 1ХУ е—1ХУ I

2ж/ \Яе .у —------------— + Яе .у —----------гг Г = —2/'03м(0)

е~/хуз е~гху4

------7~ +--------Г

4у3 4у3

= —2/03м(0) и(0)ге~0х

4

и(0)е0х

-/0х(—1—/) -г'0х(1—/)

-------+ -^----------- = —2/03м(0)

803(1 — г) 803(—1 — г)

ег0х — е~г0х + г(ег0х+е~г0х)

2

(1+г)е

-0х(\—г)

1603

- +

(—1+г)е

-0х(1+/)

1603

4

[соб(0х) + б1п(Ьх)]

/ 2 =-|

О ТГ У

0и(0)у

4 , /| /34

2ж—¥ у + 40

х)

2 е~ухйу = 0м(0)

2ж -,—¥у4 + 404

е~гуйу

0м(0)о у2е—1Х^ у2е—

-2жг \Яе 5„ —--------------7 + Яе 5„

2ж

—г0и(0)

и(0)ге

у3 4 4 у4 4 4

V4 + 40

е—г0х(—1—г) е—г0х(1—г)

----------------1------------

40(—1 — г) 40(1 — г)

V4 + 404

—г0и(0)

3 +-3

3

: — /М (0)

(—1+г)е

0х(1—г )

8

+

4у

(1 + г)е

4у

-0х(1+г)

3

—0х

4

и(0)е—0х

'—ег0х+е~г0х+г(ег0х+е~г0х)

4

[сОБ(0х) — 81й(0х)]

/3 =Ж

Тж*'-

м(0)у3

-е-ухйу ■■

и(0)г

2Ж~¥у4 + 40х 2ж + 40х

е-1№йу

м(0)/ .Г у3е—1Х^ у3е—^ I ^

2жг \ Яе у 4 д4 + Яе \ 4 , , 04 Г = и (0)

2ж = м(0)

_ м(0)е

V4 + 404

V4 + 404

у33е~гху3 у3е_йу4

3 +-3

4у3

4у3

-+-

0х(1+г) и(0)е-0х ег0х + е~г0х

4 2 2

—0х

-СО8(0х)

2

Перемещение оси тоннеля определяется выражением:

(11)

(12)

и( х) = м(0)е------[соэ(0х) + б1п(0х)] + м(0)е---------[соэ(0х) — б1п(0х)] + м(0)е— соэ(0х)

442 (13)

Или:

\ие. 0х

и(х) = —-— соэ(0х) (при х > 0)

2 (14)

Используя аналогичные выкладки для левой части балки, получим:

8

2

е

е

4

и( х) = Аи

еЬх

1-------— С08(Дк)

(при х < 0)

. (15)

Полученные выражения позволяют определить значения моментов и поперечных сил в сечениях обделки в зависимости от величины сдвига Аи по границе разлома. Имеем:

йи АиЬв~т г //3 1141

<Р = ~ =-----------[С08(Ьх) + 81П(Ь | х |)]

ах 2

й2и \-Е1АиЬ2в~Ьх б1п(Ьх) (при х > 0)

йх2 \-Е1АиЬ2еЬх б1п(Ьх) (при х < 0) (16)

а 3и

Q = —Е1—- = -Е1 Аиръв~Ьх'' [соз(0х) - б1п(Ь | х |)]

йх

Оценка протяжённости зоны влияния разлома. Наличие множителя в~Ьх в выражениях (5) и (6) и (7) свидетельствует о том, что с увеличением расстояния от границы разлома все

эти функции убывают (множитель в~Ьх стремится к нулю при 0х ). Длину зоны влияния 1кэ можно оценить исходя из следующих условий. Оценим длину /кэ используя функцию и(х) . При х = 0 функция в~Ьх равна единице, при 0х = — - менее 0.05 (в~ь— = 0.046). С точностью до 5% можно считать функцию и(х) равной нулю. Таким образом, из равенства 0/кэ = — определяется длина зоны влияния разлома:

/ = —

" Ь (17)

Сечения, в которых могут образовываться трещины, можно предсказать, определяя расположение максимумов изгибающих моментов.

= —Е1АиЬ>ъе~Ьх [— б1п(Ьх) + соэ(Ьх)] = 0; (18)

йх

Из чего следует [—б1п(Ьх) + соэ(Ьх)] = —12 $>1п(рх——/4) = 0

—

или (Ьх——/4) =0 ^ /тах = — (19)

Расстояния сечений от разлома, в которых могут образоваться трещины вследствие возникновения растягивающих напряжений, зависят от свойств окружающего массива грунта и жёсткости тоннельной обделки.

Проведено сравнение результатов расчётов, полученных с использованием рассмотренной модели, с результатами расчётов, полученных с помощью метода конечных элементов. В первой модели тоннель рассматривался без взаимосвязи с горной средой за исключением упругого отпора основания (в таких условиях работают подводные тоннели и в

пределах небольших смещений горные тоннели с рабочей черновой крепью), во второй -

тоннель жестко связан с окружающим его горным массивом.

Обделка железнодорожного тоннеля выполнена из монолитного бетона, сечение представлено на рис. 4. Материал обделки - бетон класса В30 с модулем упругости Е=3.24 107 КПа, коэффициентом Пуассона V = 0,2. Расчетные сопротивления бетона класса В30 по прочности на сжатие Яь =15.5 МПа, на растяжение Яы=1.2 МПа. Момент инерции обделки относительно оси у равен 1у = 103.60 м4. Для плотных грунтов коэффициент,

характеризующий жёсткость основания к1 изменяется от 50 106 +100 106 Н/м . Для расчёта принято: к1 = 100 106 и Ь=7.2 м. Задано вертикальное смещение по разлому левой части тоннеля: Аиг = —1 см.

. 600 ,___ш______________ж_______, м

Рис. 4. Поперечное сечение обделки тоннеля Результаты расчета с использованием первой модели:

1эк=36.7 м. Мтах=7.92-104 кН 0тах=4,37-1О3 кН.

1тах 9.2 м.

•м.

атах=4.59 МПа.

Зона влияния разлома:

Максимальный изгибный момент:

Максимальная поперечная сила:

Расстояние от границы разлома до сечений с максимальными нормальными напряжениями:

Максимальное нормальное растягивающее напряжение в обделке:

Та же задача решена методом конечного элемента с использованием программновычислительного комплекса МІПАЯ/Гіуіі. Фрагменты расчетных моделей показаны на рис. 5. Модели составлены из объемных элементов. Внешнее воздействие задано в виде перемещения левой части основания на 10 мм вниз.

В результате расчета модели без взаимосвязи с горной средой получено:

Зона влияния разлома: 1эк=37.5 м.

Максимальный изгибный момент: Мтах=5,68-104 кН-м.

Максимальная поперечная сила: 0тах=6,16-1О3 кН.

Расстояние от границы разлома до сечений с

1тах 8 м.

максимальными напряжениями:

Полученные в результате расчета перемещения и эпюры изгибающих моментов и поперечных силы (рис. 6) близки ранее полученным эпюрам. Разница максимальных значений изгибающих моментов и поперечных сил составляет 28%.

Рис. 5. Фрагмент конечно-элементной модели: а) - подводный тоннель, б) - горный тоннель

Рис. 6. Эпюры перемещений и усилий В численных моделях тоннелей, учитывающих тесное сцепление с горным массивом,

усилия, полученные численным методом, полученных аналитическим путем.

значительно отличаются от результатов,

Следует отметить, что при оценке взаимодействия тоннельной обделки с окружающим массивом грунта, необходимо учитывать проскальзывание обделки относительно грунта или вставлять упругопластическую прослойку. Это обязательно проявляется в зонах больших деформаций и в тех случаях, когда параметры, характеризующие жёсткость материала тоннельной обделки отличаются от параметров, характеризующих жёсткость грунта.

Выводы

1. Получено аналитическое решение задачи определения усилий в тоннеле от смещений по границе горных блоков с использованием математической модели балки на упругом основании. Модель позволяет оценить зону влияния разлома, получить усилия и напряжения в тоннеле.

2. Сопоставление результатов расчета аналитической и численной модели тоннеля с обделкой, показывает близкие закономерности распределения перемещений, изгибающих моментов и поперечных сил с максимальной разницей 28%. В численной модели тоннеля с обделкой, работающей совместно с горным массивом, значения усилий отличаются более существенно. Очевидно, в этом случае, расчеты тоннелей на геодеформационные воздействия следует выполнять численными методами.

3. Исследование показало, что даже небольшие смещения по разломам могут вызвать появление растягивающих напряжений, являющихся причиной трещин. Опыт обследования тоннелей авторами показывает, что наклонные трещины концентрируются ближе к границам разломов, где максимальная поперечная сила, а нормальные трещины - на некотором расстоянии от границы разлома в соответствие с эпюрой распределения изгибающих моментов.

4. Обе модели дополняют друг друга. Аналитическая модель, позволяет на предварительном этапе по формулам определять напряжения и деформации. Численные модели можно использовать при более детальном исследовании.

ЛИТЕРАТУРА

1. СНиП ІІ-7-81. Строительство в сейсмических районах. Система нормативных документов в строительстве. Строительные нормы и правила. [Текст] / Минстрой России. -М. : ГП ЦПП, 2000. - 44 с.

2. В.А. Лазарян, С.И. Конашенко. Обобщенные функции в задачах механики. Изд-

во «Наукома думка», 1974 г., стр. 192.

3. И.Г. Араманович, Г. Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц. Функции комплексного

переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1968 г., стр. 416.

Рецензент: Директор Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования ИрГУПС, д.т.н., проф. С.В. Елисеев